Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption

Cours complet · physique des ondes 2 (PC), chapitre 2 · CPGE PC (2e année)

L'équation de d'Alembert décrit une propagation non dispersive et non absorbante : toutes les composantes harmoniques d'un signal se déplacent à la même célérité $c$ , si bien qu'un paquet d'ondes garde sa forme au cours de la propagation. La plupart des milieux réels s'écartent de cet idéal. Dans un plasma, dans un câble coaxial réel, dans un guide d'ondes ou dans un conducteur ohmique, la vitesse de propagation dépend de la fréquence (dispersion) et l'amplitude décroît le long de la propagation (absorption).

La méthode générale consiste à chercher des solutions harmoniques de la forme $s (x, t) = s_{0} e^{j (ω t - k x)}$ , où le vecteur d'onde $k$ peut être complexe. L'équation aux dérivées partielles fournit alors une relation de dispersion $k (ω)$ qui contient toute l'information sur la propagation : sa partie réelle gouverne la phase et la dispersion, sa partie imaginaire l'atténuation. Nous introduirons deux vitesses distinctes – la vitesse de phase et la vitesse de groupe – puis nous appliquerons ces outils à la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma dilué.

2.1 Milieu linéaire et relation de dispersion

2.1.1 Caractère linéaire d'une équation aux dérivées partielles

Définition 2.1Équation de propagation linéaire

Une équation aux dérivées partielles portant sur un champ $s (x, t)$ est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Concrètement, elle ne fait intervenir $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant ni produit de la forme $s \partial_{x} s$ .

La linéarité est la propriété centrale de ce chapitre : elle autorise la décomposition de Fourier. Un signal quelconque étant une superposition d'ondes harmoniques, il suffit d'étudier la propagation de chaque composante $e^{j ω t}$ indépendamment, puis de sommer.

Exemple 2.2Trois équations linéaires typiques

$d’Alembert (non dispersive) \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = 0, diffusion \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{D} \frac{\partial s}{\partial t}, Klein-Gordon (plasma) \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = \frac{ω _{p}^{2}}{c ^{2}} s .$

Chacune est linéaire ; en revanche l'équation de Korteweg--de Vries $\partial_{t} s + s \partial_{x} s + \partial_{x}^{3} s = 0$ ne l'est pas à cause du terme $s \partial_{x} s$ .

2.1.2 Recherche de solutions en $exp [j (ω t - k x)]$

Méthode : Établir une relation de dispersion

Pour une équation linéaire à coefficients constants :

on injecte l'onde plane progressive harmonique complexe $s (x, t) = s_{0} e^{j (ω t - k x)}$ ;
on utilise les correspondances $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial}{\partial x} \to - j k$ ;
on factorise par $s_{0} e^{j (ω t - k x)} \neq = 0$ : il reste une relation algébrique entre $ω$ et $k$ , la relation de dispersion.

Définition 2.3Relation de dispersion

La relation de dispersion est la relation $k = k (ω)$ (ou $ω = ω (k)$ ) imposée par l'équation de propagation aux ondes harmoniques. Le vecteur d'onde $k = k^{'} - j k^{''}$ est a priori complexe :

$s (x, t) = s_{0} e^{- k^{''} x} e^{j (ω t - k^{'} x)} .$

La partie réelle $k^{'}$ fixe la longueur d'onde $λ = 2 π / k^{'}$ et la propagation de la phase ; la partie imaginaire $k^{''}$ fixe l'atténuation en amplitude $e^{- k^{''} x}$ (avec la convention $e^{+ j ω t}$ et une onde progressant vers les $x > 0$ , on a $k^{''} \geq 0$ ).

ImportantDispersion versus absorption

Sur la relation de dispersion $k (ω) = k^{'} (ω) - j k^{''} (ω)$ :

si $k^{'} (ω)$ n'est pas proportionnel à $ω$ (soit $v_{φ} = ω / k^{'}$ dépend de $ω$ ) : le milieu est dispersif ;
si $k^{''} (ω) \neq = 0$ : le milieu est absorbant (atténuation exponentielle).

Un milieu peut être l'un, l'autre, les deux, ou aucun (d'Alembert : $k = ω / c$ réel).

Figure : Courbes de dispersion. La droite

ω = c k

(d'Alembert) est non dispersive ;

la courbe du plasma $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ est dispersive et présente une pulsation de coupure $ω_{p}$ .</div>

2.2 Vitesse de phase

Définition 2.4Vitesse de phase

Pour une onde harmonique de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde réel $k^{'} = Re (k)$ , la vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante :

$v_{φ} = \frac{ω}{k ^{'}} .$

C'est la vitesse à laquelle se propage une crête d'une onde monochromatique idéale.

iRemarque

La vitesse de phase peut dépasser $c$ (comme dans le plasma, où $v_{φ} > c$ ) sans violer la relativité : une onde strictement monochromatique est infinie dans l'espace et le temps, elle ne transporte aucune information. L'information voyage à la vitesse de groupe, toujours $\leq c$ .

Exemple 2.5Milieu dispersif type

Pour la relation $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ (plasma), dans le domaine propagatif $ω > ω_{p}$ :

$k = \frac{1}{c} ω^{2} - ω_{p}^{2} \Rightarrow v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c .$

La vitesse de phase dépend de $ω$ : le milieu est bien dispersif.

2.3 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

2.3.1 Notion de paquet d'ondes

Un signal physique réel est nécessairement limité dans le temps et dans l'espace : c'est un paquet d'ondes, superposition d'ondes harmoniques dont les pulsations se répartissent autour d'une valeur centrale $ω_{0}$ sur une largeur $Δ ω$ .

ImportantRelation durée--largeur spectrale

La durée $Δ t$ d'un paquet d'ondes et la largeur $Δ ω$ de son spectre en pulsation sont liées par une inégalité de type Fourier :

$Δ ω Δ t ≳ 1 (de m e ˆ me Δ k Δ x ≳ 1) .$

Un paquet bref est spectralement large ; un signal quasi monochromatique ( $Δ ω$ petit) est nécessairement long. C'est l'analogue classique des inégalités de Heisenberg.

2.3.2 Vitesse de groupe

Considérons la superposition de deux ondes de pulsations voisines $ω_{0} \pm \frac{Δ ω}{2}$ et de vecteurs d'onde $k_{0} \pm \frac{Δ k}{2}$ , d'égale amplitude :

$s (x, t) = s_{0} cos [(ω_{0} + \frac{Δ ω}{2}) t - (k_{0} + \frac{Δ k}{2}) x] + s_{0} cos [(ω_{0} - \frac{Δ ω}{2}) t - (k_{0} - \frac{Δ k}{2}) x] .$

En sommant :

$s (x, t) = enveloppe 2 s_{0} cos (\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} x) porteuse cos (ω_{0} t - k_{0} x) .$

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe se déplace à $Δ ω /Δ k$ . En passant à la limite continue :

Définition 2.6Vitesse de groupe

La vitesse de groupe d'un paquet d'ondes centré sur $ω_{0}$ est

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{ω_{0}} (= (\frac{d k}{d ω})^{- 1}) .$

C'est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet, donc de l'énergie et de l'information (dans un milieu transparent).

Figure : Paquet d'ondes : la porteuse rapide (bleu) se déplace à

v_{φ}

, l'enveloppe

(rouge pointillé) se déplace à $v_{g}$ .</div>

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$

À partir de la relation de dispersion :

exprimer $k (ω)$ (ou $ω (k)$ ) dans le domaine propagatif ( $k$ réel) ;
vitesse de phase : $v_{φ} = ω / k$ ;
vitesse de groupe : $v_{g} = d ω / d k$ , soit $v_{g} = 1/ (d k / d ω)$ .

Milieu non dispersif $\Leftrightarrow$ $v_{φ} = v_{g} = cte$ .

Figure : Interprétation géométrique :

v_{φ}

est la pente de la corde

O M

v_{g}

la pente

de la tangente en $M$ à la courbe $ω (k)$ .</div>

2.3.3 Étalement d'un paquet d'ondes

Proposition 2.7Dispersion et étalement

Dans un milieu dispersif, $v_{g} = d ω / d k$ dépend de $ω$ . Les différentes composantes spectrales du paquet se propageant à des vitesses de groupe différentes, le paquet s'étale au cours de la propagation : sa largeur spatiale $Δ x$ croît, son amplitude crête décroît (à énergie conservée). Cet étalement est d'autant plus rapide que la courbure $d^{2} ω / d k^{2}$ (dispersion de vitesse de groupe) est grande.

iRemarque

Le programme se limite en général au cas où l'étalement est négligeable : on assimile alors le paquet à une enveloppe rigide se déplaçant à $v_{g}$ . La capacité numérique ci-dessous permet précisément de visualiser le régime où cette approximation cesse d'être valable.

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dispersif

On simule la propagation d'un paquet d'ondes gaussien dans un milieu de relation de dispersion $ω (k) = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ (plasma). On représente le paquet par un signal analytique complexe $s (x, 0) = e^{- x^{2} /2 σ^{2}} e^{j k_{0} x}$ , on le décompose en harmoniques par transformée de Fourier, on fait évoluer chaque composante $k$ (vecteur d'onde signé) avec sa phase $e^{- j ω (k) t}$ , puis on reconstruit le signal et l'on trace sa partie réelle. On visualise l'étalement et l'on compare la vitesse de l'enveloppe ( $v_{g}$ ) à celle des crêtes ( $v_{φ}$ ).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Parametres physiques (unites reduites) ---
c       = 1.0       # celerite limite
omega_p = 1.0       # pulsation plasma
k0      = 4.0       # vecteur d'onde central du paquet
sigma_x = 6.0       # largeur spatiale initiale du paquet

def omega(k):
    return np.sqrt(omega_p**2 + (c*k)**2)   # relation de dispersion plasma

# --- Grille spatiale et spectre initial (paquet gaussien module) ---
N  = 4096
L  = 400.0
x  = np.linspace(-L/2, L/2, N, endpoint=False)
dx = x[1] - x[0]

# Paquet ANALYTIQUE complexe (spectre a support quasi positif) : evite
# la scission en deux paquets qu'entrainerait un signal reel non hermitien.
s0 = np.exp(-x**2/(2*sigma_x**2)) * np.exp(1j*k0*x)   # paquet a t=0
S0 = np.fft.fft(s0)                                   # spectre initial
k  = 2*np.pi*np.fft.fftfreq(N, d=dx)                  # vecteurs d'onde SIGNES

# --- Vitesses au centre du paquet ---
v_phi = omega(k0)/k0
v_g   = c**2 * k0 / omega(k0)     # dw/dk pour la relation plasma
print("v_phi = %.3f   v_g = %.3f   (v_phi*v_g = %.3f   c^2 = %.3f)"

# --- Propagation : chaque mode k (signe) avance en exp(-i w(k) t) ---
# w(k) est PAIRE (depend de k^2) ; le vecteur d'onde garde son signe.
def paquet(t):
    return np.fft.ifft(S0 * np.exp(-1j*omega(k)*t))   # signal complexe

fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 6), sharex=True)
for a, t in zip(ax, [0.0, 90.0, 180.0]):
    s = paquet(t)
    a.plot(x, np.real(s), color="#0f7387", lw=0.8)     # signal reel (porteuse)
    a.plot(x, np.abs(s), color="crimson", lw=0.6, alpha=0.4)  # |s| = enveloppe
    a.axvline(v_g*t,   color="crimson", ls="--", lw=0.8)   # position attendue (v_g)
    a.axvline(v_phi*t, color="gray",    ls=":",  lw=0.8)   # crete (v_phi)
    a.set_ylabel("t = %.0f" % t)
ax[-1].set_xlabel("x")
ax[0].set_title("Etalement d'un paquet d'ondes dispersif (plasma)")
plt.tight_layout()
plt.savefig("paquet_dispersif.png", dpi=130)
print("Figure enregistree : paquet_dispersif.png")

Observations attendues. Un unique paquet se translate vers la droite (aucun paquet fantôme à $- v_{g}$ , car le signal analytique complexe a un spectre à support quasi positif). L'enveloppe $∣ s ∣$ se déplace à $v_{g}$ (trait tireté), alors que les crêtes internes de $Re (s)$ glissent à $v_{φ} > v_{g}$ (trait pointillé) : la porteuse « traverse » l'enveloppe. Au fil du temps, l'enveloppe s'élargit et son amplitude diminue : c'est l'étalement dispersif. On vérifie numériquement $v_{φ} v_{g} \approx c^{2}$ , propriété caractéristique du plasma.

2.4 Absorption : partie imaginaire du vecteur d'onde

Définition 2.8Distance d'atténuation

Quand $k = k^{'} - j k^{''}$ avec $k^{''} > 0$ , l'amplitude décroît en $e^{- k^{''} x}$ . On définit la distance caractéristique d'atténuation (ou profondeur de pénétration)

$δ = \frac{1}{k ^{''}},$

distance sur laquelle l'amplitude est divisée par $e$ (et l'énergie, en $e^{- 2 k^{''} x}$ , par $e^{2}$ ).

ImportantOnde amortie versus onde évanescente

Deux cas d'atténuation à ne pas confondre :

absorption dissipative : $k^{''} \neq = 0$ et $k^{'} \neq = 0$ ; l'onde se propage en s'amortissant, l'énergie est convertie (effet Joule, viscosité…). Exemple : effet de peau dans un conducteur ohmique, où $k = (1 - j) / δ$ .
onde évanescente : $k^{'} = 0$ et $k = - j k^{''}$ purement imaginaire ; l'amplitude décroît en $e^{- k^{''} x}$ sans propagation de phase. Il n'y a aucun transport d'énergie en moyenne : le milieu est réactif, non dissipatif. Exemple : plasma pour $ω < ω_{p}$ .

2.5 Ondes électromagnétiques dans un plasma dilué

2.5.1 Modèle du plasma dilué

Un plasma dilué est un gaz d'électrons libres (densité volumique $n$ ) sur un fond d'ions positifs immobiles assurant la neutralité électrique. Le plasma est dilué : on néglige les collisions (pas d'absorption dissipative) et l'action du champ magnétique de l'onde ( $v ≪ c$ ). On étudie une onde plane progressive harmonique transverse électrique $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ .

Démonstration (Conductivité complexe du plasma)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (charge $- e$ , masse $m$ ), soumis au seul champ électrique de l'onde, s'écrit en complexes :

$m j ω v = - e E \Rightarrow v = \frac{- e}{j mω} E .$

La densité de courant $j = - n e v = γ E$ donne la conductivité complexe

$γ = \frac{n e ^{2}}{j mω} = - j \frac{n e ^{2}}{mω}$

imaginaire pure : le courant est en quadrature avec le champ, donc la puissance moyenne cédée aux électrons $⟨ j \cdot E ⟩ = 0$ . Le plasma dilué ne dissipe pas d'énergie.

2.5.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

Démonstration (Relation de dispersion)

On combine les équations de Maxwell dans le plasma (charge volumique nulle par neutralité). En complexes, l'équation de propagation du champ transverse s'écrit

$Δ E - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = μ_{0} \frac{\partial j}{\partial t} = μ_{0} γ j ω E .$

En injectant $- k^{2}$ pour $Δ$ et $j ω$ pour $\partial_{t}$ , et avec $γ j ω = n e^{2} / m$ :

$- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = μ_{0} \frac{n e ^{2}}{m} \Rightarrow ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}} .$

Définition 2.9Pulsation plasma

La pulsation plasma $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ est la pulsation propre d'oscillation collective des électrons. Elle joue le rôle d'une pulsation de coupure : elle sépare un domaine de transparence d'un domaine réactif.

2.5.3 Transparence, coupure et évanescence

ImportantDeux régimes selon

ω

ω_{p}

La relation $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ donne deux comportements :

$ω > ω_{p}$ (domaine de transparence) : $k$ est réel, l'onde se propage. Alors

$v_{φ} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c, v_{g} = c 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} < c, v_{φ} v_{g} = c^{2} .$

$ω < ω_{p}$ (domaine réactif) : $k^{2} < 0$ , donc $k = \mp j / δ$ avec $δ = c / ω_{p}^{2} - ω^{2}$ ; l'onde est évanescente ( $e^{- z / δ}$ ), sans propagation de phase. Elle ne transporte aucune puissance en moyenne : le plasma réfléchit totalement l'onde.

À $ω = ω_{p}$ : $k = 0$ , la coupure.

Figure : Réponse du plasma. Pour

ω < ω_{p}

l'onde est évanescente (réflexion totale) ;

pour $ω > ω_{p}$ elle se propage. La ionosphère ( $f_{p} \sim 10 M H z$ ) réfléchit ainsi les ondes radio courtes et laisse passer la FM et la télévision.</div>

Exemple 2.10Ionosphère et communications

Pour la ionosphère, $n \sim 1 0^{11} m^{- 3}$ donne $ω_{p} \sim 2 \times 1 0^{7} r a d / s$ , soit $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim 3 M H z$ . Les ondes de fréquence inférieure (grandes ondes AM) sont réfléchies, ce qui permet les liaisons radio à longue distance ; les ondes FM ( $\sim 100 M H z$ ) et satellites la traversent.

2.5.4 Analogie avec le conducteur ohmique (complément)

iRemarqueEffet de peau

Dans un conducteur ohmique de conductivité réelle $γ$ , à basse fréquence, le courant de conduction domine le courant de déplacement et l'équation de propagation devient une équation de diffusion : $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ . La relation de dispersion $k^{2} = - j μ_{0} γ ω$ donne $k = (1 - j) / δ$ avec $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ : l'onde est à la fois propagative et amortie (absorption dissipative par effet Joule). Pour le cuivre ( $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ ), $δ \sim 9 m m$ à $50 H z$ et $\sim 66 μ m$ à $1 M H z$ . À la différence du plasma, l'atténuation s'accompagne ici d'une dissipation.

2.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Méthode : injecter $s \propto e^{j (ω t - k x)}$ ( $\partial_{t} \to j ω$ , $\partial_{x} \to - j k$ ) $\Rightarrow$ relation de dispersion $k (ω) = k^{'} - j k^{''}$ .
$k^{'}$ (partie réelle) $\to$ phase et dispersion ; $k^{''}$ (partie imaginaire) $\to$ absorption $e^{- k^{''} x}$ , distance $δ = 1/ k^{''}$ .
Vitesse de phase $v_{φ} = ω / k^{'}$ (crêtes, peut dépasser $c$ ). Vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k$ (enveloppe, énergie, information ; $\leq c$ ).
Paquet d'ondes : $Δ ω Δ t ≳ 1$ . En milieu dispersif ( $v_{g}$ dépend de $ω$ ), le paquet s'étale.
Plasma dilué : $γ = - j n e^{2} / (mω)$ (imaginaire pure, non dissipatif) ; relation de dispersion $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , $ω_{p} = n e^{2} / (m ε_{0})$ .
$ω > ω_{p}$ : transparence, $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; $ω < ω_{p}$ : onde évanescente, réflexion totale, aucune puissance moyenne transportée.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.7 Exercices résolus

Exemple 2.11Vitesse de groupe d'une relation en loi de puissance

Un milieu suit $ω = A k^{n}$ ( $A > 0$ ). Exprimer $v_{φ}$ et $v_{g}$ , et le rapport $v_{g} / v_{φ}$ .

Démonstration

$v_{φ} = ω / k = A k^{n - 1}$ et $v_{g} = d ω / d k = n A k^{n - 1}$ . Donc $v_{g} / v_{φ} = n$ . Le milieu est non dispersif ssi $n = 1$ (d'Alembert). Pour $n > 1$ , $v_{g} > v_{φ}$ ; pour $n < 1$ , $v_{g} < v_{φ}$ .

Exemple 2.12Produit

v_{φ} v_{g}

dans le plasma

Montrer que dans le domaine de transparence du plasma, $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ .

Démonstration

De $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , on dérive $2 ω d ω = 2 c^{2} k d k$ , d'où $v_{g} = d ω / d k = c^{2} k / ω$ . Or $v_{φ} = ω / k$ , donc $v_{φ} v_{g} = \frac{ω}{k} \cdot \frac{c ^{2} k}{ω} = c^{2}$ . Comme $v_{φ} > c$ , il vient $v_{g} < c$ : l'information voyage bien à une vitesse inférieure à $c$ .

Exemple 2.13Pulsation plasma numérique

Calculer $ω_{p}$ et $f_{p}$ pour le cuivre, $n = 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ . Données : $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} k g$ , $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ .

Démonstration

$ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}} \approx 1.6 \times 1 0^{16} r a d / s$ , soit $f_{p} = ω_{p} /2 π \approx 2.6 \times 1 0^{15} H z$ (ultraviolet). Les métaux réfléchissent donc le visible ( $f < f_{p}$ ) : c'est l'origine de leur éclat métallique, et ils deviennent transparents dans l'UV lointain.

Exemple 2.14Onde évanescente sous coupure

Pour $ω = ω_{p} /2$ , exprimer la profondeur de pénétration $δ$ de l'onde dans le plasma et montrer qu'aucune puissance moyenne n'est transportée.

Démonstration

$k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2} = - \frac{3 ω _{p}^{2}}{4 c ^{2}} < 0$ , donc $k = - j k^{''}$ avec $k^{''} = \frac{3 ω _{p}}{2 c}$ et $δ = 1/ k^{''} = \frac{2 c}{3 ω _{p}}$ . Le champ $E \propto e^{- z / δ} e^{j ω t}$ est stationnaire évanescent : $E$ et $B$ sont en quadrature temporelle, donc le vecteur de Poynting moyen $⟨ E \land B / μ_{0} ⟩ = 0$ . Aucune énergie n'est transmise : réflexion totale.

Exemple 2.15Battement de deux ondes

Deux ondes de pulsations $ω_{0} \pm δ ω$ et vecteurs d'onde $k_{0} \pm δ k$ se superposent. Donner la vitesse des crêtes et celle de l'enveloppe.

Démonstration

La somme vaut $2 s_{0} cos (δ ω t - δ k x) cos (ω_{0} t - k_{0} x)$ . Les crêtes de la porteuse (deuxième facteur) se déplacent à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe (premier facteur) à $δ ω / δ k \to v_{g} = d ω / d k$ . L'enveloppe module la porteuse : on observe des « paquets » (battements) avançant à $v_{g}$ .

Exemple 2.16Épaisseur de peau du cuivre

Estimer l'épaisseur de peau $δ$ du cuivre ( $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ ) à $50 H z$ et à $1.0 M H z$ . On rappelle $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Démonstration

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f}$ . À $50 H z$ : $δ \approx 9.4 \times 1 0^{- 3} m$ , soit environ $9 mm$ . À $1 M H z$ , $δ$ décroît en $1/ f$ d'un facteur $2 \times 1 0^{4} \approx 141$ , soit $δ \approx 66 μ m$ . À haute fréquence le courant se concentre en surface : on utilise des câbles multibrins (fil de Litz).

2.8 Exercices d'entraînement

Caractère linéaire. Parmi $\partial_{x}^{2} s - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s = 0$ , $\partial_{t} s + s \partial_{x} s = 0$ , $\partial_{x}^{2} s = \frac{1}{D} \partial_{t} s$ , identifier les équations linéaires.
Relation de dispersion. Une corde vibrante lestée obéit à $\partial_{x}^{2} s - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s - \frac{1}{ℓ ^{2}} s = 0$ . Établir $k (ω)$ , déterminer la pulsation de coupure et le domaine de propagation.
Vitesses. Pour $ω^{2} = c^{2} k^{2} + ω_{c}^{2}$ , calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$ ; vérifier $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; tracer l'allure de $v_{φ} (ω)$ et $v_{g} (ω)$ .
Milieu de Klein--Gordon. L'équation $\partial_{x}^{2} s - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s = \frac{ω _{p}^{2}}{c ^{2}} s$ décrit-elle un milieu dispersif ? absorbant ? Justifier.
Absorption. Une onde vérifie $k = k_{0} (1 - j α)$ ( $α ≪ 1$ ). Donner la longueur d'onde, la distance d'atténuation $δ$ et le nombre de longueurs d'onde parcourues avant division de l'amplitude par $e$ .
Paquet d'ondes. Un laser émet une impulsion de durée $Δ t = 10 f s$ centrée à $λ = 800 nm$ . Estimer la largeur spectrale $Δ ω$ , puis $Δ λ$ . Commenter la monochromaticité.
Étalement. Justifier qualitativement, à l'aide de $v_{g} (ω)$ , pourquoi un paquet s'étale d'autant plus vite que $d^{2} ω / d k^{2}$ est grand.
Plasma – conductivité. Retrouver $γ = - j n e^{2} / (mω)$ et montrer que la puissance moyenne cédée aux électrons est nulle.
Plasma – dispersion. Établir $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ à partir des équations de Maxwell et de $γ$ . Interpréter $ω_{p}$ comme pulsation de coupure.
Ionosphère. Une onde radio de fréquence $5 M H z$ atteint la ionosphère ( $f_{p} = 9 M H z$ ). Est-elle réfléchie ou transmise ? Calculer $δ$ .
Réflexion métallique. Expliquer, à partir de $ω_{p}$ du cuivre (exercice résolu), pourquoi les métaux sont brillants dans le visible et transparents dans l'UV lointain.
Effet de peau. À quelle fréquence l'épaisseur de peau du cuivre vaut-elle $1.0 mm$ ? Commenter le choix des sections de câbles pour le transport à $50 H z$ .

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices

Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption

2.1 Milieu linéaire et relation de dispersion

2.1.1 Caractère linéaire d'une équation aux dérivées partielles

2.1.2 Recherche de solutions en exp[j(ωt−k​x)]

Méthode : Établir une relation de dispersion

2.2 Vitesse de phase

2.3 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

2.3.1 Notion de paquet d'ondes

2.3.2 Vitesse de groupe

Méthode : Calculer vφ​ et vg​

2.3.3 Étalement d'un paquet d'ondes

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dispersif

2.4 Absorption : partie imaginaire du vecteur d'onde

2.5 Ondes électromagnétiques dans un plasma dilué

2.5.1 Modèle du plasma dilué

2.5.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

2.5.3 Transparence, coupure et évanescence

2.5.4 Analogie avec le conducteur ohmique (complément)

2.6 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.7 Exercices résolus

2.8 Exercices d'entraînement

2.1.2 Recherche de solutions en $exp [j (ω t - k x)]$

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$