Lois de Newton et mouvement

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 7 · terminale, spécialité physique-chimie

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

La mécanique newtonienne, élaborée par Isaac Newton dans ses Principia (1687), constitue l'un des piliers de la physique. Elle relie les causes du mouvement (les forces) à ses effets (les variations de vitesse). Pour décrire complètement le mouvement d'un système, nous avons besoin de deux outils : une description cinématique (où se trouve le système, à quelle vitesse, avec quelle accélération) et une description dynamique (quelles forces s'exercent et comment elles modifient le mouvement).

Dans ce chapitre, nous précisons d'abord le cadre indispensable à toute étude : le référentiel. Nous introduisons ensuite les vecteurs position, vitesse et accélération comme dérivées successives, puis la notion de centre de masse et de quantité de mouvement. Enfin, nous énonçons les trois lois de Newton, qui permettent de prévoir et d'interpréter l'évolution d'un système mécanique.

7.1 Référentiel et relativité du mouvement

7.1.1 Notion de référentiel

Décrire un mouvement n'a de sens que si l'on précise par rapport à quoi on l'observe. Un passager assis dans un train est immobile par rapport au wagon, mais en mouvement par rapport au quai : le mouvement est relatif.

Définition 7.1Référentiel

Un référentiel est constitué d'un solide de référence (par rapport auquel on repère les positions), auquel on associe :

un repère d'espace (une origine $O$ et des axes orientés, par exemple $(O; i, j, k)$ ) ;
une horloge permettant de mesurer la date $t$ .

La nature et les caractéristiques d'un mouvement (trajectoire, vitesse) dépendent du référentiel choisi : c'est la relativité du mouvement.

Une même expérience, observée depuis deux référentiels différents, ne donne pas la même trajectoire.

Exemple 7.2Référentiels usuels

Le référentiel terrestre : lié au sol terrestre. Adapté aux mouvements de courte durée à la surface de la Terre (chute d'une bille, lancer d'un ballon).
Le référentiel géocentrique : centré sur le centre de la Terre, ses axes pointant vers des étoiles lointaines. Adapté à l'étude du mouvement de la Lune ou des satellites.
Le référentiel héliocentrique : centré sur le centre du Soleil, axes dirigés vers des étoiles lointaines. Adapté à l'étude du mouvement des planètes.

7.1.2 Référentiel galiléen

Définition 7.3Référentiel galiléen

Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié : un système isolé ou pseudo-isolé y est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ou y reste au repos.

Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.

En pratique, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences de durée suffisamment courte (devant la durée du jour), bien qu'il soit en rotation. Les référentiels géocentrique et héliocentrique sont galiléens pour des durées de plus en plus longues.

7.2 Description cinématique du mouvement

On étudie le mouvement d'un point $M$ (par exemple le centre de masse d'un objet) dans un référentiel muni d'un repère $(O; i, j, k)$ .

7.2.1 Vecteur position

Définition 7.4Vecteur position

Le vecteur position du point $M$ à la date $t$ est le vecteur $O M (t)$ reliant l'origine $O$ du repère au point $M$ . Dans une base cartésienne :

$O M (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k .$

Les fonctions $x (t)$ , $y (t)$ et $z (t)$ sont les équations horaires du mouvement. L'ensemble des positions occupées au cours du temps constitue la trajectoire.

7.2.2 Vecteur vitesse

Définition 7.5Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse du point $M$ est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$v (t) = \frac{d O M}{d t} = \frac{d x}{d t} i + \frac{d y}{d t} j + \frac{d z}{d t} k = x ˙ i + y ˙ j + z ˙ k .$

Il s'exprime en $m \cdot s^{- 1}$ . Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Proposition 7.6Vitesse tangente à la trajectoire

À chaque instant, $v (t)$ est porté par la tangente à la trajectoire au point $M$ . Sa norme $v = ∥ v ∥$ est la vitesse instantanée. Si la trajectoire est rectiligne et $v$ constante, le mouvement est rectiligne uniforme.

7.2.3 Vecteur accélération

Définition 7.7Vecteur accélération

Le vecteur accélération du point $M$ est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, c'est-à-dire la dérivée seconde du vecteur position :

$a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} O M}{d t ^{2}} = x ¨ i + y ¨ j + z ¨ k .$

Il s'exprime en $m \cdot s^{- 2}$ .

Proposition 7.8Caractériser l'accélération des mouvements usuels

Le vecteur accélération traduit la variation du vecteur vitesse (en norme et en direction). Le programme demande de caractériser $a$ pour cinq mouvements :

rectiligne : $v$ garde une direction fixe ; $a$ est colinéaire à la trajectoire (dans le sens du mouvement si la vitesse augmente, opposé si elle diminue) ;
rectiligne uniforme : $v$ constant, donc $a = 0$ ;
rectiligne uniformément accéléré : $a$ est constant, colinéaire à $v$ et de même sens ;
circulaire : $a$ possède une composante centripète (dirigée vers le centre, elle incurve la trajectoire) et, si la vitesse varie, une composante tangentielle ;
circulaire uniforme : la norme $v$ est constante mais la direction change ; $a$ , non nul, est entièrement centripète, de norme $a = \frac{v ^{2}}{R}$ (repère de Frenet, chapitre 9).

Méthode : Déterminer vitesse et accélération à partir des équations horaires

À partir des équations horaires $x (t)$ , $y (t)$ , $z (t)$ :

Écrire le vecteur position : $O M = x i + y j + z k$ .
Dériver chaque coordonnée par rapport à $t$ pour obtenir les composantes de $v$ .
Dériver de nouveau chaque composante de $v$ pour obtenir celles de $a$ .
Calculer les normes : $v = x ˙^{2} + y ˙^{2} + z ˙^{2}$ et $a = x ¨^{2} + y ¨^{2} + z ¨^{2}$ .

7.2.4 Exploiter un pointage vidéo ou une chronophotographie

Méthode : Construire les vecteurs vitesse et accélération point par point

Un pointage vidéo (ou une chronophotographie) fournit les positions $M_{0}, M_{1}, M_{2}, \dots$ à intervalles de temps réguliers $Δ t$ .

Vitesse au point $M_{i}$ (différence centrée) : $v_{i} \approx \frac{M _{i - 1} M _{i + 1}}{2 Δ t}$ — vecteur tangent à la trajectoire.
Accélération au point $M_{i}$ : $a_{i} \approx \frac{v _{i + 1} - v _{i - 1}}{2 Δ t}$ — on construit graphiquement le vecteur $Δ v = v_{i + 1} - v_{i - 1}$ en reportant les deux vecteurs vitesse depuis la même origine.
Représenter les vecteurs à une échelle choisie et vérifier la cohérence (pour une chute libre, tous les $a_{i}$ doivent être verticaux, de norme $g$ ).

Chronophotographie d'un projectile (intervalles $Δ t$ égaux) : les vecteurs vitesse (bleus) sont tangents à la trajectoire, les vecteurs accélération (rouges), obtenus par la construction de $Δ v$ , sont tous verticaux et de même norme — on retrouve $a = g$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.10                       # intervalle entre deux pointages (s)
# positions pointees (chute parabolique, unites SI)
x = np.array([0.0, 0.8, 1.6, 2.4, 3.2, 4.0])
y = np.array([0.0, 1.16, 1.75, 1.75, 1.16, 0.0])

# vitesses par differences centrees (points 1 a n-2)
vx = (x[2:] - x[:-2]) / (2*dt)
vy = (y[2:] - y[:-2]) / (2*dt)
# accelerations par differences centrees des vitesses
ax = (vx[2:] - vx[:-2]) / (2*dt)
ay = (vy[2:] - vy[:-2]) / (2*dt)

plt.plot(x, y, "ko--")
plt.quiver(x[1:-1], y[1:-1], vx, vy, color="blue",
           angles="xy", scale_units="xy", scale=8, label="vitesse")
plt.quiver(x[2:-2], y[2:-2], ax, ay, color="red",
           angles="xy", scale_units="xy", scale=80, label="acceleration")
plt.axis("equal"); plt.legend(); plt.show()
# les vecteurs acceleration sont verticaux, diriges vers le bas

Capacité numérique : représenter les vecteurs accélération d'un mouvement pointé

7.3 Centre de masse et quantité de mouvement

7.3.1 Centre de masse

Définition 7.9Centre de masse

Le centre de masse $G$ d'un système est le point qui représente le « barycentre » des masses du système. Pour un système de points matériels de masses $m_{i}$ situés en $M_{i}$ , $G$ est défini par :

$i \sum m_{i} G M_{i} = 0, soit O G = \frac{\sum _{i} m _{i} O M _{i}}{\sum _{i} m _{i}} .$

Pour un solide homogène présentant des symétries, $G$ coïncide avec le centre géométrique. C'est le mouvement de $G$ que l'on étudie pour décrire le mouvement d'ensemble du système.

7.3.2 Quantité de mouvement

Définition 7.10Quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un système de masse $m$ dont le centre de masse $G$ a pour vitesse $v$ est le vecteur :

$p = m v .$

Elle s'exprime en $kg \cdot m \cdot s^{- 1}$ . Le vecteur $p$ a même direction et même sens que $v$ ; il caractérise à la fois l'inertie (par $m$ ) et le mouvement (par $v$ ) du système.

iRemarqueConformité au programme

Le programme de Terminale énonce la deuxième loi de Newton sous la forme $\sum F = m a$ : la quantité de mouvement et la formulation $\sum F = \frac{d p}{d t}$ , présentées ici, sont un approfondissement (utile notamment pour l'étude des chocs et la préparation au supérieur), non exigible au baccalauréat.

Exemple 7.11Comparaison de quantités de mouvement

Un camion de masse $m_{1} = 20000 kg$ roulant à $v_{1} = 10 m \cdot s^{- 1}$ a une quantité de mouvement

$p_{1} = m_{1} v_{1} = 20000 \times 10 = 2, 0 \times 1 0^{5} kg \cdot m \cdot s^{- 1} .$

Une voiture de masse $m_{2} = 1000 kg$ roulant à $v_{2} = 30 m \cdot s^{- 1}$ a $p_{2} = 3, 0 \times 1 0^{4} kg \cdot m \cdot s^{- 1}$ . Malgré sa vitesse trois fois plus grande, la voiture possède une quantité de mouvement bien plus faible que le camion.

7.4 Les trois lois de Newton

7.4.1 Première loi : principe d'inertie

◆Théorème 7.12Première loi de Newton (principe d'inertie)

Dans un référentiel galiléen, si un système est isolé (aucune force) ou pseudo-isolé (forces qui se compensent, $\sum F = 0$ ), alors son centre de masse est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Réciproquement, si $v_{G}$ est constant alors $\sum F = 0$ . De façon équivalente : sa quantité de mouvement $p$ se conserve.

$\sum F = 0 ⟺ v_{G} = constante ⟺ p = constante .$

La chronophotographie rend le principe visible : ce n'est pas le mouvement qui exige une force, c'est son changement.

Exemple 7.13Palet sur une table à coussin d'air

Un palet glissant sur une table à coussin d'air horizontale subit son poids $P$ et la force de soutien (le coussin d'air) $N$ , qui se compensent. Les frottements étant supprimés, $\sum F = 0$ : le palet se déplace en ligne droite à vitesse constante, illustrant le principe d'inertie.

7.4.2 Deuxième loi : principe fondamental de la dynamique

◆Théorème 7.14Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures $\sum F$ appliquées à un système est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement :

$\sum F = \frac{d p}{d t} .$

Si la masse $m$ du système est constante, $p = m v$ et l'on retrouve :

$\sum F = m \frac{d v}{d t} = m a .$

La deuxième loi montre qu'une force est la cause d'une variation de vitesse : le vecteur accélération $a$ a même direction et même sens que la somme des forces $\sum F$ . Elle généralise et contient la première loi (cas $\sum F = 0 \Rightarrow a = 0$ ).

Méthode : Appliquer la deuxième loi de Newton

Définir le système étudié et le référentiel (galiléen).
Faire le bilan des forces extérieures s'exerçant sur le système.
Écrire la deuxième loi : $\sum F = m a$ .
Projeter cette relation vectorielle sur les axes du repère.
Résoudre pour obtenir l'accélération, puis, par intégration, la vitesse et la position.

Exemple 7.15Chute libre

Un objet en chute libre n'est soumis qu'à son poids $P = m g$ . La deuxième loi donne :

$m g = m a ⟹ a = g .$

L'accélération est indépendante de la masse : tous les corps tombent de la même façon dans le vide, avec $a = g \approx 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

7.4.3 Troisième loi : actions réciproques

◆Théorème 7.16Troisième loi de Newton (actions réciproques)

Lorsqu'un corps $A$ exerce sur un corps $B$ une force $F_{A / B}$ , alors le corps $B$ exerce simultanément sur le corps $A$ une force $F_{B / A}$ telle que :

$F_{A / B} = - F_{B / A} .$

Ces deux forces ont la même droite d'action, la même norme, des sens opposés ; elles s'appliquent sur des corps différents (elles ne se compensent donc pas).

Exemple 7.17Propulsion

Quand un nageur pousse l'eau vers l'arrière (force $F_{nageur/eau}$ ), l'eau le pousse vers l'avant avec une force opposée $F_{eau/nageur}$ qui le propulse. De même, les gaz éjectés par un moteur de fusée exercent en réaction une poussée vers le haut sur la fusée.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices