Approche ondulatoire de la mécanique quantique

La physique des ondes développée dans les chapitres précédents trouve dans la mécanique quantique l'un de ses champs d'application les plus spectaculaires. À l'échelle atomique, une particule matérielle – électron, nucléon, atome – ne se décrit plus par une trajectoire mais par une fonction d'onde, objet ondulatoire dont le module carré donne une probabilité de présence. La dualité onde-corpuscule et l'inégalité de Heisenberg, entrevues en première année, deviennent ici quantitatives.

Ce chapitre adopte une démarche volontairement modeste et unidimensionnelle : on met en équations quelques situations physiques réelles (électron confiné, particule face à une marche ou une barrière de potentiel) à l'aide de l'équation de Schrödinger, admise, et l'on discute graphiquement les solutions. L'aboutissement naturel est l'effet tunnel, phénomène sans équivalent classique qui explique la radioactivité $\alpha$ et fait fonctionner le microscope à effet tunnel. Toute discussion sur la mesure et sur le spin est hors programme.

5.1 Fonction d'onde et amplitude de probabilité

5.1.1 La fonction d'onde

En mécanique classique, l'état d'une particule ponctuelle est fixé à chaque instant par sa position $x(t)$ et sa quantité de mouvement $p(t)$. En mécanique quantique, ces deux grandeurs ne peuvent être connues simultanément avec une précision arbitraire : l'état de la particule est décrit par une fonction complexe de la position et du temps.

La particule existe quelque part sur l'axe : la probabilité de la trouver sur $\mathbb{R}$ tout entier vaut $1$. Cette contrainte impose une condition sur la fonction d'onde.

5.1.2 Principe de superposition et interférences

L'équation de Schrödinger étant linéaire (voir plus loin), toute combinaison linéaire de fonctions d'onde solutions est encore une solution.

Ce terme croisé explique la figure d'interférences observée lorsqu'on envoie des particules une par une à travers deux fentes d'Young : chaque particule interfère avec elle-même, et la répartition des impacts reconstitue peu à peu la figure prévue par ${\left|\psi \right|}^2$. C'est la signature la plus directe de la nature ondulatoire de la matière.

5.2 Équation de Schrödinger et particule libre

5.2.1 L'équation de Schrödinger

L'évolution de la fonction d'onde est régie par une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre en temps, postulée par Schrödinger en 1926. On l'admet.

5.2.2 États stationnaires

On cherche des solutions à variables séparées $\psi (x,t)=\phi (x)f(t)$, dites stationnaires, dans le cas d'un potentiel indépendant du temps $V(x)$.

5.2.3 La particule libre et sa relation de dispersion

Pour une particule libre, $V(x)=0$ partout. L'équation stationnaire devient ${\phi }^{\prime \prime }+k^2\phi =0$ avec $k^2=2mE/{\hslash }^2$, dont les solutions sont des ondes planes.

Cette relation $\omega (k)\propto k^2$ est celle d'un milieu dispersif : les vitesses de phase et de groupe diffèrent.

5.2.4 Paquet d'ondes et inégalité de Heisenberg

Pour localiser la particule, on superpose des ondes planes de nombres d'onde voisins, centrés sur $k_0$ avec une largeur $\Delta k_x$ :

$$\psi (x,t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(k){\mathrm{e}}^{i(kx-\omega (k)t)}\mathrm{d}k.$$

Cette superposition, un paquet d'ondes, forme une « bosse » localisée de largeur $\Delta x$ (figure fig:paquet).

Figure : Paquet d'ondes : oscillation de nombre d'onde $\sim k_0$ modulée par une enveloppe

(pointillés) de largeur $\Delta x$. Plus l'enveloppe est étroite, plus il faut d'ondes planes de $k$ variés pour la construire.</div>

L'analyse de Fourier impose un compromis entre étendue spatiale et étendue spectrale, déjà rencontré pour les signaux : un signal bref possède un spectre large.

ImportantInégalité de Heisenberg spatiale

Les largeurs caractéristiques d'un paquet d'ondes vérifient

$$\Delta k_x\Delta x\ge \frac{1}{2},\text{soit, avec }{p}_x=\hslash k_x,\boxed{\Delta p_x\Delta x\ge \frac{\hslash }{2}}.$$

Il est impossible de connaître simultanément et exactement la position et la quantité de mouvement d'une particule : mieux on localise la particule ($\Delta x$ petit), plus son impulsion est indéterminée ($\Delta p_x$ grand).

Proposition 5.8Courant de probabilité

À la densité $\rho ={\left|\psi \right|}^2$ est associé un courant de probabilité

$$j(x,t)=\frac{\hslash }{m}\mathrm{Im}\left({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial x}\right).$$

Pour une onde plane $\psi =A{\mathrm{e}}^{i(kx-\omega t)}$, on trouve $j={\left|A\right|}^2\frac{\hslash k}{m}=\rho v$ : le courant s'interprète comme le produit densité $\times$ vitesse. Il servira à définir un coefficient de transmission.

5.3 Particule dans un potentiel uniforme par morceaux

On étudie des potentiels $V(x)$ constants par morceaux, modèles simplifiés de situations réelles. Dans chaque zone où $V$ est constant, l'équation stationnaire s'écrit ${\phi }^{\prime \prime }=\frac{2m(V-E)}{{\hslash }^2}\phi$, dont la nature des solutions dépend du signe de $E-V$ :

• si $E>V$ : ${\phi }^{\prime \prime }=-k^2\phi$ avec $k=\sqrt{2m(E-V)}/\hslash$, solutions oscillantes ${\mathrm{e}}^{\pm ikx}$ (zone classiquement permise) ;
• si $E<V$ : ${\phi }^{\prime \prime }=+{\kappa }^2\phi$ avec $\kappa =\sqrt{2m(V-E)}/\hslash$, solutions exponentielles ${\mathrm{e}}^{\pm \kappa x}$ (zone classiquement interdite, onde évanescente).

ImportantConditions de raccordement

Aux frontières entre deux zones, on admet la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée : $\phi$ et ${\phi }^{\prime }$ sont continues (sauf si le potentiel devient infini, auquel cas seule $\phi$ reste continue et s'annule).

5.3.1 La marche de potentiel

Considérons une marche de hauteur $V_0$ (figure fig:marche) et une particule d'énergie $0<E<V_0$ arrivant depuis la gauche.

Figure : Marche de potentiel avec $E<V_0$. À gauche, l'onde oscille (incidente + réfléchie) ; à

droite, elle décroît exponentiellement : la particule pénètre dans la zone interdite sur une profondeur $\sim 1/\kappa$.</div>

Classiquement, la particule d'énergie $E<V_0$ rebondit et ne pénètre pas dans la région $x>0$. Quantiquement, $\phi (x)=C{\mathrm{e}}^{-\kappa x}$ pour $x>0$ : la densité de présence ${\left|\phi \right|}^2={\left|C\right|}^2{\mathrm{e}}^{-2\kappa x}$ n'est pas nulle. La particule pénètre dans la zone interdite sur une distance caractéristique $\delta =1/\kappa =\hslash /\sqrt{2m(V_0-E)}$, même si elle finit toujours par être réfléchie ($j_{\text{transmis}}=0$ car l'onde évanescente ne transporte pas de courant). Cette pénétration est la clé de l'effet tunnel.

5.3.2 Le puits de potentiel infini : quantification de l'énergie

Enfermons la particule dans un puits de largeur $L$ et de profondeur infinie : $V(x)=0$ pour $0<x<L$ et $V=+\infty$ ailleurs. La particule est liée : elle ne peut sortir.

Démonstration (Résolution du puits infini)

Hors du puits, $\phi =0$ (pénétration impossible). À l'intérieur, avec $k=\sqrt{2mE}/\hslash$, la solution générale est $\phi (x)=A\sin (kx)+B\cos (kx)$. La continuité de $\phi$ en $x=0$ impose $B=0$ ; celle en $x=L$ impose $A\sin (kL)=0$, donc

$$kL=n\pi ,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Les nombres d'onde, et donc les énergies, ne peuvent prendre qu'une suite discrète de valeurs.

◆Théorème 5.9Quantification dans le puits infini

Les états stationnaires d'une particule dans un puits infini de largeur $L$ ont pour parties spatiales et énergies

$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),\boxed{E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

L'énergie est quantifiée : le confinement (caractère lié) impose un spectre discret. La constante $\sqrt{2/L}$ assure la normalisation.

Figure : Puits infini : niveaux d'énergie $E_n\propto n^2$ et fonctions d'onde ${\phi }_n(x)$

associées, tracées au-dessus de leur niveau. ${\phi }_n$ possède $n-1$ nœuds internes et s'annule sur les parois.</div>

Exemple 5.10Électron confiné dans $L=1nm$

Pour un électron ($m=9.11\times 10^{-31}kg$) dans un puits de largeur $L=1nm=1\times 10^{-9}m$,

$$E_1=\frac{h^2}{8m{L}^2}=\frac{(6.63\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 9.11\times 10^{-31}\times (1\times 10^{-9}{)}^2}\approx 6.0\times 10^{-20}J\approx 0.38eV.$$

Les niveaux suivants valent $E_2=4E_1\approx 1.5eV$, $E_3=9E_1\approx 3.4eV$ : les écarts sont de l'ordre de l'électron-volt, échelle typique de la physique atomique. Pour un objet macroscopique ($m=1g$, $L=1cm$), $E_1$ serait de l'ordre de $5\times 10^{-61}J$, totalement indécelable : la quantification ne se manifeste qu'à l'échelle microscopique.

ImportantÉnergie de confinement et Heisenberg

L'état fondamental a une énergie non nulle $E_1>0$ : c'est l'énergie de confinement quantique. On la retrouve par l'inégalité de Heisenberg. La particule étant localisée sur $\Delta x\sim L$, son impulsion vérifie $\Delta p\gtrsim \hslash /L$, d'où une énergie cinétique minimale

$$E_{\min }\sim \frac{(\Delta p{)}^2}{2m}\sim \frac{{\hslash }^2}{2m{L}^2},$$

du même ordre que $E_1={\pi }^2{\hslash }^2/(2m{L}^2)$. Confiner une particule quantique augmente son énergie cinétique.

5.3.3 Oscillation d'une superposition de deux états

Une particule peut se trouver dans une superposition de deux états stationnaires, par exemple

$$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1(x){\mathrm{e}}^{-i{E}_{1}t/\hslash }+{\phi }_2(x){\mathrm{e}}^{-i{E}_{2}t/\hslash }).$$

La densité de présence contient alors un terme d'interférence oscillant :

$${\left|\psi (x,t)\right|}^2=\frac{1}{2}({\phi }_1^2+{\phi }_2^2+2{\phi }_1{\phi }_2\cos (\frac{(E_2-E_1)t}{\hslash }\left)\right).$$

La position moyenne de la particule oscille à la pulsation ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash$ : cet état n'est pas stationnaire. La fréquence d'oscillation est directement reliée à la différence des énergies – c'est le principe des transitions et de l'émission de photons de pulsation ${\omega }_{21}$.

5.3.4 Le puits de potentiel de profondeur finie

Le puits infini est une idéalisation : un puits réel (électron dans un atome, dans une boîte quantique semi-conductrice) a une profondeur finie $V_0$. On considère le puits symétrique de largeur $L$

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }|x|<L/2(\text{inteˊrieur}),\\ V_0>0& \text{si }|x|>L/2(\text{exteˊrieur}).\end{array}$$

On cherche les états liés, d'énergie $0<E<V_0$ : la particule est piégée, mais peut déborder classiquement dans les régions interdites.

Mise en équation par domaine.

L'équation stationnaire se résout séparément dans les trois zones, avec

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }(\text{inteˊrieur}),\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }(\text{exteˊrieur}).$$

• Intérieur ($|x|<L/2$) : $E>V=0$, solutions oscillantes. Le potentiel étant pair, les états propres sont pairs ($\phi \propto \cos kx$) ou impairs ($\phi \propto \sin kx$).
• Extérieur ($|x|>L/2$) : $E<V_0$, solutions exponentielles. Pour rester de carré sommable (état lié), on ne garde que la branche décroissante : $\phi \propto {\mathrm{e}}^{-\kappa |x|}$. C'est une onde évanescente : la particule pénètre dans la zone classiquement interdite sur une profondeur $\sim 1/\kappa$.

Quantification par raccordement.

On écrit la continuité de $\phi$ et de ${\phi }^{\prime }$ en $x=L/2$. Le rapport ${\phi }^{\prime }/\phi$ (dérivée logarithmique) élimine les constantes et fournit, pour les états pairs,

$$\boxed{\kappa =k\tan \left(\frac{kL}{2}\right)}(\text{eˊtats impairs}:\kappa =-k\cot (kL/2)).$$

Avec la contrainte $k^2+{\kappa }^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$ (cercle de rayon fixé par la profondeur), ce système n'admet de solution que pour des valeurs discrètes de $E$ : l'énergie est quantifiée. Contrairement au puits infini, le nombre d'états liés est fini (il croît avec la profondeur $V_0$ et la largeur $L$).

Méthode : Discussion graphique de la quantification

On pose $u=kL/2$ et $v=\kappa L/2$. Les deux relations deviennent

$$v=u\tan u(\text{pairs}),u^2+v^2=R^2\text{avec}R=\frac{L}{2\hslash }\sqrt{2m{V}_0}.$$

Dans le plan $(u,v)$, on trace les branches de $v=u\tan u$ (et $v=-u\cot u$ pour les impairs) et le quart de cercle $u^2+v^2=R^2$. Chaque intersection donne un niveau lié. Le rayon $R$ fixé par $V_0$ compte les intersections : plus le puits est profond, plus il y a de niveaux. Un puits, si peu profond soit-il, possède toujours au moins un état lié (pair).

Figure : Puits de profondeur finie $V_0$ : nombre fini de niveaux liés $E_n<V_0$. Les

fonctions d'onde débordent dans les zones classiquement interdites sous forme d'ondes évanescentes ${\mathrm{e}}^{-\kappa |x|}$ (élargissement effectif du puits). Fondamental $E_1$ pair (bleu), premier excité $E_2$ impair (rouge).</div>

ImportantAbaissement des niveaux : interprétation par Heisenberg

Les ondes évanescentes qui débordent de part et d'autre élargissent effectivement le puits : la particule est confinée sur une longueur $L_{\text{eff}}=L+2/\kappa >L$. Or l'énergie de confinement décroît quand la largeur augmente : par l'inégalité de Heisenberg $\Delta x\sim L_{\text{eff}}$, donc

$$E\sim \frac{{\hslash }^2}{2m{L}_{\text{eff}}^2}<\frac{{\hslash }^2}{2m{L}^2}.$$

Les niveaux d'un puits fini sont abaissés par rapport à ceux du puits infini de même largeur. À la limite $V_0\to \infty$, on a $\kappa \to \infty$, l'onde ne déborde plus, $L_{\text{eff}}\to L$ et l'on retrouve les niveaux $E_n=n^2{h}^2/(8m{L}^2)$ du puits infini.

5.4 L'effet tunnel

5.4.1 Traversée d'une barrière de potentiel

Considérons une barrière de potentiel de hauteur $V_0$ et de largeur $a$ (figure fig:tunnel), et une particule d'énergie $0<E<V_0$ incidente depuis la gauche.

Figure : Effet tunnel : la fonction d'onde décroît exponentiellement dans la barrière mais ne

s'annule pas ; une onde transmise, de faible amplitude, émerge à droite. La particule a une probabilité non nulle de franchir la barrière alors que $E<V_0$.</div>

Classiquement, la particule est réfléchie : elle ne peut franchir la barrière. Quantiquement, la fonction d'onde ne s'annule pas dans la barrière (onde évanescente ${\mathrm{e}}^{-\kappa x}$) et, si la barrière est assez mince, une onde de faible amplitude en ressort de l'autre côté. La particule peut donc traverser : c'est l'effet tunnel.

Définition 5.11Coefficient de transmission

On définit le coefficient de transmission comme le rapport des courants de probabilité transmis et incident :

$$T=\frac{j_{\text{transmis}}}{j_{\text{incident}}}.$$

C'est la probabilité qu'une particule incidente franchisse la barrière. On définit de même le coefficient de réflexion $R=j_{\text{reˊfl}}/j_{\text{inc}}$, avec $R+T=1$.

ImportantCoefficient de transmission d'une barrière (expression fournie)

Pour une barrière rectangulaire de hauteur $V_0$ et de largeur $a$, avec $E<V_0$ et $\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$, le coefficient de transmission exact vaut

$$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}.$$

Dans le cas d'une barrière épaisse ou haute ($\kappa a\gg 1$), $\sinh (\kappa a)\approx \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\kappa a}$ et l'on obtient l'expression approchée fondamentale

$$\boxed{T\approx T_0{\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=T_0\exp \left(-\frac{2a}{\hslash }\sqrt{2m(V_0-E)}\right)}$$

où $T_0$ est un préfacteur d'ordre $1$.

ImportantSensibilité exponentielle

Le coefficient de transmission décroît exponentiellement avec la largeur $a$ de la barrière et avec la racine de la hauteur $\sqrt{V_0-E}$. L'effet tunnel n'est appréciable que pour des barrières très minces (quelques dixièmes de nanomètre) : c'est ce qui le rend à la fois rare et extraordinairement sensible.

5.4.2 Applications de l'effet tunnel

Exemple 5.12Microscope à effet tunnel (STM)

Une pointe métallique conductrice est approchée à une fraction de nanomètre de la surface à étudier ; le vide entre les deux forme une barrière de potentiel. Un courant tunnel d'électrons circule, d'intensité $\propto {\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ où $a$ est la distance pointe-surface. Comme $T$ varie d'un facteur $\sim 10$ pour un déplacement de $0.1nm$, la mesure du courant donne une carte du relief à l'échelle atomique. Le STM (Binnig et Rohrer, prix Nobel 1986) permet de « voir » les atomes individuels.

Exemple 5.13Radioactivité $\alpha$

Dans un noyau lourd, une particule $\alpha$ (deux protons, deux neutrons) est piégée par l'interaction nucléaire forte, mais repoussée par la barrière coulombienne à plus grande distance. Son énergie étant inférieure au sommet de la barrière, elle ne pourrait s'échapper classiquement. L'effet tunnel lui donne une probabilité minuscule mais non nulle de traverser à chaque tentative (loi de Gamow, 1928). La dépendance exponentielle de $T$ en $\sqrt{V_0-E}$ explique l'énorme gamme des durées de vie des noyaux $\alpha$ (de la microseconde au milliard d'années) pour des variations modestes de l'énergie de la particule.

iRemarque

D'autres dispositifs exploitent l'effet tunnel : la diode tunnel (électronique rapide), la jonction Josephson (supraconductivité, étalon de tension), la mémoire flash (injection d'électrons à travers un oxyde mince). C'est un phénomène quantique omniprésent en technologie.

5.5 Synthèse du chapitre

• Fonction d'onde $\psi (x,t)$ : amplitude de probabilité complexe. Densité de présence ${\left|\psi \right|}^2$ ($m^{-1}$), normalisation ${\int }_{\mathbb{R}}{\left|\psi \right|}^2\mathrm{d}x=1$ (interprétation de Born).
• Équation de Schrödinger : $i\hslash {\partial }_t\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\partial }_x^2\psi +V\psi$. Linéaire $\Rightarrow$ superposition et interférences.
• État stationnaire : $\psi =\phi (x){\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }$, ${\left|\psi \right|}^2$ indépendante du temps ; $\phi$ vérifie $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\phi }^{\prime \prime }+V\phi =E\phi$.
• Particule libre : onde plane ${\mathrm{e}}^{i(kx-\omega t)}$, relation de dispersion $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ ; $v_g=\hslash k/m=v$ (vitesse de la particule), $v_{\phi }=v/2$.
• Heisenberg : $\Delta p_x\Delta x\ge \hslash /2$.
• Puits infini : $E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$, quantification par confinement ; énergie de confinement $E_1>0$ retrouvée par Heisenberg ($\sim {\hslash }^2/2m{L}^2$).
• Effet tunnel : traversée d'une barrière avec $E<V_0$ ; $T\approx T_0{\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$, $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$ ; décroissance exponentielle en $a$ et $\sqrt{V_0-E}$. Applications : STM, radioactivité $\alpha$.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

Exemple 5.14Normalisation d'une fonction d'onde

Une particule est décrite à $t=0$ par $\psi (x)=A{\mathrm{e}}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}$ (paquet gaussien). Déterminer la constante $A$ (réelle positive).

Démonstration

On écrit la condition de normalisation :

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|\psi \right|}^2\mathrm{d}x=A^2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2/{\sigma }^2}\mathrm{d}x=A^2\sigma \sqrt{\pi }=1,$$

en utilisant ${\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-x^2/{\sigma }^2}\mathrm{d}x=\sigma \sqrt{\pi }$. D'où $A={\left(\sigma \sqrt{\pi }\right)}^{-1/2}=(\pi {\sigma }^2{)}^{-1/4}$.

Exemple 5.15Vérification de la relation de dispersion

Montrer que l'onde plane $\psi =A{\mathrm{e}}^{i(kx-\omega t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger libre et en déduire $\omega (k)$.

Démonstration

On calcule ${\partial }_t\psi =-i\omega \psi$ et ${\partial }_x^2\psi =-k^2\psi$. En reportant :

$$i\hslash (-i\omega )\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}(-k^2)\psi ⟹\hslash \omega \psi =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\psi .$$

En simplifiant par $\psi$ : $\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$, soit $E=p^2/2m$.

Exemple 5.16Niveaux d'un électron dans une boîte quantique

Un électron est confiné dans un puits infini de largeur $L=0.5nm$. Calculer les deux premiers niveaux et la longueur d'onde du photon émis lors de la transition $2\to 1$.

Démonstration

Avec $E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$ et $L=5\times 10^{-10}m$ :

$$E_1=\frac{(6.63\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 9.11\times 10^{-31}\times (5\times 10^{-10}{)}^2}\approx 2.4\times 10^{-19}J\approx 1.5eV,E_2=4E_1\approx 6.0eV.$$

La transition $2\to 1$ libère $\Delta E=E_2-E_1=3E_1\approx 7.2\times 10^{-19}J\approx 4.5eV$. La longueur d'onde du photon est $\lambda =hc/\Delta E\approx 6.63\times 10^{-34}\times 3\times 10^8/7.2\times 10^{-19}\approx 2.8\times 10^{-7}m=280nm$ (ultraviolet).

Exemple 5.17Profondeur de pénétration dans une marche

Un électron d'énergie $E=1eV$ arrive sur une marche de hauteur $V_0=5eV$. Calculer la profondeur de pénétration $\delta =1/\kappa$ dans la zone interdite.

Démonstration

On a $V_0-E=4eV=6.4\times 10^{-19}J$ et $\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$ :

$$\kappa =\frac{\sqrt{2\times 9.11\times 10^{-31}\times 6.4\times 10^{-19}}}{1.05\times 10^{-34}}\approx 1.0\times 10^{10}{m}^{-1},\delta =\frac{1}{\kappa }\approx 1.0\times 10^{-10}m=0.1nm.$$

La particule pénètre sur environ un dixième de nanomètre : une barrière de cette épaisseur laisse donc passer une fraction notable des électrons par effet tunnel.

Exemple 5.18Sensibilité du courant tunnel dans un STM

Dans un STM, le courant est $I\propto {\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ avec $\kappa \approx 1\times 10^{10}{m}^{-1}$. De quel facteur varie $I$ si la distance pointe-surface augmente de $\Delta a=0.1nm$ ?

Démonstration

Le rapport des courants vaut

$$\frac{I(a+\Delta a)}{I(a)}={\mathrm{e}}^{-2\kappa \Delta a}=\exp \left(-2\times 1\times 10^{10}\times 1\times 10^{-10}\right)={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,14.$$

Le courant est divisé par $\sim 7$ pour un déplacement de $0.1nm$ : c'est cette dépendance exponentielle qui confère au STM sa résolution verticale sub-atomique.

Exemple 5.19Énergie minimale par Heisenberg

Retrouver, par l'inégalité de Heisenberg, l'ordre de grandeur de l'énergie fondamentale d'une particule confinée dans un puits de largeur $L$.

Démonstration

La particule étant localisée dans $\Delta x\approx L$, l'inégalité $\Delta p\Delta x\ge \hslash /2$ donne $\Delta p\gtrsim \hslash /(2L)$. En supposant $⟨p⟩=0$ (particule confinée sans vitesse moyenne), on a $⟨p^2⟩\sim (\Delta p{)}^2\sim {\hslash }^2/L^2$, d'où

$$E_{\min }\sim \frac{⟨p^2⟩}{2m}\sim \frac{{\hslash }^2}{2m{L}^2}.$$

Ce résultat est du même ordre que $E_1={\pi }^2{\hslash }^2/(2m{L}^2)$ obtenu exactement : le confinement interdit l'état de repos $E=0$.

5.7 Exercices d'entraînement

• Densité de présence. Une fonction d'onde vaut $\psi (x)=A{\mathrm{e}}^{-|x|/a}$. Déterminer $A>0$ par normalisation, puis calculer la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle $[-a,a]$.

• Unités. Vérifier l'homogénéité de la densité linéique ${\left|\psi \right|}^2$ ($m^{-1}$) et en déduire la dimension de $\psi$ pour un problème à une dimension.

• Onde plane et impulsion. On mesure la longueur d'onde de de Broglie d'un électron : $\lambda =0.1nm$. Calculer $k$, $p$, puis l'énergie cinétique en $eV$.

• Vitesses de phase et de groupe. Pour une particule libre, montrer que $v_{\phi }=v_g/2$. Interpréter physiquement le fait que ce soit $v_g$ qui décrive le mouvement.

• Relation de Heisenberg. Un électron est localisé dans $\Delta x=1nm$. Estimer l'incertitude minimale $\Delta v$ sur sa vitesse. Comparer à la vitesse thermique $\sqrt{k_{B}T/m}$ à $300K$.

• Puits infini. Pour un proton dans un puits de largeur $L=5fm$ (ordre de grandeur d'un noyau), calculer $E_1$ en $MeV$. Commenter l'échelle d'énergie nucléaire.

• Densité dans le fondamental. Pour ${\phi }_1(x)=\sqrt{2/L}\sin (\pi x/L)$ dans un puits infini $[0,L]$, déterminer la position la plus probable et la probabilité de présence dans le tiers central $[L/3,2L/3]$.

• Confinement. Comparer $E_1$ pour un électron dans $L=1nm$ et dans $L=0.1nm$. De quel facteur l'énergie de confinement augmente-t-elle quand on divise $L$ par 10 ? Conclure sur le coût énergétique du confinement.

• Superposition. Une particule est dans l'état $\psi =\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1{\mathrm{e}}^{-i{E}_{1}t/\hslash }+{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-i{E}_{2}t/\hslash })$ dans un puits infini. Exprimer la pulsation d'oscillation de ${\left|\psi \right|}^2$ en fonction de $E_1$ et de la largeur $L$. Application numérique pour un électron, $L=1nm$.

• Marche de potentiel. Un électron d'énergie $E=2eV$ rencontre une marche $V_0=2.5eV$. Calculer $\kappa$ et la profondeur de pénétration $\delta$. Que devient $\delta$ lorsque $E\to V_0$ ?

• Effet tunnel : dépendance en largeur. Pour une barrière avec $\kappa =5\times 10^9{m}^{-1}$, calculer le rapport $T(a=0.5nm)/T(a=1nm)$ dans l'approximation $T\approx T_0{\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$. Commenter.

• Radioactivité $\alpha$ (qualitatif). Deux noyaux émettent des particules $\alpha$ d'énergies $E_A=4MeV$ et $E_B=6MeV$ à travers une barrière de hauteur $V_0=25MeV$. En utilisant $T\propto {\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ avec $\kappa \propto \sqrt{V_0-E}$, expliquer qualitativement pourquoi le noyau B (énergie plus élevée) a une durée de vie bien plus courte que le noyau A.

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