Interfaces entre deux milieux

Cours complet · physique des ondes 2 (PC), chapitre 3 · CPGE PC (2e année)

Jusqu'ici, une onde a été étudiée dans un milieu unique, homogène et illimité. En réalité, une onde rencontre presque toujours une discontinuité : une corde change de nature, une onde sonore passe de l'air à l'eau, une onde lumineuse traverse une vitre, un signal électrique atteint le bout d'un câble. À une telle interface, une partie de l'onde repart en arrière — c'est l'onde réfléchie — tandis que l'autre poursuit sa route dans le second milieu — c'est l'onde transmise.

L'objectif de ce chapitre est de prévoir quantitativement le partage entre réflexion et transmission. Nous verrons qu'un unique paramètre, l'impédance du milieu vis-à-vis de l'onde, gouverne ce partage, et qu'il obéit toujours à la même loi. Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude s'écrivent de manière universelle à partir des impédances, et la conservation de l'énergie impose $R + T = 1$ pour les coefficients en puissance. Nous appliquerons ce cadre à la corde, à l'acoustique, aux ondes électromagnétiques et à la ligne coaxiale, et nous dégagerons la notion capitale d'adaptation d'impédance, qui optimise le transfert d'énergie d'un milieu à l'autre.

3.1 Impédance d'une onde progressive

3.1.1 Une définition commune

Pour toutes les ondes progressives que nous étudions, deux grandeurs physiques se propagent conjointement : une grandeur « d'effort » (une force, une surpression, un champ électrique, une tension) et une grandeur « de flux » (une vitesse, un débit, un champ magnétique, un courant). L'impédance mesure leur rapport.

Définition 3.1Impédance caractéristique

Pour une onde plane progressive harmonique se propageant vers les $x$ croissants, l'impédance $Z$ du milieu est le rapport (constant) de la grandeur d'effort à la grandeur de flux :

$Z = \frac{grandeur d’effort}{grandeur de flux} .$

Pour une onde progressant vers les $x$ décroissants, ce rapport vaut $- Z$ .

Domaine	Effort	Flux	Impédance
Corde tendue	force transverse $F$	vitesse transverse $v$	$Z = T μ = μ c$
Acoustique	surpression $p$	vitesse $v$	$Z = ρ_{0} c$
Électromagnétisme	champ $E$	champ $H$	$Z = μ / ε = Z_{0} / n$
Ligne électrique	tension $U$	courant $I$	$Z_{c} = L / C$

iRemarque

$Z_{0} = μ_{0} / ε_{0} ≃ 377 Ω$ est l'impédance du vide. Dans un milieu non magnétique d'indice $n$ , l'impédance électromagnétique vaut $Z = Z_{0} / n$ : plus l'indice est grand, plus l'impédance est faible.

3.1.2 Impédance mécanique d'une corde

Considérons une corde de masse linéique $μ$ tendue avec la tension $T$ , siège d'une onde transverse $y (x, t)$ . La force transverse exercée par la partie gauche sur la partie droite au point d'abscisse $x$ est $F = - T \partial_{x} y$ , et la vitesse transverse est $v = \partial_{t} y$ .

Démonstration (Calcul de l'impédance)

Pour une onde progressive $y = f (t - x / c)$ avec $c = T / μ$ , on a $\partial_{x} y = - \frac{1}{c} f^{'}$ et $\partial_{t} y = f^{'}$ , d'où

$F = - T \partial_{x} y = \frac{T}{c} f^{'} = \frac{T}{c} v .$

L'impédance mécanique de la corde est donc

$Z = \frac{T}{c} = \frac{T}{T / μ} = T μ = μ c .$

Pour une onde régressive $y = g (t + x / c)$ , le même calcul donne $F = - Z v$ .

3.2 Réflexion et transmission sur une corde

3.2.1 Jonction de deux cordes

Deux cordes de masses linéiques $μ_{1}$ et $μ_{2}$ , tendues avec la même tension $T$ , sont raboutées en $x = 0$ . Une onde harmonique arrive depuis $x < 0$ . Les célérités sont $c_{i} = T / μ_{i}$ et les impédances $Z_{i} = T μ_{i}$ , avec $k_{i} = ω / c_{i}$ .

On écrit le déplacement dans chaque milieu en notation complexe :

$y_{1} = A_{i} e^{i (ω t - k_{1} x)} + A_{r} e^{i (ω t + k_{1} x)}, y_{2} = A_{t} e^{i (ω t - k_{2} x)} .$

3.2.2 Conditions de continuité

ImportantLes deux conditions à l'interface

À la jonction ( $x = 0$ ) d'une corde sans masse ponctuelle ajoutée :

[(1)] continuité du déplacement : la corde ne se rompt pas, $y_{1} (0, t) = y_{2} (0, t)$ ;
[(2)] continuité de la force transverse : $T \partial_{x} y_{1} (0, t) = T \partial_{x} y_{2} (0, t)$ , sinon un élément de masse nulle subirait une force finie donc une accélération infinie.

Démonstration (Coefficients de la corde)

Posons $r = A_{r} / A_{i}$ et $t = A_{t} / A_{i}$ . La continuité du déplacement donne

$A_{i} + A_{r} = A_{t} ⟹ 1 + r = t .$

La continuité de la pente ( $\partial_{x}$ ) donne $- i k_{1} A_{i} + i k_{1} A_{r} = - i k_{2} A_{t}$ , soit

$k_{1} (1 - r) = k_{2} t = k_{2} (1 + r) .$

On en tire $r (k_{1} + k_{2}) = k_{1} - k_{2}$ . Comme $k_{i} = ω / c_{i} \propto Z_{i}$ (car $Z_{i} = T / c_{i}$ ),

$r = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} et t = 1 + r = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

iRemarqueCas limites

Extrémité fixe : $Z_{2} \to \infty$ (corde 2 infiniment lourde), $r \to - 1$ . L'onde se réfléchit en s'inversant (nœud de déplacement).
Extrémité libre : $Z_{2} \to 0$ , $r \to + 1$ . Réflexion sans inversion (ventre de déplacement).
Milieux adaptés : $Z_{1} = Z_{2} \Rightarrow r = 0$ : pas de réflexion, l'onde passe intégralement.

3.3 Bilan d'énergie : coefficients en puissance

Les coefficients $r$ et $t$ décrivent les amplitudes. Le partage de l'énergie se fait par les coefficients en puissance.

Définition 3.2Coefficients en puissance

Si $⟨ P_{i} ⟩$ , $⟨ P_{r} ⟩$ et $⟨ P_{t} ⟩$ désignent les puissances moyennes incidente, réfléchie et transmise à travers l'interface,

$R = \frac{⟨ P _{r} ⟩}{⟨ P _{i} ⟩}, T = \frac{⟨ P _{t} ⟩}{⟨ P _{i} ⟩} .$

La puissance moyenne transportée par une onde progressive est proportionnelle à $Z$ fois le carré de l'amplitude de flux (ou $∣ amplitude effort ∣^{2} / Z$ ). Pour la corde, $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} Z ω^{2} ∣ A ∣^{2}$ .

Démonstration (La relation

R + T = 1

)

Le coefficient en puissance de réflexion (même milieu) est $R = ∣ r ∣^{2}$ . Pour la transmission, il faut tenir compte du changement d'impédance : $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} Z ω^{2} ∣ A ∣^{2}$ donne

$R = ∣ r ∣^{2} = (\frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} ∣ t ∣^{2} = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} (\frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} .$

On vérifie la conservation de l'énergie :

$R + T = \frac{( Z _{1} - Z _{2} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1.$

Important

La relation $R + T = 1$ traduit la conservation de l'énergie : aucune énergie n'est stockée ni dissipée à une interface non absorbante. Elle est universelle, indépendante de la nature de l'onde.

3.4 Acoustique : interface entre deux fluides

Une onde sonore plane se propage dans un fluide $1$ ( $ρ_{1}, c_{1}$ , impédance $Z_{1} = ρ_{1} c_{1}$ ) et rencontre en incidence normale un fluide $2$ ( $Z_{2} = ρ_{2} c_{2}$ ). Les grandeurs sont la surpression $p$ et la vitesse $v$ , liées par $p = Z v$ (onde $+ x$ ) ou $p = - Z v$ (onde $- x$ ).

ImportantContinuités acoustiques

À l'interface : continuité de la surpression $p$ (équilibre mécanique de l'interface) et continuité de la vitesse normale $v$ (les fluides restent au contact).

Démonstration (Coefficients acoustiques)

Notons $r = p_{r} / p_{i}$ et $t = p_{t} / p_{i}$ (coefficients en surpression). La continuité de $p$ donne $1 + r = t$ . La continuité de $v$ s'écrit, avec $v = p / Z$ pour les ondes progressives et $v = - p / Z$ pour l'onde réfléchie :

$\frac{p _{i}}{Z _{1}} - \frac{p _{r}}{Z _{1}} = \frac{p _{t}}{Z _{2}} ⟹ Z_{2} (1 - r) = Z_{1} (1 + r) .$

On obtient

$r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}, t_{p} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

Les coefficients en vitesse en découlent : $r_{v} = - r_{p} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ et $t_{v} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ . Les coefficients en puissance surfacique moyenne valent

$R = r_{p}^{2} = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}, R + T = 1.$

Exemple 3.3Interface air / eau

$Z_{air} ≃ 413 k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ et $Z_{eau} ≃ 1.5 \times 1 0^{6} k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ . Alors

$R = (\frac{Z _{eau} - Z _{air}}{Z _{eau} + Z _{air}})^{2} ≃ 0, 9989,$

soit $T ≃ 0, 1 %$ . Le désaccord d'impédance est tel que le son est presque totalement réfléchi : c'est pourquoi on n'entend quasiment rien de l'extérieur la tête sous l'eau.

3.5 Ondes électromagnétiques en incidence normale

Une onde plane progressive harmonique, polarisée rectilignement, arrive sous incidence normale sur l'interface plane entre deux milieux diélectriques d'indices (éventuellement complexes) $n_{1}$ et $n_{2}$ . On admet la continuité des composantes tangentielles de $E$ et de $H$ .

Démonstration (Coefficients en champ électrique)

Avec $Z_{i} = Z_{0} / n_{i}$ et $H = E / Z$ , le problème est formellement identique à l'acoustique en remplaçant $p \to E$ et $v \to H$ . La continuité de $E$ donne $1 + r = t$ ; celle de $H$ donne $(1 - r) / Z_{1} = t / Z_{2}$ . Il vient, en repassant aux indices ( $Z \propto 1/ n$ ) :

$r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}, t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}} .$

En puissance :

$R = ∣ r ∣^{2} = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}^{2}, T = \frac{4 n _{1} n _{2}}{∣ n _{1} + n _{2} ∣ ^{2}} (milieux transparents), R + T = 1.$

Exemple 3.4Réflexion sur une vitre

Air ( $n_{1} = 1$ ) vers verre ( $n_{2} = 1, 5$ ) : $r = \frac{1 - 1 , 5}{1 + 1 , 5} = - 0, 2$ , donc $R = ∣ r ∣^{2} = 0, 04$ . Une vitre renvoie environ $4 %$ de l'intensité par face — d'où les reflets. Le signe $r < 0$ signale un déphasage de $π$ à la réflexion sur un milieu plus réfringent.

iRemarqueIndices complexes

Pour un milieu absorbant (métal, plasma), $n_{2}$ est complexe et les formules restent valables : $R$ tend vers $1$ pour un bon conducteur, ce qui explique le pouvoir réfléchissant des métaux.

3.6 Adaptation d'impédance

Le partage réflexion/transmission dépend uniquement du contraste $Z_{2} / Z_{1}$ . La transmission d'énergie est maximale ( $T = 1$ , $R = 0$ ) lorsque $Z_{1} = Z_{2}$ : on dit alors que les impédances sont adaptées.

ImportantAdaptation d'impédance

Le transfert de puissance d'un milieu à l'autre est maximal quand les impédances sont égales. Un fort désaccord d'impédance ( $Z_{1} ≪ Z_{2}$ ou $Z_{1} ≫ Z_{2}$ ) entraîne une réflexion quasi totale et une transmission médiocre.

Proposition 3.5Adaptateur quart d'onde

Pour relier sans réflexion deux milieux d'impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ , on intercale une couche d'épaisseur $λ /4$ (dans la couche) et d'impédance intermédiaire

$Z_{int} = Z_{1} Z_{2} .$

C'est le principe des traitements anti-reflet en optique et des adaptateurs acoustiques (gel échographique entre la sonde et la peau).

3.7 Application à la ligne coaxiale

3.7.1 Impédance caractéristique

Une ligne (câble coaxial) est décrite par une inductance linéique $L$ et une capacité linéique $C$ . La tension $U (x, t)$ et le courant $I (x, t)$ obéissent aux équations des télégraphistes ; les ondes progressives se propagent à $c = 1/ L C$ et vérifient $U = \pm Z_{c} I$ avec l'impédance caractéristique

$Z_{c} = \frac{L}{C} (typiquement 50 Ω ou 75 Ω) .$

3.7.2 Réflexion en bout de ligne

La ligne, de longueur finie, est terminée par une impédance de charge $Z_{L}$ . À l'extrémité, $U = Z_{L} I$ . Le coefficient de réflexion en tension est défini par $Γ = U^{-} / U^{+}$ .

Démonstration (Coefficient de réflexion terminal)

En bout de ligne, $U = U^{+} + U^{-}$ et $I = (U^{+} - U^{-}) / Z_{c}$ . La condition $U = Z_{L} I$ donne

$U^{+} + U^{-} = \frac{Z _{L}}{Z _{c}} (U^{+} - U^{-}) ⟹ Γ = \frac{Z _{L} - Z _{c}}{Z _{L} + Z _{c}} .$

ImportantTrois terminaisons de référence

Ligne adaptée $Z_{L} = Z_{c}$ : $Γ = 0$ , aucune réflexion, toute l'énergie est absorbée par la charge.
Circuit ouvert $Z_{L} \to \infty$ : $Γ = + 1$ , réflexion totale, la tension se double à l'extrémité.
Court-circuit $Z_{L} = 0$ : $Γ = - 1$ , réflexion totale avec inversion de la tension.
Charge résistive $Z_{L} = R$ : $Γ = \frac{R - Z _{c}}{R + Z _{c}}$ , réflexion partielle.

iRemarqueRéflectométrie

En envoyant une impulsion dans un câble et en mesurant l'écho renvoyé (temps d'aller-retour et signe de $Γ$ ), on localise et identifie un défaut : coupure ( $Γ = + 1$ ) ou court-circuit ( $Γ = - 1$ ). C'est la réflectométrie temporelle (TDR).

3.8 Synthèse du chapitre

L'impédance $Z = effort / flux$ résume la réponse d'un milieu : $Z = T μ$ (corde), $Z = ρ_{0} c$ (acoustique), $Z = Z_{0} / n$ (électromagnétisme), $Z_{c} = L / C$ (ligne).
Coefficients en amplitude (côté « déplacement/vitesse ») :

$r = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}, t = 1 + r = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

Coefficients en puissance : $R = (\frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}$ , $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}$ , avec toujours $R + T = 1$ .
EM en incidence normale : $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ , $t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$ ; vitre air/verre : $R ≃ 4 %$ .
Adaptation d'impédance : transfert d'énergie maximal quand $Z_{1} = Z_{2}$ ; adaptateur quart d'onde $Z_{int} = Z_{1} Z_{2}$ .
Ligne coaxiale : $Γ = \frac{Z _{L} - Z _{c}}{Z _{L} + Z _{c}}$ ; adaptée ( $0$ ), ouverte ( $+ 1$ ), court-circuitée ( $- 1$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.9 Exercices résolus

Exemple 3.6Deux cordes de masses différentes

Deux cordes de même tension sont raboutées, avec $μ_{2} = 4 μ_{1}$ . Calculer $r$ , $t$ , $R$ et $T$ .

Démonstration

$Z_{i} = T μ_{i}$ donc $Z_{2} = 4 Z_{1} = 2 Z_{1}$ . Ainsi

$r = \frac{Z _{1} - 2 Z _{1}}{Z _{1} + 2 Z _{1}} = - \frac{1}{3}, t = 1 + r = \frac{2}{3}, R = \frac{1}{9} ≃ 11%, T = 1 - R = \frac{8}{9} ≃ 89%.$

Vérification directe : $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{4 \cdot 2 Z _{1}^{2}}{9 Z _{1}^{2}} = \frac{8}{9}$ . ✓

Exemple 3.7Extrémités fixe et libre

Retrouver le coefficient de réflexion d'une corde attachée à un mur, puis reliée à un anneau glissant sans frottement.

Démonstration

Mur : le second milieu est infiniment rigide, $Z_{2} \to \infty$ , d'où $r = lim_{Z_{2} \to \infty} \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} = - 1$ : onde inversée, nœud de déplacement. Anneau libre : aucune force de rappel transverse, $Z_{2} \to 0$ , $r = + 1$ : onde non inversée, ventre de déplacement. Dans les deux cas $R = 1$ , $T = 0$ : réflexion totale.

Exemple 3.8Transmission son air

\to

eau

Estimer le pourcentage d'énergie sonore transmise de l'air ( $Z_{1} = 413 k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ ) à l'eau ( $Z_{2} = 1.5 \times 1 0^{6} k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ ) en incidence normale.

Démonstration

$T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} ≃ \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{Z _{2}^{2}} = \frac{4 Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{4 \times 413}{1 , 5 \times 1 0 ^{6}} ≃ 1, 1 \times 1 0^{- 3} .$

Soit $T ≃ 0, 11 %$ : la quasi-totalité de l'énergie est réfléchie. Le fort désaccord d'impédance rend le couplage air/eau très inefficace.

Exemple 3.9Adaptateur quart d'onde

Montrer qu'une couche d'impédance $Z_{int} = Z_{1} Z_{2}$ présente le même contraste d'impédance aux deux interfaces successives $Z_{1} ∣ Z_{int}$ et $Z_{int} ∣ Z_{2}$ .

Démonstration

Avec $Z_{int} = Z_{1} Z_{2}$ on a $Z_{int}^{2} = Z_{1} Z_{2}$ , donc $Z_{int} / Z_{1} = Z_{2} / Z_{int}$ : le contraste d'impédance est identique aux deux traversées. La couche répartit le saut en deux marches égales ; avec l'épaisseur $λ /4$ , les deux ondes réfléchies interfèrent destructivement et la réflexion globale s'annule. C'est le principe du gel échographique et des traitements anti-reflet.

Exemple 3.10Vitre : réflexion sur les deux faces

Une lame de verre ( $n = 1, 5$ ) est éclairée en incidence normale par de la lumière venant de l'air. Estimer la fraction transmise après les deux faces (en négligeant les interférences).

Démonstration

À chaque face, $R = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2} = (\frac{0 , 5}{2 , 5})^{2} = 0, 04$ . Chaque interface transmet $T = 0, 96$ . Après deux faces (indépendantes), la transmission est $T^{2} ≃ 0, 92$ , soit environ $8 %$ de pertes par réflexion. D'où l'intérêt des traitements anti-reflet sur les optiques.

Exemple 3.11Câble mal terminé

Un câble coaxial $Z_{c} = 50 Ω$ est fermé sur une résistance $R = 75 Ω$ . Calculer $Γ$ et la fraction de puissance réfléchie.

Démonstration

$Γ = \frac{R - Z _{c}}{R + Z _{c}} = \frac{75 - 50}{75 + 50} = \frac{25}{125} = 0, 2.$

La puissance réfléchie vaut $∣Γ ∣^{2} = 0, 04$ , soit $4 %$ . Une adaptation $R = Z_{c} = 50 Ω$ annulerait la réflexion et maximiserait la puissance délivrée à la charge.

Exemple 3.12Écho sur une ligne ouverte

Une impulsion de tension est envoyée dans un câble ( $Z_{c} = 50 Ω$ , $c = 2 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ ) de longueur $L = 100 m$ laissé ouvert au bout. Décrire l'écho reçu à l'entrée.

Démonstration

Extrémité ouverte : $Z_{L} \to \infty$ , $Γ = + 1$ . L'impulsion se réfléchit sans inversion et revient à l'entrée après un aller-retour de durée

$τ = \frac{2 L}{c} = \frac{2 \times 100}{2 \times 1 0 ^{8}} = 1 \times 1 0^{- 6} s = 1 μ s .$

On observe donc, $1 μ s$ après l'émission, un écho de même signe : signature d'une coupure. Un court-circuit ( $Γ = - 1$ ) donnerait un écho inversé.

3.10 Exercices d'entraînement

Impédances. Calculer l'impédance mécanique d'une corde de $μ = 5 g . m^{- 1}$ tendue à $T = 80 N$ . En déduire la célérité.
Corde allégée. Deux cordes de même tension avec $μ_{2} = μ_{1} /4$ . Calculer $r$ , $t$ , $R$ , $T$ et commenter le signe de $r$ .
Continuités. Justifier physiquement pourquoi la force transverse est continue à la jonction de deux cordes sans masse ponctuelle ajoutée.
Perle ponctuelle. On ajoute une masse ponctuelle $m$ à la jonction ( $μ_{1} = μ_{2}$ ). Écrire la nouvelle condition de continuité de la force et discuter qualitativement l'apparition d'une réflexion.
Acoustique. Interface eau ( $Z_{1}$ ) / air ( $Z_{2} < Z_{1}$ ). Donner les signes de $r_{p}$ et $r_{v}$ et interpréter le déphasage de la surpression réfléchie.
Bilan d'énergie. Démontrer $R + T = 1$ à partir des expressions générales de $R$ et $T$ en fonction de $Z_{1}$ et $Z_{2}$ .
Verre traité. On veut annuler la réflexion air ( $n = 1$ ) / verre ( $n = 1, 5$ ) par une couche anti-reflet. Donner l'indice idéal de la couche.
Métal. En modélisant un métal par un indice $n_{2}$ de grand module, expliquer pourquoi $R \to 1$ et relier ce résultat au pouvoir réfléchissant des miroirs métalliques.
Ligne adaptée. Un câble $Z_{c} = 50 Ω$ alimente une antenne $50 Ω$ . Calculer $Γ$ et la puissance réfléchie ; commenter l'intérêt de l'adaptation.
Court-circuit. Même câble fermé sur un court-circuit. Donner $Γ$ et décrire l'écho reçu à l'entrée en signe et en instant.
Charge résistive. Un câble $75 Ω$ est fermé sur $R = 300 Ω$ . Calculer $Γ$ , puis la valeur de $R$ qui minimiserait la réflexion.
Réflectométrie. Une impulsion envoyée dans un câble ( $c = 2 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ ) revient inversée après $0.8 μ s$ . Déterminer la nature et la position du défaut.

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