Mouvements dans un champ uniforme

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 8 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'étude des mouvements d'un objet soumis à une force constante constitue l'une des grandes réussites de la mécanique newtonienne. Qu'il s'agisse d'un ballon lancé en l'air, d'un projectile d'artillerie ou d'un électron dévié par les plaques d'un oscilloscope, tous ces mouvements obéissent aux mêmes lois. Dans ce chapitre, nous étudions le mouvement d'un point matériel placé dans un champ uniforme, c'est-à-dire un champ vectoriel identique en tout point de l'espace (même direction, même sens, même valeur). Deux situations physiques fondamentales seront traitées : le mouvement dans le champ de pesanteur uniforme et le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme. Dans les deux cas, la démarche est la même : appliquer la deuxième loi de Newton, en déduire l'accélération, puis intégrer pour obtenir les vitesses et les positions.

8.1 Le champ de pesanteur uniforme

8.1.1 Notion de champ uniforme

Définition 8.1Champ uniforme

Un champ vectoriel est dit uniforme dans une région de l'espace lorsqu'il y possède, en tout point et à chaque instant, la même valeur, la même direction et le même sens. Le vecteur représentant le champ est alors un vecteur constant.

Au voisinage de la surface de la Terre, sur des distances faibles devant le rayon terrestre, le champ de pesanteur $g$ peut être considéré comme uniforme : il est vertical, dirigé vers le bas, et sa valeur vaut environ $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Définition 8.2Poids d'un corps

Tout corps de masse $m$ placé dans un champ de pesanteur $g$ est soumis à son poids :

$P = m g$

Le poids s'exprime en newtons ( $N$ ), la masse en kilogrammes ( $kg$ ) et $g$ en $m \cdot s^{- 2}$ .

8.1.2 Application de la deuxième loi de Newton

Considérons un projectile assimilé à un point matériel, de masse $m$ , lancé dans le champ de pesanteur. On néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède. Le système \{projectile\} est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

◆Théorème 8.3Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système de masse $m$ constante est égale au produit de la masse par le vecteur accélération de son centre d'inertie :

$\sum F_{ext} = m a_{G}$

Le projectile n'étant soumis qu'à son poids, la deuxième loi de Newton s'écrit :

$m g = m a ⟹ a = g$

Proposition 8.4Accélération dans le champ de pesanteur

Lorsqu'un corps n'est soumis qu'à son poids, son vecteur accélération est égal au champ de pesanteur :

$a = g$

Ce résultat est remarquable : l'accélération ne dépend pas de la masse du corps. Tous les corps tombent de la même façon dans le vide (principe d'équivalence).

8.1.3 Le mouvement est plan

Proposition 8.5Le mouvement dans un champ uniforme est plan

Le mouvement d'un point matériel dans un champ uniforme s'effectue dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale $v_{0}$ et le vecteur champ (ici $g$ ).

Démonstration

Choisissons l'axe $O z$ perpendiculaire au plan défini par $v_{0}$ et $g$ (si ces vecteurs sont colinéaires, tout plan vertical les contenant convient). Dans ce repère, l'accélération n'a pas de composante selon $O z$ : $z ¨ = 0$ . En intégrant avec les conditions initiales $z ˙ (0) = 0$ (la vitesse initiale est dans le plan) et $z (0) = 0$ :

$z ˙ (t) = 0 puis z (t) = 0 pour tout t .$

Le point ne quitte jamais le plan $z = 0$ : le mouvement est plan, et l'étude peut se mener avec deux coordonnées seulement.

8.1.4 Équations horaires du mouvement

Choisissons un repère orthonormé $(O, i, j)$ : l'axe $O x$ horizontal et l'axe $O y$ vertical orienté vers le haut. Le champ de pesanteur s'écrit alors $g (0; - g)$ .

À l'instant initial $t = 0$ , le projectile part du point $O$ (origine) avec une vitesse initiale $v_{0}$ faisant un angle $α$ avec l'horizontale :

$v_{0} {v_{0 x} = v_{0} cos α v_{0 y} = v_{0} sin α$

Méthode : Établir les équations horaires

On procède par intégrations successives :

Accélération : $a$ a pour coordonnées $a_{x} = 0$ et $a_{y} = - g$ .
Vitesse : on intègre l'accélération, en tenant compte des conditions initiales sur la vitesse :

$v_{x} (t) = v_{0} cos α v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin α$

Position : on intègre la vitesse, en tenant compte des conditions initiales sur la position ( $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 0$ ) :

$x (t) = (v_{0} cos α) t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} sin α) t$

Proposition 8.6Indépendance des mouvements

Le mouvement du projectile se décompose en :

un mouvement horizontal uniforme selon $O x$ (vitesse constante $v_{0} cos α$ ) ;
un mouvement vertical uniformément varié selon $O y$ (accélération $- g$ ).

Ces deux mouvements sont indépendants : c'est le principe d'indépendance des mouvements (Galilée).

L'expérience de la double bille tranche la question mieux que tout calcul.

8.1.5 Équation de la trajectoire

◆Théorème 8.7Trajectoire parabolique

En éliminant le temps $t$ entre les équations horaires $x (t)$ et $y (t)$ , on obtient l'équation de la trajectoire $y = f (x)$ . À partir de $t = \frac{x}{v _{0} cos α}$ , on aboutit à :

$y = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2} + (tan α) x$

La trajectoire est une portion de parabole (fonction du second degré en $x$ ), d'axe vertical, tournée vers le bas.

Exemple 8.8Lecture d'une trajectoire

Sur la courbe ci-dessus, le projectile part de l'origine, monte jusqu'à un sommet (la flèche), puis retombe. Le point d'impact au sol ( $y = 0$ ) correspond à la portée. La symétrie de la parabole montre que la montée et la descente durent le même temps.

8.1.6 Flèche et portée

Définition 8.9Flèche et portée

La flèche $H$ est l'altitude maximale atteinte par le projectile (ordonnée du sommet de la parabole).
La portée $D$ est la distance horizontale parcourue lorsque le projectile revient à son altitude de lancement ( $y = 0$ , $x \neq = 0$ ).

En faisant varier le seul angle de tir, à vitesse initiale fixée, on retrouve le résultat classique.

Méthode : Calculer la flèche

Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s'annule : $v_{y} (t_{S}) = 0$ , ce qui donne la date du sommet :

$t_{S} = \frac{v _{0} sin α}{g}$

La flèche s'obtient en reportant $t_{S}$ dans $y (t)$ :

$H = y (t_{S}) = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}$

Méthode : Calculer la portée

Pour un lancer et une réception à la même altitude, par symétrie de la parabole, la durée totale du vol est $t_{f} = 2 t_{S} = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$ . La portée vaut :

$D = x (t_{f}) = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g}$

La portée est maximale pour $α = 4 5^{\circ}$ , car $sin (2 α)$ vaut alors $1$ .

8.2 Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

8.2.1 Force électrique et champ uniforme

Entre les deux armatures parallèles d'un condensateur plan, séparées d'une distance $d$ et soumises à une tension $U$ , règne un champ électrique $E$ que l'on peut considérer comme uniforme.

Proposition 8.10Champ entre deux plaques

Le champ électrique entre les armatures d'un condensateur plan est uniforme. Il est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, et sa valeur (expression donnée) vaut :

$E = \frac{U}{d}$

où $U$ s'exprime en volts ( $V$ ), $d$ en mètres ( $m$ ) et $E$ en $V \cdot m^{- 1}$ .

Influence des grandeurs : le champ est d'autant plus intense que la tension $U$ est élevée et que les armatures sont rapprochées ( $E$ proportionnel à $U$ , inversement proportionnel à $d$ ) ; il ne dépend pas de la position entre les plaques (uniformité), tant que l'on reste loin des bords.

Déviation d'un électron (charge négative, dévié vers la plaque positive, à l'opposé de $E$ ) : trajectoire parabolique entre les plaques, rectiligne au-delà.

Définition 8.11Force électrique

Une particule de charge $q$ placée dans un champ électrique $E$ subit la force électrique :

$F = q E$

Si $q > 0$ , la force a le même sens que $E$ ; si $q < 0$ (cas de l'électron), elle a le sens opposé.

8.2.2 Accélération de la particule

Pour une particule de masse $m$ soumise uniquement à la force électrique (le poids est en général négligeable devant la force électrique pour un électron ou un ion), la deuxième loi de Newton donne :

$q E = m a ⟹ a = \frac{q}{m} E$

Proposition 8.12Comparaison poids / force électrique

Pour un électron ( $m \approx 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $∣ q ∣ = e \approx 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ) dans un champ usuel, le poids $P = m g$ est de l'ordre de $1 0^{- 29} N$ alors que la force électrique est de l'ordre de $1 0^{- 15} N$ : le poids est totalement négligeable.

8.2.3 Déviation dans un condensateur plan

Une particule de charge $q$ pénètre en $O$ dans un condensateur avec une vitesse horizontale $v_{0}$ , parallèle aux plaques. On oriente $O x$ selon $v_{0}$ et $O y$ vers le haut. Le champ électrique est vertical : $E (0; \pm E)$ . On note $a_{y} = \frac{q E}{m}$ (avec le signe approprié).

Méthode : Étudier la déviation électrostatique

La démarche est analogue à celle du projectile :

Accélération : $a_{x} = 0$ , $a_{y} = \frac{q E}{m}$ (selon le signe de $q$ et le sens de $E$ ).
Vitesse : $v_{x} = v_{0}$ , $v_{y} = a_{y} t$ .
Position : $x = v_{0} t$ , $y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ .
Trajectoire : en éliminant $t$ , on obtient une parabole :

$y = \frac{a _{y}}{2 v _{0}^{2}} x^{2} = \frac{q E}{2 m v _{0}^{2}} x^{2}$

À la sortie des plaques (longueur $L$ ), la particule subit une déviation verticale, puis poursuit en ligne droite jusqu'à l'écran.

Exemple 8.13Déviation d'un électron

Un électron entre avec $v_{0} = 2, 0 \times 1 0^{7} m \cdot s^{- 1}$ dans un champ $E = 1, 0 \times 1 0^{4} V \cdot m^{- 1}$ . L'accélération vaut :

$a_{y} = \frac{e E}{m} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{4}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 8 \times 1 0^{15} m \cdot s^{- 2}$

Cette accélération est gigantesque, ce qui justifie que l'on néglige la pesanteur.

8.2.4 Principe de l'accélérateur linéaire de particules

Proposition 8.14Accélérateur linéaire (linac)

Un accélérateur linéaire utilise un champ électrique pour accélérer des particules chargées en ligne droite.

Dans sa version élémentaire, une particule de charge $q$ traverse une zone de champ uniforme créée par deux électrodes soumises à la tension $U$ : elle gagne l'énergie cinétique $Δ E_{c} = ∣ q ∣ U$ (c'est le principe du canon à électrons d'un tube cathodique).
Pour atteindre de grandes énergies, on aligne une succession de tubes conducteurs : le champ n'existe que dans les intervalles entre tubes (à l'intérieur d'un tube, la particule est à l'abri du champ et avance à vitesse constante). Une tension alternative synchronisée inverse la polarité pendant que la particule est dans un tube, de sorte qu'à chaque intervalle le champ l'accélère de nouveau : l'énergie gagnée est $∣ q ∣ U$ par intervalle. Les tubes sont de plus en plus longs pour compenser l'augmentation de la vitesse à fréquence fixée.

Applications : physique des particules (le linac de 3 km de Stanford), production de rayons X médicaux, implantation ionique en microélectronique.

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