Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel

Cours · physique quantique (MP), chapitre 3 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'effet tunnel : l'onde décroît dans la barrière de potentiel, et une partie en ressort de l'autre côté.

« Ce qui est impossible en mécanique classique n'est que peu probable en mécanique quantique. »

Le chapitre précédent a établi la fonction d'onde d'une particule libre, c'est-à-dire évoluant dans un potentiel uniforme. Nous abordons ici la situation physiquement centrale du programme MP : une particule rencontre une variation brutale du potentiel. Deux modèles élémentaires, la marche et la barrière, suffisent à faire apparaître des comportements sans aucun équivalent classique : réflexion partielle sur un obstacle franchissable, pénétration dans une région interdite (onde évanescente) et, plus spectaculaire encore, la traversée d'une barrière alors même que l'énergie de la particule est inférieure à sa hauteur — l'effet tunnel. Ces résultats gouvernent la radioactivité $α$ , le microscope à effet tunnel, les diodes tunnel et la fusion stellaire.

Conformément à l'esprit du programme, l'accent est mis sur l'interprétation des résultats et l'exploitation des formules, plus que sur la lourdeur algébrique du cas de la barrière.

3.1 Position du problème et outils

3.1.1 Potentiels constants par morceaux

On modélise l'action du milieu sur la particule par une énergie potentielle $V (x)$ constante par morceaux : le demi-espace ou la zone étudiée est découpé en régions où $V$ prend une valeur fixe, avec des discontinuités localisées. Ce n'est qu'une idéalisation — un vrai profil varie continûment — mais elle rend les calculs analytiquement solubles tout en conservant l'essentiel de la physique.

Dans chaque région où $V (x) = V_{0}$ (constante), on cherche les états stationnaires $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , dont la partie spatiale obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + V_{0} φ (x) = E φ (x) ⟺ \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ .$

Définition 3.1Régime propagatif et régime évanescent

Selon le signe de $E - V_{0}$ dans une région, la solution change de nature :

si $E > V_{0}$ , on pose $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = - k^{2} φ$ : les solutions sont des ondes planes $e^{\pm i k x}$ (régime propagatif) ;
si $E < V_{0}$ , on pose $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = + κ^{2} φ$ : les solutions sont des exponentielles réelles $e^{\pm κ x}$ (régime évanescent).

3.1.2 Conditions de raccordement

Aux points de discontinuité de $V$ , on ne peut pas résoudre l'équation localement ; on raccorde les solutions des différentes régions. Les conditions, admises, traduisent la régularité imposée par l'équation de Schrödinger.

ImportantContinuité de

φ

φ^{'}

En tout point $x_{0}$ où $V$ présente une discontinuité finie, la fonction d'onde spatiale $φ$ et sa dérivée première $φ^{'}$ sont continues :

$φ (x_{0}^{-}) = φ (x_{0}^{+}), φ^{'} (x_{0}^{-}) = φ^{'} (x_{0}^{+}) .$

La continuité de $φ$ assure une densité de présence $∣ φ ∣^{2}$ bien définie ; celle de $φ^{'}$ découle de ce que $φ^{''}$ ne peut avoir qu'une discontinuité finie (car $V$ est fini). Ces deux conditions à chaque interface fournissent exactement le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les amplitudes.

iRemarque

Si $V$ devient infini (marche ou puits infini, chapitre suivant), la continuité de $φ^{'}$ tombe : seule $φ$ reste continue et s'annule à la paroi.

3.1.3 Courant de probabilité et coefficients $R$ et $T$

Pour quantifier « ce qui passe » et « ce qui rebrousse chemin », on utilise le courant de probabilité. Le programme en admet l'expression pour une particule libre, où il s'interprète comme le produit d'une densité par une vitesse ; on admet ici sa forme générale, valable pour tout état stationnaire, y compris une onde évanescente. Cette sous-section, comme les coefficients $R$ et $T$ , relève du programme de MP (elle n'est pas au programme de MPI).

Proposition 3.2Densité de courant de probabilité à une dimension

Pour une fonction d'onde $φ (x)$ , le courant de probabilité est

$J = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} \frac{d φ}{d x}) .$

Pour une onde plane $φ (x) = A e^{i k x}$ , on obtient $J = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2} = v ∣ A ∣^{2}$ , produit de la vitesse $v = ℏ k / m$ par la densité $∣ A ∣^{2}$ : c'est un flux de probabilité. En régime stationnaire à une dimension, $J$ est indépendant de $x$ (conservation du courant), ce qui traduit la conservation locale de la probabilité.

On envoie une onde incidente d'amplitude $A_{i}$ depuis $x \to - \infty$ . Une partie est réfléchie (amplitude $A_{r}$ , même région), une partie est transmise (amplitude $A_{t}$ , région de sortie).

Définition 3.3Coefficients de réflexion et de transmission

On définit

$R = \frac{∣ J _{r e ˊ fl e ˊ chi} ∣}{∣ J _{incident} ∣}, T = \frac{∣ J _{transmis} ∣}{∣ J _{incident} ∣} .$

La conservation du courant impose

$R + T = 1 .$

$R$ et $T$ s'interprètent comme les probabilités que la particule soit respectivement réfléchie et transmise.

Attention

$T$ n'est pas le simple rapport $∣ A_{t} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ des modules carrés : il faut pondérer par les vitesses (donc les vecteurs d'onde) de part et d'autre. On a $R = ∣ A_{r} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ (même vitesse), mais $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} \frac{∣ A _{t} ∣ ^{2}}{∣ A _{i} ∣ ^{2}}$ lorsque les vecteurs d'onde diffèrent ( $k_{1}$ à l'entrée, $k_{2}$ à la sortie).

3.2 Marche de potentiel

iRemarqueOù rencontre-t-on une marche ?

La marche de potentiel modélise de nombreuses situations réelles : un électron au voisinage d'une surface métallique (le travail de sortie crée une remontée brutale du potentiel), un neutron abordant la surface d'un noyau (chute abrupte du potentiel nucléaire), ou encore une hétérojonction entre deux semi-conducteurs (discontinuité de la bande de conduction).

On considère une marche montante située en $x = 0$ :

$V (x) = {0 V_{0} > 0 si x < 0 (r e ˊ gion 1), si x > 0 (r e ˊ gion 2) .$

3.2.1 Cas $E > V_{0}$ : réflexion partielle

Dans la région 1, $φ_{1} (x) = A_{i} e^{i k_{1} x} + A_{r} e^{- i k_{1} x}$ avec $k_{1} = 2 m E /ℏ$ . Dans la région 2, l'onde transmise se propage vers les $x > 0$ seulement (pas de source à l'infini) : $φ_{2} (x) = A_{t} e^{i k_{2} x}$ avec $k_{2} = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ .

Exemple 3.4Coefficients de la marche pour

E > V_{0}

Établir $R$ et $T$ et vérifier $R + T = 1$ .

Démonstration

Les conditions de raccordement en $x = 0$ donnent :

$φ_{1} (0) = φ_{2} (0) : A_{i} + A_{r} = A_{t}, φ_{1}^{'} (0) = φ_{2}^{'} (0) : i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = i k_{2} A_{t} .$

En éliminant $A_{t} = A_{i} + A_{r}$ dans la seconde équation : $k_{1} (A_{i} - A_{r}) = k_{2} (A_{i} + A_{r})$ , d'où

$\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}, \frac{A _{t}}{A _{i}} = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}} .$

On en déduit

$R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}, T = \frac{k _{2}}{k _{1}} (\frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}})^{2} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} .$

On vérifie $R + T = \frac{( k _{1} - k _{2} ) ^{2} + 4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = \frac{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = 1$ .

ImportantRéflexion quantique sur une marche

Le résultat majeur est que $R \neq = 0$ dès que $k_{1} \neq = k_{2}$ , c'est-à-dire dès que $V_{0} \neq = 0$ , même si $E > V_{0}$ . Classiquement, une particule d'énergie suffisante passe toujours ( $R = 0$ ) : elle est simplement ralentie. Quantiquement, toute variation brutale du potentiel réfléchit partiellement l'onde, exactement comme une onde lumineuse à l'interface entre deux milieux d'indices différents. Le rapport d'amplitude $r = \frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ est d'ailleurs l'analogue du coefficient de réflexion de Fresnel en amplitude (en incidence normale, le vecteur d'onde jouant le rôle de l'indice), et $R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}$ celui du facteur de réflexion en énergie.

iRemarque

Ce phénomène subsiste pour une marche descendante ( $V$ passe de $0$ à $- V_{0}$ , avec $V_{0} > 0$ , et l'on remplace $k_{2}$ par $2 m (E + V_{0}) /ℏ$ ) : la particule accélère mais est encore partiellement réfléchie. Seule compte la discontinuité, pas son signe.

3.2.2 Cas $E < V_{0}$ : onde évanescente et réflexion totale

Si $E < V_{0}$ , la région 2 est classiquement interdite. Le vecteur d'onde $k_{2}$ devient imaginaire pur : posons $k_{2} = i κ$ avec $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ . La solution $e^{i k_{2} x} = e^{- κ x}$ ne diverge pas, on la retient ; l'autre, $e^{+ κ x}$ , exploserait en $+ \infty$ et est rejetée. Ainsi :

$φ_{2} (x) = A_{t} e^{- κ x} (x > 0) : onde e ˊ vanescente .$

Exemple 3.5Marche avec

E < V_{0}

: réflexion totale et pénétration

Montrer que $R = 1$ tout en admettant une pénétration non nulle de la fonction d'onde dans la zone interdite.

Démonstration

On reprend le raccordement en remplaçant $k_{2} \to i κ$ :

$A_{i} + A_{r} = A_{t}, i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = - κ A_{t} .$

D'où $\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - i κ}{k _{1} + i κ}$ . Ce nombre complexe a pour module $1$ : $R = ∣ A_{r} / A_{i} ∣^{2} = 1$ . Toute la probabilité est réfléchie. Le courant transmis est nul car $φ_{2}$ est réelle à une phase globale près : $J_{2} = \frac{ℏ}{m} Im (φ_{2}^{*} φ_{2}^{'}) = 0$ , donc $T = 0$ et $R + T = 1$ est bien respecté.

Pourtant, la densité de présence dans la zone interdite n'est pas nulle :

$∣ φ_{2} (x) ∣^{2} = ∣ A_{t} ∣^{2} e^{- 2 κ x} \neq = 0.$

La particule pénètre sur une profondeur caractéristique $δ = \frac{1}{2 κ} = \frac{ℏ}{2 2 m ( V _{0} - E )}$ avant que l'onde ne s'éteigne.

ImportantUn comportement non classique

Deux ruptures avec la mécanique classique :

la particule est certainement réfléchie ( $R = 1$ ), comme classiquement, mais avec un déphasage à la réflexion (le coefficient $A_{r} / A_{i}$ est complexe) ;
il existe une probabilité non nulle de trouver la particule dans la région interdite $x > 0$ , sur une épaisseur $\sim δ$ . Classiquement, $E_{c} = E - V_{0} < 0$ y serait absurde. C'est cette pénétration qui, appliquée à une barrière d'épaisseur finie, engendre l'effet tunnel.

Capacité numérique : profondeur de pénétration

Estimons la profondeur de pénétration $δ = 1/ (2 κ)$ pour un électron face à une marche telle que $V_{0} - E = 1 e V$ .


import numpy as np

hbar = 1.054e-34      # J.s
m    = 9.109e-31      # masse de l'electron (kg)
eV   = 1.602e-19      # 1 eV en joules

def profondeur(dV_eV):
    """Profondeur de penetration delta = 1/(2 kappa) en metres."""
    dV = dV_eV * eV
    kappa = np.sqrt(2 * m * dV) / hbar
    return 1.0 / (2 * kappa)

for dV in (0.1, 1.0, 5.0):
    print(f"V0 - E = {dV:4.1f} eV  ->  delta = {profondeur(dV)*1e9:6.3f} nm")
# V0 - E = 1.0 eV -> delta ~ 0.098 nm : quelques dixiemes de nm, echelle atomique

La pénétration est de l'ordre de l'angström : microscopique, mais suffisante pour qu'une barrière atomiquement fine soit franchie par effet tunnel.

3.3 Barrière de potentiel et effet tunnel

On superpose maintenant deux marches : une barrière rectangulaire de hauteur $V_{0}$ et de largeur $a$ :

$V (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 V_{0} 0 x < 0 (r e ˊ gion 1), 0 < x < a (r e ˊ gion 2), x > a (r e ˊ gion 3) .$

On s'intéresse au cas tunnel $0 < E < V_{0}$ : classiquement la particule incidente rebrousse toujours chemin ( $T = 0$ ). Quantiquement, l'onde évanescente n'a pas le temps de s'éteindre complètement sur la largeur $a$ et « ressort » de l'autre côté avec une amplitude réduite mais non nulle.

3.3.1 Structure des solutions

$φ_{1} = A_{i} e^{i k x} + A_{r} e^{- i k x}, φ_{2} = B e^{- κ x} + C e^{+ κ x}, φ_{3} = A_{t} e^{i k x},$

avec $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ et $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ . Dans la région 2, les deux exponentielles sont conservées car la région est bornée : aucune ne diverge. Il y a deux interfaces ( $x = 0$ et $x = a$ ), donc quatre équations de raccordement pour quatre rapports d'amplitude — le calcul est lourd (non exigible), on en donne le résultat.

Proposition 3.6Coefficient de transmission exact de la barrière

Pour $0 < E < V_{0}$ , le coefficient de transmission vaut

$T = [1 + \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh^{2} (κa)]^{- 1}, κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} .$

Il décroît lorsque la hauteur $V_{0}$ ou la largeur $a$ de la barrière augmente. Quand $E \to V_{0}^{-}$ , il ne tend pas vers $1$ mais vers $[1 + \frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}}]^{- 1} < 1$ (voir les exercices résolus) : une particule qui a juste l'énergie du sommet est encore partiellement réfléchie.

3.3.2 Barrière épaisse : la formule à retenir

Méthode : Approximation de barrière épaisse (ou opaque)

Lorsque la barrière est « épaisse », au sens $κa ≫ 1$ , on a $sinh (κa) ≃ \frac{1}{2} e^{κa}$ , donc $sinh^{2} (κa) ≃ \frac{1}{4} e^{2 κa} ≫ 1$ . Le terme $1$ est négligeable devant le second et

$T ≃ \frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} e^{- 2 κa} soit, en ordre de grandeur T \sim e^{- 2 κa} .$

ImportantSensibilité exponentielle

Le facteur dominant est l'exponentielle $e^{- 2 κa}$ : la transmission décroît exponentiellement avec

la largeur $a$ de la barrière ;
la racine du déficit d'énergie $V_{0} - E$ ;
la racine de la masse $m$ : pour un proton ( $\approx 1836 m_{e}$ ), c'est l'exposant $2 κa$ qui est multiplié par $1836 \approx 43$ , si bien que $T_{p} \approx T_{e}^{43}$ dans les mêmes conditions (et non $T_{e} /43$ ) : si un électron traverse avec $T_{e} = 1 0^{- 2}$ , le proton traverse avec $1 0^{- 86}$ . L'effet tunnel est donc essentiellement un phénomène d'objets légers.

Cette dépendance exponentielle explique la sensibilité extrême du microscope à effet tunnel (le courant varie d'un ordre de grandeur quand la pointe s'éloigne d'un seul angström) et l'étalement gigantesque des durées de vie en radioactivité $α$ .

Pour un électron de $1 e V$ face à une barrière de $2 e V$ et de $0, 5 nm$ , $κa \approx 2, 6$ , le préfacteur vaut $4$ et $T \approx 2, 4 %$ , alors que $e^{- 2 κa}$ seul donne $0, 6 %$ : le calcul est détaillé dans les exercices résolus (programme de MP). La loi en $e^{- 2 κa}$ , elle, s'établit sans la formule de $T$ , par la seule décroissance de l'onde évanescente : c'est l'objet de l'exercice du TD « Hauteur, largeur, masse ».

Capacité numérique : $T$ en fonction de la largeur et de l'énergie

Traçons $T (a)$ et comparons formule exacte et formule approchée : la décroissance exponentielle apparaît comme une droite en échelle logarithmique.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

hbar = 1.054e-34; m = 9.109e-31; eV = 1.602e-19

def T_exact(E, V0, a):
    E, V0 = E*eV, V0*eV
    kappa = np.sqrt(2*m*(V0 - E))/hbar
    return 1.0/(1 + V0**2/(4*E*(V0 - E)) * np.sinh(kappa*a)**2)

def T_approx(E, V0, a):
    E, V0 = E*eV, V0*eV
    kappa = np.sqrt(2*m*(V0 - E))/hbar
    return 16*E*(V0 - E)/V0**2 * np.exp(-2*kappa*a)

a = np.linspace(0.1e-9, 1.0e-9, 200)
plt.semilogy(a*1e9, T_exact(1.0, 2.0, a), label="exact")
plt.semilogy(a*1e9, T_approx(1.0, 2.0, a), '--', label="approx epaisse")
plt.xlabel("largeur a (nm)"); plt.ylabel("T")
plt.title("Transmission tunnel : E=1 eV, V0=2 eV")
plt.legend(); plt.grid(True, which="both"); plt.show()
# La pente en echelle log vaut -2*kappa/ln(10) : signature de l'effet tunnel.

On observe une droite en échelle logarithmique (loi $e^{- 2 κa}$ ) et la coïncidence de l'approximation avec l'exact dès que $κa ≳ 2$ .

3.3.3 Applications de l'effet tunnel

ImportantTrois applications emblématiques

Radioactivité $α$ (Gamow, 1928). Une particule $α$ est piégée dans le noyau par la barrière coulombienne. Sa faible probabilité de traverser par effet tunnel, exponentiellement sensible à l'énergie, explique l'écart colossal des durées de vie ( $1 0^{- 7}$ s à $1 0^{17}$ ans) : c'est la loi de Geiger--Nuttall.
Microscope à effet tunnel (STM, 1981). Une pointe conductrice est approchée à quelques angströms d'une surface ; les électrons franchissent le vide (barrière de potentiel) par effet tunnel. Le courant, en $e^{- 2 κa}$ , varie d'un facteur $\sim 10$ par angström, offrant une résolution atomique (prix Nobel 1986 à Binnig et Rohrer).
Jonction et diode tunnel. Dans une jonction semi-conductrice mince ou une jonction Josephson supraconductrice, les porteurs traversent une fine barrière isolante par effet tunnel, à la base de composants électroniques rapides.

La fusion thermonucléaire dans les étoiles repose elle aussi sur l'effet tunnel : les protons franchissent leur répulsion coulombienne bien qu'ils n'aient pas l'énergie classique suffisante.

Figure : Principe du microscope à effet tunnel : les électrons franchissent par effet

tunnel la barrière de potentiel que constitue le vide entre la pointe et la surface. Le courant, en $e^{- 2 κa}$ , varie d'un facteur $\sim 10$ par angström :

en asservissant

I

pendant le balayage, on cartographie la surface atome par atome.

Figure : Modèle de Gamow de la radioactivité

α

: la particule

α

, d'énergie

$E_{α}$ inférieure au sommet de la barrière coulombienne, est classiquement piégée entre $r_{0}$ et $r_{1}$ ; elle s'échappe par effet tunnel à travers la zone interdite (hachures). La sensibilité exponentielle de $T$ à $E_{α}$ explique des durées de vie

allant de

1 0^{- 7}

s à

1 0^{17}

ans (loi de Geiger--Nuttall).

3.4 Synthèse

Méthode générale. Dans chaque région où $V$ est constant, écrire $φ$ comme onde plane $e^{\pm i k x}$ (si $E > V$ ) ou exponentielle réelle $e^{\pm κ x}$ (si $E < V$ ), avec

$k = \frac{2 m ( E - V )}{ℏ}, κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ} .$

Raccorder $φ$ et $φ^{'}$ à chaque interface (discontinuité finie de $V$ ). Rejeter toute exponentielle divergente dans une région non bornée.

Coefficients. $R = ∣ A_{r} / A_{i} ∣^{2}$ et $T$ via les courants de probabilité $J = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} φ^{'})$ ; toujours $R + T = 1$ .
Marche, $E > V_{0}$ . $R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2} \neq = 0$ : réflexion partielle quantique même quand la particule a l'énergie de passer.
Marche, $E < V_{0}$ . $R = 1$ (réflexion totale) mais onde évanescente $e^{- κ x}$ : pénétration sur $δ = 1/ (2 κ)$ dans la zone classiquement interdite.
Barrière, $E < V_{0}$ = effet tunnel. $T \neq = 0$ : la particule traverse. Barrière épaisse ( $κa ≫ 1$ ) :

$T ≃ \frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} e^{- 2 κa} \sim e^{- 2 κa} .$

Décroissance exponentielle en $a$ , en $V_{0} - E$ et en $m$ .

Applications. Radioactivité $α$ , microscope à effet tunnel (STM), diodes/jonctions tunnel, fusion stellaire.

3.5 Travaux dirigés

Exercice 1 — Des électrons lents qui entrent dans un métal : la marche que l'on franchit, et qui réfléchit

Dans le modèle de l'électron libre, un électron de conduction d'un métal a une énergie potentielle uniforme $- V_{in}$ , plus basse que dans le vide, où on la prend nulle ; on prend $V_{in} = 10 eV$ . Un électron du vide, d'énergie $E > 0$ , arrive en incidence normale sur la surface plane du métal, en $x = 0$ : il aborde une marche descendante, $V (x) = 0$ pour $x < 0$ (vide) et $V (x) = - V_{in}$ pour $x > 0$ (métal). On cherche l'état stationnaire qui comporte dans le vide une onde incidente $A_{i} e^{i k_{1} x}$ et une onde réfléchie $A_{r} e^{- i k_{1} x}$ , et dans le métal une onde transmise $A_{t} e^{i k_{2} x}$ . On prend $A_{i}$ réel et positif.

1) Exprimer $k_{1}$ et $k_{2}$ . Pourquoi n'y a-t-il pas d'onde en $e^{- i k_{2} x}$ dans le métal ? Établir $r = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ et $t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$ . Que ferait un électron classique ?

2) Montrer que dans le vide $∣ φ ∣^{2} = A_{i}^{2} (1 + r^{2} + 2 r cos 2 k_{1} x)$ . Où sont les maxima et les minima ? Exprimer l'interfrange et le contraste $C = \frac{∣ φ ∣ _{m a x}^{2} - ∣ φ ∣ _{m i n}^{2}}{∣ φ ∣ _{m a x}^{2} + ∣ φ ∣ _{m i n}^{2}}$ en fonction de $r$ . Ces franges bougent-elles au cours du temps ? Que vaut $∣ φ ∣^{2}$ dans le métal, et pourquoi n'y a-t-il pas de franges ?

3) Application à $E = 1 eV$ : calculer $k_{2} / k_{1}$ , $r$ , $t$ , l'interfrange et le contraste. Tracer l'allure de $∣ φ ∣^{2}$ .

4) Cas limites. Calculer $r$ pour $E = 100 eV$ et pour $E = 0, 1 eV$ ; montrer que $∣ r ∣ \approx V_{in} / (4 E)$ quand $E ≫ V_{in}$ . Pour une marche montante de hauteur $V_{0}$ abordée avec $E > V_{0}$ (mêmes formules, avec $k_{2} = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ ), que deviennent $r$ et $t$ quand $E \to V_{0}^{+}$ ?

5) Symétrie et paradoxe. a) Comparer $r$ pour une marche montante abordée avec $E = 2 V_{0}$ et pour une marche descendante telle que $k_{2} / k_{1} = 2$ . b) Dans le premier cas, calculer $t$ . Une onde transmise d'amplitude supérieure à celle de l'onde incidente viole-t-elle quelque chose ?

6) La transition réelle entre le vide et le métal s'étale sur environ $0, 1 nm$ . À quelle condition le modèle de la marche abrupte est-il légitime ? Le vérifier à $1 eV$ et à $100 eV$ .

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On écrit la solution dans chaque région, on élimine l'onde qui n'a pas de source, et les deux conditions de continuité en $x = 0$ fixent les deux rapports d'amplitude. La réflexion se lit ensuite dans la densité de présence : l'onde incidente et l'onde réfléchie, qui appartiennent au même état, interfèrent.

1) La solution. Dans le vide, $E - V = E$ ; dans le métal, $E - V = E + V_{in}$ :

$k_{1} = \frac{2 m E}{ℏ}, k_{2} = \frac{2 m ( E + V _{in} )}{ℏ} > k_{1} .$

Une onde en $e^{- i k_{2} x}$ se propagerait vers les $x$ décroissants : elle viendrait de $x \to + \infty$ , où il n'y a aucune source ; on la rejette. Les conditions de continuité en $x = 0$ donnent

$A_{i} + A_{r} = A_{t} et i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = i k_{2} A_{t} .$

En reportant $A_{t} = A_{i} + A_{r}$ dans la seconde : $k_{1} (A_{i} - A_{r}) = k_{2} (A_{i} + A_{r})$ , donc

$r = \frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}, t = \frac{A _{t}}{A _{i}} = 1 + r = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}} .$

Ce sont les formules de la marche montante du cours : elles ne supposent rien sur le signe de la marche. Ici $k_{2} > k_{1}$ , donc $r < 0$ et $0 < t < 1$ . Un électron classique est accéléré vers le métal par la force $- \frac{d V}{d x}$ , dirigée vers les $x$ croissants à la surface : il entre toujours, jamais il ne rebrousse chemin. Quantiquement, l'onde réfléchie a une amplitude non nulle dès que $k_{1} \neq = k_{2}$ : l'électron peut être renvoyé dans le vide par une marche qui l'attire.

2) La réflexion se voit dans la densité de présence. Avec $φ_{1} = A_{i} (e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x})$ et $r$ réel :

$∣ φ_{1} ∣^{2} = A_{i}^{2} (1 + r^{2} + r e^{2 i k_{1} x} + r e^{- 2 i k_{1} x}) = A_{i}^{2} (1 + r^{2} + 2 r cos 2 k_{1} x) .$

Comme $r < 0$ , les maxima, de valeur $A_{i}^{2} (1 + ∣ r ∣)^{2}$ , sont aux points où $cos 2 k_{1} x = - 1$ , et les minima, de valeur $A_{i}^{2} (1 - ∣ r ∣)^{2}$ , aux points où $cos 2 k_{1} x = 1$ , dont $x = 0$ : la surface est sur un minimum. La période en $x$ est l'interfrange $\frac{π}{k _{1}} = \frac{λ _{1}}{2}$ , et le contraste vaut

$C = \frac{( 1 + ∣ r ∣ ) ^{2} - ( 1 - ∣ r ∣ ) ^{2}}{( 1 + ∣ r ∣ ) ^{2} + ( 1 - ∣ r ∣ ) ^{2}} = \frac{2 ∣ r ∣}{1 + r ^{2}} .$

L'état est stationnaire : $∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$ ne dépend pas du temps, les franges sont immobiles. Ce ne sont pas deux particules qui interfèrent, mais les deux termes d'une même fonction d'onde. Dans le métal, $∣ φ_{2} ∣^{2} = ∣ A_{t} ∣^{2} = t^{2} A_{i}^{2}$ est uniforme : une onde progressive seule a un module constant, il faut deux ondes pour faire des franges. Contrôle : en $x = 0$ , $(1 + r)^{2} = t^{2}$ , les deux régions se raccordent.

3) Électron de $1 eV$ . $\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E + V _{in}}{E} = 11 = 3, 32$ , donc

$r = \frac{1 - 3 , 32}{1 + 3 , 32} = - 0, 537, t = 1 + r = 0, 463.$

La longueur d'onde dans le vide vaut $λ_{1} = \frac{2 π}{k _{1}} = \frac{2 π ℏ}{2 m _{e} E} = 1, 23 nm$ , d'où l'interfrange $0, 613 nm$ ; le contraste vaut $C = \frac{2 \times 0 , 537}{1 + 0 , 288} = 0, 83$ . Maxima $2, 36 A_{i}^{2}$ , minima $0, 215 A_{i}^{2}$ , plateau dans le métal $t^{2} A_{i}^{2} = 0, 215 A_{i}^{2}$ . Une onde réfléchie d'amplitude moitié de l'onde incidente, des franges contrastées à 83 % : pour un électron lent, la réflexion est massive, alors que rien de classique ne s'oppose à son entrée.

4) Cas limites. Électron rapide, $E = 100 eV$ : $k_{2} / k_{1} = 1, 1 = 1, 049$ et $r = - 0, 024$ , contraste $0, 05$ : on retrouve à peu près le comportement classique. En général, pour $E ≫ V_{in}$ , $\frac{k _{2}}{k _{1}} = 1 + \frac{V _{in}}{E} \approx 1 + \frac{V _{in}}{2 E}$ , donc

$r = \frac{1 - k _{2} / k _{1}}{1 + k _{2} / k _{1}} \approx \frac{- V _{in} / ( 2 E )}{2} = - \frac{V _{in}}{4 E},$

soit $- 0, 025$ ici : la marche n'est qu'une petite perturbation pour une particule très énergétique. Électron lent, $E = 0, 1 eV$ : $k_{2} / k_{1} = 101 = 10, 05$ et $r = - 0, 82$ ; quand $E \to 0$ , $r \to - 1$ , la réflexion devient totale sur une marche descendante. C'est la « réflexion quantique », observée avec des atomes ultra-froids qui approchent une surface qui les attire. Marche montante, $E \to V_{0}^{+}$ : $k_{2} \to 0$ , donc $r \to 1$ et $t \to 2$ ; pour $E = 1, 01 V_{0}$ , $k_{2} / k_{1} = 0, 0995$ et $r = 0, 82$ déjà. Le raccord est continu avec le cas $E < V_{0}$ , où la réflexion est totale.

5a) Symétrie. Marche montante à $E = 2 V_{0}$ : $\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{1}{2}$ et $r = \frac{2 - 1}{2 + 1} = + 0, 172$ . Marche descendante avec $\frac{k _{2}}{k _{1}} = 2$ : $r = \frac{1 - 2}{1 + 2} = - 0, 172$ . Même module, signe opposé : $r$ change de signe quand on échange $k_{1}$ et $k_{2}$ . C'est la même marche parcourue dans les deux sens (énergie cinétique $V_{0}$ d'un côté, $2 V_{0}$ de l'autre). La réflexion ne dépend que du rapport $k_{2} / k_{1}$ , pas du sens de la marche, comme la réflexion d'une onde lumineuse en incidence normale ne dépend que du rapport des indices.

5b) Le paradoxe $t > 1$ . À $E = 2 V_{0}$ sur la marche montante : $t = \frac{2}{1 + 1/ 2} = 1, 17$ , et la densité transmise vaut $t^{2} = 1, 37$ fois celle de l'onde incidente. Rien n'est violé : $∣ φ ∣^{2}$ est une densité de probabilité par unité de longueur, pas un nombre de particules qui passent par seconde. Au-delà de la marche, la particule est plus lente (par de Broglie, $p = ℏ k$ , et $k_{2} < k_{1}$ ) : comme les voitures qui se resserrent sur une portion de route où l'on roule moins vite, elle passe plus de temps par unité de longueur, donc on a plus de chances de l'y trouver. Le bilan exact de ce qui passe et de ce qui revient se fait avec le courant de probabilité, qui n'est au programme qu'en MP (il y fait l'objet d'exercices résolus).

6) Validité. Le modèle abrupt est légitime si l'onde ne « voit » pas la structure de la transition, c'est-à-dire si sa longueur d'onde est grande devant l'épaisseur de celle-ci : $λ_{1} = 1, 23 nm ≫ 0, 1 nm$ à $1 eV$ , et le modèle est bon. À $100 eV$ , $λ_{1} = 0, 12 nm$ est de l'ordre de l'épaisseur : une transition progressive réfléchit encore moins qu'une marche abrupte, et le $r = - 0, 024$ calculé n'est qu'un majorant d'ordre de grandeur.

Ce que l'exercice installe. Établir la solution d'une marche, montante ou descendante : une onde par région, rejet de l'onde sans source, deux conditions de continuité, $r = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ . La réflexion se lit dans la densité de présence : franges immobiles d'interfrange $λ_{1} /2$ et de contraste $\frac{2 ∣ r ∣}{1 + r ^{2}}$ , plateau uniforme côté transmis. Elle est d'autant plus forte que la particule est lente devant la marche, ne dépend que de $k_{2} / k_{1}$ , et une amplitude transmise supérieure à $1$ n'a rien de paradoxal : une densité n'est pas un flux.

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