Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires

Le chapitre précédent a montré qu'une particule quantique pénètre dans les zones classiquement interdites ; nous montrons ici que le confinement quantifie l'énergie. Nous étudions pour cela le modèle idéalisé le plus simple : le puits de potentiel infini à une dimension. Malgré sa simplicité, il capture l'essentiel de la physique du confinement : quantification de l'énergie, énergie minimale non nulle, ondes stationnaires de probabilité. Il permet en outre d'introduire les états non stationnaires, superpositions d'états d'énergie bien définie dont la densité de présence oscille au cours du temps.

4.1 Le modèle du puits de potentiel infini

4.1.1 Définition du potentiel

On considère une particule de masse $m$ astreinte à se déplacer sur un segment de longueur $L$ de l'axe $Ox$. On modélise ce confinement par un potentiel $V(x)$ nul à l'intérieur du segment et infini à l'extérieur : la particule ne peut absolument pas franchir les parois.

4.2 États stationnaires et quantification de l'énergie

4.2.1 Équation de Schrödinger stationnaire

On cherche les états stationnaires de la particule, c'est-à-dire les solutions de l'équation de Schrödinger de la forme

$$\Psi (x,t)=\phi (x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et/\hslash },$$

pour lesquelles la densité de probabilité ${\left|\Psi (x,t)\right|}^2={\left|\phi (x)\right|}^2$ est indépendante du temps. La fonction $\phi (x)$ est solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2\phi }{\mathrm{d}{x}^2}(x)+V(x)\phi (x)=E\phi (x).$$

4.2.2 Résolution dans le puits

À l'intérieur du puits ($0<x<L$), $V=0$ et l'équation devient

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\phi }{\mathrm{d}{x}^2}+k^2\phi =0,\text{avec}{k}^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}.$$

Pour une particule confinée on cherche $E>0$, donc $k$ réel. La solution générale est

$$\phi (x)=A\sin (kx)+B\cos (kx),(A,B)\in {\mathbb{C}}^2.$$

4.2.3 Quantification de l'énergie

En reportant $k_n=n\pi /L$ dans $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$, on obtient le spectre d'énergie.

4.2.4 Fonctions d'onde stationnaires

À chaque énergie $E_n$ correspond une fonction d'onde ${\phi }_n(x)=A_n\sin (n\pi x/L)$. La constante $A_n$ est fixée par la condition de normalisation : la probabilité de trouver la particule quelque part dans le puits vaut $1$,

$${\int }_0^L{\left|{\phi }_n(x)\right|}^2\mathrm{d}x=1⟹A_n^2{\int }_0^L{\sin }^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=A_n^2\frac{L}{2}=1.$$

On en déduit $A_n=\sqrt{2/L}$ (choisi réel positif).

{Trois premiers niveaux d'énergie ($E_n\propto n^2$) et fonctions d'onde associées ${\phi }_n$, tracées à partir de leur niveau.}

4.3 Propriétés physiques des états stationnaires

4.3.1 Énergie minimale non nulle

Le nombre quantique $n$ commence à $1$ (car $n=0$ donnerait $\phi \equiv 0$, absence de particule). L'énergie la plus basse accessible est donc

$$E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}=\frac{h^2}{8m{L}^2}>0.$$

Ce raisonnement dépasse le cadre du puits rectangulaire : il permet d'estimer l'énergie de l'état fondamental d'une particule confinée dans un puits de forme quelconque, ce qui est un exigible du programme.

4.3.2 Densité de probabilité de présence

La densité de probabilité dans l'état ${\phi }_n$ est

$${\left|{\phi }_n(x)\right|}^2=\frac{2}{L}{\sin }^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$$

Elle présente $n$ maxima (ventres) et s'annule aux $n-1$ nœuds intérieurs. Pour $n=1$, la particule est préférentiellement au centre ; pour $n$ grand, la densité tend vers une valeur uniforme $1/L$ en moyenne : on retrouve le comportement classique (limite de correspondance).

{Densités de probabilité (à un facteur $2/L$ près) pour $n=1$ et $n=2$.}

Figure : Les trois premiers états stationnaires du puits infini : à gauche les fonctions

d'onde ${\phi }_n$ (qui changent de signe), à droite les densités de présence ${\left|{\phi }_n\right|}^2$, positives, avec $n$ ventres et $n-1$ nœuds intérieurs (points rouges) où la particule n'est jamais détectée.</div>

4.3.3 Ordres de grandeur

Exemple 4.6Électron confiné à l'échelle atomique

Estimer $E_1$ pour un électron ($m_e=9,1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$) confiné dans un puits de largeur $L=0,1\mathrm{nm}$ (échelle atomique). Comparer à l'électron-volt.

Démonstration

Avec $h=6,63\times 10^{-34}\mathrm{Js}$,

$$E_1=\frac{h^2}{8m_e{L}^2}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 9,1\times 10^{-31}\times (10^{-10}{)}^2}\approx 6,0\times 10^{-18}\mathrm{J}\approx 38\mathrm{eV}.$$

On obtient une énergie de l'ordre de quelques dizaines d'électron-volts, comparable aux énergies de liaison atomiques : le modèle rend bien compte de l'ordre de grandeur des énergies électroniques dans la matière. Les écarts entre niveaux, de l'ordre de l'eV, correspondent au domaine visible--UV.

Exemple 4.7Bille macroscopique : la quantification est invisible

Une bille de masse $m=1\mathrm{g}$ est confinée dans une boîte de largeur $L=10\mathrm{cm}$. Estimer $E_1$ et le nombre quantique correspondant à une vitesse « ordinaire » $v=1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.

Démonstration

$$E_1=\frac{h^2}{8m{L}^2}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 10^{-3}\times (0,1{)}^2}\approx 5,5\times 10^{-63}\mathrm{J}.$$

C'est une énergie ridiculement faible. L'énergie cinétique classique $E_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 10^{-3}\times (10^{-2}{)}^2=5\times 10^{-8}\mathrm{J}$ correspond à

$$n=\sqrt{E_{\mathrm{c}}/E_1}\approx \sqrt{5\times 10^{-8}/5,5\times 10^{-63}}\approx 10^{27}.$$

Le nombre quantique est colossal : les niveaux sont si serrés que l'énergie apparaît continue. La quantification n'est observable qu'à l'échelle microscopique.

Capacité numérique : Niveaux et fonctions d'onde d'un puits infini

Le programme Python ci-dessous calcule les niveaux $E_n$ (en eV) et trace les densités de présence ${\left|{\phi }_n\right|}^2$ pour un électron confiné.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constantes SI
h    = 6.626e-34      # constante de Planck (J.s)
me   = 9.109e-31      # masse de l'electron (kg)
eV   = 1.602e-19      # 1 eV en joules
L    = 1.0e-10        # largeur du puits (m) : echelle atomique

def energie(n):
    """Energie du niveau n, en electron-volts."""
    return (n**2 * h**2) / (8 * me * L**2) / eV

def phi(n, x):
    """Fonction d'onde stationnaire normalisee."""
    return np.sqrt(2 / L) * np.sin(n * np.pi * x / L)

for n in range(1, 5):
    print(f"E_{n} = {energie(n):8.2f} eV")

x = np.linspace(0, L, 400)
for n in range(1, 4):
    plt.plot(x / L, np.abs(phi(n, x))**2 * L, label=f"n = {n}")
plt.xlabel("x / L")
plt.ylabel(r"$L|{\phi }_n{|}^2$")
plt.legend()
plt.title("Densites de presence dans le puits infini")
plt.show()

On vérifie $E_1\approx 37,6\mathrm{eV}$, $E_2=4E_1$, $E_3=9E_1$, $E_4=16E_1$ : le rapport en $n^2$ est manifeste.

4.4 États non stationnaires

4.4.1 Le principe de superposition

Les états ${\Psi }_n$ sont dits stationnaires car leur densité de présence ${\left|{\Psi }_n\right|}^2={\left|{\phi }_n\right|}^2$ ne dépend pas du temps. Mais l'équation de Schrödinger étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Une particule peut donc se trouver dans une superposition d'états d'énergies différentes : un tel état est non stationnaire.

Définition 4.8État non stationnaire à deux composantes

On appelle superposition des états ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$ (d'énergies $E_1$, $E_2$) la fonction d'onde

$$\Psi (x,t)=c_1{\phi }_1(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+c_2{\phi }_2(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash },$$

avec $(c_1,c_2)\in {\mathbb{C}}^2$. La normalisation ${\int }_0^L{\left|\Psi \right|}^2\mathrm{d}x=1$ impose, grâce à l'orthonormalité des ${\phi }_n$,

$${\left|c_1\right|}^2+{\left|c_2\right|}^2=1.$$

Les nombres ${\left|c_1\right|}^2$ et ${\left|c_2\right|}^2$ sont les probabilités de mesurer respectivement l'énergie $E_1$ et l'énergie $E_2$.

Attention

Un état stationnaire a une énergie bien définie : une mesure d'énergie y donne toujours $E_n$. Un état non stationnaire n'a pas d'énergie définie : la mesure donne $E_1$ avec la probabilité ${\left|c_1\right|}^2$ ou $E_2$ avec la probabilité ${\left|c_2\right|}^2$. Sa valeur moyenne d'énergie $⟨E⟩={\left|c_1\right|}^2{E}_1+{\left|c_2\right|}^2{E}_2$ est en revanche conservée au cours du temps.

4.4.2 Densité de présence et pulsation de Bohr

Calculons la densité ${\left|\Psi (x,t)\right|}^2$ pour l'état non stationnaire ci-dessus (on prend $c_1,c_2$ réels pour alléger). En développant le module carré,

$${\left|\Psi \right|}^2=\Psi {\Psi }^{\ast }=c_1^2{\phi }_1^2+c_2^2{\phi }_2^2+2c_1{c}_2{\phi }_1{\phi }_2\mathrm{Re}\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(E_1-E_2)t/\hslash }\right).$$

◆Théorème 4.9Densité de présence d'une superposition de deux états

La densité de probabilité de présence s'écrit

$$\boxed{{\left|\Psi (x,t)\right|}^2=c_1^2{\phi }_1^2(x)+c_2^2{\phi }_2^2(x)+2c_1{c}_2{\phi }_1(x){\phi }_2(x)\cos \left({\omega }_{21}t\right),}$$

où l'on a posé la pulsation de Bohr

$$\boxed{{\omega }_{21}=\frac{E_2-E_1}{\hslash }.}$$

Les deux premiers termes sont constants ; le troisième, terme d'interférence entre les deux états, oscille dans le temps à la pulsation ${\omega }_{21}$.

ImportantInterprétation

La densité de présence d'un état non stationnaire oscille périodiquement à la pulsation de Bohr ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash$, de période $T=2\pi \hslash /(E_2-E_1)=h/(E_2-E_1)$. La particule « ballotte » d'un côté à l'autre du puits : c'est l'origine microscopique de l'émission ou de l'absorption d'un photon de fréquence de Bohr ${\nu }_{21}=(E_2-E_1)/h$ lors d'une transition entre niveaux. Seuls des états d'énergies différentes engendrent une évolution temporelle observable.

iRemarque

Si $c_1=0$ ou $c_2=0$, le terme d'interférence disparaît et l'on retrouve un état stationnaire, de densité constante. C'est bien la présence simultanée de deux composantes d'énergies distinctes qui rend l'état non stationnaire.

Figure : Battement quantique de la superposition

$\Psi =\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash })$ (courbes exactes, unité $2/L$) : la densité de présence bascule périodiquement de la moitié gauche ($t=0$) à la moitié droite ($t=T/2$) du puits, à la pulsation de Bohr ${\omega }_{21}$ ; à $t=T/4$ le terme d'interférence s'annule. L'aire totale reste égale à $1$ à chaque instant.</div>

4.4.3 Valeur moyenne oscillante de la position

La position moyenne $⟨x⟩(t)={\int }_0^{L}x{\left|\Psi (x,t)\right|}^2\mathrm{d}x$ hérite de cette oscillation. En intégrant la densité précédente,

$$⟨x⟩(t)=c_1^2⟨x{⟩}_1+c_2^2⟨x{⟩}_2+2c_1{c}_2\cos ({\omega }_{21}t){\int }_0^{L}x{\phi }_1(x){\phi }_2(x)\mathrm{d}x.$$

Les deux premiers termes sont constants (et valent $L/2$ par symétrie de ${\phi }_1^2$ et ${\phi }_2^2$). Le terme croisé fait osciller $⟨x⟩$ autour de $L/2$ à la pulsation de Bohr.

Exemple 4.10Position moyenne pour une superposition équilibrée

On prend $c_1=c_2=1/\sqrt{2}$. Calculer $⟨x⟩(t)$ et son amplitude d'oscillation. On donne ${\int }_0^{L}x{\phi }_1{\phi }_2\mathrm{d}x=-\frac{16L}{9{\pi }^2}$.

Démonstration

Avec $⟨x{⟩}_1=⟨x{⟩}_2=L/2$ et $c_1^2=c_2^2=1/2$, la partie constante vaut $L/2$. Le terme croisé donne

$$⟨x⟩(t)=\frac{L}{2}+2\cdot \frac{1}{2}\cos ({\omega }_{21}t)\cdot (-\frac{16L}{9{\pi }^2})=\frac{L}{2}-\frac{16L}{9{\pi }^2}\cos ({\omega }_{21}t).$$

La position moyenne oscille autour du centre $L/2$ avec l'amplitude $16L/(9{\pi }^2)\approx 0,18L$, à la pulsation ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash =3E_1/\hslash$. La particule oscille dans le puits, comme un « nuage de probabilité » qui balance périodiquement.

{Oscillation de la position moyenne autour du centre du puits, à la pulsation de Bohr ${\omega }_{21}$.}

• Modèle : puits infini de largeur $L$, $V=0$ dedans, $V=+\infty$ dehors. Confinement $\Rightarrow$ conditions aux limites $\phi (0)=\phi (L)=0$.
• Quantification : $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$, avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; niveaux $\propto n^2$, de plus en plus espacés.
• États stationnaires : ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, orthonormés, $n-1$ nœuds intérieurs.
• Énergie minimale non nulle $E_1>0$ : conséquence de Heisenberg ($\Delta x\sim L\Rightarrow E\sim {\hslash }^2/2m{L}^2$). Confinement fort $\Rightarrow$ énergie élevée.
• Ordres de grandeur : électron dans $L\sim 0,1\mathrm{nm}$ : $E_1\sim$ dizaines d'eV (quantification visible) ; objet macroscopique : $n\sim 10^{27}$ (spectre quasi continu).
• État non stationnaire : $\Psi =c_1{\phi }_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+c_2{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash }$, ${\left|c_1\right|}^2+{\left|c_2\right|}^2=1$.
• Évolution : ${\left|\Psi \right|}^2=c_1^2{\phi }_1^2+c_2^2{\phi }_2^2+2c_1{c}_2{\phi }_1{\phi }_2\cos ({\omega }_{21}t)$, avec ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash$ (pulsation de Bohr). Densité et $⟨x⟩$ oscillent ; deux énergies distinctes sont nécessaires.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.5 Exercices résolus

Exemple 4.11Largeur d'un puits à énergie imposée

Un électron a pour énergie fondamentale $E_1=1,0\mathrm{eV}$. Quelle est la largeur $L$ du puits ?

Démonstration

De $E_1=h^2/(8m_e{L}^2)$ on tire $L=h/\sqrt{8m_e{E}_1}$. Avec $E_1=1,0\times 1,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$,

$$L=\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{8\times 9,1\times 10^{-31}\times 1,6\times 10^{-19}}}\approx 6,1\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,61\mathrm{nm}.$$

Ordre de grandeur du nanomètre : cohérent avec une nanostructure.

Exemple 4.12Longueur d'onde d'une transition

Calculer la longueur d'onde du photon émis lors de la transition $n=2\to n=1$ d'un électron dans un puits de largeur $L=0,5\mathrm{nm}$.

Démonstration

$E_2-E_1=(4-1)E_1=3E_1$ avec $E_1=h^2/(8m_e{L}^2)$. Numériquement $E_1\approx 1,5\mathrm{eV}$, donc $E_2-E_1\approx 4,5\mathrm{eV}$. La longueur d'onde du photon vaut

$$\lambda =\frac{hc}{E_2-E_1}\approx \frac{1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}}{4,5\mathrm{eV}}\approx 275\mathrm{nm}(\text{ultraviolet proche}).$$

Exemple 4.13Probabilité de présence sur une moitié du puits

Dans l'état fondamental ${\phi }_1$, quelle est la probabilité de trouver la particule dans la première moitié du puits $[0,L/2]$ ? Et dans le tiers central ?

Démonstration

Par symétrie de ${\phi }_1^2$ autour de $L/2$, la probabilité sur $[0,L/2]$ vaut exactement $1/2$. Pour un intervalle quelconque $[a,b]$,

$$P=\frac{2}{L}{\int }_a^b{\sin }^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=[\frac{x}{L}-\frac{1}{2\pi }\sin (\frac{2\pi x}{L}){]}_a^b.$$

Sur le tiers central $[L/3,2L/3]$, on obtient $P=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi }(\sin \frac{4\pi }{3}-\sin \frac{2\pi }{3})=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi }\approx 0,61$. La particule est nettement concentrée au centre.

Exemple 4.14Vérification de l'orthogonalité

Montrer que ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$ sont orthogonales.

Démonstration

$${\int }_0^L{\phi }_1{\phi }_2\mathrm{d}x=\frac{2}{L}{\int }_0^L\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x.$$

On linéarise : $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$, d'où l'intégrale de $\cos (\pi x/L)$ et $\cos (3\pi x/L)$ sur une, resp. trois demi-périodes, toutes deux nulles. Donc ${\int }_0^L{\phi }_1{\phi }_2\mathrm{d}x=0$ : les deux états sont orthogonaux.

Exemple 4.15Période d'oscillation d'un état non stationnaire

Un électron dans un puits de largeur $L=0,5\mathrm{nm}$ est dans la superposition $\Psi =\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash })$. Calculer la période $T$ d'oscillation de la densité de présence.

Démonstration

La densité oscille à ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash =3E_1/\hslash$. Avec $E_1=h^2/(8m_e{L}^2)\approx 1,5\mathrm{eV}\approx 2,4\times 10^{-19}\mathrm{J}$,

$$T=\frac{h}{E_2-E_1}=\frac{h}{3E_1}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{3\times 2,4\times 10^{-19}}\approx 9,2\times 10^{-16}\mathrm{s}(\sim 1\text{f}\mathrm{s}).$$

L'oscillation est extrêmement rapide (échelle de la femtoseconde), typique de la dynamique électronique.

Exemple 4.16Valeur moyenne de l'énergie d'une superposition

Pour $\Psi =c_1{\phi }_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+c_2{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash }$ avec ${\left|c_1\right|}^2=0,75$, calculer $⟨E⟩$ en unités de $E_1$ et montrer qu'elle est indépendante du temps.

Démonstration

La valeur moyenne d'énergie vaut $⟨E⟩={\left|c_1\right|}^2{E}_1+{\left|c_2\right|}^2{E}_2$ avec ${\left|c_2\right|}^2=1-0,75=0,25$ et $E_2=4E_1$ :

$$⟨E⟩=0,75E_1+0,25\times 4E_1=0,75E_1+E_1=1,75E_1.$$

Les modules ${\left|c_1\right|}^2$, ${\left|c_2\right|}^2$ ne dépendent pas du temps (les phases ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{n}t/\hslash }$ ont un module $1$), donc $⟨E⟩$ est constante : l'énergie moyenne est conservée, conformément au fait que le hamiltonien ne dépend pas du temps.

Exemple 4.17Comparaison puits infini / atome d'hydrogène

Un modèle grossier de l'atome d'hydrogène assimile l'électron à une particule confinée dans un puits de largeur $L\approx 0,1\mathrm{nm}$ (le rayon de Bohr). Comparer $E_1$ à l'énergie d'ionisation réelle $13,6\mathrm{eV}$.

Démonstration

On a calculé $E_1\approx 38\mathrm{eV}$ pour $L=0,1\mathrm{nm}$. C'est du même ordre de grandeur (à un facteur $\sim 3$ près) que l'énergie d'ionisation. Le modèle du puits, malgré sa rusticité (pas de potentiel coulombien, pas de tridimensionnalité), reproduit le bon ordre de grandeur : le confinement à l'échelle atomique impose des énergies de quelques dizaines d'eV.

4.6 Exercices d'entraînement

• Niveaux et écarts. Pour un électron dans un puits de $L=1\mathrm{nm}$, calculer $E_1$, $E_2$, $E_3$ en eV, puis les écarts $E_2-E_1$ et $E_3-E_2$.

• Effet de la largeur. Comment est modifiée l'énergie fondamentale $E_1$ si l'on double la largeur $L$ du puits ? Si on la divise par trois ? Justifier avec la formule.

• Effet de la masse. Comparer $E_1$ pour un électron et pour un proton confinés dans le même puits de largeur $L$. Quel est le rapport ($m_p/m_e\approx 1836$) ?

• Longueur d'onde de de Broglie. Montrer que ${\phi }_n$ correspond à une onde stationnaire dont la longueur d'onde de de Broglie vaut ${\lambda }_n=2L/n$. Interpréter la condition de quantification comme « un nombre entier de demi-longueurs d'onde dans le puits ».

• Normalisation. Vérifier par le calcul que ${\int }_0^L\frac{2}{L}{\sin }^2(n\pi x/L)\mathrm{d}x=1$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

• Position et écart-type. Dans l'état ${\phi }_n$, calculer $⟨x⟩$ et montrer qu'il vaut $L/2$ pour tout $n$ (symétrie).

• Probabilité d'un intervalle. Dans l'état ${\phi }_2$, calculer la probabilité de trouver la particule dans $[0,L/2]$. Commenter le rôle du nœud en $x=L/2$.

• Transition et couleur. Pour quelle largeur $L$ la transition $2\to 1$ d'un électron émet-elle dans le visible ($\lambda \approx 500\mathrm{nm}$) ?

• Superposition et densité. Écrire explicitement ${\left|\Psi (x,t)\right|}^2$ pour $\Psi =\frac{1}{\sqrt{2}}({\phi }_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{1}t/\hslash }+{\phi }_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{2}t/\hslash })$ et repérer les instants où la particule est le plus « à gauche ».

• Pulsation de Bohr. Pour une superposition de ${\phi }_1$ et ${\phi }_3$, exprimer la pulsation d'oscillation de la densité en fonction de $E_1$ et $\hslash$.

• Énergie moyenne. Une superposition de ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$ a une énergie moyenne $⟨E⟩=2,5E_1$. Déterminer ${\left|c_1\right|}^2$ et ${\left|c_2\right|}^2$.

• Superposition à trois états. Généraliser : écrire $\Psi (x,t)$ pour une combinaison de ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$. Combien de pulsations de Bohr distinctes apparaissent dans ${\left|\Psi \right|}^2$ ? Les exprimer.

• Limite classique. Pour $n=100$, tracer qualitativement ${\left|{\phi }_n\right|}^2$ et expliquer en quoi la densité « lissée » redonne le résultat classique (densité uniforme).

• Puits décentré. On place l'origine au centre du puits, soit $x\in [-L/2,L/2]$. Écrire les fonctions d'onde ${\phi }_n$ et montrer qu'elles sont paires ou impaires selon la parité de $n$.

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