Interfaces : réflexion, transmission et pression de radiation

Jusqu'ici, une onde a été étudiée dans un milieu unique, homogène et illimité (chapitre 1, équation de d'Alembert ; chapitre 2, dispersion). En réalité, une onde rencontre presque toujours une discontinuité : une corde change de nature, une onde sonore passe de l'air à l'eau, une onde lumineuse traverse une vitre ou frappe un métal. À une telle interface, une partie de l'onde repart en arrière — l'onde réfléchie — tandis que l'autre poursuit sa route dans le second milieu — l'onde transmise.

L'objectif de ce chapitre est de prévoir quantitativement ce partage. Un unique paramètre, l'impédance du milieu vis-à-vis de l'onde, le gouverne, et il obéit toujours à la même loi. Nous établirons les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude ($r$, $t$) et en puissance ($R$, $T$, avec $R+T=1$) pour la corde, l'acoustique et les ondes électromagnétiques, dégagerons la notion capitale d'adaptation d'impédance, puis traiterons deux cas de réflexion totale sur un conducteur parfait : l'onde stationnaire qui en résulte, et la pression de radiation qu'exerce une onde sur la matière — jusqu'à la voile solaire.

3.1 Impédance d'une onde progressive

3.1.1 Une définition commune

Pour toutes les ondes progressives, deux grandeurs se propagent conjointement : une grandeur « d'effort » (force transverse, surpression, champ électrique) et une grandeur « de flux » (vitesse transverse, vitesse particulaire, champ magnétique). L'impédance mesure leur rapport.

3.1.2 Impédance mécanique d'une corde

Considérons une corde de masse linéique $\mu$, tendue avec la tension $T$, siège d'une onde transverse $y(x,t)$. La force transverse exercée par la partie gauche sur la partie droite est $F=-T{\partial }_{x}y$, la vitesse transverse est $v={\partial }_{t}y$.

Démonstration (Calcul de l'impédance mécanique)

Pour une onde progressive $y=f(t-x/c)$ avec $c=\sqrt{T/\mu }$, on a ${\partial }_{x}y=-\frac{1}{c}{f}^{\prime }$ et ${\partial }_{t}y=f^{\prime }$, d'où

$$F=-T{\partial }_{x}y=\frac{T}{c}{f}^{\prime }=\frac{T}{c}v.$$

L'impédance mécanique de la corde vaut donc

$$\boxed{Z=\frac{T}{c}=\sqrt{T\mu }=\mu c}.$$

Pour une onde régressive $y=g(t+x/c)$, le même calcul donne $F=-Zv$.

3.2 Réflexion et transmission sur une corde

3.2.1 Jonction de deux cordes

Deux cordes de masses linéiques ${\mu }_1$ et ${\mu }_2$, tendues avec la même tension $T$, sont raboutées en $x=0$. Une onde harmonique arrive depuis $x<0$. Les célérités sont $c_i=\sqrt{T/{\mu }_i}$, les impédances $Z_i=\sqrt{T{\mu }_i}$, les vecteurs d'onde $k_i=\omega /c_i$.

On écrit le déplacement en notation complexe :

$${\underline{y}}_1=A_i{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-k_{1}x)}+A_r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t+k_{1}x)},{\underline{y}}_2=A_t{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-k_{2}x)}.$$

3.2.2 Conditions de continuité

Démonstration (Coefficients de la corde)

Posons $r=A_r/A_i$ et $t=A_t/A_i$. La continuité du déplacement donne

$$A_i+A_r=A_t⟹1+r=t.$$

La continuité de la pente donne $-\mathrm{i}{k}_1{A}_i+\mathrm{i}{k}_1{A}_r=-\mathrm{i}{k}_2{A}_t$, soit $k_1(1-r)=k_2(1+r)$. On en tire $r(k_1+k_2)=k_1-k_2$. Comme $k_i=\omega /c_i\propto Z_i$ (car $Z_i=T/c_i$) :

$$\boxed{r=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}}\text{et}\boxed{t=1+r=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}}.$$

3.3 Bilan d'énergie : coefficients en puissance

Les coefficients $r$ et $t$ décrivent les amplitudes. Le partage de l'énergie se fait par les coefficients en puissance.

La puissance moyenne transportée par une onde progressive vaut $⟨\mathcal{P}⟩=\frac{1}{2}Z{\omega }^2|A{|}^2$ (corde), c'est-à-dire $Z$ fois le carré de l'amplitude de flux.

Démonstration (La relation universelle $R+T=1$)

Le coefficient de réflexion en puissance (même milieu) est $R=|r{|}^2$. Pour la transmission, il faut tenir compte du changement d'impédance :

$$R=|r{|}^2={\left(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\right)}^2,T=\frac{Z_2}{Z_1}|t{|}^2=\frac{Z_2}{Z_1}{\left(\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}\right)}^2=\frac{4Z_1{Z}_2}{(Z_1+Z_2{)}^2}.$$

On vérifie la conservation de l'énergie :

$$R+T=\frac{(Z_1-Z_2{)}^2+4Z_1{Z}_2}{(Z_1+Z_2{)}^2}=\frac{(Z_1+Z_2{)}^2}{(Z_1+Z_2{)}^2}=1.$$

3.4 Acoustique : interface entre deux fluides

Une onde sonore plane se propage dans un fluide $1$ (${\rho }_1,c_1$, impédance $Z_1={\rho }_1{c}_1$) et rencontre en incidence normale un fluide $2$ ($Z_2={\rho }_2{c}_2$). Les grandeurs sont la surpression $p$ et la vitesse particulaire $v$, liées par $p=Zv$ (onde $+x$) ou $p=-Zv$ (onde $-x$).

Démonstration (Coefficients acoustiques)

Notons $r_p={\underline{p}}_r/{\underline{p}}_i$ et $t_p={\underline{p}}_t/{\underline{p}}_i$ (coefficients en surpression). La continuité de $p$ donne $1+r_p=t_p$. La continuité de $v$ s'écrit, avec $v=p/Z$ pour les ondes progressives et $v=-p/Z$ pour l'onde réfléchie :

$$\frac{{\underline{p}}_i}{Z_1}-\frac{{\underline{p}}_r}{Z_1}=\frac{{\underline{p}}_t}{Z_2}⟹Z_2(1-r_p)=Z_1(1+r_p).$$

On obtient

$$\boxed{r_p=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}},\boxed{t_p=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}}.$$

Les coefficients en vitesse en découlent : $r_v=-r_p=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}$ et $t_v=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}$. Les coefficients en puissance (intensité surfacique moyenne $⟨\mathcal{I}⟩=\frac{1}{2}{p}_0{v}_0=p_0^2/(2Z)$) valent

$$R=r_p^2={\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}\right)}^2,T=\frac{4Z_1{Z}_2}{(Z_1+Z_2{)}^2},R+T=1.$$

3.5 Adaptation d'impédance

Le partage réflexion/transmission ne dépend que du contraste $Z_2/Z_1$. La transmission d'énergie est maximale ($T=1$, $R=0$) lorsque $Z_1=Z_2$ : les impédances sont alors adaptées.

3.6 Ondes électromagnétiques : réflexion sur un conducteur parfait

Le cas EM inscrit au programme PSI est la réflexion, en incidence normale, d'une onde plane sur un conducteur parfait. On y utilise les relations de passage du champ, admises.

3.6.1 Relations de passage

3.6.2 Onde réfléchie

Le demi-espace $x<0$ est un conducteur parfait ($\overrightarrow{E}=\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ à l'intérieur), le demi-espace $x>0$ est vide. Une OPPH polarisée selon ${\overrightarrow{e}}_y$ se propage vers les $x$ décroissants et frappe le plan $x=0$ :

$${\overrightarrow{E}}_i(x,t)=E_0\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_y,k=\frac{\omega }{c}.$$

Démonstration (Champ réfléchi)

On cherche ${\overrightarrow{E}}_r=E_r\cos (\omega t-kx+\phi ){\overrightarrow{e}}_y$. En $x=0$ :

$$E_0\cos (\omega t)+E_r\cos (\omega t+\phi )=0\forall t.$$

Cette égalité, valable à tout instant, impose $E_r=E_0$, $\phi =\pi$, soit

$$\boxed{{\overrightarrow{E}}_r(x,t)=-E_0\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y.}$$

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique vaut $\boxed{r_E=-1}$ : réflexion totale avec déphasage de $\pi$, analogue à la corde attachée au mur.

Démonstration (Champs magnétiques)

Pour une OPPH, $\overrightarrow{B}=(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E})/c$ avec $\overrightarrow{u}$ sens de propagation. L'incidente ($\overrightarrow{u}=-{\overrightarrow{e}}_x$) donne ${\overrightarrow{B}}_i=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_z$ ; la réfléchie ($\overrightarrow{u}=+{\overrightarrow{e}}_x$) donne ${\overrightarrow{B}}_r=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$. Le champ magnétique se réfléchit sans inversion : $r_B=+1$.

3.6.3 Onde stationnaire

Démonstration (Champs totaux)

En superposant, avec $\cos (a+b)-\cos (a-b)=-2\sin a\sin b$ et $\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$ :

$$\boxed{\overrightarrow{E}=-2E_0\sin (kx)\sin (\omega t){\overrightarrow{e}}_y},\boxed{\overrightarrow{B}=-\frac{2E_0}{c}\cos (kx)\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z}.$$

3.6.4 Courant surfacique et coefficient de réflexion en puissance

Démonstration (Courant surfacique)

La relation de passage sur $\overrightarrow{B}$ donne $\overrightarrow{B}(0^{+},t)={\mu }_0{\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge \overrightarrow{n}$ avec $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_x$. Or $\overrightarrow{B}(0,t)=-\frac{2E_0}{c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z$. En cherchant ${\overrightarrow{ȷ}}_s=j_s{\overrightarrow{e}}_y$, on a ${\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge {\overrightarrow{e}}_x=-j_s{\overrightarrow{e}}_z$, d'où

$$\boxed{{\overrightarrow{ȷ}}_s(t)=\frac{2E_0}{{\mu }_{0}c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_y=2{\epsilon }_{0}c{E}_0\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_y.}$$

Ce sont ces courants oscillants qui « rayonnent » l'onde réfléchie : la réflexion est l'émission secondaire de la nappe de courant.

Démonstration (Réflexion en puissance)

Le champ est nul dans le conducteur : aucune énergie n'y pénètre, $T=0$. La réflexion en puissance vaut $R=|r_E{|}^2=|-1{|}^2=1$ : réflexion totale. On a bien $R+T=1$, sans absorption (conducteur parfait : $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ à l'intérieur, donc pas d'effet Joule).

3.7 Pression de radiation

Une onde transporte non seulement de l'énergie, mais aussi une quantité de mouvement. En se réfléchissant, elle en cède à la paroi : c'est la pression de radiation. On l'établit ici à partir de la force de Laplace subie par les courants surfaciques.

Démonstration (Expression de la pression de radiation)

La force surfacique instantanée est ${\overrightarrow{f}}_s={\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge ⟨\overrightarrow{B}⟩$ avec $⟨\overrightarrow{B}⟩=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}(0^{+},t)$. Avec ${\overrightarrow{ȷ}}_s=\frac{2E_0}{{\mu }_{0}c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_y$ et $\overrightarrow{B}(0^{+},t)=-\frac{2E_0}{c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z$ :

$${\overrightarrow{f}}_s=\frac{2E_0}{{\mu }_{0}c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_y\wedge \left(-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z\right)=-\frac{2E_0^2}{{\mu }_0{c}^2}{\cos }^2(\omega t){\overrightarrow{e}}_x.$$

Le signe indique une force dirigée vers les $x<0$, c'est-à-dire poussant le conducteur : l'onde pousse la paroi. En moyenne temporelle ($⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$) et avec $c^2=1/({\mu }_0{\epsilon }_0)$ :

$$\boxed{P_{\text{rad}}=⟨\Vert {\overrightarrow{f}}_s\Vert ⟩=\frac{E_0^2}{{\mu }_0{c}^2}={\epsilon }_0{E}_0^2.}$$

3.8 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.9 Exercices résolus

Démonstration

$Z_2=\sqrt{4}{Z}_1=2Z_1$. D'où

$$r=\frac{Z_1-2Z_1}{3Z_1}=-\frac{1}{3},t=\frac{2}{3},R=\frac{1}{9}\simeq 11\%,T=1-R=\frac{8}{9}\simeq 89\%.$$

Vérification : $T=\frac{4Z_1{Z}_2}{(Z_1+Z_2{)}^2}=\frac{8Z_1^2}{9Z_1^2}=\frac{8}{9}$. ✓

Démonstration

Mur : $Z_2\to \infty$, $r\to -1$ (onde inversée, nœud). Anneau libre : $Z_2\to 0$, $r\to +1$ (non inversée, ventre). Dans les deux cas $R=1$, $T=0$ : réflexion totale.

Démonstration

$$T=\frac{4Z_1{Z}_2}{(Z_1+Z_2{)}^2}\simeq \frac{4Z_1}{Z_2}=\frac{4\times 413}{1,5\times 10^6}\simeq 1,1\times 10^{-3}.$$

Soit $T\simeq 0,11\%$ : le fort désaccord d'impédance rend le couplage air/eau très inefficace.

Démonstration

$r_p=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}<0$ car $Z_2<Z_1$ : la surpression réfléchie est en opposition de phase avec l'incidente (déphasage $\pi$). En vitesse, $r_v=-r_p>0$ : la vitesse se réfléchit sans inversion. La surface libre eau/air se comporte, pour la surpression, comme une extrémité « molle ».

Démonstration

$Z_{\text{int}}^2=Z_1{Z}_2\Rightarrow Z_{\text{int}}/Z_1=Z_2/Z_{\text{int}}$ : contraste identique aux deux traversées. La couche répartit le saut en deux marches égales ; avec l'épaisseur $\lambda /4$, les deux ondes réfléchies interfèrent destructivement et la réflexion globale s'annule.

Démonstration

$\lambda =c/f=(3,0\times 10^8)/10^{10}=3.0cm$. La plaque ($x=0$) est un nœud de $\overrightarrow{E}$ ; le premier ventre est à $\lambda /4=0.75cm=7.5mm$. Deux ventres consécutifs sont distants de $\lambda /2=1.5cm$ (méthode de mesure de $\lambda$).

Démonstration

$$j_{s,\max }=2{\epsilon }_{0}c{E}_0=2\times 8,85\times 10^{-12}\times 3,0\times 10^8\times 100\simeq 0.53A.m^{-1}.$$

Ce courant, dirigé selon ${\overrightarrow{e}}_y$ et oscillant en $\cos (\omega t)$, est en phase avec le champ magnétique ventral et rayonne l'onde réfléchie.

Démonstration

$⟨\mathcal{I}⟩=\mathcal{P}/S=1/10^{-6}=1\times 10^{6}W.m^{-2}$. Sur un réflecteur :

$$P_{\text{rad}}=\frac{2⟨\mathcal{I}⟩}{c}=\frac{2\times 10^6}{3\times 10^8}\simeq 6.7\times 10^{-3}Pa.$$

Faible, mais suffisante avec des pinces optiques pour piéger et déplacer des particules microscopiques.

Démonstration

$$F=P_{\text{rad}}S=\frac{2⟨\mathcal{I}⟩}{c}S=\frac{2\times 1,4\times 10^3}{3\times 10^8}\times 600\simeq 5.6\times 10^{-3}N.$$

Une force de quelques millinewtons, gratuite et permanente : sur des semaines, elle produit une accélération notable d'une sonde légère.

3.10 Exercices d'entraînement

• Impédance de corde. Calculer l'impédance mécanique d'une corde $\mu =5g.m^{-1}$ tendue à $T=80N$, et la célérité.
• Corde allégée. Deux cordes de même tension, ${\mu }_2={\mu }_1/4$. Calculer $r$, $t$, $R$, $T$ et commenter le signe de $r$.
• Continuités. Justifier physiquement la continuité de la force transverse à la jonction de deux cordes sans masse ponctuelle.
• Coefficients acoustiques. Établir $r_p$, $t_p$, $r_v$, $t_v$ à partir des continuités de $p$ et $v$ ; vérifier $R+T=1$.
• Interface eau/air. Interface eau ($Z_1$) / air ($Z_2<Z_1$) : donner les signes de $r_p$ et $r_v$ et interpréter le déphasage de la surpression réfléchie.
• Bilan d'énergie. Démontrer $R+T=1$ à partir des expressions générales de $R$ et $T$ en fonction de $Z_1$, $Z_2$.
• Échographie. Sonde ($Z\sim 30\times 10^{6}rayl$) et tissu ($Z\sim 1.6\times 10^{6}rayl$). Calculer $R$ sans gel, puis l'impédance idéale du gel.
• Onde réfléchie sur métal. Une OPPH ${\overrightarrow{E}}_i=E_0\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_y$ frappe un conducteur en $x=0$. Retrouver ${\overrightarrow{E}}_r$ et $r_E$ par la continuité de ${\overrightarrow{E}}_{\parallel }$.
• Champ magnétique. Établir ${\overrightarrow{B}}_i$, ${\overrightarrow{B}}_r$ et vérifier que $\overrightarrow{B}$ se réfléchit sans inversion ($r_B=+1$).
• Onde stationnaire. À partir de $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_i+{\overrightarrow{E}}_r$, retrouver $\overrightarrow{E}=-2E_0\sin (kx)\sin (\omega t){\overrightarrow{e}}_y$ et justifier le terme « stationnaire ».
• Nœuds et ventres. Pour $\lambda =4cm$, donner les positions des nœuds et ventres de $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ ; vérifier le décalage $\lambda /4$.
• Courant surfacique. Calculer $j_{s,\max }$ pour $E_0=200V/m$ ; préciser direction et dépendance temporelle.
• Réflexion en puissance. Justifier $R=1$ et $T=0$ sur un conducteur parfait ; où passe l'énergie ?
• Pression de radiation. Établir $P_{\text{rad}}={\epsilon }_0{E}_0^2$ à partir de la force de Laplace sur ${\overrightarrow{ȷ}}_s$, puis exprimer $P_{\text{rad}}$ en fonction de l'éclairement.
• Absorbeur vs réflecteur. Comparer la pression de radiation sur une surface noire (absorbante) et sur un miroir, à même éclairement. Justifier le facteur 2.
• Voile solaire. Une voile de $S=1\times 10^4{m}^2$ sur une sonde de $150kg$ à $1ua$. Calculer la force et l'accélération, puis la vitesse gagnée en 30 jours.