Particule libre et densité de courant de probabilité

Cours · physique quantique (MP), chapitre 2 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une particule libre : l'onde plane associée s'étend partout, et sa densité de probabilité est uniforme.

Le chapitre précédent a posé les fondements de la mécanique ondulatoire : la fonction d'onde $ψ (x, t)$ d'une particule, sa densité de probabilité de présence $∣ ψ ∣^{2}$ et l'équation de Schrödinger qui gouverne son évolution. Nous appliquons maintenant ce formalisme au cas le plus simple qui soit : celui d'une particule qui ne subit aucune force, c'est-à-dire dont l'énergie potentielle est uniforme. On parle de particule libre. Ce cas d'école, en apparence trivial, révèle deux traits profondément quantiques : d'une part la nature ondulatoire pure du mouvement, décrite par une onde plane dont la relation de dispersion encode la relation de de Broglie ; d'autre part l'impossibilité de localiser strictement une particule d'impulsion connue, qui impose de superposer des ondes planes en un paquet d'ondes. On introduira enfin la densité de courant de probabilité, qui traduit le transport de la probabilité de présence et permettra, au chapitre suivant, d'analyser réflexion et transmission sur une marche de potentiel.

2.1 L'onde plane, solution de la particule libre

2.1.1 Position du problème

Une particule est dite libre lorsque son énergie potentielle est constante dans tout l'espace. On peut alors, sans perte de généralité, choisir l'origine des énergies de sorte que $V (x) = 0$ . La particule ne subit aucune force ( $F = - d V / d x = 0$ ) : classiquement, elle se déplacerait en ligne droite à vitesse constante. Voyons ce que prédit la mécanique quantique.

Définition 2.1Particule libre

Une particule est libre si son énergie potentielle est uniforme. En prenant l'origine des énergies telle que $V (x) = 0$ , l'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) .$

iRemarque

Le seul terme au second membre est le terme d'énergie cinétique, identifié au chapitre précédent : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ est l'opérateur associé à $E_{c} = p^{2} /2 m$ via la correspondance $p \leftrightarrow - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ . La particule libre est donc de l'énergie cinétique pure sous forme ondulatoire.

2.1.2 Recherche des états stationnaires

Cherchons d'abord les états stationnaires, de la forme $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ . La partie spatiale $φ$ vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) = E φ (x) ⟺ φ^{''} (x) + k^{2} φ (x) = 0, k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} .$

Le signe de $E$ décide de la nature des solutions.

Pour $E < 0$ , posons $κ = - 2 m E /ℏ > 0$ : $φ^{''} = κ^{2} φ$ a pour solutions $a e^{κ x} + b e^{- κ x}$ , qui divergent en $+ \infty$ (si $a \neq = 0$ ) ou en $- \infty$ (si $b \neq = 0$ ). Une fonction $∣ φ ∣^{2}$ non bornée ne peut pas représenter une densité de présence, même à un facteur près : le rapport des probabilités de présence dans deux intervalles de même largeur, $∣ φ (x_{2}) ∣^{2} / ∣ φ (x_{1}) ∣^{2}$ , pourrait être rendu aussi grand qu'on veut. Ces solutions sont rejetées, comme le veut l'intuition classique ( $E_{c} = E - V = E < 0$ est impossible).
Pour $E = 0$ , $φ^{''} = 0$ donne $φ = a + b x$ ; seule la constante ( $b = 0$ ) est bornée : c'est la limite $k \to 0$ des ondes planes ci-dessous (particule au repos, totalement délocalisée).
Pour $E > 0$ , seul cas physiquement acceptable, $k$ est réel.

Pour $E > 0$ , les solutions sont des exponentielles complexes $φ (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x}$ . En rétablissant le facteur temporel, on obtient les ondes planes

$ψ_{+} (x, t) = A e^{i (k x - ω t)} et ψ_{-} (x, t) = B e^{- i (k x + ω t)}, ω = \frac{E}{ℏ} .$

◆Théorème 2.2Ondes planes de la particule libre

Les états stationnaires d'énergie $E > 0$ d'une particule libre sont les combinaisons linéaires des deux ondes planes progressives

$ψ (x, t) = A e^{i (k x - ω t)} + B e^{- i (k x + ω t)}$

où $A$ et $B$ sont des amplitudes complexes constantes, $k > 0$ le vecteur d'onde et $ω = E /ℏ$ la pulsation. L'onde $e^{i (k x - ω t)}$ se propage vers les $x > 0$ , l'onde $e^{- i (k x + ω t)} = e^{i (- k x - ω t)}$ vers les $x < 0$ ; chacune, prise seule ( $B = 0$ ou $A = 0$ ), est un état stationnaire progressif.

AttentionÉtat stationnaire

\neq =

onde stationnaire classique

Malgré le nom d'« état stationnaire », l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est une onde progressive : sa phase se déplace. Le qualificatif « stationnaire » signifie seulement que la densité de probabilité $∣ ψ ∣^{2}$ est indépendante du temps, non que l'onde est immobile. Inversement, l'état $B = A$ du théorème, $ψ = 2 A cos (k x) e^{- i ω t}$ , a la forme d'une onde stationnaire, avec des nœuds fixes, et c'est aussi un état stationnaire. Ce qui le distingue de l'onde stationnaire d'une corde, $y = Y cos (k x) cos (ω t)$ , n'est donc pas la présence de nœuds mais le facteur temporel : $e^{- i ω t}$ , de module 1, laisse $∣ ψ ∣^{2} = 4 ∣ A ∣^{2} cos^{2} (k x)$ figée à chaque instant, alors que $cos (ω t)$ annule la corde entière deux fois par période. D'ailleurs $cos (k x) cos (ω t)$ , réelle, n'est pas solution de l'équation de Schrödinger.

2.2 Relation de dispersion et relation de de Broglie

2.2.1 La relation de dispersion quantique

Reportons l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ dans l'équation de Schrödinger. Les dérivations donnent $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - i ω ψ$ et $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = - k^{2} ψ$ , d'où

$i ℏ (- i ω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

◆Théorème 2.3Relation de dispersion de la particule libre

Une onde plane $e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger de la particule libre si et seulement si sa pulsation et son vecteur d'onde vérifient la relation de dispersion

$ω (k) = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m} soit, en e ˊ nergie, E = ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

AttentionDispersion quadratique, non linéaire

Contrairement aux ondes électromagnétiques dans le vide ( $ω = c k$ , dispersion linéaire), la relation de dispersion quantique est quadratique en $k$ . Le milieu « vide quantique » est donc dispersif : des ondes de $k$ différents se propagent à des vitesses de phase différentes. C'est la clef de l'étalement du paquet d'ondes (§ sec:paquet).

Figure : Relation de dispersion de la particule libre. En

k_{0}

, la vitesse de groupe

est la pente de la tangente, la vitesse de phase celle de la corde issue de l'origine : pour une parabole, la corde est deux fois moins pentue, d'où

v_{φ} = v_{g} /2

. La courbure non nulle signe un milieu dispersif.

2.2.2 Lien avec la relation de de Broglie

L'énergie cinétique classique d'une particule d'impulsion $p$ est $E = p^{2} /2 m$ . En comparant avec $E = ℏ^{2} k^{2} /2 m$ , on identifie $p = ℏ k$ : c'est la relation de de Broglie.

Proposition 2.4Relation de de Broglie

Le vecteur d'onde de l'onde plane associée à la particule est relié à son impulsion par

$p = ℏ k soit, avec k = \frac{2 π}{λ}, λ = \frac{h}{p} .$

La longueur d'onde $λ$ est la longueur d'onde de de Broglie. La relation de dispersion quantique n'est autre que la relation $E = p^{2} /2 m$ traduite en variables ondulatoires $(ω, k)$ .

iRemarque

On retrouve ainsi, de manière cohérente, les deux relations fondamentales de la dualité onde-particule : $E = ℏ ω$ (Planck-Einstein) et $p = ℏ k$ (de Broglie). L'onde plane $e^{i (k x - ω t)}$ décrit une particule d'impulsion $p = ℏ k$ et d'énergie $E = ℏ ω$ parfaitement déterminées.

Exemple 2.5Longueur d'onde d'un électron

Un électron ( $m = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ ) est accéléré sous une tension $U = 100 V$ , ce qui lui confère l'énergie cinétique $E = e U$ . Calculer sa longueur d'onde de de Broglie. Comparer à celle d'une balle de $20 g$ lancée à $30 m / s$ .

Démonstration

L'impulsion se déduit de $E = p^{2} /2 m$ , soit $p = 2 m E$ . Avec $E = e U = 1, 6 \times 1 0^{- 17} J$ :

$p = 2 \times 9, 11 \times 1 0^{- 31} \times 1, 6 \times 1 0^{- 17} \approx 5, 4 \times 1 0^{- 24} kgm / s, λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{5 , 4 \times 1 0 ^{- 24}} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 10} m .$

Soit $λ \approx 0, 12 nm$ , comparable aux distances interatomiques : c'est pourquoi les électrons diffractent sur les cristaux (expérience de Davisson et Germer). Pour la balle : $p = 0, 02 \times 30 = 0, 6 kgm / s$ et $λ = 6, 63 \times 1 0^{- 34} /0, 6 \approx 1 \times 1 0^{- 33} m$ , inférieure de vingt ordres de grandeur à toute taille observable : la balle est parfaitement « classique ».

2.3 Le problème de la normalisation

2.3.1 Une onde non localisée

L'onde plane possède une densité de probabilité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} e^{i (k x - ω t)}^{2} = ∣ A ∣^{2},$

uniforme dans tout l'espace et constante dans le temps. La particule a la même probabilité de se trouver en tout point : elle est complètement délocalisée.

ImportantNon-normalisabilité de l'onde plane

La condition de normalisation exige $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ . Or pour l'onde plane,

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ A ∣^{2} d x = ∣ A ∣^{2} \times (+ \infty) = + \infty.$

L'intégrale diverge : l'onde plane n'est pas normalisable. Elle ne peut donc pas, strictement, représenter une particule physique réelle.

iRemarqueInterprétation de cette difficulté

Cette divergence n'est pas un échec de la théorie mais l'expression d'une cohérence profonde. L'onde plane décrit une particule d'impulsion $p = ℏ k$ parfaitement déterminée ( $σ_{p} = 0$ ). L'inégalité de Heisenberg spatiale $σ_{x} σ_{p} \geq ℏ/2$ (§ sec:paquet) impose alors $σ_{x} \to + \infty$ : la position est totalement indéterminée, ce qui est exactement le cas d'une densité $∣ ψ ∣^{2}$ uniforme. L'onde plane est une idéalisation utile (comme l'onde plane monochromatique en optique), qu'il faut superposer pour décrire une particule réelle, localisée.

Méthode : Deux façons de contourner la non-normalisation

En pratique on utilise l'onde plane malgré tout, de deux manières :

Normalisation « en boîte » : on enferme la particule dans un segment de longueur $L$ (grand mais fini) avec conditions périodiques ; alors $∣ A ∣^{2} L = 1$ donne $A = 1/ L$ . On fait tendre $L \to \infty$ à la fin.
Paquet d'ondes : on superpose une infinité continue d'ondes planes de $k$ voisins ; la fonction résultante est de carré sommable et représente une vraie particule localisée (§ sec:paquet).

Pour le calcul des courants (réflexion/transmission au chapitre suivant), l'onde plane non normalisée suffit : seuls interviennent des rapports de courants où $∣ A ∣^{2}$ disparaît.

2.4 Le paquet d'ondes

2.4.1 Construction par superposition

Le programme demande d'expliquer, en s'appuyant sur l'inégalité de Heisenberg spatiale, que la localisation d'une particule peut s'obtenir par superposition d'ondes planes : c'est l'objet de cette sous-section, à un instant donné. Il ne développe pas la notion de paquet d'ondes au-delà : son mouvement (vitesse de groupe) et son étalement, traités ensuite, sont des compléments. Pour décrire une particule effectivement localisée, on superpose des ondes planes de vecteurs d'onde voisins, en tirant parti de la linéarité de l'équation de Schrödinger (principe de superposition). On forme le paquet d'ondes

$ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) e^{i (k x - ω (k) t)} d k, ω (k) = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m},$

où $g (k)$ est une fonction d'amplitude concentrée autour d'une valeur centrale $k_{0}$ , de largeur $Δ k$ . À $t = 0$ , $ψ (x, 0)$ est la transformée de Fourier de $g$ : plus $g$ est étroite en $k$ , plus $ψ$ est étalée en $x$ , et réciproquement.

Figure : Paquet d'ondes à l'instant

t = 0

: une porteuse rapide

cos (k_{0} x)

modulée par

une enveloppe (en pointillés) de largeur $Δ x$ . La particule est localisée là où

l'enveloppe est notable.

Proposition 2.6Localisation et inégalité de Heisenberg spatiale

La largeur spatiale du paquet varie comme l'inverse de la largeur de sa distribution en vecteurs d'onde (relation de type Fourier). Pour les écarts-types $σ_{x}$ et $σ_{k}$ des distributions de la position et du vecteur d'onde, on montre que $σ_{x} σ_{k} \geq \frac{1}{2}$ , l'égalité étant atteinte pour un paquet gaussien ; avec $p = ℏ k$ :

$σ_{x} σ_{p} \geq \frac{ℏ}{2}$

c'est l'inégalité de Heisenberg spatiale. En ordre de grandeur, pour des largeurs $Δ x$ et $Δ p$ définies moins précisément, $Δ x Δ p \sim ℏ$ (ou $h$ , selon la définition choisie) ; on ne mélange pas les deux écritures. Localiser la particule ( $σ_{x}$ petit) exige de superposer un large spectre d'impulsions ( $σ_{p}$ grand) : la position et l'impulsion ne peuvent être simultanément déterminées avec une précision arbitraire.

2.4.2 Vitesse de groupe et lien avec la vitesse classique (complément)

La vitesse de groupe est un outil du programme (propagation d'un paquet d'ondes en électromagnétisme) ; son identification à la vitesse de la particule n'est pas exigible en MP : cette sous-section et la suivante sont des compléments. Comment se déplace le paquet ? Deux vitesses coexistent. La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k$ décrit le déplacement des crêtes de la porteuse ; la vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k$ décrit le déplacement de l'enveloppe, donc de la particule.

◆Théorème 2.7Vitesse du paquet et vitesse de la particule (complément)

L'enveloppe du paquet se déplace en bloc (au premier ordre) à la vitesse de groupe

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{k_{0}} = \frac{ℏ k _{0}}{m} = \frac{p _{0}}{m} = v_{classique} .$

La vitesse de groupe coïncide avec la vitesse classique de la particule d'impulsion $p_{0} = ℏ k_{0}$ . La mécanique ondulatoire redonne bien le mouvement classique pour le centre du paquet : c'est un cas du principe de correspondance.

Démonstration (Calcul de

v_{g}

v_{φ}

)

De $ω = ℏ k^{2} /2 m$ on tire

$v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{ℏ k}{m}, v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{ℏ k}{2 m} = \frac{v _{g}}{2} .$

La vitesse de phase vaut exactement la moitié de la vitesse de groupe : les crêtes de la porteuse défilent deux fois moins vite que l'enveloppe. Seule $v_{g} = p / m$ a un sens physique (transport de la particule et de l'énergie) ; $v_{φ}$ dépend du choix de l'origine des énergies et n'est pas mesurable directement.

2.4.3 Étalement du paquet d'ondes

Parce que le milieu est dispersif ( $v_{g} = ℏ k / m$ dépend de $k$ ), les différentes composantes du paquet se propagent à des vitesses différentes : le paquet s'étale au cours du temps. Sa largeur $σ_{x} (t)$ croît, alors que sa surface $\int ∣ ψ ∣^{2} d x$ reste égale à 1 (conservation de la probabilité).

Proposition 2.8Étalement d'un paquet gaussien (complément hors programme)

Pour un paquet initialement gaussien d'écart-type $σ_{0}$ , on montre que l'écart-type de la position augmente selon

$σ_{x} (t) = σ_{0} 1 + (\frac{ℏ t}{2 m σ _{0}^{2}})^{2} .$

L'étalement est d'autant plus rapide que le paquet est initialement étroit (donc $σ_{p}$ grand) et que la masse est petite. Pour un objet macroscopique, le temps caractéristique d'étalement dépasse l'âge de l'Univers ; pour un électron confiné à l'échelle atomique, il est de l'ordre de $1 0^{- 16} s$ .

Figure : Un paquet gaussien à trois instants : le centre avance à la vitesse de groupe

$v_{g}$ tandis que la largeur $σ_{x} (t)$ croît (dispersion quadratique). La hauteur

diminue d'autant : l'aire

\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1

est conservée.

iRemarque

L'étalement traduit l'indétermination croissante de la position : la particule d'impulsion imparfaitement connue « ne sait pas exactement où aller », et l'incertitude sur $x$ augmente au fil du temps. Ce phénomène est purement quantique et sans analogue pour un point matériel classique.

2.5 Densité de courant de probabilité

2.5.1 Conservation locale de la probabilité

La probabilité de présence totale $\int ∣ ψ ∣^{2} d x$ est conservée (égale à 1). Mais localement, la probabilité peut se déplacer d'une région à l'autre. Ce transport est décrit par une grandeur analogue au courant électrique : la densité de courant de probabilité. Établissons l'équation qui la définit.

Démonstration (Bilan local de

∣ ψ ∣^{2}

)

Dérivons la densité $ρ = ∣ ψ ∣^{2} = ψ^{*} ψ$ par rapport au temps :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} = ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} + ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial t} .$

L'équation de Schrödinger et sa conjuguée donnent

$\frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial t} = - \frac{i ℏ}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ ^{*}}{\partial x ^{2}} .$

En reportant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} - ψ \frac{\partial ^{2} ψ ^{*}}{\partial x ^{2}}) = \frac{\partial}{\partial x} [\frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial x})] .$

En posant $j = - \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial x})$ , on obtient l'équation de conservation locale.

◆Théorème 2.9Équation de conservation locale de la probabilité

La densité de probabilité $ρ = ∣ ψ ∣^{2}$ et la densité de courant de probabilité $j$ satisfont l'équation de conservation

$\frac{\partial ∣ ψ ∣ ^{2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$

formellement identique à l'équation de conservation de la charge en électromagnétisme ( $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div  = 0$ ).

Définition 2.10Densité de courant de probabilité

La densité de courant de probabilité associée à la fonction d'onde $ψ$ est

$j (x, t) = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) = \frac{ℏ}{2 i m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial x}) .$

Elle s'exprime en $/ s$ (probabilité traversant un point par unité de temps). La forme $\frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x})$ est l'expression admise à connaître et à savoir utiliser.

2.5.2 Interprétation : densité $\times$ vitesse

Proposition 2.11Courant d'une onde plane

Pour l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , la densité de courant vaut

$j = \frac{ℏ}{m} Im (A^{*} e^{- i (k x - ω t)} \cdot i k A e^{i (k x - ω t)}) = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2} = ρ ∣ A ∣^{2} \times v \frac{p}{m} .$

ImportantInterprétation courant

=

densité

\times

vitesse

Le courant de probabilité de l'onde plane se lit comme le produit

$j = ρ \times v avec ρ = ∣ A ∣^{2} (densit e ˊ de pr e ˊ sence), v = \frac{ℏ k}{m} = \frac{p}{m} (vitesse de la particule) .$

C'est l'analogue du flux de particules d'un faisceau : si l'on interprète $∣ A ∣^{2}$ comme un nombre de particules par unité de longueur, $j$ est le nombre de particules franchissant un point par seconde. Le signe de $j$ donne le sens de propagation : $j > 0$ pour $k > 0$ (vers les $x$ croissants), $j < 0$ pour $k < 0$ .

iRemarquePourquoi le courant est utile malgré la non-normalisation

Bien que l'onde plane ne soit pas normalisable, son courant $j = (ℏ k / m) ∣ A ∣^{2}$ est parfaitement défini. Au chapitre suivant, réflexion et transmission sur une marche de potentiel seront quantifiées par les rapports $R = ∣ j_{r e ˊ fl e ˊ chi} ∣ / j_{incident}$ et $T = j_{transmis} / j_{incident}$ , où l'amplitude commune $∣ A ∣^{2}$ se simplifie : le courant est l'outil naturel du bilan de probabilité.

Exemple 2.12Courant nul d'une onde stationnaire réelle

Montrer que la densité de courant de probabilité d'une fonction d'onde $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i ω t}$ à partie spatiale $φ$ réelle est nulle.

Démonstration

Si $φ$ est réelle, $ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} = φ e^{+ i ω t} \cdot φ^{'} e^{- i ω t} = φ φ^{'}$ , qui est réel. Donc $Im (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) = 0$ et $j = 0$ . Une fonction d'onde à partie spatiale réelle (par exemple $φ \propto sin (k x)$ dans un puits infini) ne transporte aucune probabilité : aucun flux net. Un courant nul ne signifie pas pour autant un état lié : l'onde $cos (k x) e^{- i ω t}$ de la particule libre, superposition de deux ondes planes opposées de même amplitude, a aussi $j = 0$ , parce que deux flux égaux et opposés se compensent. Le transport net n'apparaît qu'avec une phase spatiale, comme $e^{i k x}$ , c'est-à-dire pour une onde progressive.

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, $v_{g}$ et courant en Python

On construit numériquement un paquet gaussien, on suit son centre (vitesse de groupe) et on calcule le courant $j$ par différences finies.


import numpy as np
hbar, m = 1.0, 1.0
x = np.linspace(-40, 40, 4000); dx = x[1] - x[0]
k0, dk, x0 = 3.0, 0.3, -15.0

def psi(t, k0=k0):
    k = np.linspace(k0 - 5*dk, k0 + 5*dk, 400)
    g = np.exp(-((k - k0)**2) / (2*dk**2))       # spectre gaussien
    w = hbar*k**2 / (2*m)                          # dispersion quantique
    # superposition d'ondes planes : paquet d'ondes
    return (g[:, None]*np.exp(1j*(k[:, None]*(x - x0) - w[:, None]*t))).sum(axis=0)

def courant(p):
    dpsi = np.gradient(p, dx)
    return (hbar/m) * np.imag(np.conj(p)*dpsi)     # j = (hbar/m) Im(psi* dpsi/dx)

for t in (0.0, 4.0, 8.0):
    p = psi(t); rho = np.abs(p)**2
    centre = np.sum(x*rho) / np.sum(rho)           # <x>(t)
    v = (centre - x0) / t if t else 0.0
    print(f"t={t:>4}  <x>={centre:7.2f}  v={v:5.2f}  (vg theo = {hbar*k0/m:.2f})")

for k in (k0, -k0):                                # sens du courant
    p = psi(0.0, k); N = np.sum(np.abs(p)**2)*dx
    J = np.sum(courant(p))*dx / N                  # courant intégré, paquet normalisé
    print(f"k0={k:+.0f}  intégrale de j = {J:+.2f}  (hbar k0/m = {hbar*k/m:+.2f})")

On vérifie que le centre du paquet avance à $v_{g} = ℏ k_{0} / m = 3, 0$ (complément), et que le courant intégré sur tout l'axe, rapporté à la probabilité totale, vaut $ℏ k_{0} / m$ : $+ 3, 00$ pour $k_{0} = 3$ , $- 3, 00$ pour $k_{0} = - 3$ ; il change de signe avec le sens de propagation.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Particule libre et densité de courant de probabilité

2.1 L'onde plane, solution de la particule libre

2.1.1 Position du problème

2.1.2 Recherche des états stationnaires

2.2 Relation de dispersion et relation de de Broglie

2.2.1 La relation de dispersion quantique

2.2.2 Lien avec la relation de de Broglie

2.3 Le problème de la normalisation

2.3.1 Une onde non localisée

Méthode : Deux façons de contourner la non-normalisation

2.4 Le paquet d'ondes

2.4.1 Construction par superposition

2.4.2 Vitesse de groupe et lien avec la vitesse classique (complément)

2.4.3 Étalement du paquet d'ondes

2.5 Densité de courant de probabilité

2.5.1 Conservation locale de la probabilité

2.5.2 Interprétation : densité × vitesse

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, vg​ et courant en Python

Exercices du chapitre

2.5.2 Interprétation : densité $\times$ vitesse

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, $v_{g}$ et courant en Python