L'équation de d'Alembert

Une onde est la propagation, sans transport de matière, d'une perturbation d'un milieu. La note d'une corde de guitare, le son qui remplit une salle de concert, la lumière d'une étoile lointaine : trois phénomènes apparemment sans lien commun. Pourtant, dans chacun d'eux, une même grandeur $s(x,t)$ — le déplacement de la corde, la surpression de l'air, un champ électrique — obéit à une seule et même équation aux dérivées partielles, l'équation de d'Alembert

$$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}.$$

Le nombre $c$, homogène à une vitesse, s'appelle la célérité : c'est la vitesse à laquelle la perturbation se déplace dans le milieu. Ce chapitre établit cette équation dans trois contextes — la corde vibrante, l'acoustique dans un fluide, l'électromagnétisme dans le vide — puis en explore les solutions : ondes progressives, ondes planes harmoniques et ondes stationnaires. L'unité de la démarche est le message essentiel : la même physique se cache derrière la même équation.

1.1 La corde vibrante

1.1.1 Modèle et hypothèses

On considère une corde inextensible, homogène, de masse linéique $\mu$ (en $kg.m^{-1}$), tendue horizontalement le long de l'axe $Ox$ avec une tension au repos $T_0$. On étudie ses petits mouvements transverses : chaque point d'abscisse $x$ se déplace verticalement d'une quantité $y(x,t)$, sans mouvement longitudinal appréciable.

1.1.2 Établissement de l'équation

Isolons l'élément de corde compris entre les abscisses $x$ et $x+\mathrm{d}x$. Sa masse est $\mathrm{d}m=\mu \mathrm{d}x$. Il subit la tension de la partie gauche, $-\overrightarrow{T}(x,t)$, et celle de la partie droite, $\overrightarrow{T}(x+\mathrm{d}x,t)$ (on néglige le poids devant les forces de tension). La projection sur l'axe vertical du principe fondamental de la dynamique donne

$$\mu \mathrm{d}x\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T_0\sin \alpha (x+\mathrm{d}x,t)-T_0\sin \alpha (x,t).$$

Avec $\sin \alpha \approx \frac{\partial y}{\partial x}$ et un développement au premier ordre en $\mathrm{d}x$ :

$$T_0[\frac{\partial y}{\partial x}(x+\mathrm{d}x)-\frac{\partial y}{\partial x}(x)]=T_0\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\mathrm{d}x.$$

En égalant et en simplifiant par $\mathrm{d}x$, on obtient l'équation de d'Alembert :

1.2 Ondes longitudinales dans une tige solide

La corde vibre transversalement. Un solide déformable transmet aussi des ondes longitudinales : chaque tranche se déplace le long de la direction de propagation, en comprimant et dilatant tour à tour le matériau. C'est le mode de propagation du son dans les barres métalliques.

1.2.1 Élasticité d'un solide : module d'Young et loi de Hooke

1.2.2 Établissement de l'équation d'onde

On note $u(x,t)$ le déplacement longitudinal de la tranche de tige située au repos en $x$. L'allongement local d'une tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ est $u(x+\mathrm{d}x)-u(x)$, soit une déformation $\epsilon (x,t)=\frac{\partial u}{\partial x}$. La loi de Hooke donne la force exercée par la matière située à droite de la section d'abscisse $x$ :

$$F(x,t)=S\sigma =SE\frac{\partial u}{\partial x}.$$

La célérité obéit encore à la règle universelle : $c=\sqrt{\text{raideur}/\text{inertie}}$, la raideur étant ici le module d'Young $E$ et l'inertie la masse volumique $\rho$. Pour l'acier ($E=2.0\times 10^{11}Pa$, $\rho =7800kg.m^{-3}$), $c\approx 5.1\times 10^{3}m/s$, quinze fois la célérité du son dans l'air.

1.2.3 Modèle microscopique : la chaîne d'atomes

D'où vient l'élasticité macroscopique ? À l'échelle atomique, un solide est un empilement régulier d'atomes reliés par les liaisons interatomiques, que l'on modélise par des ressorts de raideur $K$ au voisinage de la position d'équilibre. On considère une chaîne unidimensionnelle d'atomes de masse $m$, espacés au repos de la distance $a$ (figure fig:chaine).

Figure : Chaîne linéaire d'atomes de masse $m$ espacés de $a$, reliés par des ressorts

de raideur $K$ modélisant les liaisons interatomiques. $u_n(t)$ est le déplacement longitudinal de l'atome $n$.</div>

Démonstration (De la chaîne d'atomes au module d'Young)

L'atome $n$, de position au repos $x_n=na$ et de déplacement $u_n(t)$, est soumis aux forces de rappel de ses deux voisins :

$$m{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-u_n)-K(u_n-u_{n-1})=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}).$$

Dans l'approximation des milieux continus (longueur d'onde $\gg a$), on pose $u_n(t)\to u(x,t)$ avec $x=na$, et l'on développe

$$u_{n\pm 1}=u(x\pm a)\approx u\pm a\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{a^2}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},$$

d'où $u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\approx a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$. L'équation devient

$$m\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=K{a}^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}⟺\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2},c=a\sqrt{\frac{K}{m}}.$$

ImportantModule d'Young et grandeurs microscopiques

En identifiant cette célérité à $c=\sqrt{E/\rho }$ du modèle continu, avec pour une maille cubique de côté $a$ la masse volumique $\rho =m/a^3$, on obtient

$$\frac{E}{\rho }=\frac{K{a}^2}{m}⟹\boxed{E=\frac{K}{a}}$$

Le module d'Young est le rapport de la raideur d'une liaison interatomique à la distance interatomique. Un solide est d'autant plus rigide (E grand) que ses liaisons sont raides (K grand) et courtes (a petit). Ordre de grandeur : avec $K\sim 50N/m$ et $a\sim 0.3nm$, on trouve $E\sim 10^{11}Pa$, conforme aux solides usuels.

1.3 Les ondes acoustiques dans un fluide

1.3.1 Approximation acoustique

Un son est une petite perturbation d'un fluide au repos. On note les grandeurs à l'équilibre ${\rho }_0$ (masse volumique), $P_0$ (pression), et la vitesse nulle. Le passage de l'onde crée trois champs de faible amplitude : la surpression $p(x,t)=P-P_0$, l'excès de masse volumique ${\mu }_1=\rho -{\rho }_0$, et la vitesse particulaire $\overrightarrow{v}=v(x,t){\overrightarrow{e}}_x$.

Définition 1.3Approximation acoustique

On suppose que les champs $p$, ${\mu }_1$ et $v$ sont des infiniment petits du premier ordre : $\frac{p}{P_0}\ll 1$, $\frac{{\mu }_1}{{\rho }_0}\ll 1$, et $v\ll c$. On linéarise alors les équations en ne conservant que les termes du premier ordre. L'évolution est adiabatique et réversible, caractérisée par le coefficient de compressibilité isentropique

$${\chi }_S=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S=\frac{1}{{\rho }_0}{\left(\frac{\partial \rho }{\partial P}\right)}_S.$$

1.3.2 Les trois équations linéarisées

On établit trois relations, chacune au premier ordre.

(1) Équation d'Euler linéarisée. Le PFD sur une particule de fluide, $\rho \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P$, devient au premier ordre (le terme convectif $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$ est du second ordre) :

$${\rho }_0\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}.$$

(2) Conservation de la masse linéarisée. $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \overrightarrow{v})=0$ donne au premier ordre :

$$\frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

(3) Relation thermodynamique. La définition de ${\chi }_S$ relie surpression et excès de masse volumique :

$${\mu }_1={\rho }_0{\chi }_{S}p.$$

Démonstration (Combinaison des trois équations)

On injecte (3) dans (2) : ${\rho }_0{\chi }_S\frac{\partial p}{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial v}{\partial x}=0$, soit

$${\chi }_S\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\text{\hspace{1em}(2’)}$$

On dérive (1) par rapport à $x$ et (2') par rapport à $t$ :

$${\rho }_0\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial t}=-\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2},{\chi }_S\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t\partial x}.$$

En éliminant la dérivée croisée de $v$, il vient $\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}={\rho }_0{\chi }_S\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}$.

◆Théorème 1.4Équation d'onde acoustique

La surpression $p(x,t)$ (et de même $v$, ${\mu }_1$) obéit à l'équation de d'Alembert

$$\boxed{\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}}\text{avec}c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}}.$$

En dimension trois, l'opérateur $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ se généralise en laplacien : $\Delta p=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}$.

Proposition 1.5Célérité dans un gaz parfait

Pour un gaz parfait de coefficient $\gamma =C_p/C_V$, la transformation isentropique donne ${\chi }_S=1/(\gamma P_0)$, d'où

$$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}.$$

La célérité ne dépend que de la température (et non de la pression). Dans l'air à $20°C$ : $c\approx 343m.s^{-1}$.

1.3.3 Onde plane progressive harmonique et impédance acoustique

Cherchons une onde plane progressive harmonique se propageant vers les $x$ croissants : $p(x,t)=p_0\cos (\omega t-kx)$, avec $\omega =ck$. L'équation d'Euler (1) impose alors une vitesse $v(x,t)=\frac{k}{{\rho }_0\omega }{p}_0\cos (\omega t-kx)=\frac{p}{{\rho }_{0}c}$ : les champs $p$ et $v$ sont en phase, et l'onde est longitudinale ($\overrightarrow{v}\parallel {\overrightarrow{e}}_x\parallel$ direction de propagation).

Définition 1.6Impédance acoustique

Pour une onde plane progressive harmonique, le rapport de la surpression à la vitesse particulaire est une constante caractéristique du milieu, l'impédance acoustique

$$Z=\frac{p}{v}={\rho }_{0}c(\text{en }kg.m^{-2}.s^{-1}\text{, ou rayl}).$$

Pour une onde régressive ($x$ décroissants), $p/v=-{\rho }_{0}c$. L'impédance de l'air vaut $Z_{\text{air}}\approx 400rayl$, celle de l'eau $Z_{\text{eau}}\approx 1.5\times 10^{6}rayl$.

1.3.4 Énergie acoustique et niveau sonore

On admet les expressions de la densité volumique d'énergie acoustique et du vecteur densité de courant énergétique (analogue du vecteur de Poynting) :

$$e=\frac{1}{2}{\rho }_0{v}^2+\frac{1}{2}{\chi }_S{p}^2,\overrightarrow{ȷ}=p\overrightarrow{v}.$$

Ces deux grandeurs vérifient un bilan local de conservation $\frac{\partial e}{\partial t}+\mathrm{div}\overrightarrow{ȷ}=0$ en l'absence de dissipation. Pour une onde plane progressive harmonique, la moyenne temporelle du flux surfacique définit l'intensité sonore.

Définition 1.7Intensité et niveau sonore

L'intensité sonore est le flux énergétique moyen par unité de surface :

$$I=⟨\overrightarrow{ȷ}⟩\cdot {\overrightarrow{e}}_x=⟨pv⟩=\frac{p_0^2}{2{\rho }_{0}c}=\frac{1}{2}{\rho }_{0}c{v}_0^2(W.m^{-2}).$$

Le niveau sonore en décibels se définit par rapport au seuil de référence $I_0=10^{-12}W.m^{-2}$ :

$$L_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right).$$

Exemple 1.8Quelques ordres de grandeur

Seuil d'audition : $0dB$ ($I_0$). Conversation : $60dB$. Rue passante : $80dB$. Concert / seuil de douleur : $120dB$ ($I=1W.m^{-2}$). Une multiplication de $I$ par $10$ ajoute $10dB$ ; par $2$, environ $3dB$.

iRemarqueOnde sphérique

Loin d'une source ponctuelle, la surpression prend la forme $p(r,t)=\frac{A}{r}\cos (\omega t-kr)$. La puissance totale traversant une sphère de rayon $r$ étant conservée, $\mathcal{P}=I\times 4\pi r^2$ est indépendante de $r$ ; comme $I\propto p_0^2$, l'amplitude décroît nécessairement en $1/r$.

1.4 Les ondes électromagnétiques dans le vide

1.4.1 Des équations de Maxwell à d'Alembert

Dans une région du vide sans charges ni courants ($\rho =0$, $\overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{0}$), les équations de Maxwell s'écrivent

$$\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0,\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell--Faraday :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}.$$

On utilise l'identité $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}$. Comme $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$, il reste

$$\Delta \overrightarrow{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}.$$

Un calcul identique à partir de Maxwell--Ampère donne la même équation pour $\overrightarrow{B}$.

◆Théorème 1.9Équations de propagation dans le vide

Chaque composante des champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ vérifie l'équation de d'Alembert

$$\boxed{\Delta \overrightarrow{E}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2},\Delta \overrightarrow{B}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}}\text{avec}c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\approx 3.00\times 10^{8}m.s^{-1}.$$

Le champ électromagnétique se propage dans le vide à la vitesse de la lumière $c$, la même pour tous les observateurs.

1.4.2 Structure de l'onde plane progressive

Considérons une onde plane progressive se propageant selon $\overrightarrow{k}=k{\overrightarrow{e}}_x$, dont les champs ne dépendent que de $x$ et $t$. La divergence nulle $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}=0$ impose $E_x=0$ (à une constante statique près) : le champ électrique est transverse. Il en va de même pour $\overrightarrow{B}$.

Proposition 1.10Structure de l'onde plane progressive

Pour une onde plane progressive se propageant selon le vecteur unitaire $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{k}/k$ :

• les champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ sont transverses : $\overrightarrow{E}\perp \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{B}\perp \overrightarrow{u}$ ;
• ils sont mutuellement orthogonaux et forment le trièdre direct $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{u})$ ;
• ils sont en phase et liés par

$$\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}}{c},\Vert \overrightarrow{E}\Vert =c\Vert \overrightarrow{B}\Vert .$$

iRemarqueAspects énergétiques

Le vecteur de Poynting $\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{{\mu }_0}$ est dirigé selon $\overrightarrow{u}$ : l'énergie se propage dans le sens de l'onde. Sa moyenne temporelle vaut $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_0^2\overrightarrow{u}$. Ordre de grandeur : le flux solaire au sol est d'environ $1kW.m^{-2}$, ce qui correspond à un champ $E_0\sim 10^{3}V.m^{-1}$.

1.4.3 Polarisation des ondes électromagnétiques

Le champ électrique d'une onde plane progressive harmonique est transverse : il vit dans le plan $({\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ orthogonal à la direction ${\overrightarrow{e}}_x$ de propagation. La donnée de ses deux composantes définit l'état de polarisation de l'onde, c'est-à-dire la courbe que décrit l'extrémité de $\overrightarrow{E}$ au cours du temps en un point fixe :

$$\overrightarrow{E}(x,t)=E_{0y}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y+E_{0z}\cos (\omega t-kx+\phi ){\overrightarrow{e}}_z.$$

Définition 1.11États de polarisation

Selon le déphasage $\phi$ entre les deux composantes et leurs amplitudes :

• rectiligne si $\phi =0$ ou $\pi$ : $\overrightarrow{E}$ garde une direction fixe, son extrémité décrit un segment ;
• circulaire si $\phi =\pm \pi /2$ et $E_{0y}=E_{0z}$ : l'extrémité décrit un cercle (sens droite ou gauche selon le signe) ;
• elliptique dans le cas général : l'extrémité décrit une ellipse.

La lumière naturelle (soleil, lampe) est non polarisée : $\phi$ fluctue aléatoirement et aucune direction n'est privilégiée.

Figure : États de polarisation : courbe décrite par l'extrémité de $\overrightarrow{E}$ dans le plan

transverse. La polarisation rectiligne et la polarisation circulaire sont des cas particuliers de la polarisation elliptique.</div>

ImportantLoi de Malus

Un polariseur ne laisse passer que la composante du champ parallèle à son axe. Une lumière polarisée rectilignement d'intensité $I_0$, traversant un analyseur dont l'axe fait l'angle $\theta$ avec la direction de polarisation, en ressort avec l'intensité

$$\boxed{I=I_0{\cos }^2\theta }$$

(la composante transmise est $E_0\cos \theta$, et $I\propto E^2$). En tournant l'analyseur, l'intensité passe par un maximum ($\theta =0$) et s'annule ($\theta =\pi /2$, extinction) : ce comportement distingue une lumière polarisée d'une lumière naturelle (qui, elle, donne une intensité $I_0/2$ indépendante de $\theta$).

Méthode : Lames à retard : quart d'onde et demi-onde

Une lame biréfringente introduit un déphasage $\phi$ entre les deux composantes du champ le long de ses axes propres (dits « lent » et « rapide ») :

• la lame demi-onde ($\phi =\pi$) transforme une polarisation rectiligne en polarisation rectiligne symétrique par rapport à ses axes : elle fait tourner la direction de polarisation de $2\alpha$ si celle-ci fait l'angle $\alpha$ avec l'axe de la lame ;
• la lame quart d'onde ($\phi =\pi /2$) transforme une polarisation rectiligne à $45^{\circ }$ de ses axes en polarisation circulaire, et réciproquement. Éclairée à un autre angle, elle produit une polarisation elliptique.

Associées à un polariseur, ces lames permettent de produire et d'analyser tout état de polarisation d'une lumière totalement polarisée.

iRemarque

À ne pas confondre avec le théorème de Malus de l'optique géométrique (orthogonalité des rayons et des surfaces d'onde), présenté dans le livre Optique ondulatoire : il s'agit d'un autre résultat, dû au même auteur.

1.5 Les solutions de l'équation de d'Alembert

1.5.1 Ondes progressives : solution de d'Alembert

◆Théorème 1.12Solution générale de d'Alembert

La solution générale de $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}$ s'écrit comme la superposition de deux ondes progressives de célérité $c$ :

$$s(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct),$$

où $f$ et $g$ sont deux fonctions arbitraires (de classe ${\mathcal{C}}^2$), déterminées par les conditions initiales.

Démonstration (Changement de variables)

Posons $u=x-ct$ et $w=x+ct$. Alors $\frac{\partial }{\partial x}={\partial }_u+{\partial }_w$ et $\frac{\partial }{\partial t}=c(-{\partial }_u+{\partial }_w)$. On calcule

$$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}=s_{uu}+2s_{uw}+s_{ww},\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=s_{uu}-2s_{uw}+s_{ww}.$$

L'équation devient $4s_{uw}=0$, soit $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}=0$. En intégrant, $s$ est la somme d'une fonction de $u$ seul et d'une fonction de $w$ seul : $s=f(u)+g(w)$.

La fonction $f(x-ct)$ représente une perturbation de forme invariable qui se translate vers les $x$ croissants à la vitesse $c$ : à l'instant $t$, le profil est celui de $t=0$ décalé de $ct$.

1.5.2 Ondes planes progressives harmoniques

Un cas fondamental est celui d'un profil sinusoïdal. En notation réelle :

$$s(x,t)=s_0\cos (\omega t-kx+\phi ),$$

avec la pulsation $\omega =2\pi /T$, le nombre d'onde $k=2\pi /\lambda$, et la relation de dispersion imposée par d'Alembert

$$\omega =ck.$$

Définition 1.13Vitesse de phase et notation complexe

La vitesse de phase $v_{\phi }=\omega /k=c$ est la vitesse de propagation d'un point de phase constante. En notation complexe, on pose $\underline{s}=\underline{s_0}{\mathrm{e}}^{i(\omega t-kx)}$ avec $\underline{s_0}=s_0{\mathrm{e}}^{i\phi }$ ; les dérivations deviennent ${\partial }_t\to i\omega$ et ${\partial }_x\to -ik$, ce qui simplifie considérablement les calculs.

ImportantMilieu non dispersif

L'équation de d'Alembert donne $\omega =ck$ : la vitesse de phase $c$ est indépendante de la fréquence. Toutes les harmoniques d'un signal voyagent à la même vitesse, si bien qu'un paquet d'ondes se propage sans se déformer. Un tel milieu est dit non dispersif. Grâce à l'analyse de Fourier, toute onde non harmonique se décompose en somme d'ondes planes progressives harmoniques, et le principe de superposition (équation linéaire) permet de reconstruire la solution.

1.5.3 Ondes stationnaires et modes propres

Lorsqu'une onde est confinée entre deux bords réfléchissants, les ondes progressive et régressive se superposent en une onde stationnaire, dont on cherche les solutions à variables séparées $s(x,t)=F(x)G(t)$.

Proposition 1.14Onde stationnaire

Une onde stationnaire s'écrit comme le produit d'une fonction d'espace par une fonction du temps :

$$s(x,t)=[A\cos (kx)+B\sin (kx)]\cos (\omega t+\varphi ),\omega =ck.$$

Contrairement à une onde progressive, l'espace et le temps n'y sont pas couplés : tous les points vibrent en phase (ou en opposition), avec une amplitude fixée par $x$. Les points d'amplitude nulle sont les nœuds, ceux d'amplitude maximale les ventres.

Méthode : Modes propres d'une corde fixée aux deux bouts

Une corde de longueur $L$ fixée en $x=0$ et $x=L$ impose les conditions aux limites $y(0,t)=0$ et $y(L,t)=0$.

• $y(0,t)=0$ donne $A=0$, d'où $y=B\sin (kx)\cos (\omega t+\varphi )$.
• $y(L,t)=0$ impose $\sin (kL)=0$, soit $kL=n\pi$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Le nombre d'onde et les fréquences sont donc quantifiés :

$$k_n=\frac{n\pi }{L},{\lambda }_n=\frac{2L}{n},f_n=\frac{c}{{\lambda }_n}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T_0}{\mu }}=n{f}_1.$$

Définition 1.15Mode propre, fondamental et harmoniques

Chaque entier $n$ définit un mode propre de profil $y_n(x)=B_n\sin (n\pi x/L)$ vibrant à la fréquence $f_n=n{f}_1$. Le mode $n=1$ est le fondamental (fréquence $f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{T_0/\mu }$), les modes $n\ge 2$ sont les harmoniques. Le mode $n$ possède $n$ ventres et $n+1$ nœuds (dont les extrémités). Le mouvement général de la corde est une superposition de ses modes propres.

iRemarqueCorde de Melde

Si l'on excite une corde tendue par un vibreur à fréquence réglable, on observe des résonances : l'amplitude devient très grande chaque fois que la fréquence d'excitation coïncide avec une fréquence propre $f_n$. On visualise alors nettement les $n$ ventres du mode. C'est l'expérience de la corde de Melde.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Équation de d'Alembert. $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}$ (généralisée : $\Delta s=\frac{1}{c^2}{\partial }_t^{2}s$). Elle décrit une propagation non dispersive à la célérité $c$.

Trois célérités.

• Corde vibrante : $c=\sqrt{T_0/\mu }$ (rappel = tension, inertie = masse linéique).
• Acoustique : $c=1/\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}$ ; gaz parfait $c=\sqrt{\gamma RT/M}$ ($\approx 343m.s^{-1}$ dans l'air).
• Électromagnétisme dans le vide : $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}\approx 3.0\times 10^{8}m.s^{-1}$.

Acoustique. Trois équations linéarisées (Euler, conservation de la masse, ${\mu }_1={\rho }_0{\chi }_{S}p$) $\Rightarrow$ d'Alembert. Impédance $Z=p/v={\rho }_{0}c$. Intensité $I=\frac{p_0^2}{2{\rho }_{0}c}$ ; niveau $L_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}(I/I_0)$, $I_0=10^{-12}W.m^{-2}$.

Onde EM plane progressive. Trièdre direct $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{u})$, transverse, $\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}}{c}$, $\Vert E\Vert =c\Vert B\Vert$. Vecteur de Poynting $\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{{\mu }_0}$ selon $\overrightarrow{u}$.

Solutions. Générale : $s=f(x-ct)+g(x+ct)$. Harmonique : $s_0\cos (\omega t-kx)$, $\omega =ck$, $v_{\phi }=c$. Stationnaire : $F(x)G(t)$ ; corde fixée $\Rightarrow$ quantification $k_n=n\pi /L$, $f_n=n{f}_1$, $f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{T_0/\mu }$.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.16Vérifier qu'une fonction est solution

Montrer que $s(x,t)=s_0{\mathrm{e}}^{-(x-ct{)}^2/a^2}$ (gaussienne se propageant) est solution de l'équation de d'Alembert. Interpréter.

Démonstration

Posons $u=x-ct$ ; alors $s=s_0{\mathrm{e}}^{-u^2/a^2}$ avec ${\partial }_{x}u=1$ et ${\partial }_{t}u=-c$. On a ${\partial }_{x}s=s^{\prime }(u)$ et ${\partial }_x^{2}s=s^{\prime \prime }(u)$ ; de même ${\partial }_{t}s=-c{s}^{\prime }(u)$ et ${\partial }_t^{2}s=c^2{s}^{\prime \prime }(u)$. Donc ${\partial }_x^{2}s=s^{\prime \prime }(u)$ et $\frac{1}{c^2}{\partial }_t^{2}s=s^{\prime \prime }(u)$ : l'équation est vérifiée pour toute fonction de $u=x-ct$. La gaussienne se translate sans déformation à la vitesse $c$ (milieu non dispersif).

Exemple 1.17Célérité et température

Le son parcourt $343m.s^{-1}$ dans l'air à $20°C$. Quelle est sa célérité à $-10°C$ (avion en altitude) ?

Démonstration

Pour un gaz parfait, $c=\sqrt{\gamma RT/M}\propto \sqrt{T}$ (avec $T$ en kelvins). Ainsi

$$\frac{c_2}{c_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\sqrt{\frac{263}{293}}=0,948,$$

d'où $c_2=343\times 0,948\approx 325m.s^{-1}$. Le son est plus lent dans l'air froid.

Exemple 1.18Addition de deux sources sonores

Deux haut-parleurs identiques produisent chacun $70dB$ en un point. Quel est le niveau résultant s'ils émettent des sons incohérents ?

Démonstration

Pour des sources incohérentes, les intensités s'ajoutent : $I_{\text{tot}}=2I$. Or

$$L_{\text{tot}}=10{\log }_{10}\frac{2I}{I_0}=10{\log }_{10}2+10{\log }_{10}\frac{I}{I_0}=3,0+70=73dB.$$

Doubler la puissance sonore n'ajoute que $3dB$ : l'oreille est loin d'un capteur linéaire.

Exemple 1.19Impédance et vitesse particulaire

Une onde sonore dans l'air ($Z=400rayl$) a une amplitude de surpression $p_0=2\times 10^{-2}Pa$ (parole courante). Calculer l'amplitude de vitesse particulaire $v_0$ et l'intensité $I$.

Démonstration

Par définition de l'impédance, $v_0=p_0/Z=\frac{2\times 10^{-2}}{400}=5\times 10^{-5}m.s^{-1}$, soit $50\mu m.s^{-1}$ : un déplacement infime. L'intensité vaut

$$I=\frac{p_0^2}{2{\rho }_{0}c}=\frac{p_0^2}{2Z}=\frac{(2\times 10^{-2}{)}^2}{2\times 400}=5\times 10^{-7}W.m^{-2},$$

soit $L=10{\log }_{10}(5\times 10^{-7}/10^{-12})\approx 57dB$, cohérent avec une conversation.

Exemple 1.20Fréquence fondamentale d'une corde de guitare

Une corde de guitare de longueur $L=65cm$, de masse linéique $\mu =5.0\times 10^{-3}kg.m^{-1}$, est accordée sur $f_1=110Hz$ (La${}_2$). Quelle tension $T_0$ faut-il appliquer ?

Démonstration

La fréquence fondamentale vaut $f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{T_0/\mu }$, d'où $T_0=\mu (2L{f}_1{)}^2$. Numériquement, $2L{f}_1=2\times 0,65\times 110=143m.s^{-1}$ (la célérité), donc

$$T_0=5,0\times 10^{-3}\times 143^2\approx 102N.$$

Une centaine de newtons, cohérente avec la tension réelle d'une corde de guitare.

Exemple 1.21Relation $E$-$B$ dans une onde plane

Une onde EM plane se propage selon ${\overrightarrow{e}}_x$ avec $\overrightarrow{E}=E_0\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$. Déterminer $\overrightarrow{B}$ et vérifier le trièdre.

Démonstration

La structure de l'onde plane progressive donne $\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}}{c}$ avec $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{e}}_x$. Or ${\overrightarrow{e}}_x\wedge {\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_z$, donc

$$\overrightarrow{B}=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z.$$

Le trièdre $({\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z,{\overrightarrow{e}}_x)=(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{u})$ est direct, les champs sont transverses et en phase, et $\Vert E\Vert =c\Vert B\Vert$. Le vecteur de Poynting $\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{{\mu }_0}\propto {\overrightarrow{e}}_y\wedge {\overrightarrow{e}}_z={\overrightarrow{e}}_x$ pointe bien dans le sens de propagation.

1.8 Exercices d'entraînement

• Homogénéité. Vérifier par analyse dimensionnelle que $\sqrt{T_0/\mu }$, $1/\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}$ et $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ sont bien homogènes à une vitesse.

• Solution de d'Alembert. Une corde infinie a pour profil initial $y(x,0)=A{\mathrm{e}}^{-x^2/a^2}$ et une vitesse initiale nulle ${\partial }_{t}y(x,0)=0$. Montrer que $y(x,t)=\frac{A}{2}[{\mathrm{e}}^{-(x-ct{)}^2/a^2}+{\mathrm{e}}^{-(x+ct{)}^2/a^2}]$ : la bosse se sépare en deux impulsions se propageant en sens opposés.

• Corde pincée. Une corde de longueur $L$ vibre sur son mode $n=3$. Combien de nœuds et de ventres compte-t-elle ? Placer leurs abscisses.

• Fréquences propres. Une corde de $f_1=200Hz$ est effleurée en son milieu (nœud imposé en $x=L/2$). Quels modes survivent ? En déduire les trois premières fréquences audibles.

• Célérité dans un solide. Le module d'Young de l'acier est $E=2.0\times 10^{11}Pa$ et sa masse volumique $\rho =7800kg.m^{-3}$. Sachant que la célérité des ondes longitudinales vaut $c=\sqrt{E/\rho }$, la calculer et comparer à celle du son dans l'air.

• Niveau sonore. Un marteau-piqueur émet $100dB$ à $1m$. En supposant une onde sphérique, à quelle distance le niveau tombe-t-il à $70dB$ ? (indice : $I\propto 1/r^2$).

• Compressibilité de l'eau. L'eau a $c=1500m.s^{-1}$ et ${\rho }_0=1000kg.m^{-3}$. En déduire ${\chi }_S$ puis l'impédance $Z$, et commenter le contraste air/eau.

• Approximation acoustique. Estimer l'ordre de grandeur de $p_0/P_0$ pour un son de $60dB$ dans l'air ($P_0=1\times 10^{5}Pa$). Justifier a posteriori la linéarisation.

• Onde stationnaire acoustique. Un tuyau de longueur $L$ ouvert aux deux extrémités impose des nœuds de surpression aux bords. Adapter le raisonnement de la corde pour trouver les fréquences propres $f_n=nc/2L$.

• Vecteur de Poynting. Pour l'onde de l'exercice résolu (relation $E$-$B$), calculer $\overrightarrow{\Pi }(x,t)$ puis sa moyenne temporelle $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩$ en fonction de $E_0$, ${\epsilon }_0$ et $c$.

• Laser. Un laser hélium-néon délivre $1mW$ sur un faisceau de $1mm$ de diamètre. Calculer l'intensité surfacique moyenne puis l'amplitude $E_0$ du champ électrique.

• Superposition et battements. Deux ondes harmoniques de même amplitude et de fréquences voisines $f$ et $f+\delta f$ ($\delta f\ll f$) se superposent en un point. Montrer, en notation réelle, que l'amplitude résultante est modulée à la fréquence $\delta f/2$ (phénomène de battements) et donner la période d'extinction du son.

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