Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption

Cours · physique des ondes 2 (PC), chapitre 2 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde absorbée par le milieu : son amplitude décroît exponentiellement au cours de sa propagation.

L'équation de d'Alembert décrit une propagation non dispersive et non absorbante : toutes les composantes harmoniques d'un signal se déplacent à la même célérité $c$ , et un paquet d'ondes garde sa forme. La plupart des milieux réels s'écartent de cet idéal. Une corde posée sur un support élastique, un câble coaxial réel, un conducteur ohmique, un plasma dilué : dans chacun, la vitesse de propagation dépend de la fréquence (dispersion), ou l'amplitude décroît le long de la propagation (absorption, évanescence), ou les deux.

La démarche est toujours la même : chercher des ondes planes harmoniques $s \propto e^{j (ω t - k x)}$ , dont le vecteur d'onde $k$ est a priori complexe, et lire dans la relation de dispersion $k (ω)$ tout le comportement du milieu. On y adjoint la distinction entre vitesse de phase et vitesse de groupe, qui gouverne la propagation d'un paquet d'ondes réel. On applique enfin ces outils à trois situations : le câble coaxial, l'effet de peau dans un conducteur ohmique et la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma dilué.

2.1 Relation de dispersion d'un milieu linéaire

2.1.1 Caractère linéaire d'une équation aux dérivées partielles

Définition 2.1Équation de propagation linéaire

Une équation aux dérivées partielles portant sur un champ $s (x, t)$ est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Elle ne fait intervenir $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant ni produit du type $s \frac{\partial s}{\partial x}$ .

La linéarité autorise la décomposition de Fourier : un signal quelconque étant une superposition d'ondes harmoniques, il suffit d'étudier la propagation de chaque composante $e^{j ω t}$ indépendamment, puis de sommer.

Exemple 2.2Trois équations linéaires, une qui ne l'est pas

$d’Alembert \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = 0, diffusion \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{D} \frac{\partial s}{\partial t}, Klein-Gordon \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = \frac{ω _{c}^{2}}{c ^{2}} s$

sont linéaires. En revanche $\frac{\partial s}{\partial t} + s \frac{\partial s}{\partial x} = 0$ , qui décrit par exemple le raidissement d'une vague, ne l'est pas, à cause du produit $s \frac{\partial s}{\partial x}$ : la somme de deux solutions n'est plus solution.

2.1.2 Recherche de solutions harmoniques

Méthode : Établir une relation de dispersion

Pour une équation linéaire à coefficients constants :

injecter l'onde plane progressive harmonique complexe $s (x, t) = s_{0} e^{j (ω t - k x)}$ ;
utiliser les correspondances $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial}{\partial x} \to - j k$ ;
factoriser par $s_{0} e^{j (ω t - k x)} \neq = 0$ : il reste une relation algébrique entre $ω$ et $k$ , la relation de dispersion.

Définition 2.3Relation de dispersion

La relation de dispersion est la relation $k = k (ω)$ (ou $ω = ω (k)$ ) imposée par l'équation de propagation aux ondes harmoniques. Le vecteur d'onde $k = k^{'} - j k^{''}$ est a priori complexe :

$s (x, t) = s_{0} e^{- k^{''} x} e^{j (ω t - k^{'} x)} .$

La partie réelle $k^{'}$ fixe la longueur d'onde $λ = 2 π / k^{'}$ et la propagation de la phase ; la partie imaginaire $k^{''}$ fixe l'atténuation en amplitude $e^{- k^{''} x}$ . Pour une onde qui avance vers les $x > 0$ sans être amplifiée, $k^{'} \geq 0$ et $k^{''} \geq 0$ ; la longueur $1/ k^{''}$ est la profondeur de pénétration : l'amplitude y est divisée par $e$ , et l'énergie, en $e^{- 2 k^{''} x}$ , par $e^{2}$ .

iRemarqueL'autre convention

On rencontre aussi la notation $e^{j (k x - ω t)}$ : la méthode est la même, avec $\frac{\partial}{\partial t} \to - j ω$ et $\frac{\partial}{\partial x} \to j k$ , et l'onde amortie vers les $x > 0$ s'écrit alors $k = k^{'} + j k^{''}$ . Les grandeurs physiques ( $k^{'}$ , $k^{''}$ , vitesses) sont les mêmes ; seul le signe de la partie imaginaire change. Il faut donc toujours annoncer sa convention.

ImportantDispersion, absorption, évanescence

Sur $k (ω) = k^{'} (ω) - j k^{''} (ω)$ :

si $v_{φ} = ω / k^{'}$ dépend de $ω$ (soit $k^{'}$ non proportionnel à $ω$ ) : le milieu est dispersif ;
si $k^{''} (ω) \neq = 0$ alors que $k^{'} (ω) \neq = 0$ : l'onde se propage en s'atténuant exponentiellement, le milieu est absorbant ;
si $k$ est imaginaire pur ( $k^{'} = 0$ , $k^{''} \neq = 0$ ) : l'onde est évanescente, son amplitude décroît sans propagation de phase, et sans dissipation (voir le plasma sous la coupure) : décroissance n'est pas absorption.

Un milieu peut être l'un, l'autre, les deux, ou aucun (d'Alembert : $k = ω / c$ réel).

2.1.3 Vitesse de phase

Définition 2.4Vitesse de phase

Pour une onde harmonique de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde réel $k^{'} = Re (k)$ , la vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante :

$v_{φ} = \frac{ω}{k ^{'}} .$

C'est la vitesse d'une crête d'une onde monochromatique idéale.

iRemarque

La vitesse de phase peut dépasser $c$ (c'est le cas dans le plasma) sans violer la relativité : une onde strictement monochromatique est infinie dans l'espace et le temps, elle ne transporte aucune information. Dans le plasma, l'énergie et l'information voyagent à la vitesse de groupe, inférieure à $c$ ; ce n'est pas une règle générale (au voisinage d'une raie d'absorption, $v_{g}$ peut dépasser $c$ ), mais aucun signal ne va jamais plus vite que $c$ .

2.1.4 Deux exemples mécaniques : comportements selon la pulsation

Corde sur un support élastique.

Une corde de masse linéique $μ$ , tendue par la tension $T_{0}$ , repose sur un support élastique : chaque élément de longueur $d x$ est rappelé vers sa position d'équilibre par la force $- K y d x$ (raideur linéique $K$ , en $N . m^{- 2}$ ). La même équation décrit une chaîne de pendules couplés par un fil de torsion.

Figure : Corde sur un support élastique : la tension propage l'onde, les ressorts rappellent chaque élément vers le repos. L'équation obtenue est celle de Klein--Gordon.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'élément $d x$ , dans l'approximation des petits mouvements de la corde vibrante, donne

$μ \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T_{0} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} - K y ⟺ \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = \frac{ω _{c}^{2}}{c ^{2}} y, c = \frac{T _{0}}{μ}, ω_{c} = \frac{K}{μ} .$

La méthode donne $- k^{2} + ω^{2} / c^{2} = ω_{c}^{2} / c^{2}$ , soit

$ω^{2} = ω_{c}^{2} + c^{2} k^{2} .$

Pour $ω > ω_{c}$ , $k = ω^{2} - ω_{c}^{2} / c$ est réel : l'onde se propage, sans atténuation, mais avec dispersion ( $v_{φ} = c / 1 - ω_{c}^{2} / ω^{2}$ dépend de $ω$ ).
Pour $ω < ω_{c}$ , $k^{2} < 0$ : $k$ est imaginaire pur, l'onde est évanescente. Les ressorts l'emportent sur la tension : la corde ne transmet plus le mouvement. $ω_{c}$ est une pulsation de coupure.

Figure : Courbes de dispersion

ω (k)

. La droite

ω = c k

(d'Alembert) est non dispersive ;

la courbe $ω^{2} = ω_{c}^{2} + c^{2} k^{2}$ (corde sur support élastique, plasma) est dispersive, présente

une coupure en

ω_{c}

et tend vers la droite à haute fréquence.

Corde freinée par un frottement fluide.

Si chaque élément subit plutôt la force $- α \frac{\partial y}{\partial t} d x$ , l'équation devient

$\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} - \frac{1}{c ^{2} τ} \frac{\partial y}{\partial t} = 0, τ = \frac{μ}{α},$

et la relation de dispersion $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 - \frac{j}{ω τ})$ est complexe pour toute pulsation. Deux comportements s'opposent :

$ω τ ≫ 1$ (frottement faible sur une période) : au premier ordre, $k \approx \frac{ω}{c} - \frac{j}{2 c τ}$ ; l'onde se propage à $c$ , sans dispersion, et s'amortit lentement, sur la distance $2 c τ$ ;
$ω τ ≪ 1$ (frottement dominant) : $k^{2} \approx - j \frac{ω}{c ^{2} τ}$ , c'est la relation d'une équation de diffusion ; $k^{'} = k^{''}$ : l'onde est amortie sur une distance de l'ordre de sa longueur d'onde, et $v_{φ} \propto ω$ : elle est fortement dispersive.

La même équation décrit, à une autre échelle, un câble électrique résistif (ci-après) : la forme de la relation de dispersion, pas la nature du milieu, fixe le comportement.

2.2 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

2.2.1 Notion de paquet d'ondes

Un signal physique réel est limité dans le temps et dans l'espace : c'est un paquet d'ondes, superposition d'ondes harmoniques dont les pulsations se répartissent autour d'une valeur centrale $ω_{0}$ sur une largeur $Δ ω$ .

ImportantDurée d'un paquet et largeur de son spectre

La durée $Δ t$ d'un paquet d'ondes et la largeur $Δ f$ de son spectre en fréquence vérifient, en ordre de grandeur,

$Δ f \cdot Δ t \sim 1 (de m e ˆ me, en espace, Δ k \cdot Δ x \sim 2 π) .$

La constante exacte dépend de la définition choisie pour les largeurs ; seul l'ordre de grandeur compte. Un paquet bref est spectralement large ; un signal quasi monochromatique ( $Δ f ≪ f_{0}$ ) est nécessairement long : il dure beaucoup plus longtemps qu'une période. C'est l'analogue classique des inégalités de Heisenberg, retrouvées en physique quantique.

Exemple 2.5Une impulsion laser femtoseconde

Une impulsion de $Δ t = 10 f s$ centrée sur $λ_{0} = 800 nm$ ( $f_{0} = 3, 75 \times 1 0^{14} H z$ , période $2, 7 f s$ ) ne contient que quatre périodes environ. Son spectre a pour largeur $Δ f \sim 1/Δ t = 1 0^{14} H z$ , soit $Δ f / f_{0} \approx 0, 27$ ; comme $Δ λ / λ_{0} = Δ f / f_{0}$ , il s'étend sur plus de $200 nm$ : une telle impulsion n'est pas monochromatique du tout.

2.2.2 Vitesse de groupe

Considérons la superposition de deux ondes de même amplitude, de pulsations voisines $ω_{0} \pm \frac{Δ ω}{2}$ et de vecteurs d'onde $k_{0} \pm \frac{Δ k}{2}$ :

$s (x, t) = s_{0} cos [(ω_{0} + \frac{Δ ω}{2}) t - (k_{0} + \frac{Δ k}{2}) x] + s_{0} cos [(ω_{0} - \frac{Δ ω}{2}) t - (k_{0} - \frac{Δ k}{2}) x],$

soit, en sommant les deux cosinus,

$s (x, t) = enveloppe 2 s_{0} cos (\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} x) porteuse cos (ω_{0} t - k_{0} x) .$

Figure : Battement de deux ondes voisines : la porteuse (trait plein) avance à la vitesse de

phase $v_{φ}$ , l'enveloppe (tiretés) à la vitesse $Δ ω /Δ k$ , qui tend vers la

vitesse de groupe

v_{g}

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe se déplace à $Δ ω /Δ k$ . Pour un paquet continu de spectre étroit, le même raisonnement (exercice résolu « l'enveloppe avance à la vitesse de groupe ») conduit à la limite $Δ ω \to 0$ :

Définition 2.6Vitesse de groupe

La vitesse de groupe d'un paquet d'ondes centré sur $ω_{0}$ , dans un milieu non absorbant ( $k$ réel), est

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{ω_{0}} (= (\frac{d k}{d ω})^{- 1}) .$

C'est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet, donc de l'énergie et de l'information, tant que le milieu est faiblement dispersif sur la largeur $Δ ω$ du spectre.

Figure : Interprétation géométrique :

v_{φ}

est la pente de la corde

O M

v_{g}

la pente de la tangente en

M

à la courbe

ω (k)

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$

À partir de la relation de dispersion :

exprimer $k (ω)$ (ou $ω (k)$ ) dans le domaine de propagation ( $k$ réel) ;
vitesse de phase : $v_{φ} = ω / k$ ;
vitesse de groupe : $v_{g} = d ω / d k$ , soit $v_{g} = 1/ (d k / d ω)$ ; si la relation est donnée sous la forme $ω^{2} = f (k)$ , différentier les deux membres est le plus court.

Milieu non dispersif $\Leftrightarrow$ $v_{φ} = v_{g} = cte$ .

Exemple 2.7La corde sur support élastique

De $ω^{2} = ω_{c}^{2} + c^{2} k^{2}$ on tire $2 ω d ω = 2 c^{2} k d k$ , d'où $v_{g} = \frac{c ^{2} k}{ω} = c 1 - ω_{c}^{2} / ω^{2} < c$ , alors que $v_{φ} = \frac{ω}{k} > c$ : $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ . Près de la coupure, l'enveloppe avance très lentement ( $v_{g} \to 0$ ).

2.2.3 Étalement d'un paquet dans un milieu dispersif

Proposition 2.8Dispersion et étalement

Dans un milieu dispersif, $v_{g} = d ω / d k$ dépend de $ω$ . Les différentes composantes spectrales du paquet se propageant à des vitesses différentes, le paquet s'étale : sa largeur $Δ x$ croît, son amplitude crête décroît (à énergie conservée). L'étalement est d'autant plus rapide que la courbure $d^{2} ω / d k^{2}$ (dispersion de la vitesse de groupe) est grande et que le spectre est large. On se limite en général au cas où l'étalement est négligeable : le paquet est alors une enveloppe rigide qui avance à $v_{g}$ .

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif

On simule la propagation d'un paquet gaussien dans un milieu de relation de dispersion $ω (k) = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ (celle du plasma, et de la corde sur support élastique), en unités réduites ( $c = ω_{p} = 1$ ). Le paquet initial, écrit avec la convention du cours $e^{j (ω t - k x)}$ , est $s (x, 0) = e^{- x^{2} /2 σ^{2}} e^{- j k_{0} x}$ ; il est complexe, ce qui ne garde que les ondes qui avancent vers les $x > 0$ (un signal réel contiendrait aussi la moitié qui part vers les $x < 0$ ). On le décompose par transformée de Fourier discrète, on multiplie chaque composante par $e^{j ω (k) t}$ , on reconstruit le signal et l'on trace sa partie réelle (le signal physique) et son module (l'enveloppe).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, omega_p = 1.0, 1.0          # unites reduites
k0, sigma = 2.0, 2.0           # vecteur d'onde central, largeur initiale

def omega(k):                  # relation de dispersion (paire en k)
    return np.sqrt(omega_p**2 + (c*k)**2)

N = 8192
x = np.linspace(-200.0, 800.0, N, endpoint=False)   # boite longue : pas de repliement
dx = x[1] - x[0]

# Convention du cours exp(j(omega t - k x)) : a t = 0, le paquet vaut
# exp(-x^2/2 sigma^2) exp(-j k0 x).
s0 = np.exp(-x**2/(2*sigma**2)) * np.exp(-1j*k0*x)
S0 = np.fft.fft(s0)
q = 2*np.pi*np.fft.fftfreq(N, d=dx)   # la FFT decompose sur exp(+j q x), soit q = -k

def paquet(t):                 # chaque composante recoit le facteur exp(+j omega t)
    return np.fft.ifft(S0 * np.exp(1j*omega(q)*t))

def centre_largeur(s):         # centre et largeur quadratique de |s|^2
    p = np.abs(s)**2
    xm = np.sum(x*p)/np.sum(p)
    return xm, np.sqrt(np.sum((x - xm)**2*p)/np.sum(p))

v_phi, v_g = omega(k0)/k0, c**2*k0/omega(k0)
print("v_phi = %.3f   v_g = %.3f   v_phi*v_g = %.3f" % (v_phi, v_g, v_phi*v_g))

_, larg0 = centre_largeur(paquet(0.0))
fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 6), sharex=True, sharey=True)
for a, t in zip(ax, [0.0, 90.0, 180.0]):
    s = paquet(t)
    xm, larg = centre_largeur(s)
    print("t = %3.0f : centre %5.1f (v_g*t = %5.1f), largeur x %.2f, amplitude %.2f"
          % (t, xm, v_g*t, larg/larg0, np.abs(s).max()))
    a.plot(x, s.real, color="#0f7387", lw=0.6)       # signal physique
    a.plot(x, np.abs(s), color="crimson", lw=1.2)    # enveloppe
    a.axvline(v_g*t, color="crimson", ls="--", lw=0.8)
    a.set_ylabel("t = %.0f" % t)
ax[-1].set_xlim(-20, 200); ax[-1].set_xlabel("x")
ax[0].set_title("Etalement d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif")
plt.tight_layout(); plt.savefig("paquet_dispersif.png", dpi=130)

Le programme affiche :


v_phi = 1.118   v_g = 0.894   v_phi*v_g = 1.000
t =   0 : centre  -0.0 (v_g*t =   0.0), largeur x 1.00, amplitude 1.00
t =  90 : centre  79.8 (v_g*t =  80.5), largeur x 2.58, amplitude 0.68
t = 180 : centre 159.7 (v_g*t = 161.0), largeur x 4.87, amplitude 0.51

Observations. Un unique paquet avance vers la droite ; son centre suit $v_{g} t$ à $1 %$ près (trait tireté), alors que les crêtes de la porteuse vont plus vite ( $v_{φ} > v_{g}$ ) et traversent l'enveloppe d'arrière en avant. Surtout, le paquet s'étale : sa largeur est multipliée par $2, 6$ en $t = 90$ et par $4, 9$ en $t = 180$ , et son amplitude crête est divisée par deux. La porteuse n'est plus régulière : les composantes de grand $k$ , plus rapides ( $v_{g}$ croît avec $k$ ), sont passées en tête. Avec un paquet plus large ( $σ = 6$ ) centré sur $k_{0} = 4$ , le même code ne montre aucun étalement visible ( $+ 0, 26$ % seulement) : l'exercice résolu « paquet d'ondes en Python » donne le critère.

Figure : Résultat de la simulation (

k_{0} = 2

σ = 2

, unités réduites) aux instants

t = 0

$90$ et $180$ : signal $Re s$ (trait fin) et enveloppe $\pm ∣ s ∣$ (trait épais). Le trait tireté marque la position $v_{g} t$ . Le paquet s'élargit et s'affaisse :

c'est l'étalement dispersif.

2.3 Propagation d'une onde électrique dans un câble coaxial

2.3.1 Modèle à constantes réparties

Un câble coaxial est formé de deux conducteurs cylindriques de même axe, séparés par un isolant. Sa longueur est grande devant la longueur d'onde des signaux qu'il transporte : on ne peut plus lui appliquer l'approximation des régimes quasi stationnaires d'un bloc. On le découpe en tronçons de longueur $d x ≪ λ$ , à chacun desquels elle s'applique. Un tronçon est modélisé par une inductance $Λ d x$ et une résistance $R d x$ en série (les deux conducteurs), une capacité $C d x$ et une conductance $G d x$ en parallèle (l'isolant) : $Λ$ , $R$ , $C$ , $G$ sont des grandeurs linéiques, fournies ou mesurées (la lettre $Λ$ évite la confusion avec une longueur).

Figure : Tronçon de câble de longueur

d x

, modèle à constantes réparties : en série, la

résistance et l'inductance des conducteurs ; en parallèle, la capacité et la conductance de fuite

de l'isolant.

La loi des mailles sur le tronçon et la loi des nœuds à sa sortie donnent, au premier ordre en $d x$ ,

$u (x, t) - u (x + d x, t) = R d x i + Λ d x \frac{\partial i}{\partial t}, i (x, t) - i (x + d x, t) = G d x u + C d x \frac{\partial u}{\partial t},$

soit les équations des télégraphistes

$\frac{\partial u}{\partial x} = - R i - Λ \frac{\partial i}{\partial t}, \frac{\partial i}{\partial x} = - G u - C \frac{\partial u}{\partial t} .$

2.3.2 Câble sans pertes : propagation non dispersive

Pour $R = G = 0$ , on dérive la première équation par rapport à $x$ , la seconde par rapport à $t$ , et l'on élimine $i$ :

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - Λ C \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = 0 :$

c'est l'équation de d'Alembert, de célérité $c = 1/ Λ C$ ; $i$ vérifie la même équation. Pour une onde progressive $u = f (t - x / c)$ , la première équation donne $Λ \frac{\partial i}{\partial t} = \frac{f ^{'}}{c}$ , d'où $i = \frac{u}{Λ c} = \frac{u}{Z _{c}}$ avec l'impédance caractéristique $Z_{c} = Λ/ C$ .

Exemple 2.9Un câble de laboratoire

Avec $Λ = 250 n H . m^{- 1}$ et $C = 100 pF . m^{- 1}$ : $c = 1/ Λ C = 2, 0 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ , soit les deux tiers de la célérité de la lumière dans le vide, et $Z_{c} = 50 Ω$ . Une impulsion met $5 n s$ pour parcourir un mètre de câble : c'est mesurable à l'oscilloscope.

2.3.3 Câble avec pertes : dispersion et absorption

En notation complexe, les équations des télégraphistes deviennent $- j k U = - (R + j Λ ω) I$ et $- j k I = - (G + j C ω) U$ ; leur produit donne la relation de dispersion

$k^{2} = - (R + j Λ ω) (G + j C ω),$

qui redonne $k^{2} = Λ C ω^{2}$ sans pertes. Quand les pertes sont faibles ( $R ≪ Λ ω$ , $G ≪ C ω$ ), un développement au premier ordre donne

$k \approx \frac{ω}{c} - j (\frac{R}{2 Z _{c}} + \frac{G Z _{c}}{2}) :$

à cet ordre, le câble est absorbant sans être dispersif. Mais $R$ dépend de la fréquence (par l'effet de peau, étudié plus loin) et les termes suivants dépendent de $ω$ : un câble réel déforme les impulsions brèves, ce qui limite sa longueur utile.

2.4 Effet de peau dans un conducteur ohmique

2.4.1 Équation de diffusion du champ

Dans un conducteur ohmique de conductivité réelle $γ$ (loi d'Ohm locale $ = γ E$ ), on étudie une onde plane harmonique qui pénètre dans le métal ( $z > 0$ ). Deux propriétés simplifient les équations de Maxwell.

Démonstration (Neutralité locale et basses fréquences)

Neutralité. La conservation de la charge, $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div  = 0$ , avec $ = γ E$ et Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ , donne $\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{γ}{ε _{0}} ρ = 0$ : toute charge volumique disparaît en un temps $ε_{0} / γ \approx 1, 5 \times 1 0^{- 19} s$ pour le cuivre. Le conducteur est localement neutre : $div E = 0$ .

Courant de déplacement. Le rapport du courant de déplacement au courant de conduction vaut

$\frac{ε _{0} \frac{\partial E}{\partial t}}{γ E} = \frac{ε _{0} ω}{γ} .$

Pour le cuivre ( $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ ), il n'atteint $1$ que pour $ω \sim 7 \times 1 0^{18} r a d / s$ (rayons X). On néglige le courant de déplacement devant le courant de conduction : c'est le domaine des basses fréquences. En pratique, la loi d'Ohm à $γ$ réel cesse de valoir bien avant, dans l'infrarouge (vers $1 0^{13} H z$ pour le cuivre), quand la période de l'onde devient comparable à la durée moyenne entre deux collisions d'un électron : l'effet de peau décrit ici vaut de l'électrotechnique aux micro-ondes.

Proposition 2.10Équation de diffusion du champ

Dans ces conditions, le champ électrique dans le conducteur vérifie

$Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} (de m e ˆ me pour B et ).$

Démonstration (Établissement de l'équation)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) .$

Avec $div E = 0$ et Maxwell--Ampère sans courant de déplacement, $rot B = μ_{0}  = μ_{0} γ E$ , il vient $- Δ E = - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t}$ , d'où le résultat.

ImportantUne analogie avec la diffusion thermique

L'équation s'écrit $\frac{\partial E}{\partial t} = D Δ E$ avec $D = \frac{1}{μ _{0} γ}$ (en $m^{2} . s^{- 1}$ ; $D \approx 1, 3 \times 1 0^{- 2} m^{2} . s^{- 1}$ pour le cuivre) : c'est la forme de l'équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} Δ T$ . Le champ ne se propage pas dans le métal, il y diffuse, comme l'onde thermique journalière ou annuelle qui pénètre dans le sol. Les deux problèmes ont les mêmes solutions : ce qui suit vaut pour la température d'une cave enterrée, avec $D_{th}$ à la place de $1/ (μ_{0} γ)$ .

2.4.2 Relation de dispersion et épaisseur de peau

Démonstration (Relation de dispersion)

On cherche $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ . L'équation de diffusion donne

$- k^{2} = μ_{0} γ j ω ⟹ k^{2} = - j μ_{0} γ ω .$

On extrait la racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z > 0$ ). Comme $- j = e^{- j π /2}$ , on a $k = μ_{0} γ ω e^{- j π /4} = μ_{0} γ ω \frac{1 - j}{2}$ , soit

$k = \frac{1 - j}{δ}, δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Définition 2.11Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau d'un conducteur ohmique est $δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω}$ . Le champ réel s'écrit

$E (z, t) = E_{0} e^{- z / δ} cos (ω t - \frac{z}{δ}) e_{x} :$

il est à la fois amorti (facteur $e^{- z / δ}$ ) et propagatif (phase $- z / δ$ ), avec $k^{'} = k^{''} = 1/ δ$ : sur une longueur d'onde $λ = 2 π δ$ , l'amplitude est divisée par $e^{2 π} \approx 535$ . Le milieu est dispersif ( $v_{φ} = ω δ \propto ω$ ) et absorbant.

Figure : Effet de peau : à un instant donné, le champ pénètre dans le conducteur (

z > 0

) en

oscillant et en s'amortissant sur l'épaisseur caractéristique $δ$ ; il est pratiquement nul

au-delà de quelques

δ

. Le courant

 = γ E

se concentre en surface.

2.4.3 Atténuation et dissipation d'énergie

Proposition 2.12L'atténuation est une dissipation

Le champ magnétique se déduit de Maxwell--Faraday : $B = \frac{k}{ω} e_{z} \land E = \frac{1 - j}{ω δ} E_{0} e^{- (1 + j) z / δ} e^{j ω t} e_{y}$ , en retard de $π /4$ sur $E$ . Le vecteur de Poynting moyen vaut

$⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2 μ _{0}} Re (E \land B^{*}) = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} ω δ} e^{- 2 z / δ} e_{z} \neq = 0 :$

de l'énergie entre dans le métal, et le flux décroît en $e^{- 2 z / δ}$ . Ce qui disparaît du flux est cédé aux porteurs de charge : avec $δ^{2} = 2/ (μ_{0} γ ω)$ ,

$- \frac{d ⟨ Π _{z} ⟩}{d z} = \frac{E _{0}^{2}}{μ _{0} ω δ ^{2}} e^{- 2 z / δ} = \frac{γ E _{0}^{2}}{2} e^{- 2 z / δ} = ⟨  \cdot E ⟩,$

puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule. L'atténuation de l'onde dans le conducteur traduit cette dissipation (à la différence de l'onde évanescente du plasma, plus loin).

2.4.4 Épaisseur de peau du cuivre

Exemple 2.13Le cuivre à différentes fréquences

$γ = 6, 0 \times 1 0^{7} S / m$ , $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ , $δ = \frac{1}{π μ _{0} γ f} \approx \frac{6 , 5 c m}{f / ( 1 H z )}$ :

$f$	$50 H z$	$1 k H z$	$1 M H z$	$1 G H z$	$10 G H z$
$δ$	$9, 2 mm$	$2, 1 mm$	$65 μ m$	$2, 1 μ m$	$0, 65 μ m$

$δ$ varie comme $1/ f$ : elle est divisée par $10$ quand $f$ est multipliée par $100$ . À $50 H z$ , un conducteur de quelques millimètres est parcouru par un courant presque uniforme ; à haute fréquence, le courant est confiné dans une pellicule superficielle, la résistance effective augmente (on utilise des câbles multibrins isolés, le fil de Litz), et une feuille métallique mince suffit à arrêter une onde (blindage).

iRemarqueConducteur de très grande conductivité

Quand $γ \to \infty$ , $δ \to 0$ : le champ ne pénètre plus dans le métal, qui renvoie toute l'onde. C'est pourquoi une surface métallique est un excellent miroir pour les ondes radio et les micro-ondes.

2.5 Onde électromagnétique dans un plasma dilué

2.5.1 Modèle du plasma dilué

Un plasma est un gaz ionisé : électrons libres (densité volumique $n$ , charge $- e$ , masse $m$ ) et ions positifs. Il est dilué : on néglige les collisions, donc l'absorption dissipative. On étudie une onde plane harmonique transverse électrique $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ , avec les hypothèses suivantes : ions immobiles (ils sont au moins $1836$ fois plus lourds que les électrons) ; électrons non relativistes ( $v ≪ c$ ), de sorte que la force magnétique de l'onde est négligeable devant la force électrique ; amplitude du mouvement des électrons petite devant la longueur d'onde, de sorte qu'un électron voit le champ en un point fixe.

Proposition 2.14Neutralité électrique locale

Pour l'onde transverse, $E$ ne dépend que de $z$ et est porté par $e_{x}$ : $div E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 0$ . Maxwell--Gauss donne alors $ρ = ε_{0} div E = 0$ : le plasma reste localement neutre en présence de l'onde transverse. Les électrons se déplacent perpendiculairement à $k$ et ne s'accumulent nulle part.

Démonstration (Conductivité complexe du plasma)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, soumis au seul champ électrique de l'onde, s'écrit en notation complexe :

$m j ω v = - e E ⟹ v = \frac{- e}{j mω} E .$

La densité volumique de courant, portée par les seuls électrons, $ = - n e v = γ E$ , fait apparaître la conductivité complexe

$γ = \frac{n e ^{2}}{j mω} = - j \frac{n e ^{2}}{mω} .$

ImportantInterprétation énergétique

$γ$ est imaginaire pure : le courant est en quadrature retard sur le champ (l'inertie des électrons fait que c'est leur accélération, non leur vitesse, qui suit le champ). La puissance volumique moyenne cédée aux électrons est nulle :

$⟨  \cdot E ⟩ = \frac{1}{2} Re ( \cdot E^{*}) = \frac{1}{2} Re (γ) E_{0}^{2} = 0.$

Pendant un quart de période, le champ accélère les électrons ; pendant le suivant, ils lui rendent leur énergie cinétique. L'énergie fait des allers et retours entre le champ et les électrons : le plasma dilué ne dissipe pas d'énergie, contrairement au conducteur ohmique.

2.5.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

Démonstration (Relation de dispersion du plasma)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday et l'on utilise Maxwell--Ampère, $rot B = μ_{0}  + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial E}{\partial t}$ , ainsi que $div E = 0$ (neutralité) :

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = μ_{0} \frac{\partial }{\partial t} = μ_{0} γ j ω E .$

On injecte $Δ \to - k^{2}$ et $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ , avec $γ j ω = n e^{2} / m$ et $μ_{0} c^{2} = 1/ ε_{0}$ :

$- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = μ_{0} \frac{n e ^{2}}{m} ⟹ ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}} .$

C'est la relation de Klein--Gordon déjà rencontrée pour la corde sur support élastique.

Définition 2.15Pulsation plasma

La pulsation plasma $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ est la pulsation propre d'oscillation collective des électrons du plasma ; numériquement, $f_{p} = ω_{p} /2 π \approx 8, 98 n$ ( $f_{p}$ en hertz, $n$ en $m^{- 3}$ ). Elle joue le rôle d'une pulsation de coupure : elle sépare un domaine de transparence d'un domaine réactif.

Figure : Courbe de dispersion du plasma. Pour

ω < ω_{p}

aucune valeur réelle de

k

n'existe : l'onde est évanescente. Pour $ω > ω_{p}$ l'onde se propage ; la courbe,

convexe, tend vers l'asymptote non dispersive

ω = c k

2.5.3 Domaine de transparence : $ω > ω_{p}$

$k = ω^{2} - ω_{p}^{2} / c$ est réel : l'onde se propage sans atténuation, et le milieu est dispersif. La méthode donne

$v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c, v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{c ^{2} k}{ω} = c 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} < c, v_{φ} v_{g} = c^{2} .$

Un paquet d'ondes de pulsation centrale $ω_{0} > ω_{p}$ avance à $v_{g} (ω_{0})$ ; les composantes de basse fréquence, plus lentes, arrivent en retard (dispersion des signaux des pulsars, correction ionosphérique du GPS).

Figure : Vitesses de phase et de groupe dans le plasma en fonction de

ω / ω_{p}

dans le domaine de transparence, $v_{φ} > c$ et $v_{g} < c$ avec $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; les deux

tendent vers

c

à haute fréquence, et

v_{g} \to 0

à la coupure.

2.5.4 Domaine réactif : $ω < ω_{p}$ , onde évanescente

$k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2} < 0$ : le vecteur d'onde est imaginaire pur,

$k = - j κ, κ = \frac{ω _{p}^{2} - ω ^{2}}{c},$

en gardant la racine qui donne une amplitude bornée vers $z > 0$ . Le champ réel vaut

$E (z, t) = E_{0} e^{- κ z} cos (ω t) e_{x} .$

ImportantCaractéristiques de l'onde stationnaire évanescente

Elle est stationnaire : les variables d'espace et de temps sont séparées, tous les points vibrent en phase ; aucune crête ne se déplace (pas de propagation de phase).
Son amplitude décroît exponentiellement : la longueur $1/ κ = \frac{c}{ω _{p}^{2} - ω ^{2}}$ est la profondeur de pénétration de l'onde dans le plasma ; elle diverge à la coupure. (Certains énoncés la notent $δ$ ; on réserve ici $δ$ à l'épaisseur de peau du conducteur ohmique.)
Elle ne transporte aucune puissance en moyenne (ci-dessous) : l'onde incidente sur le plasma est réfléchie totalement. À $ω = ω_{p}$ , $k = 0$ : c'est la coupure.

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