Dispersion : plasma dilué, effet de peau, paquet d'ondes

Cours · physique des ondes (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'effet de peau : le champ pénètre dans un conducteur en décroissant sur une épaisseur δ.

Dans le vide, l'équation de d'Alembert décrit une propagation non dispersive et non absorbante : toutes les composantes harmoniques d'un signal se déplacent à la même célérité $c$ , et un paquet d'ondes garde sa forme. Les milieux matériels s'écartent de cet idéal. Dans un plasma dilué, la vitesse de propagation dépend de la fréquence (dispersion) et une onde de trop basse fréquence ne se propage plus (coupure). Dans un conducteur ohmique, le champ ne pénètre que sur une faible épaisseur, qu'il atténue exponentiellement (effet de peau). Ces deux situations, au programme, illustrent la démarche générale : chercher des ondes planes harmoniques $s \propto e^{j (ω t - k z)}$ , dont le vecteur d'onde $k$ est a priori complexe, et lire dans la relation de dispersion $k (ω)$ tout le comportement du milieu. On y adjoint la distinction essentielle entre vitesse de phase et vitesse de groupe, qui gouverne la propagation d'un paquet d'ondes réel.

2.1 Relation de dispersion d'un milieu linéaire

2.1.1 Milieu linéaire et décomposition de Fourier

Définition 2.1Équation de propagation linéaire

Une équation aux dérivées partielles portant sur un champ $s (z, t)$ est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Elle ne fait intervenir $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant ni produit du type $s \frac{\partial s}{\partial z}$ .

La linéarité autorise la décomposition de Fourier : un signal quelconque étant une superposition d'ondes harmoniques, il suffit d'étudier la propagation de chaque composante $e^{j ω t}$ indépendamment, puis de sommer.

Méthode : Établir une relation de dispersion

Pour une équation linéaire à coefficients constants :

injecter l'onde plane progressive harmonique complexe $s (z, t) = s_{0} e^{j (ω t - k z)}$ ;
utiliser les correspondances $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial}{\partial z} \to - j k$ ;
factoriser par $s_{0} e^{j (ω t - k z)} \neq = 0$ : il reste une relation algébrique entre $ω$ et $k$ , la relation de dispersion.

Définition 2.2Relation de dispersion

La relation de dispersion est la relation $k = k (ω)$ imposée par l'équation de propagation aux ondes harmoniques. Le vecteur d'onde $k = k^{'} - j k^{''}$ est a priori complexe :

$s (z, t) = s_{0} e^{- k^{''} z} e^{j (ω t - k^{'} z)} .$

La partie réelle $k^{'}$ fixe la longueur d'onde $λ = 2 π / k^{'}$ et la propagation de la phase ; la partie imaginaire $k^{''}$ fixe l'atténuation en amplitude $e^{- k^{''} z}$ (avec la convention $e^{+ j ω t}$ et une onde vers les $z > 0$ , $k^{''} \geq 0$ ).

ImportantDispersion versus absorption

Sur $k (ω) = k^{'} (ω) - j k^{''} (ω)$ :

si $v_{φ} = ω / k^{'}$ dépend de $ω$ (soit $k^{'}$ non proportionnel à $ω$ ) : le milieu est dispersif ;
si $k^{''} (ω) \neq = 0$ : le milieu est absorbant (atténuation exponentielle).

Un milieu peut être l'un, l'autre, les deux, ou aucun (d'Alembert : $k = ω / c$ réel).

2.1.2 Vitesse de phase

Définition 2.3Vitesse de phase

Pour une onde harmonique de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde réel $k^{'} = Re (k)$ , la vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante :

$v_{φ} = \frac{ω}{k ^{'}} .$

C'est la vitesse d'une crête d'une onde monochromatique idéale.

iRemarque

La vitesse de phase peut dépasser $c$ (c'est le cas dans le plasma) sans violer la relativité : une onde strictement monochromatique est infinie dans l'espace et le temps, elle ne transporte aucune information. Dans un milieu transparent comme le plasma, l'information voyage à la vitesse de groupe, qui reste $\leq c$ .

2.2 Onde électromagnétique dans un plasma dilué

2.2.1 Modèle du plasma dilué

Un plasma dilué est un gaz d'électrons libres (densité volumique $n$ ) sur un fond d'ions positifs immobiles assurant la neutralité électrique globale. Le plasma est dilué : on néglige les collisions (donc l'absorption dissipative) et l'action de la force magnétique de l'onde sur les électrons ( $v ≪ c$ ). On étudie une onde plane progressive harmonique transverse électrique $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ .

Démonstration (Conductivité complexe du plasma)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (charge $- e$ , masse $m$ ), soumis au seul champ électrique de l'onde, s'écrit en notation complexe :

$m j ω v = - e E ⟹ v = \frac{- e}{j mω} E .$

La densité de courant volumique $ = - n e v = γ E$ fait apparaître la conductivité complexe

$γ = \frac{n e ^{2}}{j mω} = - j \frac{n e ^{2}}{mω}$

imaginaire pure : le courant est en quadrature avec le champ, donc la puissance volumique moyenne cédée aux électrons $⟨  \cdot E ⟩ = \frac{1}{2} Re (γ) E^{2} = 0$ . Le plasma dilué ne dissipe pas d'énergie.

2.2.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

Démonstration (Relation de dispersion du plasma)

Dans le plasma la charge volumique est nulle (neutralité), $div E = 0$ . En combinant les équations de Maxwell, l'équation de propagation du champ transverse est

$Δ E - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = μ_{0} \frac{\partial }{\partial t} = μ_{0} γ j ω E .$

On injecte $Δ \to - k^{2}$ et $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ , avec $γ j ω = n e^{2} / m$ :

$- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = μ_{0} \frac{n e ^{2}}{m} ⟹ ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}},$

où l'on a utilisé $μ_{0} c^{2} = 1/ ε_{0}$ .

Définition 2.4Pulsation plasma

La pulsation plasma $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ est la pulsation propre d'oscillation collective des électrons du plasma. Elle joue le rôle d'une pulsation de coupure : elle sépare un domaine de transparence d'un domaine réactif.

Figure : Courbe de dispersion du plasma. Pour

ω < ω_{p}

aucune valeur réelle de

k

n'existe : l'onde est évanescente. Pour $ω > ω_{p}$ l'onde se propage, la courbe est

concave et tend vers l'asymptote non dispersive

ω = c k

2.2.3 Transparence, coupure et ondes évanescentes

ImportantDeux régimes selon

ω

ω_{p}

La relation $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ donne deux comportements :

$ω > ω_{p}$ (transparence) : $k$ est réel, l'onde se propage. Alors

$v_{φ} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c, v_{g} = c 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} < c, v_{φ} v_{g} = c^{2} .$

$ω < ω_{p}$ (domaine réactif) : $k^{2} < 0$ , donc $k = - j / δ$ avec $δ = c / ω_{p}^{2} - ω^{2}$ ; l'onde est évanescente ( $e^{- z / δ}$ ), sans propagation de phase. Elle ne transporte aucune puissance moyenne : le plasma réfléchit totalement l'onde.

À $ω = ω_{p}$ : $k = 0$ , la coupure.

Proposition 2.5Onde évanescente et transport d'énergie

Dans le domaine réactif, $E \propto e^{- z / δ} e^{j ω t} e_{x}$ . La relation de structure $B = \frac{k}{ω} e_{z} \land E$ avec $k = - j / δ$ imaginaire pur montre que $B$ est en quadrature temporelle avec $E$ . Le vecteur de Poynting moyen $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2 μ _{0}} Re (E \land B^{*}) = 0$ : aucune énergie n'est transportée en moyenne. C'est la signature du transport nul par une onde évanescente, à distinguer de l'onde progressive absorbée (effet de peau, ci-après), qui transporte de l'énergie en la dissipant.

Exemple 2.6Ionosphère et communications radio

La haute atmosphère est ionisée par le rayonnement solaire : $n \sim 1 0^{11} m^{- 3}$ à $1 0^{12} m^{- 3}$ , soit $ω_{p} \sim 2 \times 1 0^{7} r a d / s$ et $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim 3 M H z$ à $10 M H z$ . Les ondes de fréquence $f < f_{p}$ (grandes ondes AM, ondes courtes) sont réfléchies : cela permet les liaisons radio par-delà l'horizon (rebonds successifs sol--ionosphère). Les ondes FM ( $\sim 100 M H z$ ), la télévision et les liaisons satellites ( $f > f_{p}$ ) la traversent.

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