Interfaces entre deux milieux

Cours · physique des ondes 2 (PC), chapitre 3 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde qui arrive à l'interface entre deux milieux se partage en une onde réfléchie et une onde transmise.

Jusqu'ici, une onde a été étudiée dans un milieu unique, homogène et illimité. En réalité, une onde rencontre presque toujours une discontinuité : une corde change de nature, une onde sonore passe de l'air à l'eau, une onde lumineuse traverse une vitre, un signal électrique atteint le bout d'un câble. À une telle interface, une partie de l'onde repart en arrière — c'est l'onde réfléchie — tandis que l'autre poursuit sa route dans le second milieu — c'est l'onde transmise.

L'objectif de ce chapitre est de prévoir quantitativement le partage entre réflexion et transmission, en incidence normale sur une interface plane. Nous verrons qu'un unique paramètre, l'impédance du milieu vis-à-vis de l'onde, gouverne ce partage, et qu'il obéit toujours à la même loi. Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude s'écrivent à partir des impédances, à condition de toujours dire de quelle grandeur on parle ; la conservation de l'énergie impose $R + T = 1$ pour les coefficients en puissance. Nous appliquerons ce cadre à la corde, à l'acoustique, aux ondes électromagnétiques et au câble coaxial, et nous dégagerons la notion capitale d'adaptation d'impédance, qui optimise le transfert d'énergie d'un milieu à l'autre.

3.1 Impédance d'une onde progressive

3.1.1 Une définition commune

Pour toutes les ondes progressives que nous étudions, deux grandeurs physiques se propagent conjointement : une grandeur « d'effort » (une force, une surpression, un champ électrique, une tension) et une grandeur « de flux » (une vitesse, un champ magnétique, un courant). L'impédance mesure leur rapport.

Définition 3.1Impédance caractéristique

Pour une onde plane progressive harmonique se propageant vers les $x$ croissants, l'impédance $Z$ du milieu est le rapport (constant) de la grandeur d'effort à la grandeur de flux :

$Z = \frac{grandeur d’effort}{grandeur de flux} .$

Pour une onde progressant vers les $x$ décroissants, ce rapport vaut $- Z$ .

Domaine	Effort	Flux	Impédance
Corde tendue	force transverse $F$	vitesse transverse $v$	$Z = T μ = μ c$
Acoustique	surpression $p$	vitesse $v$	$Z = ρ_{0} c$
Onde électromagnétique	champ $E$	$B / μ_{0}$	$Z = Z_{0} / n$
Câble coaxial	tension $U$	intensité $I$	$Z_{c} = Λ/ C$

iRemarqueImpédance électromagnétique

Dans le vide, $B = E / c$ donne $E / (B / μ_{0}) = μ_{0} c = Z_{0} ≃ 377 Ω$ , l'impédance du vide. Dans un milieu non magnétique, transparent, d'indice $n$ , on admet qu'une onde plane progressive harmonique a la même structure que dans le vide, avec $B = \frac{n u \land E}{c}$ : son impédance vaut $Z = \frac{μ _{0} c}{n} = \frac{Z _{0}}{n}$ . Plus l'indice est grand, plus l'impédance est faible. L'indice est ici une donnée : on ne cherche pas à l'expliquer par un modèle du milieu.

3.1.2 Impédance mécanique d'une corde

Considérons une corde de masse linéique $μ$ tendue avec la tension $T$ , siège d'une onde transverse $y (x, t)$ . La force transverse exercée par la partie gauche sur la partie droite au point d'abscisse $x$ est $F = - T \frac{\partial y}{\partial x}$ , et la vitesse transverse est $v = \frac{\partial y}{\partial t}$ .

Démonstration (Calcul de l'impédance)

Pour une onde progressive $y = f (t - x / c)$ avec $c = T / μ$ , on a $\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{1}{c} f^{'}$ et $\frac{\partial y}{\partial t} = f^{'}$ , d'où

$F = - T \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{T}{c} f^{'} = \frac{T}{c} v .$

L'impédance mécanique de la corde est donc

$Z = \frac{T}{c} = \frac{T}{T / μ} = T μ = μ c .$

Pour une onde régressive $y = g (t + x / c)$ , le même calcul donne $F = - Z v$ .

3.2 Réflexion et transmission sur une corde

3.2.1 Jonction de deux cordes

Deux cordes de masses linéiques $μ_{1}$ et $μ_{2}$ , tendues avec la même tension $T$ , sont raboutées en $x = 0$ . Une onde harmonique arrive depuis $x < 0$ . Les célérités sont $c_{i} = T / μ_{i}$ et les impédances $Z_{i} = T μ_{i}$ , avec $k_{i} = ω / c_{i}$ .

On écrit le déplacement dans chaque milieu en notation complexe :

$y_{1} = A_{i} e^{j (ω t - k_{1} x)} + A_{r} e^{j (ω t + k_{1} x)}, y_{2} = A_{t} e^{j (ω t - k_{2} x)} .$

3.2.2 Conditions de continuité

ImportantLes deux conditions à l'interface

À la jonction ( $x = 0$ ) d'une corde sans masse ponctuelle ajoutée :

(1) continuité du déplacement : la corde ne se rompt pas, $y_{1} (0, t) = y_{2} (0, t)$ ;
(2) continuité de la force transverse : $T \frac{\partial y _{1}}{\partial x} (0, t) = T \frac{\partial y _{2}}{\partial x} (0, t)$ , sinon un élément de masse nulle subirait une force finie donc une accélération infinie.

Démonstration (Coefficients de la corde, en déplacement)

Posons $r_{y} = A_{r} / A_{i}$ et $t_{y} = A_{t} / A_{i}$ , coefficients de réflexion et de transmission en déplacement. La continuité du déplacement donne

$A_{i} + A_{r} = A_{t} ⟹ 1 + r_{y} = t_{y} .$

La continuité de la pente $\frac{\partial y}{\partial x}$ donne $- j k_{1} A_{i} + j k_{1} A_{r} = - j k_{2} A_{t}$ , soit

$k_{1} (1 - r_{y}) = k_{2} t_{y} = k_{2} (1 + r_{y}) .$

On en tire $r_{y} (k_{1} + k_{2}) = k_{1} - k_{2}$ . Comme $k_{i} = ω / c_{i} = ω Z_{i} / T$ est proportionnel à $Z_{i}$ ,

$r_{y} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} et t_{y} = 1 + r_{y} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

La vitesse transverse $v = \frac{\partial y}{\partial t}$ a les mêmes coefficients ( $v = j ω y$ ). Pour la force transverse, grandeur d'effort, $F = + Z v$ pour les ondes incidente et transmise et $F = - Z v$ pour l'onde réfléchie : $r_{F} = - r_{y} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ et $t_{F} = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t_{y} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ .

iRemarqueCas limites, en déplacement

Extrémité fixe : $Z_{2} \to \infty$ (corde 2 infiniment lourde), $r_{y} \to - 1$ . L'onde se réfléchit en s'inversant (nœud de déplacement).
Extrémité libre (anneau sans masse glissant sans frottement sur une tige) : $Z_{2} \to 0$ , $r_{y} \to + 1$ . Réflexion sans inversion (ventre de déplacement).
Milieux adaptés : $Z_{1} = Z_{2} \Rightarrow r_{y} = 0$ : pas de réflexion, l'onde passe intégralement.

3.3 Bilan d'énergie : coefficients en puissance

Les coefficients $r$ et $t$ décrivent les amplitudes. Le partage de l'énergie se fait par les coefficients en puissance.

Définition 3.2Coefficients en puissance

Si $⟨ P_{i} ⟩$ , $⟨ P_{r} ⟩$ et $⟨ P_{t} ⟩$ désignent les puissances moyennes incidente, réfléchie et transmise à travers l'interface,

$R = \frac{⟨ P _{r} ⟩}{⟨ P _{i} ⟩}, T = \frac{⟨ P _{t} ⟩}{⟨ P _{i} ⟩} .$

La puissance moyenne transportée par une onde progressive vaut $\frac{1}{2} Z$ fois le carré de l'amplitude de flux, ou $\frac{1}{2} ∣ amplitude d’effort ∣^{2} / Z$ . Pour la corde, $⟨ P ⟩ = ⟨ F v ⟩ = \frac{1}{2} Z ω^{2} ∣ A ∣^{2}$ .

Démonstration (La relation

R + T = 1

)

Le coefficient en puissance de réflexion (même milieu, même impédance) est $R = ∣ r_{y} ∣^{2}$ . Pour la transmission, il faut tenir compte du changement d'impédance : $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} Z ω^{2} ∣ A ∣^{2}$ donne

$R = ∣ r_{y} ∣^{2} = (\frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} ∣ t_{y} ∣^{2} = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} (\frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} .$

On vérifie la conservation de l'énergie :

$R + T = \frac{( Z _{1} - Z _{2} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1.$

Important

La relation $R + T = 1$ traduit la conservation de l'énergie : aucune énergie n'est stockée ni dissipée à une interface non absorbante. Contrairement aux coefficients en amplitude, $R$ et $T$ ne dépendent pas de la grandeur choisie pour décrire l'onde : $R = r_{y}^{2} = r_{F}^{2}$ .

3.4 Acoustique : interface entre deux fluides

Une onde sonore plane progressive harmonique se propage dans un fluide $1$ ( $ρ_{1}, c_{1}$ , impédance $Z_{1} = ρ_{1} c_{1}$ ) et rencontre en incidence normale l'interface plane qui le sépare d'un fluide $2$ ( $Z_{2} = ρ_{2} c_{2}$ ). Les grandeurs sont la surpression $p$ et la vitesse $v$ , liées par $p = Z v$ (onde vers les $x$ croissants) ou $p = - Z v$ (onde vers les $x$ décroissants).

ImportantContinuités acoustiques

À l'interface : continuité de la surpression $p$ (équilibre mécanique de l'interface, de masse nulle) et continuité de la vitesse normale $v$ (les fluides restent au contact, sans se mélanger ni se décoller).

Démonstration (Coefficients acoustiques)

Notons $r_{p} = p_{r} / p_{i}$ et $t_{p} = p_{t} / p_{i}$ les coefficients en surpression, en $x = 0$ . La continuité de $p$ donne $1 + r_{p} = t_{p}$ . La continuité de $v$ s'écrit, avec $v = p / Z$ pour les ondes incidente et transmise et $v = - p / Z$ pour l'onde réfléchie :

$\frac{p _{i}}{Z _{1}} - \frac{p _{r}}{Z _{1}} = \frac{p _{t}}{Z _{2}} ⟹ Z_{2} (1 - r_{p}) = Z_{1} (1 + r_{p}) .$

On obtient

$r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}, t_{p} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

Les coefficients en vitesse en découlent : $r_{v} = \frac{- p _{r} / Z _{1}}{p _{i} / Z _{1}} = - r_{p} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ et $t_{v} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} t_{p} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ . L'intensité d'une onde progressive valant $I = \frac{∣ p _{0} ∣ ^{2}}{2 Z}$ , les coefficients en puissance surfacique moyenne valent

$R = ∣ r_{p} ∣^{2} = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} ∣ t_{p} ∣^{2} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}, R + T = 1.$

AttentionAttention au sens des coefficients

Le coefficient de réflexion en surpression $r_{p}$ (grandeur d'effort) est l'opposé de celui en vitesse $r_{v}$ (grandeur de flux) : pour une même situation physique, ils ont des signes contraires. On précise donc toujours la grandeur à laquelle on se réfère. Ce chapitre adopte, pour les formules de synthèse, les coefficients de la grandeur d'effort (surpression, force, champ électrique, tension) : $r = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ ; ceux de la grandeur de flux (vitesse, déplacement, courant) s'en déduisent en changeant le signe de $r$ .

iRemarqueCas limites acoustiques

Paroi rigide ( $Z_{2} \to \infty$ ) : $r_{p} = + 1$ et $r_{v} = - 1$ . La vitesse s'annule à la paroi (nœud de vitesse) et la surpression y double (ventre de surpression).
Surface libre d'un liquide vers l'air ( $Z_{2} ≪ Z_{1}$ ) : $r_{p} \approx - 1$ et $r_{v} \approx + 1$ . La surpression s'annule à la surface (nœud de surpression), la vitesse y est maximale.

Dans les deux cas, $R \approx 1$ : la réflexion est totale ; seul le signe distingue les deux situations.

Exemple 3.3Interface air / eau

$Z_{air} ≃ 413 k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ et $Z_{eau} ≃ 1, 5 \times 1 0^{6} k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ . Alors

$R = (\frac{Z _{eau} - Z _{air}}{Z _{eau} + Z _{air}})^{2} ≃ 0, 9989,$

soit $T ≃ 0, 1 %$ . Le désaccord d'impédance est tel que le son est presque totalement réfléchi : c'est pourquoi on n'entend quasiment rien de l'extérieur la tête sous l'eau. Le résultat est le même dans l'autre sens (de l'eau vers l'air) : $R$ et $T$ sont symétriques en $Z_{1}$ et $Z_{2}$ .

3.5 Ondes électromagnétiques en incidence normale

Une onde plane progressive harmonique, polarisée rectilignement, arrive sous incidence normale sur l'interface plane $x = 0$ entre deux milieux non magnétiques d'indices $n_{1}$ et $n_{2}$ , donnés, éventuellement complexes.

ImportantCe que l'on admet

Dans un milieu d'indice $n$ , une onde plane progressive harmonique s'écrit $E = E_{0} e^{j (ω t - k x)}$ avec $k = n \frac{ω}{c}$ , et sa structure est celle du vide avec $c$ remplacé par $c / n$ : $B = \frac{n u \land E}{c}$ . Avec cette convention, un milieu absorbant a un indice $n = n^{'} - j n^{''}$ , avec $n^{''} > 0$ : l'amplitude décroît en $e^{- n^{''} ω x / c}$ .
À l'interface, le champ électromagnétique est continu : en incidence normale, $E$ et $B$ , tous deux tangents à l'interface, sont continus en $x = 0$ .

Démonstration (Coefficients en champ électrique)

Prenons $E$ selon $e_{y}$ . Dans le milieu 1, l'onde incidente ( $u = e_{x}$ ) et l'onde réfléchie ( $u = - e_{x}$ ) s'écrivent, en $x = 0$ ,

$E_{i} = E_{0} e^{j ω t} e_{y}, E_{r} = r E_{0} e^{j ω t} e_{y},$

$B_{i} = \frac{n _{1}}{c} E_{0} e^{j ω t} e_{z}, B_{r} = - \frac{n _{1}}{c} r E_{0} e^{j ω t} e_{z},$

car $(- e_{x}) \land e_{y} = - e_{z}$ ; dans le milieu 2, $E_{t} = t E_{0} e^{j ω t} e_{y}$ et $B_{t} = \frac{n _{2}}{c} t E_{0} e^{j ω t} e_{z}$ . La continuité de $E$ donne $1 + r = t$ ; celle de $B$ donne $n_{1} (1 - r) = n_{2} t$ . Il vient

$r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}, t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}} .$

Avec $Z = Z_{0} / n$ , $r = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ : le champ électrique est une grandeur d'effort, ses coefficients ont la forme de ceux de la surpression.

Démonstration (Coefficients en puissance entre deux milieux transparents)

Pour des milieux transparents ( $n_{1}$ et $n_{2}$ réels), une onde progressive d'amplitude $E_{0}$ a le vecteur de Poynting

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{n}{μ _{0} c} E \land (u \land E) = \frac{n E ^{2}}{μ _{0} c} u, ⟨ Π ⟩ = \frac{n E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} = \frac{n ε _{0} c E _{0}^{2}}{2} .$

La réflexion se fait dans le même milieu : $R = r^{2}$ . La transmission change d'indice :

$R = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2}, T = \frac{n _{2}}{n _{1}} t^{2} = \frac{4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}}, R + T = 1.$

iRemarqueInterprétation

$T$ n'est pas $t^{2}$ : à amplitude de champ égale, l'onde transporte une puissance proportionnelle à l'indice du milieu. Ainsi, de l'air vers le verre ( $n = 1, 52$ ), $t \approx 0, 794 < 1$ mais $T = 1, 52 \times 0, 630 \approx 0, 957$ ; du verre vers l'air, $t \approx 1, 206 > 1$ sans aucune contradiction avec la conservation de l'énergie, puisque $T = \frac{1}{1 , 52} \times 1, 455 \approx 0, 957$ .

Exemple 3.4Réflexion sur une vitre

Air ( $n_{1} = 1$ ) vers verre ordinaire ( $n_{2} = 1, 52$ ) : $r = \frac{1 - 1 , 52}{1 + 1 , 52} \approx - 0, 206$ , donc $R = r^{2} \approx 0, 043$ . Une vitre renvoie environ $4 %$ de l'intensité par face — d'où les reflets. Le signe $r < 0$ signale un déphasage de $π$ du champ électrique à la réflexion sur un milieu plus réfringent.

iRemarqueIndices complexes : la réflexion des métaux

Pour un milieu absorbant, $n_{2}$ est complexe : $r$ reste valable et $R = ∣ r ∣^{2}$ , mais la puissance qui pénètre dans le milieu y est absorbée progressivement, et l'expression de $T$ ci-dessus ne s'applique plus. Pour un métal, l'indice a un grand module : $r \to - 1$ et $R \to 1$ , ce qui explique le pouvoir réfléchissant des miroirs métalliques. Pour l'argent à $633 nm$ , $n_{2} \approx 0, 06 - 4, 28 j$ donne $R \approx 0, 99$ .

3.6 Adaptation d'impédance

Le partage réflexion/transmission ne dépend que du contraste $x = Z_{2} / Z_{1}$ :

$T (x) = \frac{4 x}{( 1 + x ) ^{2}}, T (\frac{1}{x}) = T (x) .$

La transmission d'énergie est maximale ( $T = 1$ , $R = 0$ ) lorsque $Z_{1} = Z_{2}$ : on dit alors que les impédances sont adaptées.

Figure : Coefficient de transmission en puissance en fonction du contraste d'impédance

x = Z_{2} / Z_{1}

(échelle logarithmique). La courbe est symétrique en

lo g x

; elle est plate au voisinage de l'adaptation (un désaccord d'un facteur

2

ne coûte que

11 %

), et la transmission ne s'effondre que pour des contrastes de plusieurs ordres de grandeur.

ImportantAdaptation d'impédance

Le transfert de puissance d'un milieu à l'autre est maximal quand les impédances sont égales. Un fort désaccord d'impédance ( $Z_{1} ≪ Z_{2}$ ou $Z_{1} ≫ Z_{2}$ ) entraîne une réflexion quasi totale et une transmission médiocre.

Proposition 3.5Adaptateur quart d'onde (complément)

Pour relier sans réflexion, à une fréquence donnée, deux milieux d'impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ , on intercale une couche d'épaisseur $λ /4$ (longueur d'onde dans la couche) et d'impédance intermédiaire

$Z_{int} = Z_{1} Z_{2} .$

Le contraste est le même aux deux interfaces, et les deux ondes réfléchies, déphasées de $π$ par l'aller-retour dans la couche, interfèrent destructivement (résultat admis ici, la couche faisant intervenir deux interfaces). C'est le principe des traitements antireflet en optique (indice de la couche $n_{1} n_{2}$ ) et des lames d'adaptation déposées sur la céramique piézoélectrique des sondes d'échographie ( $Z \approx 3 \times 1 0^{7} r a y l$ ), pour coupler leurs vibrations aux tissus ( $Z \approx 1, 6 \times 1 0^{6} r a y l$ ).

AttentionLe gel échographique n'est pas une couche quart d'onde

Entre la sonde et la peau, le gel n'a pas d'épaisseur contrôlée (une couche quart d'onde à $5 M H z$ mesurerait $77 μ m$ ), et son impédance ( $\approx 1, 5 \times 1 0^{6} r a y l$ ) n'est pas intermédiaire entre celles de la sonde et des tissus. Son rôle est de chasser l'air : une lame d'air, même très mince, imposerait une interface avec un contraste d'impédance énorme ( $T \approx 1 0^{- 3}$ entre l'air et les tissus), alors que le gel, d'impédance voisine de celle des tissus, transmet pratiquement tout ( $T \approx 0, 999$ ).

3.7 Application au câble coaxial

3.7.1 Impédance caractéristique

Un câble coaxial sans pertes est décrit par son inductance linéique $Λ$ et sa capacité linéique $C$ (données ; la lettre $Λ$ évite la confusion avec une longueur). Dans le câble, la tension $U (x, t)$ et l'intensité $I (x, t)$ se propagent à la célérité $c = 1/ Λ C$ , et les ondes progressives vérifient $U = Z_{c} I$ (vers les $x$ croissants) ou $U = - Z_{c} I$ (vers les $x$ décroissants), avec l'impédance caractéristique

$Z_{c} = \frac{Λ}{C} (typiquement 50 Ω ou 75 Ω) .$

Figure : Câble coaxial alimenté par un générateur et fermé sur une impédance de charge

Z_{L}

3.7.2 Réflexion en bout de ligne

Le câble, de longueur finie, est fermé en $x = 0$ sur une impédance de charge $Z_{L}$ : à l'extrémité, $U = Z_{L} I$ . Le coefficient de réflexion en tension est défini par $r = U^{-} / U^{+}$ , en $x = 0$ ; on le note $r$ , comme pour les autres ondes.

Démonstration (Coefficient de réflexion en tension)

En bout de ligne, $U = U^{+} + U^{-}$ et $I = (U^{+} - U^{-}) / Z_{c}$ . La condition $U = Z_{L} I$ donne

$U^{+} + U^{-} = \frac{Z _{L}}{Z _{c}} (U^{+} - U^{-}) ⟹ r = \frac{Z _{L} - Z _{c}}{Z _{L} + Z _{c}} .$

La tension est la grandeur d'effort : $r$ a la forme de $r_{p}$ . Le coefficient de réflexion en intensité vaut $- r$ .

ImportantTerminaisons de référence

Câble adapté $Z_{L} = Z_{c}$ : $r = 0$ , aucune réflexion, toute la puissance incidente est absorbée par la charge.
Circuit ouvert $Z_{L} \to \infty$ : $r = + 1$ , réflexion totale ; l'intensité est nulle à l'extrémité et la tension y vaut le double de la tension incidente.
Court-circuit $Z_{L} = 0$ : $r = - 1$ , réflexion totale avec inversion de la tension, nulle à l'extrémité.
Charge résistive $Z_{L} = R$ : $r = \frac{R - Z _{c}}{R + Z _{c}}$ , réel, compris entre $- 1$ et $1$ : réflexion partielle, de puissance réfléchie $r^{2}$ .

iRemarqueRéflectométrie

En envoyant une impulsion dans un câble et en mesurant l'écho renvoyé (temps d'aller-retour $2 ℓ / c$ et signe de $r$ ), on localise et identifie un défaut à la distance $ℓ$ : coupure ( $r = + 1$ , écho de même signe) ou court-circuit ( $r = - 1$ , écho inversé). C'est la réflectométrie temporelle.

3.8 Synthèse du chapitre

L'impédance $Z = effort / flux$ (onde vers les $x$ croissants) résume la réponse d'un milieu : $Z = T μ$ (corde), $Z = ρ_{0} c$ (acoustique), $Z = Z_{0} / n$ (électromagnétisme, indice $n$ donné), $Z_{c} = Λ/ C$ (câble).
Coefficients en amplitude. Convention de cette synthèse : grandeur d'effort (force, surpression $p$ , champ $E$ , tension $U$ ), onde venant du milieu $1$ :

$r = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}, t = 1 + r = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

Pour la grandeur de flux (vitesse, déplacement de la corde, intensité), $r$ change de signe.

Coefficients en puissance : $R = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}$ , $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}$ , avec toujours $R + T = 1$ ; ils ne dépendent pas de la grandeur choisie.
EM en incidence normale (champ électrique) : $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ , $t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$ ; milieux transparents : $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} t^{2} = \frac{4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}}$ ; vitre air/verre : $R ≃ 4 %$ ; métal (indice de grand module) : $R \to 1$ .
Adaptation d'impédance : transfert de puissance maximal quand $Z_{1} = Z_{2}$ ; adaptateur quart d'onde $Z_{int} = Z_{1} Z_{2}$ (antireflet).
Câble coaxial (tension) : $r = \frac{Z _{L} - Z _{c}}{Z _{L} + Z _{c}}$ ; adapté ( $0$ ), ouvert ( $+ 1$ ), court-circuité ( $- 1$ ), résistif ( $∣ r ∣ < 1$ ).

3.9 Travaux dirigés

Exercice 1 — Sous l'eau, on n'entend pas la plage ; d'un bateau, on n'entend pas le sonar

La surface plane d'un lac sépare l'air à $20^{\circ} C$ (impédance $Z_{a} = 413 Pa s m^{- 1}$ ) de l'eau à $20^{\circ} C$ ( $ρ = 998 kg m^{- 3}$ , $c_{e} = 1482 m s^{- 1}$ ). Une onde sonore plane progressive harmonique arrive en incidence normale, d'abord depuis l'air, puis, dans la dernière partie, depuis l'eau. On note $Z_{1}$ l'impédance du milieu d'incidence, $Z_{2}$ celle de l'autre milieu, $x$ l'abscisse normale à la surface, orientée du milieu 1 vers le milieu 2, avec la surface en $x = 0$ . Dans un fluide d'impédance $Z$ , une onde progressive vers les $x$ croissants vérifie $p = Z v$ et une onde progressive vers les $x$ décroissants $p = - Z v$ , où $p$ est la surpression et $v$ la composante de la vitesse sur l'axe $x$ (cours). On définit, en $x = 0$ , les coefficients en surpression $r_{p} = p_{r} / p_{i}$ , $t_{p} = p_{t} / p_{i}$ , en vitesse $r_{v} = v_{r} / v_{i}$ , $t_{v} = v_{t} / v_{i}$ , et les coefficients en puissance $R$ et $T$ , rapports des puissances surfaciques moyennes réfléchie et transmise à la puissance surfacique moyenne incidente.

1) Calculer $Z_{e}$ , l'impédance de l'eau. Justifier physiquement les deux conditions à l'interface : continuité de la surpression et continuité de la vitesse normale.

2) Établir $r_{p}$ , $t_{p}$ , $r_{v}$ , $t_{v}$ en fonction de $Z_{1}$ et $Z_{2}$ . Montrer que $r_{v} = - r_{p}$ et que $1 + r_{p} = t_{p}$ .

3) Le son vient de l'air (un enfant crie sur la plage). Calculer $r_{p}$ , $t_{p}$ , $t_{v}$ . La surpression transmise dans l'eau est presque le double de la surpression incidente : l'eau reçoit-elle donc beaucoup d'énergie ? Établir l'expression de la puissance surfacique moyenne d'une onde progressive en fonction de l'amplitude $p_{0}$ de sa surpression, puis celles de $R$ et de $T$ ; calculer $T$ et l'atténuation $10 lo g_{10} T$ en décibels. Lever le paradoxe. Un cri de niveau $80 dB$ dans l'air, juste au-dessus de l'eau, a dans l'eau, juste sous la surface, une intensité qui correspond à quel niveau (même intensité de référence) ?

4) Le son vient de l'eau (bruit d'hélice ou impulsion d'un sonar). Calculer $r_{p}$ , $t_{p}$ , $t_{v}$ . Montrer que la surface est, du côté de l'eau, un nœud de surpression et un ventre de vitesse de l'onde stationnaire formée par les ondes incidente et réfléchie. Que vaut $T$ ? Qu'entend un pêcheur dans sa barque ?

5) Vérifier $R + T = 1$ dans les deux sens, et interpréter.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On écrit les trois ondes en $x = 0$ , on traduit les deux continuités en deux équations linéaires sur les amplitudes, et l'on résout. Pour passer aux puissances, on n'élève pas un coefficient au carré au hasard : on calcule la puissance surfacique de chaque onde, qui dépend de l'impédance de son milieu.

1) Impédance de l'eau et conditions à l'interface.

$Z_{e} = ρ c_{e} = 998 \times 1482 = 1, 479 \times 1 0^{6} Pa s m^{- 1},$

soit $1, 48 MRayl$ , 3 580 fois l'impédance de l'air. Continuité de la surpression : une tranche de l'interface, d'aire $S$ et d'épaisseur tendant vers zéro, a une masse nulle ; la loi de la quantité de mouvement lui donne $(P_{1} - P_{2}) S = m a \to 0$ , donc la pression, et la surpression, est la même des deux côtés. Continuité de la vitesse normale : les deux fluides restent au contact, sans se décoller (il apparaîtrait un vide) ni s'interpénétrer ; la surface se déplace avec eux, à la même vitesse normale des deux côtés.

2) Les quatre coefficients. En $x = 0$ , le milieu 1 porte l'onde incidente et l'onde réfléchie, le milieu 2 l'onde transmise. Continuité de $p$ :

$p_{i} + p_{r} = p_{t} ⟹ 1 + r_{p} = t_{p} .$

Continuité de $v$ , avec $v = p / Z_{1}$ pour l'onde incidente, $v = - p / Z_{1}$ pour l'onde réfléchie, qui progresse vers les $x$ décroissants, et $v = p / Z_{2}$ pour l'onde transmise :

$\frac{p _{i} - p _{r}}{Z _{1}} = \frac{p _{t}}{Z _{2}} ⟹ Z_{2} (1 - r_{p}) = Z_{1} (1 + r_{p}) .$

D'où

$r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}, t_{p} = 1 + r_{p} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .$

En vitesse : $r_{v} = \frac{- p _{r} / Z _{1}}{p _{i} / Z _{1}} = - r_{p} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ et $t_{v} = \frac{p _{t} / Z _{2}}{p _{i} / Z _{1}} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} t_{p} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ . Le signe de $r_{v}$ est opposé à celui de $r_{p}$ parce que l'onde réfléchie a $p$ et $v$ de signes contraires : on dit toujours de quelle grandeur on parle.

3) Depuis l'air : l'amplitude double, presque rien ne passe. Avec $Z_{1} = Z_{a} = 413$ et $Z_{2} = Z_{e} = 1, 479 \times 1 0^{6} Pa s m^{- 1}$ :

$r_{p} = \frac{Z _{e} - Z _{a}}{Z _{e} + Z _{a}} = + 0, 99944, t_{p} = 1, 99944, t_{v} = \frac{2 Z _{a}}{Z _{a} + Z _{e}} = 5, 58 \times 1 0^{- 4} .$

La surpression transmise vaut presque deux fois la surpression incidente, mais la vitesse transmise est près de deux mille fois plus petite que la vitesse incidente : l'eau, 3 580 fois plus « raide » que l'air, est poussée fort et ne bouge presque pas. Or c'est le produit $p v$ qui transporte l'énergie : la puissance surfacique d'une onde progressive est $Π = p v = p^{2} / Z$ , de moyenne

$⟨ Π ⟩ = \frac{⟨ p ^{2} ⟩}{Z} = \frac{p _{0}^{2}}{2 Z} .$

L'onde réfléchie est dans le même milieu que l'onde incidente, l'onde transmise dans l'autre :

$R = \frac{p _{0 r}^{2} / ( 2 Z _{1} )}{p _{0 i}^{2} / ( 2 Z _{1} )} = r_{p}^{2} = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{p _{0 t}^{2} / ( 2 Z _{2} )}{p _{0 i}^{2} / ( 2 Z _{1} )} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} t_{p}^{2} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} .$

On a aussi $T = t_{p} t_{v}$ : c'est bien le produit effort $\times$ flux qui compte. Numériquement,

$T = \frac{4 \times 413 \times 1 , 479 \times 1 0 ^{6}}{( 1 , 479 \times 1 0 ^{6} + 413 ) ^{2}} = 1, 12 \times 1 0^{- 3}, 10 lo g_{10} T = - 29, 5 dB .$

Le paradoxe est levé : un coefficient d'amplitude n'est pas un coefficient d'énergie, et un $t_{p}$ voisin de 2 n'a rien de contraire à la conservation de l'énergie puisque l'eau répond à cette surpression par une vitesse minuscule. Le cri de $80 dB$ donne dans l'eau une intensité $1, 12 \times 1 0^{- 3}$ fois plus faible, soit un niveau de $80 - 29, 5 = 50, 5 dB$ : celui d'une conversation calme, qu'on perçoit à peine sous l'eau, l'oreille étant de plus mal adaptée à ce milieu.

4) Depuis l'eau : un nœud de surpression à la surface. Maintenant $Z_{1} = Z_{e}$ et $Z_{2} = Z_{a}$ :

$r_{p} = \frac{Z _{a} - Z _{e}}{Z _{a} + Z _{e}} = - 0, 99944,$

$t_{p} = \frac{2 Z _{a}}{Z _{a} + Z _{e}} = 5, 58 \times 1 0^{- 4}, t_{v} = \frac{2 Z _{e}}{Z _{a} + Z _{e}} = 1, 99944.$

Dans l'eau, en $x < 0$ , la surpression totale s'écrit $p = p_{0} e^{j ω t} (e^{- j k x} + r_{p} e^{j k x})$ ; avec $r_{p} \approx - 1$ , $p \approx - 2 j p_{0} sin (k x) e^{j ω t}$ , nul en $x = 0$ : nœud de surpression. La vitesse, avec $r_{v} = - r_{p} \approx + 1$ , vaut $v \approx \frac{2 p _{0}}{Z _{e}} cos (k x) e^{j ω t}$ : ventre de vitesse, la surface monte et descend avec une amplitude double. L'air, très « mou », n'oppose presque aucune surpression au mouvement de la surface. $R$ et $T$ sont symétriques en $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : $T = 1, 12 \times 1 0^{- 3}$ , encore $- 29, 5 dB$ . Le pêcheur n'entend presque rien du sonar ; et un sonar de coque n'émet pas pour lui, mais vers le fond.

Amplitude de la surpression de part et d'autre de la surface, en unités de l'amplitude incidente (milieu d'incidence à gauche, $λ_{1}$ sa longueur d'onde). À gauche, l'onde stationnaire a un ventre de surpression sur la surface et l'eau reçoit une surpression double ; à droite, un nœud de surpression, et l'air ne reçoit presque rien.

5) Conservation de l'énergie.

$R + T = \frac{( Z _{2} - Z _{1} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1,$

et numériquement $R = 0, 998884$ , $T = 0, 001116$ dans les deux sens. L'interface, de masse nulle, ne stocke ni ne dissipe d'énergie. La symétrie de $R$ et $T$ en $Z_{1} \leftrightarrow Z_{2}$ dit qu'un fort contraste d'impédance réfléchit presque tout dans les deux sens ; seul le signe de $r_{p}$ distingue les deux situations.

Ce que l'exercice installe. Deux continuités, de la surpression et de la vitesse normale, donnent tous les coefficients ; ceux de la surpression et de la vitesse ont des réflexions opposées, $r_{v} = - r_{p}$ . L'amplitude transmise peut être grande et la puissance transmise minuscule : seule $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}$ dit ce qui passe. Un fort contraste réfléchit tout, dans les deux sens, avec un ventre de surpression du côté du milieu le moins raide… et un nœud de surpression du côté du plus raide.

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