L'équation de d'Alembert

Cours · physique des ondes 2 (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde est la propagation, sans transport de matière, d'une perturbation d'un milieu. La note d'une corde de guitare, le son qui remplit une salle de concert, la lumière d'une étoile lointaine : trois phénomènes apparemment sans lien commun. Pourtant, dans chacun d'eux, une même grandeur $s (x, t)$ — le déplacement de la corde, la surpression de l'air, un champ électrique — obéit à une seule et même équation aux dérivées partielles, l'équation de d'Alembert

$\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} .$

Le nombre $c$ , homogène à une vitesse, s'appelle la célérité : c'est la vitesse à laquelle la perturbation se déplace dans le milieu. Ce chapitre établit cette équation dans quatre contextes — la corde vibrante, la tige solide, l'acoustique dans un fluide, l'électromagnétisme dans le vide — puis en explore les solutions : ondes progressives, ondes planes harmoniques et ondes stationnaires. L'unité de la démarche est le message essentiel : la même physique se cache derrière la même équation.

1.1 La corde vibrante

1.1.1 Modèle et hypothèses

On considère une corde infiniment souple, inextensible, homogène, de masse linéique $μ$ (en $k g . m^{- 1}$ ), tendue horizontalement le long de l'axe $O x$ avec une tension au repos $T_{0}$ . On étudie ses petits mouvements transverses : chaque point d'abscisse $x$ se déplace verticalement d'une quantité $y (x, t)$ , sans mouvement longitudinal appréciable.

ImportantApproximation des petits mouvements

On suppose l'angle $α (x, t)$ que fait la corde avec l'horizontale petit à tout instant : $∣ α ∣ ≪ 1$ , c'est-à-dire $\frac{\partial y}{\partial x} ≪ 1$ . On peut alors écrire $sin α \approx tan α = \frac{\partial y}{\partial x}$ et $cos α \approx 1$ . La tension, tangente à la corde parce que celle-ci est infiniment souple, conserve sa norme, $T (x, t) \approx T_{0}$ , et le mouvement longitudinal est négligeable.

Figure : Élément de corde compris entre les abscisses

x

x + d x

. Les tensions exercées par les deux parties voisines sont tangentes à la corde ;

α

est l'angle de la tangente avec l'horizontale (exagéré sur la figure). Ici

α (x + d x) < α (x)

: la résultante verticale est dirigée vers le bas, là où la corde est concave.

1.1.2 Établissement de l'équation

Isolons l'élément de corde compris entre les abscisses $x$ et $x + d x$ (figure fig:corde). Sa masse est $d m = μ d x$ . Il subit la tension de la partie gauche, $- T (x, t)$ , et celle de la partie droite, $T (x + d x, t)$ (on néglige le poids devant les forces de tension). La projection sur l'axe vertical du principe fondamental de la dynamique donne

$μ d x \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T_{0} sin α (x + d x, t) - T_{0} sin α (x, t) .$

La projection sur l'axe horizontal, $T_{0} cos α (x + d x, t) - T_{0} cos α (x, t) \approx 0$ au premier ordre, confirme l'absence de mouvement longitudinal. Avec $sin α \approx \frac{\partial y}{\partial x}$ et un développement au premier ordre en $d x$ :

$T_{0} [\frac{\partial y}{\partial x} (x + d x, t) - \frac{\partial y}{\partial x} (x, t)] = T_{0} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} d x .$

En égalant et en simplifiant par $d x$ , on obtient l'équation de d'Alembert :

◆Théorème 1.1Équation de la corde vibrante

Le déplacement transverse $y (x, t)$ d'une corde de masse linéique $μ$ tendue avec la tension $T_{0}$ vérifie, dans l'approximation des petits mouvements,

$\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{T _{0}}{μ} .$

La célérité $c$ croît avec la tension (raideur du milieu) et décroît avec l'inertie linéique $μ$ .

iRemarque

La structure $c = terme de rappel / terme d’inertie$ est universelle : plus le milieu est « raide » et plus il est « léger », plus l'onde va vite. On retrouvera exactement cette logique en acoustique et dans la chaîne d'atomes liés élastiquement.

1.2 Ondes longitudinales dans une tige solide

La corde vibre transversalement. Un solide déformable transmet aussi des ondes longitudinales : chaque tranche se déplace le long de la direction de propagation, en comprimant et dilatant tour à tour le matériau. C'est le mode de propagation du son dans les barres métalliques.

1.2.1 Élasticité d'un solide : module d'Young et loi de Hooke

Définition 1.2Module d'Young

Dans le domaine d'élasticité linéaire, une tige de section $S$ soumise à une contrainte de traction $σ = F / S$ (force par unité de surface) subit un allongement relatif $ε = Δ ℓ / ℓ$ proportionnel à la contrainte : c'est la loi de Hooke

$σ = E ε,$

où $E$ est le module d'Young du matériau (en $P a$ ). $E$ mesure la raideur du solide.

1.2.2 Modèle microscopique : la chaîne d'atomes

D'où vient l'élasticité macroscopique ? À l'échelle atomique, un solide est un empilement régulier d'atomes reliés par les liaisons interatomiques, que l'on modélise par des ressorts de raideur $K$ au voisinage de la position d'équilibre. On considère une chaîne unidimensionnelle d'atomes de masse $m$ , espacés au repos de la distance $a$ (figure fig:chaine).

Figure : Chaîne linéaire d'atomes de masse

m

espacés de

a

, reliés par des ressorts

de raideur $K$ modélisant les liaisons interatomiques. $u_{n} (t)$ est le déplacement

longitudinal de l'atome

n

Démonstration (De la chaîne d'atomes au module d'Young)

L'atome $n$ , de position au repos $x_{n} = na$ et de déplacement $u_{n} (t)$ , est soumis aux forces de rappel de ses deux voisins :

$m u ¨_{n} = K (u_{n + 1} - u_{n}) - K (u_{n} - u_{n - 1}) = K (u_{n + 1} - 2 u_{n} + u_{n - 1}) .$

Considérons une tige de section carrée $S$ faite de chaînes parallèles, une chaîne par carré de côté $a$ , soit $S / a^{2}$ chaînes. Pour l'étirer de façon homogène, chaque ressort s'allonge de $a ε$ et exerce la force $K a ε$ ; la force totale vaut $F = \frac{S}{a ^{2}} K a ε$ , d'où la contrainte $σ = F / S = \frac{K}{a} ε$ .

ImportantModule d'Young et grandeurs microscopiques

Par identification avec la loi de Hooke $σ = E ε$ ,

$E = \frac{K}{a}$

Le module d'Young est le rapport de la raideur d'une liaison interatomique à la distance interatomique. Un solide est d'autant plus rigide ( $E$ grand) que ses liaisons sont raides ( $K$ grand) et courtes ( $a$ petit). Ordre de grandeur : avec $K \sim 50 N / m$ et $a \sim 0, 3 nm$ , on trouve $E \sim 1 0^{11} P a$ , conforme aux solides usuels.

iRemarqueApproximation des milieux continus

Pour une onde de longueur d'onde $λ ≫ a$ , les déplacements de deux atomes voisins diffèrent peu : on pose $u_{n} (t) \to u (x, t)$ avec $x = na$ , et l'on développe $u (x \pm a) \approx u \pm a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{a ^{2}}{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , d'où $u_{n + 1} - 2 u_{n} + u_{n - 1} \approx a^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ et $m \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = K a^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ : une équation de d'Alembert de célérité $c = a K / m$ . Avec $ρ = m / a^{3}$ et $E = K / a$ , c'est exactement la célérité $E / ρ$ du modèle continu établi ci-dessous. Désormais, on traite la tige directement comme un milieu continu.

1.2.3 Établissement de l'équation d'onde

On note $u (x, t)$ le déplacement longitudinal de la tranche de tige située au repos en $x$ . L'allongement local d'une tranche $[x, x + d x]$ est $u (x + d x, t) - u (x, t)$ , soit une déformation $ε (x, t) = \frac{\partial u}{\partial x}$ . La loi de Hooke donne la force exercée par la matière située à droite de la section d'abscisse $x$ sur la matière située à gauche :

$F (x, t) = S σ = S E \frac{\partial u}{\partial x} .$

Démonstration (Équation d'onde longitudinale)

Isolons la tranche $[x, x + d x]$ , de masse $d m = ρ S d x$ ( $ρ$ masse volumique). Elle est tirée à droite par $F (x + d x, t)$ et à gauche par $- F (x, t)$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{x}$ s'écrit

$ρ S d x \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = F (x + d x, t) - F (x, t) = \frac{\partial F}{\partial x} d x = S E \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} d x .$

En simplifiant par $S d x$ , on obtient l'équation de d'Alembert :

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{E}{ρ} .$

La célérité obéit encore à la règle universelle : $c = raideur / inertie$ , la raideur étant ici le module d'Young $E$ et l'inertie la masse volumique $ρ$ . Pour l'acier ( $E = 2, 0 \times 1 0^{11} P a$ , $ρ = 7800 k g . m^{- 3}$ ), $c \approx 5, 1 \times 1 0^{3} m / s$ , quinze fois la célérité du son dans l'air.

1.3 Les ondes acoustiques dans un fluide

1.3.1 Approximation acoustique

Un son est une petite perturbation d'un fluide au repos. On note les grandeurs à l'équilibre $ρ_{0}$ (masse volumique), $P_{0}$ (pression), et la vitesse nulle. Le passage de l'onde crée trois champs de faible amplitude : la surpression $p (x, t) = P - P_{0}$ , l'excès de masse volumique $μ_{1} = ρ - ρ_{0}$ , et la vitesse particulaire $v = v (x, t) e_{x}$ . On décrit le fluide de façon eulérienne : ces champs sont des fonctions de la position $x$ fixe et du temps.

Définition 1.3Approximation acoustique

On suppose que les champs $p$ , $μ_{1}$ et $v$ sont des infiniment petits du premier ordre : $\frac{∣ p ∣}{P _{0}} ≪ 1$ , $\frac{∣ μ _{1} ∣}{ρ _{0}} ≪ 1$ , et $∣ v ∣ ≪ c$ . On linéarise alors les équations en ne conservant que les termes du premier ordre. L'évolution est adiabatique et réversible, caractérisée par le coefficient de compressibilité isentropique

$χ_{S} = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_{S} = \frac{1}{ρ _{0}} (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} .$

iRemarqueDomaines fréquentiels des ondes acoustiques

On classe les ondes acoustiques selon leur fréquence :

infrasons, $f < 20 H z$ : séismes, houle, éléphants ; ils portent très loin ;
sons audibles, de $20 H z$ à $20 k H z$ : voix (quelques centaines de hertz), musique ;
ultrasons, $f > 20 k H z$ : chauves-souris et dauphins (jusqu'à $150 k H z$ environ), sonar, échographie médicale (de $1 M H z$ à $15 M H z$ ).

Dans l'air, $λ = c / f$ va de $17 m$ ( $20 H z$ ) à $1, 7 c m$ ( $20 k H z$ ) : la longueur d'onde du son audible est celle des objets qui nous entourent.

1.3.2 Les trois équations linéarisées

On établit trois relations, chacune au premier ordre.

(1) Équation d'Euler linéarisée. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide, $ρ \frac{d v}{d t} = - grad P$ , devient au premier ordre (le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est du second ordre, et $ρ \approx ρ_{0}$ devant l'accélération) :

$ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x} .$

(2) Conservation de la masse linéarisée. $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ donne au premier ordre :

$\frac{\partial μ _{1}}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0.$

(3) Relation thermodynamique. La définition de $χ_{S}$ relie surpression et excès de masse volumique :

$μ_{1} = ρ_{0} χ_{S} p .$

Démonstration (Combinaison des trois équations)

On injecte (3) dans (2) : $ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ , soit

$χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial v}{\partial x} . (2’)$

On dérive (1) par rapport à $x$ et (2') par rapport à $t$ :

$ρ_{0} \frac{\partial ^{2} v}{\partial x \partial t} = - \frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}}, χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} v}{\partial t \partial x} .$

En éliminant la dérivée croisée de $v$ , il vient $\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} = ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}}$ .

◆Théorème 1.4Équation d'onde acoustique

La surpression $p (x, t)$ (et de même $v$ , $μ_{1}$ ) obéit à l'équation de d'Alembert

$\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{1}{ρ _{0} χ _{S}} .$

En dimension trois, l'opérateur $\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ se généralise en laplacien : $Δ p = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}}$ .

Proposition 1.5Célérité dans un gaz parfait

Pour un gaz parfait de coefficient $γ = C_{p} / C_{V}$ , la transformation isentropique ( $P V^{γ}$ constant) donne $χ_{S} = 1/ (γ P_{0})$ , d'où, avec $ρ_{0} = P_{0} M / (R T)$ ,

$c = \frac{γ P _{0}}{ρ _{0}} = \frac{γ R T}{M} .$

La célérité ne dépend que de la température (et non de la pression). Dans l'air à $20° C$ : $c \approx 343 m . s^{- 1}$ .

1.3.3 Onde plane progressive harmonique et impédance acoustique

Cherchons une onde plane progressive harmonique se propageant vers les $x$ croissants : $p (x, t) = p_{0} cos (ω t - k x)$ , avec $ω = c k$ . L'équation d'Euler (1) impose alors une vitesse $v (x, t) = \frac{k}{ρ _{0} ω} p_{0} cos (ω t - k x) = \frac{p}{ρ _{0} c}$ : les champs $p$ et $v$ sont en phase, et l'onde est longitudinale ( $v ∥ e_{x} ∥$ direction de propagation).

Définition 1.6Impédance acoustique

Pour une onde plane progressive harmonique, le rapport de la surpression à la vitesse particulaire est une constante caractéristique du milieu, l'impédance acoustique

$Z = \frac{p}{v} = ρ_{0} c (en k g . m^{- 2} . s^{- 1}, ou rayl) .$

Pour une onde régressive ( $x$ décroissants), $p / v = - ρ_{0} c$ . L'impédance de l'air à $20° C$ vaut $Z_{air} = 1, 204 \times 343 \approx 413 r a y l$ , celle de l'eau $Z_{eau} \approx 1, 5 \times 1 0^{6} r a y l$ .

1.3.4 Énergie acoustique et niveau sonore

On admet les expressions de la densité volumique d'énergie acoustique et du vecteur densité de courant énergétique (analogue du vecteur de Poynting) :

$e = \frac{1}{2} ρ_{0} v^{2} + \frac{1}{2} χ_{S} p^{2},  = p v .$

Ces deux grandeurs vérifient un bilan local de conservation $\frac{\partial e}{\partial t} + div  = 0$ en l'absence de dissipation. Pour une onde plane progressive harmonique, la moyenne temporelle du flux surfacique définit l'intensité sonore.

Définition 1.7Intensité et niveau sonore

L'intensité sonore est le flux énergétique moyen par unité de surface :

$I = ⟨  ⟩ \cdot e_{x} = ⟨ p v ⟩ = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c} = \frac{1}{2} ρ_{0} c v_{0}^{2} (W . m^{- 2}) .$

Le niveau sonore en décibels se définit par rapport au seuil de référence $I_{0} = 1 0^{- 12} W . m^{- 2}$ :

$L_{dB} = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}}) .$

Exemple 1.8Quelques ordres de grandeur

Seuil d'audition : $0 d B$ ( $I_{0}$ ). Conversation : $60 d B$ . Rue passante : $80 d B$ . Concert / seuil de douleur : $120 d B$ ( $I = 1 W . m^{- 2}$ ). Une multiplication de $I$ par $10$ ajoute $10 d B$ ; par $2$ , environ $3 d B$ .

Méthode : Valider l'approximation acoustique

On compare chaque champ à la grandeur d'équilibre de même nature. Pour un marteau-piqueur à $100 d B$ dans l'air ( $I = 1 0^{- 2} W . m^{- 2}$ , $Z = 413 r a y l$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} P a$ ) :

$p_{0} = 2 Z I \approx 2, 9 P a, \frac{p _{0}}{P _{0}} \approx 3 \times 1 0^{- 5},$

$v_{0} = \frac{p _{0}}{Z} \approx 7 \times 1 0^{- 3} m . s^{- 1} ≪ c, \frac{μ _{1}}{ρ _{0}} = χ_{S} p_{0} = \frac{p _{0}}{γ P _{0}} \approx 2 \times 1 0^{- 5} .$

Même au seuil de douleur ( $120 d B$ ), $p_{0} \approx 29 P a$ et $p_{0} / P_{0} \approx 3 \times 1 0^{- 4}$ : les sons usuels sont des perturbations infimes, et la linéarisation est largement justifiée. Elle tombe pour les ondes de choc (explosions, avions supersoniques), où $p$ devient comparable à $P_{0}$ .

iRemarqueOnde sphérique

Loin d'une source ponctuelle, la surpression prend la forme fournie $p (r, t) = \frac{A}{r} cos (ω t - k r)$ . En l'absence d'absorption, la puissance totale traversant une sphère de rayon $r$ est la même pour toutes les sphères : $P = I \times 4 π r^{2}$ est indépendante de $r$ . Comme $I \propto p_{0}^{2}$ , l'amplitude décroît nécessairement en $1/ r$ : c'est l'argument énergétique qui impose le facteur $1/ r$ .

1.4 Les ondes électromagnétiques dans le vide

1.4.1 Des équations de Maxwell à d'Alembert

Dans une région du vide sans charges ni courants ( $ρ = 0$ , $ = 0$ ), les équations de Maxwell s'écrivent

$div E = 0, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell--Faraday :

$rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

On utilise l'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ . Comme $div E = 0$ , il reste

$Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Un calcul identique à partir du rotationnel de Maxwell--Ampère, avec $div B = 0$ , donne la même équation pour $B$ .

◆Théorème 1.9Équations de propagation dans le vide

Chaque composante cartésienne des champs $E$ et $B$ vérifie l'équation de d'Alembert

$Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}, Δ B = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} \approx 3, 00 \times 1 0^{8} m . s^{- 1} .$

Le champ électromagnétique se propage dans le vide, sans support matériel, à la vitesse de la lumière $c$ .

1.4.2 Structure de l'onde plane progressive

Considérons une onde plane progressive se propageant selon $u = e_{x}$ , dont les champs ne dépendent que de $x$ et $t$ . La divergence nulle $div E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 0$ , jointe à la composante selon $e_{x}$ de Maxwell--Ampère, $\frac{\partial E _{x}}{\partial t} = 0$ , impose $E_{x}$ constante : un champ statique uniforme qui ne participe pas à l'onde, que l'on prend nul. Le champ électrique est transverse. Il en va de même pour $B$ .

Démonstration (Relation de structure)

Pour une onde progressive selon $e_{x}$ , chaque champ est de la forme $E (t - x / c)$ . En notant $^{'}$ la dérivée par rapport à l'argument $τ = t - x / c$ , on a $\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} E^{'}$ et $\frac{\partial B}{\partial t} = B^{'}$ . Comme $E$ ne dépend que de $x$ et $t$ , $rot E = e_{x} \land \frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'}$ , et Maxwell--Faraday donne

$- \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'} = - B^{'} ⟹ B = \frac{e _{x} \land E}{c},$

après intégration (la constante, un champ statique, est écartée).

Proposition 1.10Structure de l'onde plane progressive

Pour une onde plane progressive se propageant selon le vecteur unitaire $u$ :

les champs $E$ et $B$ sont transverses : $E ⊥ u$ et $B ⊥ u$ ;
ils sont mutuellement orthogonaux et forment le trièdre direct $(E, B, u)$ ;
ils sont en phase et liés par

$B = \frac{u \land E}{c}, E = c B .$

Figure : Onde plane progressive harmonique polarisée selon

e_{y}

, à un instant donné :

E

(selon

e_{y}

) et

B

(selon

e_{z}

) sont transverses, en phase, et

(E, B, u)

est direct.

iRemarqueOndes planes progressives non harmoniques

Une onde plane progressive quelconque, de direction $u$ , se décompose par analyse de Fourier en une superposition d'ondes planes progressives harmoniques de même direction $u$ . Chacune vérifie $B = u \land E / c$ ; cette relation étant linéaire, elle vaut pour leur somme. La structure (transversalité, trièdre direct, $E = c B$ ) est donc celle de toute onde plane progressive dans le vide, harmonique ou non.

1.4.3 Aspects énergétiques

Proposition 1.11Vecteur de Poynting d'une onde plane progressive

Avec $B = \frac{u \land E}{c}$ et $E ⊥ u$ , le vecteur de Poynting vaut

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{1}{μ _{0} c} E \land (u \land E) = \frac{E ^{2}}{μ _{0} c} u = ε_{0} c E^{2} u :$

il est dirigé selon la direction de propagation, dans le sens de l'onde. Pour une onde harmonique polarisée rectilignement d'amplitude $E_{0}$ , sa moyenne temporelle est

$⟨ Π ⟩ = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} u = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} u .$

ImportantInterprétation particulaire du flux de Poynting

La lumière est aussi un flux de photons, chacun d'énergie $h ν$ (relation de Planck-Einstein, $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} J . s$ ). Une onde de fréquence $ν$ et d'intensité $I = ⟨ Π ⟩$ transporte donc, par unité de temps et à travers une surface unité normale à $u$ ,

$Φ_{photons} = \frac{I}{h ν} (en photons par m^{2} et par seconde) .$

Pour la lumière solaire ( $1 k W . m^{- 2}$ , photons visibles de $h ν \approx 3, 6 \times 1 0^{- 19} J$ à $550 nm$ ), $Φ \approx 3 \times 1 0^{21} m^{- 2} . s^{- 1}$ : ce nombre gigantesque explique que l'aspect granulaire de la lumière passe inaperçu dans la vie courante, et que la description par des champs continus suffise.

Exemple 1.12Ordres de grandeur de flux et de champs

De $I = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2}$ on tire $E_{0} = 2 I / (ε_{0} c)$ .

Soleil au sol, $I \approx 1 k W . m^{- 2}$ : $E_{0} \approx 870 V . m^{- 1}$ , $B_{0} = E_{0} / c \approx 2, 9 μ T$ .
Laser hélium-néon de $1 mW$ sur un faisceau de $1 m m^{2}$ : $I \approx 1 k W . m^{- 2}$ , autant que le Soleil sur une surface minuscule ; $E_{0} \approx 9 \times 1 0^{2} V . m^{- 1}$ .
Émetteur de radio à quelques kilomètres : $I \sim 1 μ W . m^{- 2}$ , $E_{0} \sim 3 \times 1 0^{- 2} V . m^{- 1}$ .

1.4.4 Polarisation des ondes électromagnétiques

Le champ électrique d'une onde plane progressive harmonique est transverse : il vit dans le plan $(e_{y}, e_{z})$ orthogonal à la direction $e_{x}$ de propagation. La donnée de ses deux composantes définit l'état de polarisation de l'onde, c'est-à-dire la courbe que décrit l'extrémité de $E$ au cours du temps en un point fixe :

$E (x, t) = E_{0 y} cos (ω t - k x) e_{y} + E_{0 z} cos (ω t - k x + φ) e_{z} .$

Définition 1.13États de polarisation

Selon le déphasage $φ$ entre les deux composantes et leurs amplitudes :

rectiligne si $φ = 0$ ou $π$ : $E$ garde une direction fixe, son extrémité décrit un segment ;
circulaire si $φ = \pm π /2$ et $E_{0 y} = E_{0 z}$ : l'extrémité décrit un cercle ;
elliptique dans le cas général : l'extrémité décrit une ellipse, inscrite dans le rectangle de côtés $2 E_{0 y}$ et $2 E_{0 z}$ . Pour $φ = \pm π /2$ , ses axes sont portés par $e_{y}$ et $e_{z}$ .

Le sens de parcours de l'ellipse (ou du cercle) se lit en figeant $x$ et en faisant croître $t$ : pour $0 < φ < π$ , $E$ tourne de $e_{z}$ vers $e_{y}$ ; pour $- π < φ < 0$ , de $e_{y}$ vers $e_{z}$ .

Figure : États de polarisation : courbe décrite, en un point fixe, par l'extrémité de

E

dans le plan transverse (la flèche indique le sens de parcours quand

t

croît). La polarisation rectiligne et la polarisation circulaire sont des cas particuliers de la polarisation elliptique.

iRemarqueLumière naturelle

La lumière naturelle (soleil, lampe) est non polarisée : elle résulte de la superposition d'un très grand nombre de trains d'onde indépendants, dont l'état de polarisation change aléatoirement et très rapidement ; aucune direction n'est privilégiée en moyenne. Une lumière dont $E$ décrit à chaque instant la même courbe (segment, cercle ou ellipse) est dite totalement polarisée.

ImportantLoi de Malus

Un polariseur ne laisse passer que la composante du champ parallèle à son axe. Une lumière polarisée rectilignement d'intensité $I_{0}$ , traversant un analyseur dont l'axe fait l'angle $θ$ avec la direction de polarisation, en ressort avec l'intensité

$I = I_{0} cos^{2} θ$

(la composante transmise est $E_{0} cos θ$ , et $I \propto E^{2}$ ). En tournant l'analyseur, l'intensité passe par un maximum ( $θ = 0$ ) et s'annule ( $θ = π /2$ , extinction) : une extinction signe une polarisation rectiligne, dont elle donne la direction (perpendiculaire à l'axe de l'analyseur).

AttentionLumière naturelle ou lumière circulaire ?

Derrière un analyseur tournant, une lumière naturelle donne une intensité $I_{0} /2$ indépendante de $θ$ . Mais une lumière polarisée circulairement aussi : ses deux composantes ont la même amplitude, et l'intensité derrière l'analyseur vaut $\frac{1}{2} I_{0}$ pour tout $θ$ . Un analyseur seul ne distingue donc pas ces deux lumières : il faut une lame quart d'onde (ci-dessous). Pour la même raison, le vecteur de Poynting d'une onde circulaire, $ε_{0} c E_{0}^{2}$ , ne pulse pas : $E$ est constante.

1.4.5 Lames quart d'onde et demi-onde

Définition 1.14Lame à retard

Une lame biréfringente à faces parallèles possède deux directions privilégiées orthogonales, ses lignes neutres : une onde polarisée selon l'une ou l'autre la traverse sans changer d'état de polarisation, mais avec deux vitesses différentes (axe « lent » et axe « rapide »). Une onde quelconque, décomposée selon les lignes neutres, en ressort avec un déphasage $φ$ supplémentaire entre ses deux composantes, fixé par la lame et la longueur d'onde (admis) :

la lame demi-onde introduit $φ = π$ ;
la lame quart d'onde introduit $φ = π /2$ .

Méthode : Modifier un état de polarisation

On décompose le champ incident sur les lignes neutres $(X, Y)$ de la lame, puis on retarde la composante selon l'axe lent.

Lame demi-onde. Une polarisation rectiligne faisant l'angle $α$ avec une ligne neutre ressort rectiligne, faisant l'angle $- α$ : elle est symétrique par rapport aux lignes neutres, donc tournée de $2 α$ .
Lame quart d'onde. Une polarisation rectiligne à $4 5^{\circ}$ des lignes neutres ressort circulaire (deux composantes égales en quadrature) ; à un autre angle $α$ , elle ressort elliptique, d'axes portés par les lignes neutres, d'amplitudes $E_{0} cos α$ et $E_{0} sin α$ . Réciproquement, une polarisation circulaire ressort rectiligne, à $4 5^{\circ}$ des lignes neutres.

Figure : Lames à retard, lignes neutres

X

Y

. À gauche : une lame quart d'onde rend circulaire une polarisation rectiligne à

4 5^{\circ}

de ses lignes neutres. À droite : une lame demi-onde rend la polarisation rectiligne symétrique par rapport à ses lignes neutres.

Méthode : Analyser une lumière totalement polarisée ou naturelle

On fait tourner un analyseur et l'on observe l'intensité transmise.

Extinction pour une orientation : polarisation rectiligne, perpendiculaire à l'axe de l'analyseur à l'extinction.
Intensité variable, sans extinction : polarisation elliptique (totalement polarisée) ; les directions du maximum et du minimum sont celles des axes de l'ellipse. Une lame quart d'onde dont les lignes neutres sont placées sur ces axes rend la polarisation rectiligne, ce que l'analyseur confirme par une extinction.
Intensité constante : lumière naturelle ou polarisation circulaire. On interpose une lame quart d'onde : une lumière circulaire devient rectiligne et l'analyseur trouve une extinction ; une lumière naturelle reste naturelle et l'intensité reste constante.

iRemarque

À ne pas confondre avec le théorème de Malus de l'optique géométrique (orthogonalité des rayons et des surfaces d'onde), présenté dans le livre Optique ondulatoire : il s'agit d'un autre résultat, dû au même auteur.

1.5 Les solutions de l'équation de d'Alembert

1.5.1 Ondes progressives : solution de d'Alembert

◆Théorème 1.15Solution générale de d'Alembert

La solution générale de $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}}$ s'écrit comme la superposition de deux ondes progressives de célérité $c$ :

$s (x, t) = f (x - c t) + g (x + c t),$

où $f$ et $g$ sont deux fonctions arbitraires (de classe $C^{2}$ ), déterminées par les conditions initiales. On écrit aussi, de façon équivalente, $s (x, t) = F (t - \frac{x}{c}) + G (t + \frac{x}{c})$ .

Démonstration (Changement de variables (complément, non exigible))

Posons $u = x - c t$ et $w = x + c t$ , et considérons $s$ comme une fonction de $(u, w)$ . Par dérivation composée,

$\frac{\partial s}{\partial x} = \frac{\partial s}{\partial u} + \frac{\partial s}{\partial w}, \frac{\partial s}{\partial t} = c (- \frac{\partial s}{\partial u} + \frac{\partial s}{\partial w}),$

puis

$\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} s}{\partial u ^{2}} + 2 \frac{\partial ^{2} s}{\partial u \partial w} + \frac{\partial ^{2} s}{\partial w ^{2}}, \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = \frac{\partial ^{2} s}{\partial u ^{2}} - 2 \frac{\partial ^{2} s}{\partial u \partial w} + \frac{\partial ^{2} s}{\partial w ^{2}} .$

L'équation devient $4 \frac{\partial ^{2} s}{\partial u \partial w} = 0$ . En intégrant par rapport à $w$ , $\frac{\partial s}{\partial u}$ ne dépend que de $u$ ; en intégrant par rapport à $u$ , $s$ est la somme d'une fonction de $u$ seul et d'une fonction de $w$ seul : $s = f (u) + g (w)$ .

La fonction $f (x - c t)$ représente une perturbation de forme invariable qui se translate vers les $x$ croissants à la vitesse $c$ : à l'instant $t$ , le profil est celui de $t = 0$ décalé de $c t$ . La fonction $g (x + c t)$ se translate vers les $x$ décroissants.

1.5.2 Ondes planes progressives harmoniques

Un cas fondamental est celui d'un profil sinusoïdal. En notation réelle :

$s (x, t) = s_{0} cos (ω t - k x + φ),$

avec la pulsation $ω = 2 π / T$ , le nombre d'onde $k = 2 π / λ$ , et la relation de dispersion imposée par d'Alembert

$ω = c k .$

Définition 1.16Vitesse de phase et notation complexe

La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = c$ est la vitesse de propagation d'un point de phase constante. En notation complexe, on pose $s = s_{0} e^{j (ω t - k x)}$ avec $s_{0} = s_{0} e^{j φ}$ et $s = Re (s)$ ; les dérivations deviennent des multiplications,

$\frac{\partial}{\partial t} ⟶ j ω, \frac{\partial}{\partial x} ⟶ - j k,$

ce qui simplifie considérablement les calculs. En dimension trois, pour $e^{j (ω t - k \cdot r)}$ , $div \to - j k \cdot$ et $rot \to - j k \land$ .

iRemarqueLa structure en trois lignes

Pour une onde plane progressive harmonique du vide, Maxwell--Gauss et Maxwell--flux donnent $k \cdot E = 0$ et $k \cdot B = 0$ (transversalité), et Maxwell--Faraday donne $- j k \land E = - j ω B$ , soit $k \land E = ω B$ : avec $k = ω / c$ , on retrouve $B = \frac{u \land E}{c}$ .

ImportantMilieu non dispersif et analyse de Fourier

L'équation de d'Alembert donne $ω = c k$ : la vitesse de phase $c$ est indépendante de la fréquence. Toutes les composantes harmoniques d'un signal voyagent à la même vitesse, si bien qu'une onde non harmonique se propage sans se déformer. Un tel milieu est dit non dispersif. Grâce à l'analyse de Fourier, toute onde non harmonique se décompose en somme d'ondes planes progressives harmoniques ; l'équation étant linéaire, le principe de superposition permet de propager chaque composante séparément puis de reconstruire la solution.

1.5.3 Ondes stationnaires et modes propres

Lorsqu'une onde est confinée entre deux bords réfléchissants, les ondes progressive et régressive se superposent en une onde stationnaire, dont on cherche les solutions à variables séparées $s (x, t) = F (x) G (t)$ .

Proposition 1.17Onde stationnaire

Une onde stationnaire s'écrit comme le produit d'une fonction d'espace par une fonction du temps :

$s (x, t) = [A cos (k x) + B sin (k x)] cos (ω t + ϕ), ω = c k .$

Contrairement à une onde progressive, l'espace et le temps n'y sont pas couplés : tous les points vibrent en phase (ou en opposition), avec une amplitude fixée par $x$ . Les points d'amplitude nulle sont les nœuds, ceux d'amplitude maximale les ventres ; deux nœuds consécutifs sont distants de $λ /2$ . Une onde stationnaire est la somme de deux ondes progressives de même amplitude se propageant en sens opposés : $2 s_{0} sin (k x) sin (ω t) = s_{0} cos (ω t - k x) - s_{0} cos (ω t + k x)$ .

Méthode : Modes propres d'une corde fixée aux deux bouts

Une corde de longueur $L$ fixée en $x = 0$ et $x = L$ impose les conditions aux limites $y (0, t) = 0$ et $y (L, t) = 0$ .

$y (0, t) = 0$ donne $A = 0$ , d'où $y = B sin (k x) cos (ω t + ϕ)$ .
$y (L, t) = 0$ impose $sin (k L) = 0$ , soit $k L = nπ$ avec $n \in N^{*}$ .
Le nombre d'onde et les fréquences sont donc quantifiés :

$k_{n} = \frac{nπ}{L}, λ_{n} = \frac{2 L}{n}, f_{n} = \frac{c}{λ _{n}} = \frac{n}{2 L} \frac{T _{0}}{μ} = n f_{1} .$

Définition 1.18Mode propre, fondamental et harmoniques

Chaque entier $n$ définit un mode propre de profil $y_{n} (x) = B_{n} sin (nπ x / L)$ vibrant à la fréquence $f_{n} = n f_{1}$ . Le mode $n = 1$ est le fondamental (fréquence $f_{1} = \frac{1}{2 L} T_{0} / μ$ ), les modes $n \geq 2$ sont les harmoniques. Le mode $n$ possède $n$ ventres et $n + 1$ nœuds (dont les extrémités).

ImportantMouvement général et analyse de Fourier

L'équation étant linéaire, le mouvement le plus général d'une corde fixée à ses deux extrémités est une superposition de ses modes propres :

$y (x, t) = n \geq 1 \sum sin (\frac{nπ x}{L}) [a_{n} cos (2 π f_{n} t) + b_{n} sin (2 π f_{n} t)],$

les coefficients étant fixés par la forme et la vitesse initiales. Le mouvement est périodique, de fréquence $f_{1}$ , mais pas sinusoïdal : c'est une onde non harmonique, et son spectre ne contient que les fréquences $f_{n} = n f_{1}$ . Les amplitudes relatives des harmoniques font le timbre de l'instrument : deux cordes de même fondamental, pincées différemment, sonnent différemment.

Figure : Analyse de Fourier qualitative. Une corde pincée en son milieu, puis lâchée, a un profil initial symétrique par rapport à

x = L /2

: seuls les modes impairs, eux-mêmes symétriques, y contribuent, avec des amplitudes décroissant comme

1/ n^{2}

(valeurs admises). Les harmoniques pairs, qui auraient un nœud au point pincé, sont absents. Pincer plus près d'une extrémité enrichit le son en harmoniques élevés.

1.5.4 Résonances de la corde de Melde

Définition 1.19Corde de Melde

Une corde de longueur $L$ et de masse linéique $μ$ est reliée à une extrémité à un vibreur de fréquence $f$ fixée, et passe à l'autre extrémité sur une poulie ; une masse $m$ suspendue la tend : $T_{0} = m g$ . L'amplitude du vibreur est très petite devant celle de la corde : son extrémité est pratiquement un nœud, comme l'appui sur la poulie.

Figure : Corde de Melde à la résonance sur le mode

n = 3

: trois fuseaux de longueur

λ /2 = L /3

Proposition 1.20Condition de résonance

En négligeant l'amortissement, l'amplitude de la corde devient très grande (résonance) lorsque la fréquence $f$ du vibreur coïncide avec une fréquence propre de la corde :

$f = f_{n} = \frac{n}{2 L} \frac{T _{0}}{μ} ⟺ L = n \frac{λ}{2}, λ = \frac{c}{f} .$

On observe alors $n$ fuseaux de longueur $λ /2$ . À $f$ fixée, on obtient les résonances successives en changeant la tension, c'est-à-dire la masse suspendue :

$m_{n} = \frac{4 L ^{2} f ^{2} μ}{n ^{2} g} soit m_{n} = \frac{m _{1}}{n ^{2}} .$

Exemple 1.21Interprétation quantitative d'un relevé

Pour $μ = 0, 50 g . m^{- 1}$ , $L = 1, 00 m$ et $f = 100 H z$ ( $g = 9, 81 m . s^{- 2}$ ), la formule prévoit des résonances à $m_{1} = 2, 04 k g$ (un fuseau), $m_{2} = 510 g$ , $m_{3} = 227 g$ et $m_{4} = 127 g$ . Réciproquement, tracer $m_{n}$ en fonction de $1/ n^{2}$ donne une droite dont la pente $4 L^{2} f^{2} μ / g$ fournit $μ$ ou $f$ . L'amortissement, négligé ici, limite l'amplitude à la résonance et élargit chaque résonance : on l'observe sur un petit intervalle de masses autour de $m_{n}$ , et non pour une valeur unique.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Équation de d'Alembert. $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}}$ (généralisée : $Δ s = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}}$ ). Elle décrit une propagation non dispersive à la célérité $c$ .

Quatre célérités, toutes de la forme $raideur / inertie$ .

Corde vibrante : $c = T_{0} / μ$ (rappel = tension, inertie = masse linéique).
Tige solide : $c = E / ρ$ ; chaîne d'atomes : $E = K / a$ .
Acoustique : $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ ; gaz parfait $c = γ R T / M$ ( $\approx 343 m . s^{- 1}$ dans l'air à $20° C$ ).
Électromagnétisme dans le vide : $c = 1/ ε_{0} μ_{0} \approx 3, 0 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ .

Acoustique. Infrasons, audibles ( $20 H z$ – $20 k H z$ ), ultrasons. Trois équations linéarisées (Euler, conservation de la masse, $μ_{1} = ρ_{0} χ_{S} p$ ) $\Rightarrow$ d'Alembert. Impédance $Z = p / v = ρ_{0} c$ ( $Z_{air} \approx 413 r a y l$ ). Intensité $I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c}$ ; niveau $L_{dB} = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ , $I_{0} = 1 0^{- 12} W . m^{- 2}$ . Onde sphérique : amplitude en $1/ r$ .

Onde EM plane progressive. Trièdre direct $(E, B, u)$ , transverse, $B = \frac{u \land E}{c}$ , $E = c B$ . Vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ selon $u$ , $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2}$ ; flux de photons $I / (h ν)$ .

Polarisation. Rectiligne ( $φ = 0, π$ ), circulaire ( $φ = \pm π /2$ , amplitudes égales), elliptique (cas général). Malus : $I = I_{0} cos^{2} θ$ . Lame demi-onde : symétrie par rapport aux lignes neutres ; lame quart d'onde : rectiligne à $4 5^{\circ}$ $\leftrightarrow$ circulaire.

Solutions. Générale : $s = f (x - c t) + g (x + c t)$ . Harmonique : $s_{0} cos (ω t - k x)$ , $ω = c k$ , $v_{φ} = c$ ; notation complexe $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ , $\frac{\partial}{\partial x} \to - j k$ . Stationnaire : $F (x) G (t)$ ; corde fixée $\Rightarrow$ $k_{n} = nπ / L$ , $f_{n} = n f_{1}$ , $f_{1} = \frac{1}{2 L} T_{0} / μ$ ; mouvement quelconque = superposition de modes (spectre en $n f_{1}$ ). Melde : résonance pour $L = nλ /2$ , $m_{n} = m_{1} / n^{2}$ .

1.7 Travaux dirigés

1.7.1 Cordes, solides et ondes sonores

Exercice 1 — La corde de mi aigu d'une guitare : accorder, fretter, pincer, capter

Une guitare électrique a un diapason (longueur vibrante de la corde à vide, du sillet au chevalet) $L = 648 mm$ . Sa corde de mi aigu, accordée sur le mi $_{4}$ de fréquence $f_{1} = 329, 63 Hz$ , est un fil d'acier plein de diamètre $d = 0, 254 mm$ et de masse volumique $ρ = 7850 kg m^{- 3}$ ; le fabricant annonce, pour cet accord et ce diapason, une tension de $72, 1 N$ . Les frettes sont placées selon le tempérament égal : appuyer la corde juste derrière la frette numéro $k$ ramène la longueur vibrante à $L 2^{- k /12}$ , et la note monte de $k$ demi-tons. On repère un point de la corde par sa distance $x$ au chevalet ; les deux extrémités, chevalet et sillet, sont fixes.

Données admises (le calcul n'est pas demandé). Pincée à la distance $x_{p}$ du chevalet, puis lâchée sans vitesse, la corde vibre selon une superposition de ses modes propres $n$ , d'amplitudes proportionnelles à $\frac{1}{n ^{2}} sin \frac{nπ x _{p}}{L}$ . Un micro magnétique placé à la distance $x_{m}$ du chevalet délivre, pour le mode $n$ , un signal proportionnel au déplacement de la corde au-dessus de lui, donc à $sin \frac{nπ x _{m}}{L}$ . La guitare a un micro « chevalet » à $x_{m} = 4, 0 cm$ et un micro « manche » à $x_{m} = 16, 0 cm$ .

La corde de mi aigu, du sillet au chevalet (à l'échelle) : frettes, micros et point de pincement ; $x$ est compté depuis le chevalet.

1) Calculer la masse linéique $μ$ de la corde, la célérité $c$ des ondes transverses qui donne le fondamental $f_{1}$ , puis la tension $T_{0}$ . Comparer à la valeur du fabricant.

2) Écrire les modes propres de la corde à vide : profil, fréquences, positions des nœuds du mode $n$ . Combien de modes ont une fréquence audible ? Le mouvement d'un mode est-il une onde progressive ou une onde stationnaire ? L'écrire comme une somme de deux ondes progressives.

3) Calculer la distance au sillet de la première frette et de la douzième. Montrer que l'écart entre deux frettes voisines décroît en progression géométrique quand on va vers le chevalet, et expliquer pourquoi les frettes se resserrent.

4) Où pincer la corde pour que l'harmonique de rang $3$ soit absent du son ? On la pince à $x_{p} = 13, 0 cm$ du chevalet : quels modes manquent ? Calculer les poids relatifs des quatre premiers modes. Expliquer qualitativement pourquoi le profil initial, triangulaire, est une superposition de modes, et pourquoi une corde pincée tout près du chevalet sonne plus « métallique ».

5) Calculer, pour chaque micro, le rapport de sa sensibilité au mode $10$ à sa sensibilité au mode $1$ . En déduire pourquoi le micro chevalet donne un son plus « brillant » que le micro manche. Quel mode le micro manche ne capte-t-il presque pas ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Le fondamental fixe la célérité ( $c = 2 L f_{1}$ ), la célérité et la masse linéique fixent la tension ( $T_{0} = μ c^{2}$ ). Le reste découle de la forme des modes, $sin (nπ x / L)$ : un mode est absent du son s'il a un nœud là où l'on pince, il est absent du signal s'il a un nœud sous le micro.

1) Masse linéique, célérité, tension. La corde est un cylindre plein : $μ = ρ \frac{π d ^{2}}{4} = 7850 \times \frac{π \times ( 0 , 254 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4} = 3, 98 \times 1 0^{- 4} kg m^{- 1}$ , soit $0, 40 g$ par mètre. Le fondamental est le mode $n = 1$ , de longueur d'onde $2 L$ : $f_{1} = \frac{c}{2 L}$ , d'où

$c = 2 L f_{1} = 2 \times 0, 648 \times 329, 63 = 427 m s^{- 1},$

puis

$T_{0} = μ c^{2} = 3, 978 \times 1 0^{- 4} \times 427, 2^{2} = 72, 6 N .$

L'écart à la valeur du fabricant, $72, 1 N$ , est de $0, 7 %$ : il suffit d'une erreur de $0, 35 %$ sur le diamètre (moins d'un micromètre), qui intervient au carré, pour l'expliquer. La corde porte l'équivalent du poids d'une masse de $7, 4 kg$ . La célérité, $427 m s^{- 1}$ , n'a rien à voir avec celle du son : l'onde de la corde et l'onde sonore qu'elle émet ont la même fréquence, mais pas la même longueur d'onde ( $2 L = 1, 30 m$ sur la corde, $343, 2/329, 63 = 1, 04 m$ dans l'air).

2) Les modes propres. Avec les extrémités fixes en $x = 0$ et $x = L$ ,

$y_{n} (x, t) = A_{n} sin (\frac{nπ x}{L}) cos (2 π f_{n} t + φ_{n}), f_{n} = n f_{1} = n \times 329, 63 Hz .$

Les nœuds du mode $n$ sont aux points où $sin (nπ x / L) = 0$ , soit $x = j L / n$ avec $j = 0, 1, \dots, n$ : $n + 1$ nœuds, dont les deux extrémités, séparés de $L / n$ , et $n$ ventres à mi-chemin. Les fréquences audibles vérifient $n f_{1} ⩽ 20000 Hz$ , soit $n ⩽ 60, 7$ : 60 modes ( $f_{60} = 19, 8 kHz$ ).

Un mode est une onde stationnaire : son expression est un produit d'une fonction de $x$ par une fonction de $t$ , tous les points vibrent en phase (ou en opposition de phase), avec une amplitude $∣ A_{n} sin (nπ x / L)∣$ fixée par leur position, et rien ne se déplace le long de la corde. Avec $k_{n} = nπ / L$ et $ω_{n} = 2 π f_{n} = c k_{n}$ (on prend $φ_{n} = 0$ ),

$sin (k_{n} x) cos (ω_{n} t) = \frac{1}{2} sin (k_{n} x - ω_{n} t) + \frac{1}{2} sin (k_{n} x + ω_{n} t) :$

c'est la somme de deux ondes progressives de même amplitude, l'une vers le chevalet, l'autre vers le sillet, qui se réfléchissent sans fin sur les deux extrémités fixes.

3) Les frettes. La frette $k$ laisse vibrer la longueur $L 2^{- k /12}$ ; elle est donc à la distance $L (1 - 2^{- k /12})$ du sillet :

$k = 1 : 648 \times (1 - 0, 94387) = 36, 4 mm; k = 12 : 648 \times (1 - \frac{1}{2}) = 324, 0 mm .$

La douzième frette est au milieu de la corde : diviser la longueur par deux double la fréquence, c'est l'octave. L'écart entre les frettes $k$ et $k + 1$ vaut $L 2^{- k /12} (1 - 2^{- 1/12})$ : chaque écart est le précédent multiplié par $2^{- 1/12} = 0, 944$ , une progression géométrique ( $36, 4 mm$ entre le sillet et la première frette, $34, 3 mm$ entre la première et la deuxième, $18, 2 mm$ après la douzième, $12, 1 mm$ entre la dix-neuvième et la vingtième). La raison : un demi-ton multiplie la fréquence par $2^{1/12}$ , donc divise la longueur vibrante par ce même facteur ; les longueurs successives sont dans un rapport constant, pas à différence constante, et une longueur déjà courte se raccourcit d'autant moins.

4) Où l'on pince. Le mode $3$ est absent si son poids est nul : $sin (3 π x_{p} / L) = 0$ , soit $x_{p} = L /3 = 21, 6 cm$ du chevalet (ou $2 L /3$ , c'est-à-dire $21, 6 cm$ du sillet). Les modes $6$ , $9$ … ont alors aussi un nœud au point pincé : tous les multiples de $3$ disparaissent. L'interprétation est simple : en ce point, ces modes ne bougent pas ; un déplacement imposé là ne peut pas les mettre en mouvement.

À $x_{p} = 13, 0 cm$ , $x_{p} / L = 0, 201 \approx 1/5$ : le mode $5$ et ses multiples ( $10$ , $15$ …) ont (presque) un nœud au point pincé et manquent (le poids du mode $5$ vaut $4 \times 1 0^{- 4}$ , contre $0, 59$ pour le fondamental). Les poids des quatre premiers modes sont

$sin \frac{π}{5} = 0, 588; \frac{1}{4} sin \frac{2 π}{5} = 0, 238; \frac{1}{9} sin \frac{3 π}{5} = 0, 106; \frac{1}{16} sin \frac{4 π}{5} = 0, 037,$

soit, rapportés au fondamental, $1$ ; $0, 40$ ; $0, 18$ ; $0, 06$ .

La superposition, qualitativement. Au lâcher, la corde a la forme de deux segments de droite qui se rejoignent en un angle au point pincé. Ce profil n'est aucun mode, mais il est une somme de profils de modes, $sin (nπ x / L)$ , avec les poids donnés : le fondamental dessine l'allure générale, les harmoniques de plus en plus nombreux dessinent l'angle. Chaque mode vibre ensuite à sa propre fréquence $n f_{1}$ ; le son a la fréquence $f_{1}$ (la note) et un spectre, les poids des harmoniques, qui fait le timbre. Près du chevalet ( $x_{p} ≪ L$ ), pour les rangs tels que $n x_{p} ≪ L$ , $sin (nπ x_{p} / L) \approx nπ x_{p} / L$ et le poids vaut environ $\frac{π x _{p}}{L} \frac{1}{n}$ : il ne décroît plus qu'en $1/ n$ , et non plus en $1/ n^{2}$ , jusqu'au rang $n \approx L / (2 x_{p})$ , soit $11$ pour $x_{p} = 3 cm$ . Les harmoniques élevés pèsent alors relativement plus (le rang $8$ pèse $0, 10$ fois le fondamental à $3 cm$ , $0, 025$ fois à $13 cm$ ) : le son est plus riche en aigus, plus « métallique ». Pincée en son milieu, au contraire, la corde n'a que des modes impairs, de poids $1$ , $1/9$ , $1/25$ … : un son rond.

Poids des modes (valeur absolue, rapportée au fondamental) pour deux points de pincement : à $13 cm$ du chevalet, les modes $5$ et $10$ manquent ; à $3 cm$ , les harmoniques élevés restent forts.

5) Où l'on capte. La sensibilité du micro au mode $n$ est proportionnelle à $sin (nπ x_{m} / L)$ .

Micro chevalet, $x_{m} / L = 0, 0617$ : $sin (0, 194) = 0, 193$ pour le mode $1$ , $sin (1, 939) = 0, 933$ pour le mode $10$ : rapport $4, 8$ .
Micro manche, $x_{m} / L = 0, 247$ : $sin (0, 776) = 0, 700$ et $sin (7, 757) = 0, 995$ : rapport $1, 4$ .

Près du chevalet, le fondamental bouge à peine (son amplitude y est proportionnelle à $x$ ), alors que le premier ventre du mode $10$ est à $L /20 = 3, 2 cm$ du chevalet, juste sous le micro : le micro chevalet favorise les harmoniques d'un facteur $3, 4$ par rapport au micro manche ( $4, 84/1, 42$ ), d'où son son « brillant ». Le micro manche, placé presque au quart de la corde ( $x_{m} / L = 0, 247 \approx 1/4$ ), est presque sur un nœud du mode $4$ ( $sin (4 π \times 0, 247) = 0, 04$ ) : il ne capte presque pas le mode $4$ (ni le mode $8$ ), un « trou » dans le spectre qui contribue à son son plus rond. Le signal d'un mode est le produit de son poids (le geste) et de la sensibilité du micro (la mesure) : pincée à $13 cm$ et écoutée au micro manche, la corde ne donne presque rien aux rangs $4$ , $5$ , $8$ et $10$ .

Profils des modes $1$ et $10$ et positions des deux micros : sous le micro chevalet, le mode $10$ est presque à un ventre, le mode $1$ presque immobile.

Ce que l'exercice installe. La note fixe $c / (2 L)$ , la tension fixe $c$ : une fréquence, une longueur et une masse linéique donnent la tension d'une corde. Les modes propres sont des ondes stationnaires de fréquences multiples du fondamental, chacun somme de deux ondes progressives opposées. Une vibration réelle est une superposition de modes dont le geste (où l'on pince) et la mesure (où l'on capte) fixent les poids : un mode qui a un nœud au point de pincement ou sous le micro disparaît ; le spectre fait le timbre.

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