Propagation non dispersive : équation de d'Alembert

Cours complet · physique des ondes (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année)

Une onde est la propagation, sans transport de matière, d'une perturbation d'un milieu. La note d'une corde de guitare, le son qui remplit une salle de concert, la lumière d'une étoile lointaine : trois phénomènes apparemment sans lien commun. Pourtant, dans chacun d'eux, une même grandeur $s (x, t)$ — déplacement d'une corde, surpression de l'air, champ électrique — obéit à une seule et même équation aux dérivées partielles, l'équation de d'Alembert

$\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} .$

Le nombre $c$ , homogène à une vitesse, est la célérité : la vitesse à laquelle la perturbation se déplace dans le milieu. Ce chapitre établit cette équation dans trois contextes — la corde vibrante (et le câble coaxial), l'acoustique dans un fluide, l'électromagnétisme dans le vide — puis en explore les solutions : ondes progressives, ondes planes harmoniques et ondes stationnaires. Le message est celui d'une unité profonde : la même physique se cache derrière la même équation.

1.1 La corde vibrante

1.1.1 Modèle et hypothèses

On considère une corde inextensible, homogène, de masse linéique $μ$ (en $k g . m^{- 1}$ ), tendue horizontalement le long de l'axe $O x$ avec une tension au repos $T_{0}$ . On étudie ses petits mouvements transverses : chaque point d'abscisse $x$ se déplace verticalement d'une quantité $y (x, t)$ , sans mouvement longitudinal appréciable.

ImportantApproximation des petits mouvements

On suppose l'angle $α (x, t)$ que fait la corde avec l'horizontale petit à tout instant : $∣ α ∣ ≪ 1$ , c'est-à-dire $\frac{\partial y}{\partial x} ≪ 1$ . On peut alors écrire $sin α \approx tan α = \frac{\partial y}{\partial x}$ et $cos α \approx 1$ . La tension conserve sa norme, $T (x, t) \approx T_{0}$ , et le mouvement longitudinal est négligeable.

1.1.2 Établissement de l'équation

Isolons l'élément de corde compris entre les abscisses $x$ et $x + d x$ . Sa masse est $d m = μ d x$ . Il subit la tension de la partie gauche, $- T (x, t)$ , et celle de la partie droite, $T (x + d x, t)$ (on néglige le poids devant les forces de tension). La projection sur l'axe vertical du principe fondamental de la dynamique donne

$μ d x \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T_{0} sin α (x + d x, t) - T_{0} sin α (x, t) .$

Avec $sin α \approx \frac{\partial y}{\partial x}$ et un développement au premier ordre en $d x$ :

$T_{0} [\frac{\partial y}{\partial x} (x + d x) - \frac{\partial y}{\partial x} (x)] = T_{0} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} d x .$

En égalant et en simplifiant par $d x$ , on obtient l'équation de d'Alembert.

◆Théorème 1.1Équation de la corde vibrante

Le déplacement transverse $y (x, t)$ d'une corde infiniment souple de masse linéique $μ$ tendue avec la tension $T_{0}$ vérifie, dans l'approximation des petits mouvements,

$\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{T _{0}}{μ} .$

La célérité $c$ croît avec la tension (raideur du milieu) et décroît avec l'inertie linéique $μ$ .

iRemarque

La structure $c = terme de rappel / terme d’inertie$ est universelle : plus le milieu est « raide » et plus il est « léger », plus l'onde va vite. On la retrouvera en acoustique ( $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ ) et pour le câble coaxial ( $c = 1/ ΛΓ$ ).

1.1.3 Le câble coaxial sans pertes

Un câble coaxial transmet une onde de tension et de courant. On le modélise par une ligne à constantes réparties : chaque tronçon $[x, x + d x]$ porte une inductance $Λ d x$ (inductance linéique $Λ$ , en $H . m^{- 1}$ ) en série et une capacité $Γ d x$ (capacité linéique $Γ$ , en $F . m^{- 1}$ ) en parallèle.

Démonstration (Équations des télégraphistes)

La loi des mailles sur le tronçon (chute de tension aux bornes de $Λ d x$ ) et la loi des nœuds (courant dérivé dans $Γ d x$ ) donnent, au premier ordre en $d x$ ,

$\frac{\partial u}{\partial x} = - Λ \frac{\partial i}{\partial t}, \frac{\partial i}{\partial x} = - Γ \frac{\partial u}{\partial t} .$

En dérivant la première par rapport à $x$ et la seconde par rapport à $t$ , on élimine $i$ :

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = ΛΓ \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} .$

C'est une équation de d'Alembert de célérité $c = 1/ ΛΓ$ . Le courant $i$ obéit à la même équation.

Proposition 1.2Impédance caractéristique

Pour une onde progressive $u = f (x - c t)$ dans le câble, tension et courant sont proportionnels : $u / i = Z_{c}$ , avec l'impédance caractéristique

$Z_{c} = \frac{Λ}{Γ} (Ω) .$

Pour une onde régressive, $u / i = - Z_{c}$ . Une terminaison résistive $R = Z_{c}$ (adaptation d'impédance) n'engendre aucune réflexion ; une terminaison ouverte ( $R \to \infty$ ) ou en court-circuit ( $R = 0$ ) réfléchit totalement l'onde de tension (avec respectivement $+ 1$ et $- 1$ pour coefficient de réflexion).

1.2 Les ondes sonores dans un fluide

1.2.1 Approximation acoustique

Un son est une petite perturbation d'un fluide au repos. On note les grandeurs à l'équilibre $ρ_{0}$ (masse volumique), $P_{0}$ (pression), et la vitesse nulle. Le passage de l'onde crée trois champs de faible amplitude : la surpression $p (x, t) = P - P_{0}$ , l'excès de masse volumique $μ_{1} = ρ - ρ_{0}$ , et la vitesse particulaire $v = v (x, t) e_{x}$ .

Définition 1.3Approximation acoustique

On suppose que les champs $p$ , $μ_{1}$ et $v$ sont des infiniment petits du premier ordre : $\frac{p}{P _{0}} ≪ 1$ , $\frac{μ _{1}}{ρ _{0}} ≪ 1$ , et $v ≪ c$ . On linéarise alors les équations en ne conservant que les termes du premier ordre. L'évolution est adiabatique et réversible, caractérisée par le coefficient de compressibilité isentropique

$χ_{S} = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_{S} = \frac{1}{ρ _{0}} (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} .$

iRemarqueDomaines fréquentiels et validité

On classe les sons par fréquence : infrasons ( $f < 20 H z$ ), sons audibles ( $20 H z$ – $20 k H z$ ), ultrasons ( $f > 20 k H z$ ). Le modèle de l'onde plane suppose que la longueur d'onde $λ = c / f$ reste petite devant les obstacles rencontrés, faute de quoi la diffraction rend l'onde localement non plane. Pour un son de $1 k H z$ , $λ \approx 34 c m$ .

1.2.2 Les trois équations linéarisées

On établit trois relations, chacune au premier ordre.

(1) Équation de la dynamique (Euler linéarisée). Le PFD sur une particule de fluide, $ρ \frac{d v}{d t} = - grad P$ , devient au premier ordre (le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est du second ordre) :

$ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x} .$

(2) Conservation de la masse linéarisée. $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ donne au premier ordre :

$\frac{\partial μ _{1}}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0.$

(3) Équation thermodynamique. La définition de $χ_{S}$ relie surpression et excès de masse volumique :

$μ_{1} = ρ_{0} χ_{S} p .$

Démonstration (Combinaison des trois équations)

On injecte (3) dans (2) : $ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ , soit

$χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial v}{\partial x} . (2’)$

On dérive (1) par rapport à $x$ et (2') par rapport à $t$ :

$ρ_{0} \frac{\partial ^{2} v}{\partial x \partial t} = - \frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}}, χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} v}{\partial t \partial x} .$

En éliminant la dérivée croisée de $v$ , il vient $\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} = ρ_{0} χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}}$ .

◆Théorème 1.4Équation d'onde acoustique

La surpression $p (x, t)$ (et de même $v$ , $μ_{1}$ ) obéit à l'équation de d'Alembert

$\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{1}{ρ _{0} χ _{S}} .$

En dimension trois, l'opérateur $\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ se généralise en laplacien : $Δ p = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}}$ .

Proposition 1.5Célérité dans un gaz parfait

Pour un gaz parfait de coefficient $γ = C_{p} / C_{V}$ , la transformation isentropique donne $χ_{S} = 1/ (γ P_{0})$ , d'où

$c = \frac{γ P _{0}}{ρ _{0}} = \frac{γ R T}{M} .$

La célérité ne dépend que de la température (et non de la pression). Dans l'air à $20° C$ : $c \approx 343 m . s^{- 1}$ ; dans l'eau, $c \approx 1500 m . s^{- 1}$ .

1.2.3 Onde plane progressive harmonique et impédance acoustique

Cherchons une onde plane progressive harmonique se propageant vers les $x$ croissants : $p (x, t) = p_{0} cos (ω t - k x)$ , avec $ω = c k$ . L'équation d'Euler (1) impose alors une vitesse $v (x, t) = \frac{k}{ρ _{0} ω} p_{0} cos (ω t - k x) = \frac{p}{ρ _{0} c}$ : les champs $p$ et $v$ sont en phase, et l'onde est longitudinale ( $v ∥ e_{x} ∥$ direction de propagation).

Définition 1.6Impédance acoustique

Pour une onde plane progressive harmonique, le rapport de la surpression à la vitesse particulaire est une constante caractéristique du milieu, l'impédance acoustique

$Z = \frac{p}{v} = ρ_{0} c (k g . m^{- 2} . s^{- 1}, ou rayl) .$

Pour une onde régressive ( $x$ décroissants), $p / v = - ρ_{0} c$ . On la définit aussi comme le rapport de la surpression au débit volumique $D_{v} = v S$ à travers une section $S$ : $Z_{a} = p / D_{v} = ρ_{0} c / S$ . L'impédance de l'air vaut $Z_{air} \approx 400 r a y l$ , celle de l'eau $Z_{eau} \approx 1.5 \times 1 0^{6} r a y l$ .

1.2.4 Énergie acoustique et niveau sonore

On admet les expressions de la densité volumique d'énergie acoustique et du vecteur densité de courant énergétique (analogue du vecteur de Poynting) :

$e = \frac{1}{2} ρ_{0} v^{2} + \frac{1}{2} χ_{S} p^{2},  = p v .$

Ces deux grandeurs vérifient un bilan local de conservation $\frac{\partial e}{\partial t} + div  = 0$ en l'absence de dissipation. Pour une onde plane progressive harmonique, la moyenne temporelle du flux surfacique définit l'intensité sonore.

Définition 1.7Intensité et niveau sonore

L'intensité sonore est le flux énergétique moyen par unité de surface :

$I = ⟨  ⟩ \cdot e_{x} = ⟨ p v ⟩ = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c} = \frac{1}{2} ρ_{0} c v_{0}^{2} (W . m^{- 2}) .$

Le niveau d'intensité sonore en décibels se définit par rapport au seuil de référence $I_{0} = 1 0^{- 12} W . m^{- 2}$ :

$L_{dB} = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}}) .$

Exemple 1.8Quelques ordres de grandeur

Seuil d'audition : $0 d B$ ( $I_{0}$ ). Conversation : $60 d B$ . Rue passante : $80 d B$ . Concert / seuil de douleur : $120 d B$ ( $I = 1 W . m^{- 2}$ ). Une multiplication de $I$ par $10$ ajoute $10 d B$ ; par $2$ , environ $3 d B$ .

iRemarqueOnde sphérique divergente

Loin d'une source ponctuelle (sphère pulsante), la surpression prend la forme $p (r, t) = \frac{A}{r} cos (ω t - k r)$ : la structure locale reste celle d'une onde plane, mais l'amplitude décroît en $1/ r$ . La puissance totale traversant une sphère de rayon $r$ étant conservée, $P = I \times 4 π r^{2}$ est indépendante de $r$ ; comme $I \propto p_{0}^{2}$ , l'amplitude décroît nécessairement en $1/ r$ (atténuation géométrique, sans dissipation).

iRemarqueEffet Doppler

Lorsque source et récepteur sont en mouvement relatif à la vitesse $v_{r} ≪ c$ , la fréquence perçue est décalée de $δ f / f \approx v_{r} / c$ . La détection synchrone d'un signal ultrasonore réfléchi permet, en mesurant ce décalage, de remonter à la vitesse d'une cible (mesure de débit sanguin, radar de vitesse).

1.3 Bilan de Poynting de l'énergie électromagnétique

Avant d'étudier les ondes électromagnétiques, on rappelle la comptabilité énergétique du champ, valable dans un milieu quelconque.

◆Théorème 1.9Équation locale de Poynting

La densité volumique d'énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting

$u_{em} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}, Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} (W . m^{- 2}),$

vérifient l'équation locale de Poynting

$\frac{\partial u _{em}}{\partial t} + div Π = -  \cdot E$

Le terme $ \cdot E$ est la puissance volumique cédée par le champ aux charges (effet Joule). Le flux de $Π$ à travers une surface fermée mesure la puissance électromagnétique rayonnée à travers cette surface.

Proposition 1.10Puissance rayonnée

La puissance électromagnétique traversant une surface $S$ est le flux du vecteur de Poynting :

$P = \iint_{S} Π \cdot d S .$

Dans le vide ( $ = 0$ ), l'énergie électromagnétique se conserve : $\frac{\partial u _{em}}{\partial t} + div Π = 0$ .

1.4 Les ondes électromagnétiques dans le vide

1.4.1 Des équations de Maxwell à d'Alembert

Dans une région du vide sans charges ni courants ( $ρ = 0$ , $ = 0$ ), les équations de Maxwell s'écrivent

$div E = 0, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell--Faraday :

$rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

On utilise l'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ . Comme $div E = 0$ , il reste

$Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Un calcul identique à partir de Maxwell--Ampère donne la même équation pour $B$ .

◆Théorème 1.11Équations de propagation dans le vide

Chaque composante des champs $E$ et $B$ vérifie l'équation de d'Alembert

$Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}, Δ B = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} avec c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} \approx 3.00 \times 1 0^{8} m . s^{- 1} .$

Le champ électromagnétique se propage dans le vide à la vitesse de la lumière $c$ , la même pour tous les observateurs.

iRemarqueSpectre électromagnétique

Toutes les ondes électromagnétiques partagent cette célérité $c$ ; elles diffèrent par leur fréquence : ondes radio ( $f < 1 G H z$ ), micro-ondes, infrarouge, visible ( $λ \in [400, 800] nm$ ), ultraviolet, rayons X, rayons $γ$ . À chaque domaine ses applications : radiodiffusion, four à micro-ondes, thermographie, imagerie médicale.

1.4.2 Structure de l'onde plane progressive harmonique

Considérons une onde plane progressive se propageant selon $k = k e_{x}$ , dont les champs ne dépendent que de $x$ et $t$ . La divergence nulle $div E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 0$ impose $E_{x} = 0$ (à une constante statique près) : le champ électrique est transverse. Il en va de même pour $B$ .

Proposition 1.12Structure de l'onde plane progressive

Pour une onde plane progressive se propageant selon le vecteur unitaire $u = k / k$ :

les champs $E$ et $B$ sont transverses : $E ⊥ u$ et $B ⊥ u$ ;
ils sont mutuellement orthogonaux et forment le trièdre direct $(E, B, u)$ ;
ils sont en phase et liés par

$B = \frac{u \land E}{c}, E = c B .$

En notation complexe pour une OPPH, $\partial_{t} \to iω$ et $grad \to - i k$ , ce qui donne directement $k \land E = ω B$ .

ImportantAspects énergétiques et flux de photons

Le vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ est dirigé selon $u$ : l'énergie se propage dans le sens de l'onde. Sa moyenne temporelle vaut

$⟨ Π ⟩ = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} u = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} u .$

Ordres de grandeur : le flux solaire au sol est d'environ $1 k W . m^{- 2}$ ( $E_{0} \sim 1 0^{3} V . m^{- 1}$ ), un laser hélium-néon délivre $\sim 1 mW$ sur $\sim 1 m m^{2}$ . La relation d'Einstein--Planck $E = h ν$ relie le flux énergétique à un flux de photons : $Φ_{photons} = ⟨ Π ⟩ / (h ν)$ photons par mètre carré et par seconde.

1.4.3 Polarisation rectiligne et loi de Malus

Le champ électrique d'une onde plane progressive harmonique est transverse : il vit dans le plan $(e_{y}, e_{z})$ . Une onde est polarisée rectilignement lorsque $E$ garde une direction fixe au cours du temps :

$E (x, t) = E_{0} cos (ω t - k x) e_{y} .$

ImportantLoi de Malus

Un polariseur ne laisse passer que la composante du champ parallèle à son axe. Une lumière polarisée rectilignement d'intensité $I_{0}$ , traversant un analyseur dont l'axe fait l'angle $θ$ avec la direction de polarisation, en ressort avec l'intensité

$I = I_{0} cos^{2} θ$

(la composante transmise est $E_{0} cos θ$ , et $I \propto E^{2}$ ). En tournant l'analyseur, l'intensité passe par un maximum ( $θ = 0$ ) et s'annule ( $θ = π /2$ , extinction) : ce comportement distingue une lumière polarisée d'une lumière naturelle qui, elle, donne une intensité $I_{0} /2$ indépendante de $θ$ .

1.5 Les solutions de l'équation de d'Alembert

1.5.1 Ondes progressives : solution de d'Alembert

◆Théorème 1.13Solution générale de d'Alembert

La solution générale de $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}}$ s'écrit comme la superposition de deux ondes progressives de célérité $c$ :

$s (x, t) = f (x - c t) + g (x + c t),$

où $f$ et $g$ sont deux fonctions arbitraires (de classe $C^{2}$ ), déterminées par les conditions initiales.

Démonstration (Changement de variables)

Posons $u = x - c t$ et $w = x + c t$ . Alors $\frac{\partial}{\partial x} = \partial_{u} + \partial_{w}$ et $\frac{\partial}{\partial t} = c (- \partial_{u} + \partial_{w})$ . On calcule

$\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = s_{uu} + 2 s_{u w} + s_{w w}, \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = s_{uu} - 2 s_{u w} + s_{w w} .$

L'équation devient $4 s_{u w} = 0$ , soit $\frac{\partial ^{2} s}{\partial u \partial w} = 0$ . En intégrant, $s$ est la somme d'une fonction de $u$ seul et d'une fonction de $w$ seul : $s = f (u) + g (w)$ .

La fonction $f (x - c t)$ représente une perturbation de forme invariable qui se translate vers les $x$ croissants à la vitesse $c$ : à l'instant $t$ , le profil est celui de $t = 0$ décalé de $c t$ .

1.5.2 Ondes planes progressives harmoniques

Un cas fondamental est celui d'un profil sinusoïdal. En notation réelle :

$s (x, t) = s_{0} cos (ω t - k x + φ),$

avec la pulsation $ω = 2 π / T$ , le nombre d'onde $k = 2 π / λ$ , et la relation de dispersion imposée par d'Alembert

$ω = c k .$

Définition 1.14Vecteur d'onde, vitesse de phase, notation complexe

Le vecteur d'onde $k = k u$ pointe dans la direction de propagation. La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = c$ est la vitesse d'un point de phase constante. En notation complexe, on pose $s = s_{0} e^{i (ω t - k x)}$ avec $s_{0} = s_{0} e^{i φ}$ ; les dérivations deviennent $\partial_{t} \to iω$ et $\partial_{x} \to - ik$ , ce qui simplifie considérablement les calculs.

ImportantMilieu non dispersif

L'équation de d'Alembert donne $ω = c k$ : la vitesse de phase $c$ est indépendante de la fréquence. Toutes les harmoniques d'un signal voyagent à la même vitesse, si bien qu'un paquet d'ondes se propage sans se déformer. Un tel milieu est dit non dispersif. Grâce à l'analyse de Fourier, toute onde non harmonique se décompose en somme d'ondes planes progressives harmoniques, et le principe de superposition (équation linéaire) permet de reconstruire la solution.

1.5.3 Ondes stationnaires et modes propres

Lorsqu'une onde est confinée entre deux bords réfléchissants, les ondes progressive et régressive se superposent en une onde stationnaire, dont on cherche les solutions à variables séparées $s (x, t) = F (x) G (t)$ .

Proposition 1.15Onde stationnaire

Une onde stationnaire s'écrit comme le produit d'une fonction d'espace par une fonction du temps :

$s (x, t) = [A cos (k x) + B sin (k x)] cos (ω t + ϕ), ω = c k .$

Contrairement à une onde progressive, l'espace et le temps n'y sont pas couplés : tous les points vibrent en phase (ou en opposition), avec une amplitude fixée par $x$ . Les points d'amplitude nulle sont les nœuds, ceux d'amplitude maximale les ventres. Réciproquement, on décompose $cos (k x) cos (ω t) = \frac{1}{2} [cos (ω t - k x) + cos (ω t + k x)]$ : une stationnaire est somme de deux progressives de sens opposés.

Méthode : Modes propres d'une corde fixée aux deux bouts

Une corde de longueur $L$ fixée en $x = 0$ et $x = L$ impose les conditions aux limites $y (0, t) = 0$ et $y (L, t) = 0$ .

$y (0, t) = 0$ donne $A = 0$ , d'où $y = B sin (k x) cos (ω t + ϕ)$ .
$y (L, t) = 0$ impose $sin (k L) = 0$ , soit $k L = nπ$ avec $n \in N^{*}$ .
Le nombre d'onde et les fréquences sont donc quantifiés :

$k_{n} = \frac{nπ}{L}, λ_{n} = \frac{2 L}{n}, f_{n} = \frac{c}{λ _{n}} = \frac{n}{2 L} \frac{T _{0}}{μ} = n f_{1} .$

Définition 1.16Mode propre, fondamental et harmoniques

Chaque entier $n$ définit un mode propre de profil $y_{n} (x) = B_{n} sin (nπ x / L)$ vibrant à la fréquence $f_{n} = n f_{1}$ . Le mode $n = 1$ est le fondamental ( $f_{1} = \frac{1}{2 L} T_{0} / μ$ ), les modes $n \geq 2$ sont les harmoniques. Le mode $n$ possède $n$ ventres et $n + 1$ nœuds (dont les extrémités). Le mouvement général de la corde est une superposition de ses modes propres, dont les amplitudes se calculent par analyse de Fourier des conditions initiales.

iRemarqueCorde de Melde : régime forcé

Si l'on excite une corde tendue par un vibreur à fréquence réglable, on observe des résonances : l'amplitude devient très grande chaque fois que la fréquence d'excitation coïncide avec une fréquence propre $f_{n}$ . On visualise alors nettement les $n$ ventres du mode. C'est l'expérience de la corde de Melde, qui associe mode propre et résonance en régime forcé.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Équation de d'Alembert. $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}}$ (généralisée : $Δ s = \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s$ ). Elle décrit une propagation non dispersive à la célérité $c$ .

Quatre célérités.

Corde vibrante : $c = T_{0} / μ$ (rappel = tension, inertie = masse linéique).
Câble coaxial sans pertes : $c = 1/ ΛΓ$ , impédance caractéristique $Z_{c} = Λ/Γ$ .
Acoustique : $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ ; gaz parfait $c = γ R T / M$ ( $\approx 343 m . s^{- 1}$ air, $1500 m . s^{- 1}$ eau).
Électromagnétisme dans le vide : $c = 1/ ε_{0} μ_{0} \approx 3.0 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ .

Acoustique. Trois équations linéarisées (Euler, conservation de la masse, $μ_{1} = ρ_{0} χ_{S} p$ ) $\Rightarrow$ d'Alembert. Onde longitudinale. Impédance $Z = p / v = ρ_{0} c$ . Intensité $I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c}$ ; niveau $L_{dB} = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ , $I_{0} = 1 0^{- 12} W . m^{- 2}$ .

Poynting. $u_{em} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ , $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ ; bilan local $\partial_{t} u_{em} + div Π = -  \cdot E$ .

Onde EM plane progressive. Trièdre direct $(E, B, u)$ , transverse, $B = \frac{u \land E}{c}$ , $∥ E ∥ = c ∥ B ∥$ . Polarisation rectiligne, loi de Malus $I = I_{0} cos^{2} θ$ .

Solutions. Générale : $s = f (x - c t) + g (x + c t)$ . Harmonique : $s_{0} cos (ω t - k x)$ , $ω = c k$ , $v_{φ} = c$ . Stationnaire : $F (x) G (t)$ ; corde fixée $\Rightarrow$ quantification $k_{n} = nπ / L$ , $f_{n} = n f_{1}$ , $f_{1} = \frac{1}{2 L} T_{0} / μ$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.17Vérifier qu'une fonction est solution

Montrer que $s (x, t) = s_{0} e^{- (x - c t)^{2} / a^{2}}$ (gaussienne se propageant) est solution de l'équation de d'Alembert. Interpréter.

Démonstration

Posons $u = x - c t$ ; alors $s = s_{0} e^{- u^{2} / a^{2}}$ avec $\partial_{x} u = 1$ et $\partial_{t} u = - c$ . On a $\partial_{x} s = s^{'} (u)$ et $\partial_{x}^{2} s = s^{''} (u)$ ; de même $\partial_{t} s = - c s^{'} (u)$ et $\partial_{t}^{2} s = c^{2} s^{''} (u)$ . Donc $\partial_{x}^{2} s = s^{''} (u)$ et $\frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s = s^{''} (u)$ : l'équation est vérifiée pour toute fonction de $u = x - c t$ . La gaussienne se translate sans déformation à la vitesse $c$ (milieu non dispersif).

Exemple 1.18Célérité et température

Le son parcourt $343 m . s^{- 1}$ dans l'air à $20° C$ . Quelle est sa célérité à $- 10° C$ (avion en altitude) ?

Démonstration

Pour un gaz parfait, $c = γ R T / M \propto T$ (avec $T$ en kelvins). Ainsi

$\frac{c _{2}}{c _{1}} = \frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{263}{293} = 0, 948,$

d'où $c_{2} = 343 \times 0, 948 \approx 325 m . s^{- 1}$ . Le son est plus lent dans l'air froid.

Exemple 1.19Addition de deux sources sonores

Deux haut-parleurs identiques produisent chacun $70 d B$ en un point. Quel est le niveau résultant s'ils émettent des sons incohérents ?

Démonstration

Pour des sources incohérentes, les intensités s'ajoutent : $I_{tot} = 2 I$ . Or

$L_{tot} = 10 lo g_{10} \frac{2 I}{I _{0}} = 10 lo g_{10} 2 + 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}} = 3, 0 + 70 = 73 d B .$

Doubler la puissance sonore n'ajoute que $3 d B$ : l'oreille est loin d'un capteur linéaire.

Exemple 1.20Impédance et vitesse particulaire

Une onde sonore dans l'air ( $Z = 400 r a y l$ ) a une amplitude de surpression $p_{0} = 2 \times 1 0^{- 2} P a$ (parole courante). Calculer l'amplitude de vitesse particulaire $v_{0}$ et l'intensité $I$ .

Démonstration

Par définition de l'impédance, $v_{0} = p_{0} / Z = \frac{2 \times 1 0 ^{- 2}}{400} = 5 \times 1 0^{- 5} m . s^{- 1}$ , soit $50 μ m . s^{- 1}$ : un déplacement infime. L'intensité vaut

$I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ _{0} c} = \frac{p _{0}^{2}}{2 Z} = \frac{( 2 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{2 \times 400} = 5 \times 1 0^{- 7} W . m^{- 2},$

soit $L = 10 lo g_{10} (5 \times 1 0^{- 7} /1 0^{- 12}) \approx 57 d B$ , cohérent avec une conversation.

Exemple 1.21Fréquence fondamentale d'une corde de guitare

Une corde de guitare de longueur $L = 65 c m$ , de masse linéique $μ = 5.0 \times 1 0^{- 3} k g . m^{- 1}$ , est accordée sur $f_{1} = 110 H z$ (La $_{2}$ ). Quelle tension $T_{0}$ faut-il appliquer ?

Démonstration

La fréquence fondamentale vaut $f_{1} = \frac{1}{2 L} T_{0} / μ$ , d'où $T_{0} = μ (2 L f_{1})^{2}$ . Numériquement, $2 L f_{1} = 2 \times 0, 65 \times 110 = 143 m . s^{- 1}$ (la célérité), donc

$T_{0} = 5, 0 \times 1 0^{- 3} \times 14 3^{2} \approx 102 N .$

Une centaine de newtons, cohérente avec la tension réelle d'une corde de guitare.

Exemple 1.22Relation

E

B

et vecteur de Poynting

Une onde EM plane se propage selon $e_{x}$ avec $E = E_{0} cos (ω t - k x) e_{y}$ . Déterminer $B$ , vérifier le trièdre, calculer $Π$ et sa moyenne.

Démonstration

La structure de l'onde plane donne $B = \frac{u \land E}{c}$ avec $u = e_{x}$ . Or $e_{x} \land e_{y} = e_{z}$ , donc $B = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) e_{z}$ . Le trièdre $(e_{y}, e_{z}, e_{x}) = (E, B, u)$ est direct, les champs sont transverses, en phase, $∥ E ∥ = c ∥ B ∥$ . Le vecteur de Poynting

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{E _{0}^{2}}{μ _{0} c} cos^{2} (ω t - k x) e_{x}, ⟨ Π ⟩ = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} e_{x} = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} e_{x},$

pointe dans le sens de propagation.

Exemple 1.23Adaptation d'impédance d'un câble coaxial

Un câble coaxial a $Λ = 250 n H . m^{- 1}$ et $Γ = 100 pF . m^{- 1}$ . Calculer $c$ et $Z_{c}$ . Quelle résistance de terminaison évite toute réflexion ?

Démonstration

La célérité vaut $c = 1/ ΛΓ = 1/ 250 \times 1 0^{- 9} \times 100 \times 1 0^{- 12} = 2.0 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ , soit $\approx 2 c /3$ (le diélectrique ralentit l'onde). L'impédance caractéristique est

$Z_{c} = \frac{Λ}{Γ} = \frac{250 \times 1 0 ^{- 9}}{100 \times 1 0 ^{- 12}} = 50 Ω.$

Une terminaison $R = Z_{c} = 50 Ω$ réalise l'adaptation : le coefficient de réflexion $r = (R - Z_{c}) / (R + Z_{c})$ s'annule, aucune onde ne revient.

1.8 Exercices d'entraînement

Homogénéité. Vérifier par analyse dimensionnelle que $T_{0} / μ$ , $1/ ρ_{0} χ_{S}$ , $1/ ΛΓ$ et $1/ ε_{0} μ_{0}$ sont bien homogènes à une vitesse.

Solution de d'Alembert. Une corde infinie a pour profil initial $y (x, 0) = A e^{- x^{2} / a^{2}}$ et une vitesse initiale nulle. Montrer que $y (x, t) = \frac{A}{2} [e^{- (x - c t)^{2} / a^{2}} + e^{- (x + c t)^{2} / a^{2}}]$ : la bosse se sépare en deux impulsions se propageant en sens opposés.

Corde pincée. Une corde de longueur $L$ vibre sur son mode $n = 3$ . Combien de nœuds et de ventres compte-t-elle ? Placer leurs abscisses.

Fréquences propres. Une corde de $f_{1} = 200 H z$ est effleurée en son milieu (nœud imposé en $x = L /2$ ). Quels modes survivent ? En déduire les trois premières fréquences audibles.

Niveau sonore et distance. Un marteau-piqueur émet $100 d B$ à $1 m$ . En supposant une onde sphérique, à quelle distance le niveau tombe-t-il à $70 d B$ ? (indice : $I \propto 1/ r^{2}$ ).

Compressibilité de l'eau. L'eau a $c = 1500 m . s^{- 1}$ et $ρ_{0} = 1000 k g . m^{- 3}$ . En déduire $χ_{S}$ puis l'impédance $Z$ , et commenter le contraste air/eau.

Validité de l'approximation acoustique. Estimer l'ordre de grandeur de $p_{0} / P_{0}$ pour un son de $60 d B$ dans l'air ( $P_{0} = 1 \times 1 0^{5} P a$ ). Justifier a posteriori la linéarisation.

Onde stationnaire acoustique. Un tuyau de longueur $L$ ouvert aux deux extrémités impose des nœuds de surpression aux bords. Adapter le raisonnement de la corde pour trouver les fréquences propres $f_{n} = n c /2 L$ .

Câble coaxial. Un câble de $Z_{c} = 50 Ω$ est terminé par un court-circuit. Déterminer le coefficient de réflexion en tension et décrire l'onde stationnaire de tension établie sur la ligne.

Loi de Malus. Une lumière naturelle d'intensité $I_{0}$ traverse deux polariseurs croisés à $9 0^{\circ}$ . On intercale un troisième polariseur à $4 5^{\circ}$ entre les deux. Calculer l'intensité transmise et commenter.

Laser hélium-néon. Un laser délivre $1 mW$ sur un faisceau de $1 mm$ de diamètre. Calculer l'intensité surfacique moyenne, l'amplitude $E_{0}$ du champ électrique, puis le flux de photons ( $λ = 633 nm$ ).

Superposition et battements. Deux ondes harmoniques de même amplitude et de fréquences voisines $f$ et $f + δ f$ ( $δ f ≪ f$ ) se superposent en un point. Montrer, en notation réelle, que l'amplitude résultante est modulée à la fréquence $δ f /2$ (battements) et donner la période d'extinction du son.

Effet Doppler. Un émetteur ultrasonore fixe ( $f = 40 k H z$ ) éclaire une cible s'approchant à $v = 5 m . s^{- 1}$ . Estimer le décalage Doppler du signal réfléchi reçu (indice : double décalage aller-retour).

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices