Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires

Cours · physique quantique (MP), chapitre 4 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le puits de potentiel infini : l'énergie est quantifiée, et chaque niveau a sa fonction d'onde stationnaire.

Confiner une particule dans une boîte de taille $L$ , c'est lui interdire certaines énergies : la quantification n'est pas un postulat, c'est une conséquence du confinement. Ce chapitre en donne le modèle le plus simple et le plus fécond.

Le chapitre précédent a montré qu'une particule quantique pénètre dans les zones classiquement interdites ; nous montrons ici que le confinement quantifie l'énergie. Nous étudions pour cela le modèle idéalisé le plus simple : le puits de potentiel infini à une dimension. Malgré sa simplicité, il capture l'essentiel de la physique du confinement : quantification de l'énergie, énergie minimale non nulle, ondes stationnaires de probabilité. Il permet en outre d'introduire les états non stationnaires, superpositions d'états d'énergie bien définie dont la densité de présence oscille au cours du temps.

4.1 Le modèle du puits de potentiel infini

4.1.1 Définition du potentiel

On considère une particule de masse $m$ astreinte à se déplacer sur un segment de longueur $L$ de l'axe $O x$ . On modélise ce confinement par un potentiel $V (x)$ nul à l'intérieur du segment et infini à l'extérieur : la particule ne peut absolument pas franchir les parois.

Définition 4.1Puits de potentiel infini

Le puits de potentiel infini (ou boîte quantique unidimensionnelle) de largeur $L$ est défini par le potentiel

$V (x) = {0 + \infty si 0 < x < L (int e ˊ rieur du puits), si x \leq 0 ou x \geq L (parois) .$

La particule est confinée : la probabilité de la trouver hors de l'intervalle $[0, L]$ est rigoureusement nulle.

iRemarque

Ce potentiel est une idéalisation. Physiquement, il modélise par exemple un électron piégé dans une nanostructure (boîte ou fil quantique), un électron de conduction dans un petit conducteur, ou encore, en première approche, un nucléon dans un noyau. Les parois « infinies » représentent des barrières de potentiel très hautes devant l'énergie de la particule (voir le modèle des marches finies du chapitre précédent).

4.2 États stationnaires et quantification de l'énergie

4.2.1 Équation de Schrödinger stationnaire

On cherche les états stationnaires de la particule, c'est-à-dire les solutions de l'équation de Schrödinger de la forme

$Ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ},$

pour lesquelles la densité de probabilité $∣ Ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$ est indépendante du temps. La fonction $φ (x)$ est solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + V (x) φ (x) = E φ (x) .$

ImportantConfinement strict

À l'extérieur du puits, $V = + \infty$ impose $φ (x) = 0$ : la particule ne peut s'y trouver. Par continuité de la fonction d'onde, on obtient les conditions aux limites

$φ (0) = 0 et φ (L) = 0.$

Ce sont ces conditions imposées aux bords qui vont sélectionner les énergies permises.

iRemarque

Contrairement au cas des marches de potentiel finies, on n'impose pas ici la continuité de la dérivée $φ^{'}$ aux parois : le potentiel infini rend cette condition caduque. La fonction d'onde présente une pente non nulle qui se raccorde à zéro à l'extérieur.

4.2.2 Résolution dans le puits

À l'intérieur du puits ( $0 < x < L$ ), $V = 0$ et l'équation devient

$\frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} + k^{2} φ = 0, avec k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} .$

Pour une particule confinée on cherche $E > 0$ , donc $k$ réel. La solution générale est

$φ (x) = A sin (k x) + B cos (k x), (A, B) \in C^{2} .$

Méthode : Application des conditions aux limites

On applique successivement les deux conditions de bord :

En $x = 0$ : $φ (0) = B = 0$ . La solution se réduit à $φ (x) = A sin (k x)$ .
En $x = L$ : $φ (L) = A sin (k L) = 0$ . Comme $A \neq = 0$ (sinon $φ \equiv 0$ , état sans particule), il faut $sin (k L) = 0$ , soit

$k L = nπ, n \in N^{*} .$

Seules les valeurs $k_{n} = nπ / L$ sont autorisées : le vecteur d'onde, donc l'énergie, est quantifié.

4.2.3 Quantification de l'énergie

En reportant $k_{n} = nπ / L$ dans $E = ℏ^{2} k^{2} / (2 m)$ , on obtient le spectre d'énergie.

◆Théorème 4.2Niveaux d'énergie du puits infini

Les seules énergies permises pour une particule dans un puits infini de largeur $L$ sont

$E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}, n \in N^{*} .$

L'entier $n$ est le nombre quantique. L'énergie ne peut prendre qu'une suite discrète de valeurs, proportionnelles à $n^{2}$ : les niveaux sont de plus en plus espacés lorsque $n$ croît.

iRemarque

On passe de $ℏ$ à $h$ par $ℏ = h / (2 π)$ , d'où $π^{2} ℏ^{2} = π^{2} h^{2} / (4 π^{2}) = h^{2} /4$ et le facteur $8$ au dénominateur. Les deux écritures sont équivalentes ; la forme en $h^{2} / (8 m L^{2})$ est commode pour les applications numériques.

4.2.4 Fonctions d'onde stationnaires

À chaque énergie $E_{n}$ correspond une fonction d'onde $φ_{n} (x) = A_{n} sin (nπ x / L)$ . La constante $A_{n}$ est fixée par la condition de normalisation : la probabilité de trouver la particule quelque part dans le puits vaut $1$ ,

$\int_{0}^{L} ∣ φ_{n} (x) ∣^{2} d x = 1 ⟹ A_{n}^{2} \int_{0}^{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = A_{n}^{2} \frac{L}{2} = 1.$

On en déduit $A_{n} = 2/ L$ (choisi réel positif).

Proposition 4.3États stationnaires normalisés

Les états stationnaires du puits infini sont, à une phase globale près,

$φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}) (0 \leq x \leq L), Ψ_{n} (x, t) = φ_{n} (x) e^{- i E_{n} t /ℏ} .$

La fonction $φ_{n}$ présente $n - 1$ nœuds intérieurs (points où $φ_{n} = 0$ ) et $n$ ventres. Ces fonctions forment une base orthonormée :

$\int_{0}^{L} φ_{p} (x) φ_{q} (x) d x = δ_{pq} (δ_{pq} = 1 si p = q, 0 sinon) .$

Trois premiers niveaux d'énergie ( $E_{n} \propto n^{2}$ ) et fonctions d'onde associées $φ_{n}$ , tracées à partir de leur niveau.}

Exemple 4.4Trois premiers niveaux et rapports d'énergie

Exprimer $E_{2}$ et $E_{3}$ en fonction de $E_{1}$ , puis les écarts $E_{2} - E_{1}$ et $E_{3} - E_{2}$ .

Démonstration

Comme $E_{n} = n^{2} E_{1}$ avec $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ , on a directement $E_{2} = 4 E_{1}$ et $E_{3} = 9 E_{1}$ . Les écarts valent

$E_{2} - E_{1} = 3 E_{1}, E_{3} - E_{2} = 5 E_{1} .$

Les niveaux s'écartent linéairement : $E_{n + 1} - E_{n} = (2 n + 1) E_{1}$ . Contrairement à l'oscillateur harmonique (niveaux équidistants), le puits infini a des niveaux de plus en plus espacés.

ImportantAnalogies avec d'autres domaines de la physique

La quantification par confinement n'est pas propre à la mécanique quantique : c'est le sort de toute onde enfermée entre deux bords où elle doit s'annuler.

Corde vibrante fixée à ses deux extrémités (corde de Melde, de guitare) : les modes propres $y_{n} (x, t) = Y_{n} sin (nπ x / L) cos (ω_{n} t)$ ont la même forme spatiale que les $φ_{n}$ , avec la même condition $L = n λ_{n} /2$ .
Cavité optique (laser, interféromètre de Fabry-Perot) et tuyau sonore : seules résonnent les longueurs d'onde telles que la longueur de la cavité contienne un nombre entier de demi-longueurs d'onde.

La différence tient à la relation de dispersion. Pour la corde, $ω = c k$ : les fréquences propres $f_{n} = n c / (2 L)$ sont équidistantes. Pour la particule, $ω = ℏ k^{2} / (2 m)$ : les énergies $E_{n} = ℏ ω_{n} \propto n^{2}$ s'écartent de plus en plus. Autre différence : la corde oscille réellement (le déplacement $y_{n}$ change de signe au cours du temps), alors que l'état stationnaire quantique $φ_{n} (x) e^{- i E_{n} t /ℏ}$ ne fait que tourner sa phase globale : sa densité de présence $∣ φ_{n} ∣^{2}$ est indépendante du temps.

4.3 Propriétés physiques des états stationnaires

4.3.1 Énergie minimale non nulle

Le nombre quantique $n$ commence à $1$ (car $n = 0$ donnerait $φ \equiv 0$ , absence de particule). L'énergie la plus basse accessible est donc

$E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{h ^{2}}{8 m L ^{2}} > 0.$

ImportantÉnergie de point zéro et principe de Heisenberg

Une particule confinée ne peut pas être au repos : son énergie minimale $E_{1}$ est strictement positive. Ce résultat s'interprète par l'inégalité de Heisenberg spatiale. La particule est localisée sur $Δ x \sim L$ , donc son impulsion présente une dispersion $Δ p ≳ ℏ/ (2Δ x) \sim ℏ/ L$ . L'énergie cinétique associée est de l'ordre de

$E \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m} \sim \frac{ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}},$

soit l'ordre de grandeur de $E_{1}$ (le calcul exact, $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ , fixe le préfacteur $π^{2} \approx 10$ , que l'estimation ne prétend pas donner). Plus le confinement est fort (petit $L$ ), plus l'énergie minimale est élevée : c'est la « pression quantique » du confinement.

Ce raisonnement dépasse le cadre du puits rectangulaire : il permet d'estimer l'énergie de l'état fondamental d'une particule confinée dans un puits de forme quelconque, ce qui est un exigible du programme.

Méthode : Énergie de confinement d'un puits quelconque

Pour estimer l'énergie du fondamental d'une particule de masse $m$ confinée dans un puits $V (x)$ non rectangulaire :

on suppose la particule confinée sur une taille $a$ , a priori inconnue : $Δ x \sim a$ ;
l'inégalité de Heisenberg impose alors une impulsion $p \sim ℏ/ a$ , donc une énergie cinétique de confinement $\sim \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ ;
on évalue l'énergie potentielle à la même échelle et l'on forme

$E (a) \approx \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} + V (a);$

on minimise $E (a)$ par rapport à $a$ . L'état fondamental résulte du compromis entre l'énergie cinétique de confinement, qui pousse la particule à s'étaler (elle décroît quand $a$ augmente), et l'énergie potentielle, qui la pousse à se concentrer au fond du puits. Le minimum $E (a^{*})$ donne l'ordre de grandeur de l'énergie du fondamental, et $a^{*}$ celui de son extension spatiale.

Exemple 4.5Fondamental de l'oscillateur harmonique par l'inégalité de Heisenberg

Estimer l'énergie de l'état fondamental d'une particule de masse $m$ confinée dans le puits harmonique $V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ (puits non rectangulaire).

Démonstration

Si la particule est confinée sur une taille $a$ , l'inégalité de Heisenberg donne $p \sim ℏ/ a$ , d'où l'énergie totale estimée

$E (a) \approx \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} a^{2} .$

Le premier terme diverge quand $a \to 0$ (confinement trop coûteux en énergie cinétique), le second quand $a \to + \infty$ (la particule remonte les flancs du puits) : $E (a)$ admet un minimum. On annule la dérivée :

$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m a ^{3}} + m ω^{2} a = 0 ⟹ a^{4} = \frac{ℏ ^{2}}{m ^{2} ω ^{2}}, soit a^{*} = \frac{ℏ}{mω} .$

En reportant, les deux termes valent chacun $ℏ ω /2$ :

$\frac{ℏ ^{2}}{2 m ( a ^{*} ) ^{2}} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{mω}{ℏ} = \frac{ℏ ω}{2}, \frac{1}{2} m ω^{2} (a^{*})^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} \cdot \frac{ℏ}{mω} = \frac{ℏ ω}{2},$

d'où

$E_{m i n} = \frac{ℏ ω}{2} + \frac{ℏ ω}{2} = ℏ ω ⟹ E_{0} \sim ℏ ω .$

La résolution exacte de l'équation de Schrödinger donne $E_{0} = ℏ ω /2$ : notre estimation fournit le bon ordre de grandeur, à un facteur $2$ près — précision normale pour un raisonnement d'ordres de grandeur, où les préfacteurs (choix de $Δ x \sim a$ , $ℏ$ ou $ℏ/2$ dans l'inégalité…) ne sont pas contrôlés : avec $p \sim ℏ/ (2 a)$ , le même calcul donnerait exactement $ℏ ω /2$ , ce qui tient du hasard. On retiendra qu'au minimum les deux termes sont du même ordre : le fondamental équilibre énergie cinétique de confinement et énergie potentielle.

4.3.2 Densité de probabilité de présence

La densité de probabilité dans l'état $φ_{n}$ est

$∣ φ_{n} (x) ∣^{2} = \frac{2}{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) .$

Elle présente $n$ maxima (ventres) et s'annule aux $n - 1$ nœuds intérieurs. Pour $n = 1$ , la particule est préférentiellement au centre ; pour $n$ grand, la densité tend vers une valeur uniforme $1/ L$ en moyenne : on retrouve le comportement classique (limite de correspondance).

Densités de probabilité (à un facteur $2/ L$ près) pour $n = 1$ et $n = 2$ .}

Figure : Les trois premiers états stationnaires du puits infini : à gauche les fonctions

d'onde $φ_{n}$ (qui changent de signe), à droite les densités de présence $∣ φ_{n} ∣^{2}$ , positives, avec $n$ ventres et $n - 1$ nœuds intérieurs (points

rouges) où la particule n'est jamais détectée.

4.3.3 Ordres de grandeur

Exemple 4.6Électron confiné à l'échelle atomique

Estimer $E_{1}$ pour un électron ( $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ) confiné dans un puits de largeur $L = 0, 1 nm$ (échelle atomique). Comparer à l'électron-volt.

Démonstration

Avec $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} Js$ ,

$E_{1} = \frac{h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}} = \frac{( 6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{8 \times 9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 1 0 ^{- 10} ) ^{2}} \approx 6, 0 \times 1 0^{- 18} J \approx 38 eV .$

On obtient une énergie de l'ordre de quelques dizaines d'électron-volts, comparable aux énergies de liaison atomiques : le modèle rend bien compte de l'ordre de grandeur des énergies électroniques dans la matière. Les écarts entre niveaux sont alors de l'ordre de la centaine d'eV ( $E_{2} - E_{1} = 3 E_{1} \approx 113 eV$ , soit un photon de longueur d'onde $λ \approx 11 nm$ , dans l'ultraviolet extrême) ; des écarts de l'ordre de l'eV, dans le domaine visible--UV, correspondent à des puits de largeur de l'ordre du nanomètre.

Exemple 4.7Bille macroscopique : la quantification est invisible

Une bille de masse $m = 1 g$ est confinée dans une boîte de largeur $L = 10 cm$ . Estimer $E_{1}$ et le nombre quantique correspondant à une vitesse « ordinaire » $v = 1 cm / s$ .

Démonstration

$E_{1} = \frac{h ^{2}}{8 m L ^{2}} = \frac{( 6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{8 \times 1 0 ^{- 3} \times ( 0 , 1 ) ^{2}} \approx 5, 5 \times 1 0^{- 63} J .$

C'est une énergie ridiculement faible. L'énergie cinétique classique $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 1 0^{- 3} \times (1 0^{- 2})^{2} = 5 \times 1 0^{- 8} J$ correspond à

$n = E_{c} / E_{1} \approx 5 \times 1 0^{- 8} /5, 5 \times 1 0^{- 63} \approx 1 0^{27} .$

Le nombre quantique est colossal : les niveaux sont si serrés que l'énergie apparaît continue. La quantification n'est observable qu'à l'échelle microscopique.

Capacité numérique : Niveaux et fonctions d'onde d'un puits infini

Le programme Python ci-dessous calcule les niveaux $E_{n}$ (en eV) et trace les densités de présence $∣ φ_{n} ∣^{2}$ pour un électron confiné.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constantes SI
h    = 6.626e-34      # constante de Planck (J.s)
me   = 9.109e-31      # masse de l'electron (kg)
eV   = 1.602e-19      # 1 eV en joules
L    = 1.0e-10        # largeur du puits (m) : echelle atomique

def energie(n):
    """Energie du niveau n, en electron-volts."""
    return (n**2 * h**2) / (8 * me * L**2) / eV

def phi(n, x):
    """Fonction d'onde stationnaire normalisee."""
    return np.sqrt(2 / L) * np.sin(n * np.pi * x / L)

for n in range(1, 5):
    print(f"E_{n} = {energie(n):8.2f} eV")

x = np.linspace(0, L, 400)
for n in range(1, 4):
    plt.plot(x / L, np.abs(phi(n, x))**2 * L, label=f"n = {n}")
plt.xlabel("x / L")
plt.ylabel(r"$L\,|\varphi_n|^2$")
plt.legend()
plt.title("Densites de presence dans le puits infini")
plt.show()

On vérifie $E_{1} \approx 37, 6 eV$ , $E_{2} = 4 E_{1}$ , $E_{3} = 9 E_{1}$ , $E_{4} = 16 E_{1}$ : le rapport en $n^{2}$ est manifeste.

4.4 États non stationnaires

4.4.1 Le principe de superposition

Les états $Ψ_{n}$ sont dits stationnaires car leur densité de présence $∣ Ψ_{n} ∣^{2} = ∣ φ_{n} ∣^{2}$ ne dépend pas du temps. Mais l'équation de Schrödinger étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Une particule peut donc se trouver dans une superposition d'états d'énergies différentes : un tel état est non stationnaire.

Définition 4.8État non stationnaire à deux composantes

On appelle superposition des états $φ_{1}$ et $φ_{2}$ (d'énergies $E_{1}$ , $E_{2}$ ) la fonction d'onde

$Ψ (x, t) = c_{1} φ_{1} (x) e^{- i E_{1} t /ℏ} + c_{2} φ_{2} (x) e^{- i E_{2} t /ℏ},$

avec $(c_{1}, c_{2}) \in C^{2}$ . La normalisation $\int_{0}^{L} ∣ Ψ ∣^{2} d x = 1$ impose, grâce à l'orthonormalité des $φ_{n}$ ,

$∣ c_{1} ∣^{2} + ∣ c_{2} ∣^{2} = 1.$

Les nombres $∣ c_{1} ∣^{2}$ et $∣ c_{2} ∣^{2}$ sont les probabilités de mesurer respectivement l'énergie $E_{1}$ et l'énergie $E_{2}$ .

Attention

Un état stationnaire a une énergie bien définie : une mesure d'énergie y donne toujours $E_{n}$ . Un état non stationnaire n'a pas d'énergie définie : la mesure donne $E_{1}$ avec la probabilité $∣ c_{1} ∣^{2}$ ou $E_{2}$ avec la probabilité $∣ c_{2} ∣^{2}$ . Sa valeur moyenne d'énergie $⟨ E ⟩ = ∣ c_{1} ∣^{2} E_{1} + ∣ c_{2} ∣^{2} E_{2}$ est en revanche conservée au cours du temps.

4.4.2 Densité de présence et pulsation de Bohr

Calculons la densité $∣ Ψ (x, t) ∣^{2}$ pour l'état non stationnaire ci-dessus (on prend $c_{1}, c_{2}$ réels pour alléger). En développant le module carré,

$∣ Ψ ∣^{2} = Ψ Ψ^{*} = c_{1}^{2} φ_{1}^{2} + c_{2}^{2} φ_{2}^{2} + 2 c_{1} c_{2} φ_{1} φ_{2} Re (e^{- i (E_{1} - E_{2}) t /ℏ}) .$

◆Théorème 4.9Densité de présence d'une superposition de deux états

La densité de probabilité de présence s'écrit

$∣ Ψ (x, t) ∣^{2} = c_{1}^{2} φ_{1}^{2} (x) + c_{2}^{2} φ_{2}^{2} (x) + 2 c_{1} c_{2} φ_{1} (x) φ_{2} (x) cos (ω_{21} t),$

où l'on a posé la pulsation de Bohr

$ω_{21} = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ} .$

Les deux premiers termes sont constants ; le troisième, terme d'interférence entre les deux états, oscille dans le temps à la pulsation $ω_{21}$ .

ImportantInterprétation

La densité de présence d'un état non stationnaire oscille périodiquement à la pulsation de Bohr $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ$ , de période $T = 2 π ℏ/ (E_{2} - E_{1}) = h / (E_{2} - E_{1})$ . La particule « ballotte » d'un côté à l'autre du puits : c'est l'origine microscopique de l'émission ou de l'absorption d'un photon de fréquence de Bohr $ν_{21} = (E_{2} - E_{1}) / h$ lors d'une transition entre niveaux. Seuls des états d'énergies différentes engendrent une évolution temporelle observable.

iRemarque

Si $c_{1} = 0$ ou $c_{2} = 0$ , le terme d'interférence disparaît et l'on retrouve un état stationnaire, de densité constante. C'est bien la présence simultanée de deux composantes d'énergies distinctes qui rend l'état non stationnaire.

Figure : Battement quantique de la superposition

$Ψ = \frac{1}{2} (φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ})$ (courbes exactes, unité $2/ L$ ) : la densité de présence bascule périodiquement de la moitié gauche ( $t = 0$ ) à la moitié droite ( $t = T /2$ ) du puits, à la pulsation de Bohr $ω_{21}$ ; à $t = T /4$ le terme

d'interférence s'annule. L'aire totale reste égale à

1

à chaque instant.

4.4.3 Valeur moyenne oscillante de la position

La position moyenne $⟨ x ⟩ (t) = \int_{0}^{L} x ∣ Ψ (x, t) ∣^{2} d x$ hérite de cette oscillation. En intégrant la densité précédente,

$⟨ x ⟩ (t) = c_{1}^{2} ⟨ x ⟩_{1} + c_{2}^{2} ⟨ x ⟩_{2} + 2 c_{1} c_{2} cos (ω_{21} t) \int_{0}^{L} x φ_{1} (x) φ_{2} (x) d x .$

Les deux premiers termes sont constants (et valent $L /2$ par symétrie de $φ_{1}^{2}$ et $φ_{2}^{2}$ ). Le terme croisé fait osciller $⟨ x ⟩$ autour de $L /2$ à la pulsation de Bohr.

Exemple 4.10Position moyenne pour une superposition équilibrée

On prend $c_{1} = c_{2} = 1/ 2$ . Calculer $⟨ x ⟩ (t)$ et son amplitude d'oscillation. On donne $\int_{0}^{L} x φ_{1} φ_{2} d x = - \frac{16 L}{9 π ^{2}}$ .

Démonstration

Avec $⟨ x ⟩_{1} = ⟨ x ⟩_{2} = L /2$ et $c_{1}^{2} = c_{2}^{2} = 1/2$ , la partie constante vaut $L /2$ . Le terme croisé donne

$⟨ x ⟩ (t) = \frac{L}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} cos (ω_{21} t) \cdot (- \frac{16 L}{9 π ^{2}}) = \frac{L}{2} - \frac{16 L}{9 π ^{2}} cos (ω_{21} t) .$

La position moyenne oscille autour du centre $L /2$ avec l'amplitude $16 L / (9 π^{2}) \approx 0, 18 L$ , à la pulsation $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ = 3 E_{1} /ℏ$ . La particule oscille dans le puits, comme un « nuage de probabilité » qui balance périodiquement.

Oscillation de la position moyenne autour du centre du puits, à la pulsation de Bohr $ω_{21}$ .}

Modèle : puits infini de largeur $L$ , $V = 0$ dedans, $V = + \infty$ dehors. Confinement $\Rightarrow$ conditions aux limites $φ (0) = φ (L) = 0$ .
Quantification : $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$ , avec $n \in N^{*}$ ; niveaux $\propto n^{2}$ , de plus en plus espacés.
États stationnaires : $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L})$ , orthonormés, $n - 1$ nœuds intérieurs.
Énergie minimale non nulle $E_{1} > 0$ : conséquence de Heisenberg ( $Δ x \sim L \Rightarrow E \sim ℏ^{2} /2 m L^{2}$ ). Confinement fort $\Rightarrow$ énergie élevée.
Puits non rectangulaire : estimer $E (a) \approx \frac{ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} + V (a)$ (Heisenberg, $p \sim ℏ/ a$ ) et minimiser en $a$ ; oscillateur harmonique : $E_{0} \sim ℏ ω$ (exact : $ℏ ω /2$ ).
Analogies : corde vibrante fixée aux deux bouts, cavité optique, tuyau sonore ( $L = nλ /2$ ) ; fréquences $\propto n$ pour la corde, énergies $\propto n^{2}$ pour la particule.
Ordres de grandeur : électron dans $L \sim 0, 1 nm$ : $E_{1} \sim$ dizaines d'eV (quantification visible) ; objet macroscopique : $n \sim 1 0^{27}$ (spectre quasi continu).
État non stationnaire : $Ψ = c_{1} φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + c_{2} φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ}$ , $∣ c_{1} ∣^{2} + ∣ c_{2} ∣^{2} = 1$ .
Évolution : $∣ Ψ ∣^{2} = c_{1}^{2} φ_{1}^{2} + c_{2}^{2} φ_{2}^{2} + 2 c_{1} c_{2} φ_{1} φ_{2} cos (ω_{21} t)$ , avec $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ$ (pulsation de Bohr). Densité et $⟨ x ⟩$ oscillent ; deux énergies distinctes sont nécessaires.

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