Introduction à la physique du laser

Cours complet · physique des ondes 2 (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année)

Le mot laser est l'acronyme anglais de Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, c'est-à-dire « amplification de lumière par émission stimulée de rayonnement ». Depuis la réalisation du premier laser à rubis par Theodore Maiman en 1960, cette source de lumière a envahi la vie quotidienne (lecteurs optiques, télémétrie, chirurgie, télécommunications par fibre) et les laboratoires (spectroscopie, refroidissement d'atomes, fusion inertielle). Ce qui distingue un laser d'une lampe ordinaire n'est pas tant sa puissance que la qualité exceptionnelle de son faisceau : lumière quasi monochromatique, directive, et surtout cohérente dans l'espace et dans le temps.

Ce chapitre présente, conformément au programme, les deux points d'appui de la physique du laser. Le premier est le milieu amplificateur : nous décrivons l'interaction entre la lumière et la matière au moyen des trois processus fondamentaux d'Einstein (absorption, émission spontanée, émission stimulée), nous introduisons les coefficients $A$ et $B$ , puis la condition d'inversion de population sans laquelle aucune amplification n'est possible. Le second est la description géométrique du faisceau émis, le faisceau gaussien, dont on étudie le profil, la divergence et la transformation par une lentille.

Hors-programme (mentionné pour situer le fonctionnement réel) : un laser complet place le milieu amplificateur dans une cavité résonante (deux miroirs) qui assure la rétroaction et sélectionne des modes ; l'étude quantitative de la cavité (seuil d'oscillation, modes longitudinaux, cohérence) n'est pas au programme de PC et n'est pas développée ici.

Dans tout ce chapitre, l'énergie d'un photon de fréquence $ν$ (pulsation $ω = 2 π ν$ ) est donnée par la relation de Planck--Einstein

$E = h ν = ℏ ω, h = 6.63 \times 1 0^{- 34} J . s, ℏ = \frac{h}{2 π} .$

4.1 Interaction lumière--matière : les trois processus

Considérons un atome (ou une molécule) possédant deux niveaux d'énergie $E_{1} < E_{2}$ . La transition entre ces niveaux échange avec le rayonnement un photon d'énergie

$h ν_{0} = E_{2} - E_{1} .$

Einstein a montré en 1917 que, pour rendre compte de l'équilibre thermodynamique entre matière et rayonnement, il faut envisager trois processus élémentaires, résumés sur la figure fig:processus.

Figure : Les trois processus d'interaction entre un photon d'énergie

h ν_{0} = E_{2} - E_{1}

et un système à deux niveaux. En émission stimulée, le photon incident est « cloné » : les deux photons émis sont cohérents.</div>

Définition 4.1Absorption

Un atome dans l'état bas $E_{1}$ peut absorber un photon d'énergie $h ν_{0}$ et passer dans l'état haut $E_{2}$ . Le photon disparaît. Ce processus n'existe qu'en présence de rayonnement.

Définition 4.2Émission spontanée

Un atome dans l'état excité $E_{2}$ retombe spontanément vers $E_{1}$ en émettant un photon d'énergie $h ν_{0}$ , sans qu'aucun rayonnement extérieur soit nécessaire. La direction, la phase et la polarisation de ce photon sont aléatoires : la lumière émise est incohérente (c'est le mécanisme des lampes usuelles).

Définition 4.3Émission stimulée

Un atome dans l'état excité $E_{2}$ , éclairé par un photon d'énergie $h ν_{0}$ , peut être « incité » à retomber vers $E_{1}$ en émettant un second photon. Ce photon émis est identique au photon incident : même énergie, même direction, même phase, même polarisation. On dispose alors de deux photons cohérents à partir d'un seul.

Important

L'émission stimulée est le processus clé du laser : c'est elle qui permet d'amplifier un faisceau tout en préservant sa cohérence. Un photon en engendre deux, ces deux en engendrent quatre, etc. : c'est une réaction en chaîne optique.

4.2 Coefficients d'Einstein et populations

4.2.1 Densité spectrale et taux de transition

Notons $N_{1}$ et $N_{2}$ les nombres d'atomes par unité de volume (les populations) dans les états $E_{1}$ et $E_{2}$ , et $u (ν)$ la densité volumique spectrale d'énergie du rayonnement à la fréquence $ν_{0}$ (en $J . m^{- 3} . H z^{- 1}$ ). Einstein postule que les taux de transition par unité de volume s'écrivent :

$absorption : e ˊ mission stimul e ˊ e : e ˊ mission spontan e ˊ e : (\frac{d N _{1}}{d t})_{abs} = - B_{12} u (ν_{0}) N_{1}, (\frac{d N _{2}}{d t})_{stim} = - B_{21} u (ν_{0}) N_{2}, (\frac{d N _{2}}{d t})_{spont} = - A_{21} N_{2} .$

Les constantes $B_{12}$ , $B_{21}$ et $A_{21}$ sont les coefficients d'Einstein. Les deux processus induits par la lumière sont proportionnels à $u (ν_{0})$ ; l'émission spontanée, elle, ne dépend que de $N_{2}$ .

iRemarque

Le coefficient $A_{21}$ a la dimension de l'inverse d'un temps : $τ = 1/ A_{21}$ est la durée de vie radiative du niveau excité (typiquement $1 0^{- 9} s$ à $1 0^{- 3} s$ ). Plus $A_{21}$ est grand, plus le niveau se désexcite vite tout seul.

4.2.2 Relations entre coefficients

À l'équilibre thermodynamique à la température $T$ , le rayonnement suit la loi de Planck et les populations la statistique de Boltzmann :

$\frac{N _{2}}{N _{1}} = \frac{g _{2}}{g _{1}} exp (- \frac{E _{2} - E _{1}}{k _{B} T}),$

où $g_{1}, g_{2}$ sont les degrés de dégénérescence. En écrivant que les populations sont stationnaires (autant de montées que de descentes), on obtient les relations d'Einstein, valables quelles que soient les conditions :

◆Théorème 4.4Relations d'Einstein

Les coefficients d'Einstein sont reliés par

$g_{1} B_{12} = g_{2} B_{21}, \frac{A _{21}}{B _{21}} = \frac{8 π h ν _{0}^{3}}{c ^{3}} .$

Dans le cas de niveaux non dégénérés ( $g_{1} = g_{2}$ ), on a simplement $B_{12} = B_{21}$ : absorption et émission stimulée ont la même probabilité par photon.

Démonstration

À l'équilibre, la population du niveau $2$ est stationnaire :

$B_{12} u N_{1} = A_{21} N_{2} + B_{21} u N_{2} .$

On en tire la densité spectrale imposée par la matière :

$u (ν_{0}) = \frac{A _{21} / B _{21}}{\frac{B _{12}}{B _{21}} \frac{N _{1}}{N _{2}} - 1} = \frac{A _{21} / B _{21}}{\frac{g _{1} B _{12}}{g _{2} B _{21}} e ^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1} .$

Pour que cette expression coïncide avec la loi de Planck $u (ν_{0}) = \frac{8 π h ν _{0}^{3}}{c ^{3}} \frac{1}{e ^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1}$ à toute température, il faut $g_{1} B_{12} = g_{2} B_{21}$ et $A_{21} / B_{21} = 8 π h ν_{0}^{3} / c^{3}$ . ∎

iRemarque

Le rapport $A_{21} / B_{21} \propto ν_{0}^{3}$ croît vite avec la fréquence : l'émission spontanée domine dans le visible et l'ultraviolet, ce qui rend la réalisation de lasers d'autant plus difficile que la longueur d'onde est courte (lasers UV et X sont des défis techniques).

4.3 Inversion de population et pompage

4.3.1 La condition d'amplification

Faisons traverser le milieu par un faisceau de densité spectrale $u (ν_{0})$ . Le bilan net entre gains (émission stimulée) et pertes (absorption) pour le rayonnement est proportionnel à

$B_{21} u N_{2} - B_{12} u N_{1} \propto (N_{2} - N_{1})$

(pour $g_{1} = g_{2}$ ). Le faisceau est amplifié si et seulement si les émissions stimulées l'emportent sur les absorptions, c'est-à-dire si $N_{2} > N_{1}$ .

ImportantInversion de population

Un milieu amplifie la lumière (gain positif) si la population du niveau haut dépasse celle du niveau bas :

$N_{2} > N_{1} .$

On parle d'inversion de population, car à l'équilibre thermodynamique on a toujours $N_{2} < N_{1}$ (les atomes préfèrent l'état de basse énergie). L'inversion est donc un état hors d'équilibre qu'il faut entretenir en permanence.

Attention

À l'équilibre, $N_{2} / N_{1} = e^{- h ν_{0} / k_{B} T} < 1$ : jamais un milieu à l'équilibre ne peut amplifier. Formellement, l'inversion correspondrait à une « température négative ». Il faut fournir de l'énergie en continu.

4.3.2 Le pompage

Porter les atomes vers le niveau haut se nomme pompage. L'énergie de pompage peut être optique (lampe flash, autre laser), électrique (décharge dans un gaz), ou chimique. On montre qu'un système à deux niveaux ne permet jamais d'atteindre l'inversion : au mieux le pompage égalise $N_{1}$ et $N_{2}$ (saturation), car dès que $N_{2}$ approche $N_{1}$ , l'émission stimulée « vide » le niveau haut aussi vite qu'on le remplit. Il faut donc au moins trois niveaux.

Figure : Pompage (P, bleu) vers un niveau supérieur, désexcitation non radiative

rapide (pointillés) vers un niveau métastable, puis transition laser (L, rouge). Le système à 4 niveaux a un niveau bas $E_{1}$ vide au repos, ce qui facilite l'inversion.</div>

Proposition 4.5Systèmes à 3 et 4 niveaux

Système à trois niveaux (ex. rubis) : on pompe $E_{1} \to E_{3}$ , la désexcitation non radiative $E_{3} \to E_{2}$ peuple un niveau métastable $E_{2}$ (longue durée de vie), la transition laser est $E_{2} \to E_{1}$ . Il faut pomper plus de la moitié des atomes pour vider $E_{1}$ , ce qui est coûteux.

Système à quatre niveaux (ex. Nd:YAG, He--Ne) : le niveau bas de la transition laser $E_{1}$ est distinct du fondamental et se vide très vite vers $E_{0}$ . Il est donc quasi vide en permanence : l'inversion $N_{2} > N_{1}$ est obtenue avec un pompage bien plus faible. C'est le schéma des lasers usuels.

4.3.3 Gain linéique et amplification

Un faisceau d'intensité $I$ traversant sur une distance $d z$ un milieu inversé voit son intensité croître :

$\frac{d I}{d z} = g I, g \propto (N_{2} - N_{1}),$

où $g$ est le gain linéique ( $m^{- 1}$ ). En régime de faible signal, $g$ est constant et l'amplification est exponentielle : $I (z) = I (0) e^{g z}$ . C'est exactement l'amplification d'une onde lumineuse par émission stimulée, rendue possible par l'inversion de population.

iRemarqueHors-programme

Lorsque $I$ devient grande, les émissions stimulées vident le niveau haut plus vite que le pompage ne le remplit : le gain sature. Cette saturation, qui stabilise la puissance d'un laser réel, n'est pas au programme de PC et n'est pas développée.

4.4 Le faisceau gaussien

Le faisceau émis par un laser n'est pas une onde plane idéale (qui aurait une extension transverse infinie) ni un rayon géométrique. La cavité impose un profil transverse particulier : le faisceau gaussien, dont l'intensité décroît en cloche de Gauss autour de l'axe de propagation.

4.4.1 Profil transverse et waist

Au point le plus resserré, appelé col ou waist, l'intensité vaut

$I (r) = I_{0} exp (- \frac{2 r ^{2}}{w _{0}^{2}}),$

où $r$ est la distance à l'axe et $w_{0}$ le rayon du waist : c'est le rayon pour lequel l'intensité tombe à $1/ e^{2} \approx 13, 5 %$ de sa valeur sur l'axe. Le faisceau n'est donc pas de largeur nette, mais $w_{0}$ en donne l'échelle.

4.4.2 Divergence et longueur de Rayleigh

En s'éloignant du waist, le faisceau s'élargit. On montre que son rayon $w (z)$ suit une hyperbole :

$w (z) = w_{0} 1 + (\frac{z}{z _{R}})^{2}, z_{R} = \frac{π w _{0}^{2}}{λ} .$

Définition 4.6Longueur de Rayleigh

La longueur de Rayleigh $z_{R} = π w_{0}^{2} / λ$ est la distance au bout de laquelle la section du faisceau a doublé ( $w = 2 w_{0}$ ). Sur l'intervalle $[- z_{R}, + z_{R}]$ , le faisceau reste quasi collimaté ; au-delà, il diverge linéairement.

Figure : Faisceau gaussien : le rayon

w (z)

est minimal au waist (

w_{0}

), reste

quasi constant sur $\pm z_{R}$ , puis diverge sous le demi-angle $θ ≃ λ / (π w_{0})$ .</div>

Loin du waist ( $z ≫ z_{R}$ ), $w (z) ≃ (w_{0} / z_{R}) z = (λ / π w_{0}) z$ : le faisceau diverge sous un demi-angle

$θ ≃ \frac{w _{0}}{z _{R}} = \frac{λ}{π w _{0}} .$

ImportantCompromis fondamental

La divergence et le waist sont liés par $θ ≃ λ / (π w_{0})$ : un faisceau très fin ( $w_{0}$ petit) diverge beaucoup, un faisceau très directif ( $θ$ petit) est nécessairement large. On ne peut pas avoir les deux à la fois — conséquence directe de la diffraction. Le produit $w_{0} θ ≃ λ / π$ est l'analogue optique de l'inégalité de Heisenberg.

Exemple 4.7Application numérique :

w_{0} = 1 mm

λ = 633 nm

Pour un laser hélium--néon rouge collimaté à $w_{0} = 1 mm = 1 0^{- 3} m$ et $λ = 633 nm = 6.33 \times 1 0^{- 7} m$ :

$z_{R} = \frac{π w _{0}^{2}}{λ} = \frac{π ( 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{π \times 1 0 ^{- 6}}{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}} \approx 4.96 m .$

La divergence vaut

$θ ≃ \frac{λ}{π w _{0}} = \frac{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}}{π \times 1 0 ^{- 3}} \approx 2.0 \times 1 0^{- 4} r a d \approx 0.2 m r a d .$

Après $100 m$ , le rayon n'est que $w \approx w_{0} z / z_{R} \approx 2 c m$ : le faisceau reste remarquablement fin.

4.4.3 Transformation d'un faisceau gaussien par une lentille

Un faisceau gaussien reste gaussien après traversée d'une lentille mince : la lentille déplace la position du waist et en change la taille. C'est l'outil de base pour focaliser un laser ou l'élargir.

Construction cylindrique $\leftrightarrow$ conique.

On modélise un faisceau par la juxtaposition, autour du waist, d'une portion cylindrique (rayon $≃ w_{0}$ sur $\pm z_{R}$ ) et, au-delà, de deux portions coniques (demi-angle $θ = λ / π w_{0}$ ). Une lentille transforme l'un en l'autre :

un faisceau cylindrique (waist à grande distance, $z_{R}$ grand) incident sur une lentille émerge conique, convergeant vers un waist proche du foyer image ;
réciproquement, un faisceau conique peut être re-collimaté en faisceau cylindrique.

Figure : Focalisation d'un faisceau gaussien : un faisceau incident cylindrique

(large, quasi collimaté) est transformé en faisceau conique convergeant vers un waist $w_{0}^{'}$ situé au voisinage du plan focal image de la lentille.</div>

Proposition 4.8Waist du faisceau focalisé

Une lentille de focale $f^{'}$ éclairée par un faisceau cylindrique de rayon $W$ ( $z_{R} ≫ f^{'}$ , waist incident très éloigné) produit un waist image situé quasiment dans le plan focal image ( $z^{'} ≃ f^{'}$ ), de rayon

$w_{0}^{'} ≃ \frac{λ f ^{'}}{π W}$

On le retrouve géométriquement : le faisceau incident, de demi-largeur $W$ , converge sous l'angle $W / f^{'}$ ; or ce demi-angle vaut aussi $λ / (π w_{0}^{'})$ pour le faisceau émergent, d'où $w_{0}^{'} ≃ λ f^{'} / (π W)$ . Plus la lentille est courte et le faisceau incident large, plus la tache focale est petite (limite de diffraction).

ImportantÉlargisseur de faisceau

En associant deux lentilles confocales de focales $f_{1}^{'}$ et $f_{2}^{'}$ (télescope de Kepler ou de Galilée), on transforme un faisceau cylindrique de rayon $W_{1}$ en un faisceau cylindrique de rayon $W_{2} = (f_{2}^{'} / f_{1}^{'}) W_{1}$ . Un tel élargisseur de faisceau augmente $W$ (donc réduit la divergence $θ ≃ λ / π W$ ) : c'est ainsi qu'on collimate un laser pour le propager sur de longues distances.

Exemple 4.9Focalisation par une lentille

Un faisceau He--Ne ( $λ = 633 nm$ ) collimaté sur $W = 1 mm$ traverse une lentille de focale $f^{'} = 50 mm$ . Le waist focal vaut

$w_{0}^{'} ≃ \frac{λ f ^{'}}{π W} = \frac{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7} \times 0 , 050}{π \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1.0 \times 1 0^{- 5} m = 10 μ m,$

avec une longueur de Rayleigh $z_{R}^{'} = π w_{0}^{'2} / λ \approx 0.5 mm$ : la tache focale, très fine, ne se maintient que sur une fraction de millimètre.

4.4.4 Cohérence du laser

Le laser se distingue enfin par sa cohérence : cohérence temporelle (l'onde, très monochromatique, interfère avec elle-même décalée dans le temps) et cohérence spatiale (les points d'un même front d'onde sont corrélés, ce qui rend le faisceau gaussien focalisable jusqu'à la limite de diffraction). Cette cohérence, héritée de l'émission stimulée, distingue fondamentalement le laser d'une source classique. (L'étude quantitative de la longueur de cohérence relève des interférences, hors du présent chapitre.)

Proposition 4.10Applications du laser

La monochromaticité et la cohérence temporelle fondent l'interférométrie de précision (Michelson, gravimétrie, détection d'ondes gravitationnelles). La directivité et la cohérence spatiale permettent la télémétrie, la focalisation extrême (découpe, chirurgie, lecture optique), le couplage dans les fibres et les télécommunications. La brièveté possible des impulsions (femtoseconde) ouvre la spectroscopie ultrarapide.

4.5 Synthèse du chapitre

Trois processus entre lumière et système à deux niveaux ( $h ν_{0} = E_{2} - E_{1}$ ) : absorption, émission spontanée (incohérente, aléatoire), émission stimulée (cohérente : le photon émis est le clone du photon incident) — moteur du laser.
Coefficients d'Einstein : $B_{12} u N_{1}$ (abs.), $B_{21} u N_{2}$ (stim.), $A_{21} N_{2}$ (spont.). Relations : $g_{1} B_{12} = g_{2} B_{21}$ et $A_{21} / B_{21} = 8 π h ν_{0}^{3} / c^{3}$ .
Inversion de population $N_{2} > N_{1}$ : condition d'amplification. Impossible à l'équilibre ( $N_{2} < N_{1}$ ), impossible à 2 niveaux : nécessite un pompage et un système à 3 ou 4 niveaux.
Amplification : $d I / d z = g I$ avec $g \propto (N_{2} - N_{1})$ , soit $I (z) = I (0) e^{g z}$ en faible signal — l'onde est amplifiée par émission stimulée.
Faisceau gaussien : $I (r) = I_{0} e^{- 2 r^{2} / w_{0}^{2}}$ , $w (z) = w_{0} 1 + (z / z_{R})^{2}$ , longueur de Rayleigh $z_{R} = π w_{0}^{2} / λ$ , divergence $θ ≃ λ / (π w_{0})$ .
Transformation par une lentille (cylindrique $\leftrightarrow$ conique) : waist focal $w_{0}^{'} ≃ λ f^{'} / (π W)$ dans le plan focal image ; élargisseur de faisceau $W_{2} = (f_{2}^{'} / f_{1}^{'}) W_{1}$ pour collimater.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.6 Exercices résolus

Exemple 4.11Domination de l'émission spontanée dans le visible

À $T = 300 K$ , comparer les taux d'émission spontanée et stimulée pour une transition visible ( $λ_{0} = 600 nm$ ) éclairée par le rayonnement thermique. Conclure sur la nécessité de l'émission stimulée forcée dans un laser.

Démonstration

Le rapport des taux vaut $\frac{A _{21}}{B _{21} u ( ν _{0} )}$ . Avec la loi de Planck, $B_{21} u = A_{21} / (e^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1)$ , donc

$\frac{A _{21}}{B _{21} u} = e^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1.$

Or $h ν_{0} = h c / λ_{0} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 \times 1 0 ^{8}}{6 \times 1 0 ^{- 7}} \approx 3.3 \times 1 0^{- 19} J$ , et $k_{B} T \approx 1, 38 \times 1 0^{- 23} \times 300 \approx 4.1 \times 1 0^{- 21} J$ . Ainsi $h ν_{0} / k_{B} T \approx 80$ , et $e^{80} \sim 1 0^{35}$ : l'émission spontanée est $1 0^{35}$ fois plus probable que l'émission stimulée par le rayonnement thermique. Pour qu'un laser fonctionne, il faut donc une densité de photons dans le mode énormément supérieure à celle de l'équilibre — c'est ce que réalise le pompage, en peuplant fortement le niveau haut.

Exemple 4.12Longueur de Rayleigh et focalisation

Un laser $λ = 633 nm$ est focalisé jusqu'à un waist $w_{0} = 10 μ m$ . Calculer $z_{R}$ et la divergence $θ$ . Commenter par rapport au cas $w_{0} = 1 mm$ .

Démonstration

$z_{R} = \frac{π w _{0}^{2}}{λ} = \frac{π ( 1 0 ^{- 5} ) ^{2}}{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{π \times 1 0 ^{- 10}}{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}} \approx 5.0 \times 1 0^{- 4} m = 0.5 mm .$

$θ ≃ \frac{λ}{π w _{0}} = \frac{6 , 33 \times 1 0 ^{- 7}}{π \times 1 0 ^{- 5}} \approx 2.0 \times 1 0^{- 2} r a d = 20 m r a d .$

En resserrant le waist d'un facteur $100$ (de $1 mm$ à $10 μ m$ ), la longueur de Rayleigh chute d'un facteur $1 0^{4}$ (de $5 m$ à $0.5 mm$ ) et la divergence augmente d'un facteur $100$ . Une tache focale minuscule ne se maintient que sur une distance minuscule : c'est la contrepartie de la concentration d'énergie (découpe, chirurgie).

Exemple 4.13Focalisation d'un faisceau par une lentille

Un faisceau laser vert ( $λ = 532 nm$ ) collimaté sur un rayon $W = 2 mm$ est focalisé par une lentille de focale $f^{'} = 100 mm$ . Déterminer la taille et la position du waist émergent.

Démonstration

Le faisceau incident étant quasi cylindrique ( $z_{R} ≫ f^{'}$ ), le waist image se forme au voisinage du plan focal image ( $z^{'} ≃ f^{'} = 100 mm$ ), de rayon

$w_{0}^{'} ≃ \frac{λ f ^{'}}{π W} = \frac{5 , 32 \times 1 0 ^{- 7} \times 0 , 100}{π \times 2 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 8.5 \times 1 0^{- 6} m \approx 8.5 μ m .$

La longueur de Rayleigh associée vaut $z_{R}^{'} = π w_{0}^{'2} / λ \approx 0.43 mm$ : la lentille concentre le faisceau sur une tache de quelques microns, mais seulement sur une fraction de millimètre de part et d'autre du foyer.

Exemple 4.14Température négative

Montrer que l'inversion de population $N_{2} > N_{1}$ correspond formellement à une température « négative » si l'on prolonge la loi de Boltzmann.

Démonstration

La loi de Boltzmann (niveaux non dégénérés) s'écrit $N_{2} / N_{1} = e^{- (E_{2} - E_{1}) / k_{B} T}$ , soit

$T = \frac{E _{2} - E _{1}}{k _{B} ln ( N _{1} / N _{2} )} .$

Comme $E_{2} > E_{1}$ , le signe de $T$ est celui de $ln (N_{1} / N_{2})$ . À l'équilibre $N_{1} > N_{2}$ , donc $ln (N_{1} / N_{2}) > 0$ et $T > 0$ . En cas d'inversion $N_{2} > N_{1}$ , on a $ln (N_{1} / N_{2}) < 0$ et $T < 0$ : la « température » est négative. Ce n'est pas un état thermodynamique d'équilibre, mais un état hors d'équilibre entretenu par le pompage — d'où l'impossibilité de l'atteindre par simple chauffage.

4.7 Exercices d'entraînement

Énergie de transition. Un laser émet à $λ_{0} = 1064 nm$ (Nd:YAG). Calculer l'énergie $h ν_{0}$ du photon en joules puis en électron-volts ( $1 e V = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ ), et l'écart d'énergie $E_{2} - E_{1}$ .

Les trois processus. Énoncer, pour chacun des trois processus d'Einstein, l'état initial, l'état final et le devenir du photon. Préciser lesquels sont cohérents et pourquoi seule l'émission stimulée sert à amplifier.

Coefficients d'Einstein. À partir de la relation $A_{21} / B_{21} = 8 π h ν_{0}^{3} / c^{3}$ , expliquer pourquoi il est plus difficile de réaliser un laser dans l'ultraviolet que dans l'infrarouge.

Durée de vie. Un niveau excité a un coefficient $A_{21} = 5 \times 1 0^{6} s^{- 1}$ . Calculer sa durée de vie radiative $τ = 1/ A_{21}$ . Ce niveau peut-il être qualifié de métastable ?

Inversion à l'équilibre. À $T = 300 K$ , calculer le rapport $N_{2} / N_{1}$ pour une transition à $λ_{0} = 500 nm$ (niveaux non dégénérés). Conclure sur l'impossibilité de l'inversion à l'équilibre.

Pompage à 3 vs 4 niveaux. Expliquer pourquoi un système à deux niveaux ne permet jamais l'inversion, et pourquoi le schéma à quatre niveaux est plus « économe » en pompage que celui à trois niveaux.

Amplification exponentielle. Un faisceau d'intensité $I_{0}$ traverse un milieu inversé de gain $g = 2 m^{- 1}$ sur $50 c m$ (faible signal, pas de saturation). Calculer $I / I_{0}$ .

Faisceau gaussien. Un laser vert ( $λ = 532 nm$ ) a un waist $w_{0} = 0.5 mm$ . Calculer $z_{R}$ , la divergence $θ$ , et le rayon du faisceau à $50 m$ .

Focalisation limite. On veut focaliser un laser $λ = 800 nm$ sur un waist $w_{0} = 2 μ m$ . Calculer $z_{R}$ et $θ$ . Sur quelle distance la tache reste-t-elle quasi ponctuelle ?

Transformation par une lentille. Un faisceau cylindrique de rayon $W = 1.5 mm$ ( $λ = 633 nm$ ) est focalisé par une lentille de focale $f^{'} = 75 mm$ . Déterminer la taille $w_{0}^{'}$ et la position du waist émergent.

Élargisseur de faisceau. On associe deux lentilles confocales de focales $f_{1}^{'} = 20 mm$ et $f_{2}^{'} = 200 mm$ . Par quel facteur le rayon d'un faisceau cylindrique incident est-il multiplié ? Comment varie sa divergence ?

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Introduction à la physique du laser

4.1 Interaction lumière--matière : les trois processus

4.2 Coefficients d'Einstein et populations

4.2.1 Densité spectrale et taux de transition

4.2.2 Relations entre coefficients

4.3 Inversion de population et pompage

4.3.1 La condition d'amplification

4.3.2 Le pompage

4.3.3 Gain linéique et amplification

4.4 Le faisceau gaussien

4.4.1 Profil transverse et waist

4.4.2 Divergence et longueur de Rayleigh

4.4.3 Transformation d'un faisceau gaussien par une lentille

Construction cylindrique ↔ conique.

4.4.4 Cohérence du laser

4.5 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.6 Exercices résolus

4.7 Exercices d'entraînement

Construction cylindrique $\leftrightarrow$ conique.