Particule libre et densité de courant de probabilité

Cours complet · physique quantique (MP), chapitre 2 · CPGE MP (2e année)

Le chapitre précédent a posé les fondements de la mécanique ondulatoire : la fonction d'onde $ψ (x, t)$ d'une particule, sa densité de probabilité de présence $∣ ψ ∣^{2}$ et l'équation de Schrödinger qui gouverne son évolution. Nous appliquons maintenant ce formalisme au cas le plus simple qui soit : celui d'une particule qui ne subit aucune force, c'est-à-dire dont l'énergie potentielle est uniforme. On parle de particule libre. Ce cas d'école, en apparence trivial, révèle deux traits profondément quantiques : d'une part la nature ondulatoire pure du mouvement, décrite par une onde plane dont la relation de dispersion encode la relation de de Broglie ; d'autre part l'impossibilité de localiser strictement une particule d'impulsion connue, qui impose de superposer des ondes planes en un paquet d'ondes. On introduira enfin la densité de courant de probabilité, qui traduit le transport de la probabilité de présence et permettra, au chapitre suivant, d'analyser réflexion et transmission sur une marche de potentiel.

2.1 L'onde plane, solution de la particule libre

2.1.1 Position du problème

Une particule est dite libre lorsque son énergie potentielle est constante dans tout l'espace. On peut alors, sans perte de généralité, choisir l'origine des énergies de sorte que $V (x) = 0$ . La particule ne subit aucune force ( $F = - d V / d x = 0$ ) : classiquement, elle se déplacerait en ligne droite à vitesse constante. Voyons ce que prédit la mécanique quantique.

Définition 2.1Particule libre

Une particule est libre si son énergie potentielle est uniforme. En prenant l'origine des énergies telle que $V (x) = 0$ , l'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) .$

iRemarque

Le seul terme au second membre est le terme d'énergie cinétique, identifié au chapitre précédent : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ est l'opérateur associé à $E_{c} = p^{2} /2 m$ via la correspondance $p \leftrightarrow - i ℏ \partial_{x}$ . La particule libre est donc de l'énergie cinétique pure sous forme ondulatoire.

2.1.2 Recherche des états stationnaires

Cherchons d'abord les états stationnaires, de la forme $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ . La partie spatiale $φ$ vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) = E φ (x) ⟺ φ^{''} (x) + k^{2} φ (x) = 0, k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} .$

Pour $E > 0$ (seul cas physiquement acceptable pour une particule libre, comme on le justifiera), $k$ est réel et les solutions sont des exponentielles complexes $φ (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x}$ . En rétablissant le facteur temporel, on obtient les ondes planes

$ψ_{+} (x, t) = A e^{i (k x - ω t)} et ψ_{-} (x, t) = B e^{- i (k x + ω t)}, ω = \frac{E}{ℏ} .$

◆Théorème 2.2Ondes planes de la particule libre

Les états stationnaires d'énergie $E > 0$ d'une particule libre sont les combinaisons linéaires des deux ondes planes progressives

$ψ (x, t) = A e^{i (k x - ω t)} + B e^{- i (k x + ω t)}$

où $A$ et $B$ sont des amplitudes complexes constantes, $k > 0$ le vecteur d'onde et $ω = E /ℏ$ la pulsation. L'onde $e^{i (k x - ω t)}$ se propage vers les $x > 0$ , l'onde $e^{- i (k x + ω t)} = e^{i (- k x - ω t)}$ vers les $x < 0$ ; chacune, prise seule ( $B = 0$ ou $A = 0$ ), est un état stationnaire progressif.

AttentionOnde quantique

\neq =

onde stationnaire classique

Malgré le nom d'« état stationnaire », l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est une onde progressive : sa phase se déplace. Le qualificatif « stationnaire » signifie seulement que la densité de probabilité $∣ ψ ∣^{2}$ est indépendante du temps, non que l'onde est immobile. Une onde stationnaire au sens de la physique des ondes serait de la forme $cos (k x) e^{- i ω t}$ , avec des nœuds fixes ; ce n'est pas le cas ici.

2.2 Relation de dispersion et relation de de Broglie

2.2.1 La relation de dispersion quantique

Reportons l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ dans l'équation de Schrödinger. Les dérivations donnent $\partial_{t} ψ = - i ω ψ$ et $\partial_{x}^{2} ψ = - k^{2} ψ$ , d'où

$i ℏ (- i ω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

◆Théorème 2.3Relation de dispersion de la particule libre

Une onde plane $e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger de la particule libre si et seulement si sa pulsation et son vecteur d'onde vérifient la relation de dispersion

$ω (k) = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m} soit, en e ˊ nergie, E = ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

AttentionDispersion quadratique, non linéaire

Contrairement aux ondes électromagnétiques dans le vide ( $ω = c k$ , dispersion linéaire), la relation de dispersion quantique est quadratique en $k$ . Le milieu « vide quantique » est donc dispersif : des ondes de $k$ différents se propagent à des vitesses de phase différentes. C'est la clef de l'étalement du paquet d'ondes (§ sec:paquet).

Figure : Relation de dispersion de la particule libre. En

k_{0}

, la vitesse de groupe

est la pente de la tangente, la vitesse de phase celle de la corde issue de l'origine : pour une parabole, la corde est deux fois moins pentue, d'où $v_{φ} = v_{g} /2$ . La courbure non nulle signe un milieu dispersif.</div>

2.2.2 Lien avec la relation de de Broglie

L'énergie cinétique classique d'une particule d'impulsion $p$ est $E = p^{2} /2 m$ . En comparant avec $E = ℏ^{2} k^{2} /2 m$ , on identifie $p = ℏ k$ : c'est la relation de de Broglie.

Proposition 2.4Relation de de Broglie

Le vecteur d'onde de l'onde plane associée à la particule est relié à son impulsion par

$p = ℏ k soit, avec k = \frac{2 π}{λ}, λ = \frac{h}{p} .$

La longueur d'onde $λ$ est la longueur d'onde de de Broglie. La relation de dispersion quantique n'est autre que la relation $E = p^{2} /2 m$ traduite en variables ondulatoires $(ω, k)$ .

iRemarque

On retrouve ainsi, de manière cohérente, les deux relations fondamentales de la dualité onde-particule : $E = ℏ ω$ (Planck-Einstein) et $p = ℏ k$ (de Broglie). L'onde plane $e^{i (k x - ω t)}$ décrit une particule d'impulsion $p = ℏ k$ et d'énergie $E = ℏ ω$ parfaitement déterminées.

Exemple 2.5Longueur d'onde d'un électron

Un électron ( $m = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ ) est accéléré sous une tension $U = 100 V$ , ce qui lui confère l'énergie cinétique $E = e U$ . Calculer sa longueur d'onde de de Broglie. Comparer à celle d'une balle de $20 g$ lancée à $30 m / s$ .

Démonstration

L'impulsion se déduit de $E = p^{2} /2 m$ , soit $p = 2 m E$ . Avec $E = e U = 1, 6 \times 1 0^{- 17} J$ :

$p = 2 \times 9, 11 \times 1 0^{- 31} \times 1, 6 \times 1 0^{- 17} \approx 5, 4 \times 1 0^{- 24} kgm / s, λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{5 , 4 \times 1 0 ^{- 24}} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 10} m .$

Soit $λ \approx 0, 12 nm$ , comparable aux distances interatomiques : c'est pourquoi les électrons diffractent sur les cristaux (expérience de Davisson et Germer). Pour la balle : $p = 0, 02 \times 30 = 0, 6 kgm / s$ et $λ = 6, 63 \times 1 0^{- 34} /0, 6 \approx 1 \times 1 0^{- 33} m$ , inférieure de vingt ordres de grandeur à toute taille observable : la balle est parfaitement « classique ».

2.3 Le problème de la normalisation

2.3.1 Une onde non localisée

L'onde plane possède une densité de probabilité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} e^{i (k x - ω t)}^{2} = ∣ A ∣^{2},$

uniforme dans tout l'espace et constante dans le temps. La particule a la même probabilité de se trouver en tout point : elle est complètement délocalisée.

ImportantNon-normalisabilité de l'onde plane

La condition de normalisation exige $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ . Or pour l'onde plane,

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ A ∣^{2} d x = ∣ A ∣^{2} \times (+ \infty) = + \infty.$

L'intégrale diverge : l'onde plane n'est pas normalisable. Elle ne peut donc pas, strictement, représenter une particule physique réelle.

iRemarqueInterprétation de cette difficulté

Cette divergence n'est pas un échec de la théorie mais l'expression d'une cohérence profonde. L'onde plane décrit une particule d'impulsion $p = ℏ k$ parfaitement déterminée ( $Δ p = 0$ ). L'inégalité de Heisenberg $Δ x Δ p ≳ ℏ/2$ impose alors $Δ x \to + \infty$ : la position est totalement indéterminée, ce qui est exactement le cas d'une densité $∣ ψ ∣^{2}$ uniforme. L'onde plane est une idéalisation utile (comme l'onde plane monochromatique en optique), qu'il faut superposer pour décrire une particule réelle, localisée.

Méthode : Deux façons de contourner la non-normalisation

En pratique on utilise l'onde plane malgré tout, de deux manières :

Normalisation « en boîte » : on enferme la particule dans un segment de longueur $L$ (grand mais fini) avec conditions périodiques ; alors $∣ A ∣^{2} L = 1$ donne $A = 1/ L$ . On fait tendre $L \to \infty$ à la fin.
Paquet d'ondes : on superpose une infinité continue d'ondes planes de $k$ voisins ; la fonction résultante est de carré sommable et représente une vraie particule localisée (§ sec:paquet).

Pour le calcul des courants (réflexion/transmission au chapitre suivant), l'onde plane non normalisée suffit : seuls interviennent des rapports de courants où $∣ A ∣^{2}$ disparaît.

2.4 Le paquet d'ondes

2.4.1 Construction par superposition

(Complément : le programme ne développe pas la notion de paquet d'ondes ; seul l'exigible « localisation par superposition » est au programme.) Pour décrire une particule effectivement localisée, on superpose des ondes planes de vecteurs d'onde voisins, en tirant parti de la linéarité de l'équation de Schrödinger (principe de superposition). On forme le paquet d'ondes

$ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) e^{i (k x - ω (k) t)} d k, ω (k) = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m},$

où $g (k)$ est une fonction d'amplitude concentrée autour d'une valeur centrale $k_{0}$ , de largeur $Δ k$ . À $t = 0$ , $ψ (x, 0)$ est la transformée de Fourier de $g$ : plus $g$ est étroite en $k$ , plus $ψ$ est étalée en $x$ , et réciproquement.

Figure : Paquet d'ondes à l'instant

t = 0

: une porteuse rapide

cos (k_{0} x)

modulée par

une enveloppe (en pointillés) de largeur $Δ x$ . La particule est localisée là où l'enveloppe est notable.</div>

Proposition 2.6Localisation et inégalité de Heisenberg spatiale

La largeur spatiale $Δ x$ du paquet et la largeur $Δ k$ de sa distribution en vecteurs d'onde sont liées par une relation de type Fourier :

$Δ x Δ k ≳ 1 ⟹ Δ x Δ p ≳ ℏ/2 (avec p = ℏ k),$

qui est l'inégalité de Heisenberg spatiale. Localiser la particule ( $Δ x$ petit) exige de superposer un large spectre d'impulsions ( $Δ p$ grand) : la position et l'impulsion ne peuvent être simultanément déterminées avec une précision arbitraire.

2.4.2 Vitesse de groupe et lien avec la vitesse classique

Comment se déplace le paquet ? Deux vitesses coexistent. La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k$ décrit le déplacement des crêtes de la porteuse ; la vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k$ décrit le déplacement de l'enveloppe, donc de la particule.

◆Théorème 2.7Vitesse de groupe du paquet d'ondes (complément hors programme)

L'enveloppe du paquet se déplace en bloc (au premier ordre) à la vitesse de groupe

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{k_{0}} = \frac{ℏ k _{0}}{m} = \frac{p _{0}}{m} = v_{classique} .$

La vitesse de groupe coïncide avec la vitesse classique de la particule d'impulsion $p_{0} = ℏ k_{0}$ . La mécanique ondulatoire redonne bien le mouvement classique pour le centre du paquet : c'est un cas du principe de correspondance.

Démonstration (Calcul de

v_{g}

v_{φ}

)

De $ω = ℏ k^{2} /2 m$ on tire

$v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{ℏ k}{m}, v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{ℏ k}{2 m} = \frac{v _{g}}{2} .$

La vitesse de phase vaut exactement la moitié de la vitesse de groupe : les crêtes de la porteuse défilent deux fois moins vite que l'enveloppe. Seule $v_{g} = p / m$ a un sens physique (transport de la particule et de l'énergie) ; $v_{φ}$ dépend du choix de l'origine des énergies et n'est pas mesurable directement.

2.4.3 Étalement du paquet d'ondes

Parce que le milieu est dispersif ( $v_{g} = ℏ k / m$ dépend de $k$ ), les différentes composantes du paquet se propagent à des vitesses différentes : le paquet s'étale au cours du temps. Sa largeur $Δ x (t)$ croît, alors que sa surface $\int ∣ ψ ∣^{2} d x$ reste égale à 1 (conservation de la probabilité).

Proposition 2.8Étalement d'un paquet gaussien (complément hors programme)

Pour un paquet initialement gaussien de largeur $Δ x_{0}$ , on montre que la largeur augmente selon

$Δ x (t) = Δ x_{0} 1 + (\frac{ℏ t}{2 m Δ x _{0}^{2}})^{2} .$

L'étalement est d'autant plus rapide que le paquet est initialement étroit (donc $Δ p$ grand) et que la masse est petite. Pour un objet macroscopique, le temps caractéristique d'étalement dépasse l'âge de l'Univers ; pour un électron confiné à l'échelle atomique, il est de l'ordre de $1 0^{- 16} s$ .

Figure : Un paquet gaussien à trois instants : le centre avance à la vitesse de groupe

$v_{g}$ tandis que la largeur $Δ x (t)$ croît (dispersion quadratique). La hauteur diminue d'autant : l'aire $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ est conservée.</div>

iRemarque

L'étalement traduit l'indétermination croissante de la position : la particule d'impulsion imparfaitement connue « ne sait pas exactement où aller », et l'incertitude sur $x$ augmente au fil du temps. Ce phénomène est purement quantique et sans analogue pour un point matériel classique.

2.5 Densité de courant de probabilité

2.5.1 Conservation locale de la probabilité

La probabilité de présence totale $\int ∣ ψ ∣^{2} d x$ est conservée (égale à 1). Mais localement, la probabilité peut se déplacer d'une région à l'autre. Ce transport est décrit par une grandeur analogue au courant électrique : la densité de courant de probabilité. Établissons l'équation qui la définit.

Démonstration (Bilan local de

∣ ψ ∣^{2}

)

Dérivons la densité $ρ = ∣ ψ ∣^{2} = ψ^{*} ψ$ par rapport au temps :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} = ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} + ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial t} .$

L'équation de Schrödinger et sa conjuguée donnent

$\frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial t} = - \frac{i ℏ}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ ^{*}}{\partial x ^{2}} .$

En reportant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} - ψ \frac{\partial ^{2} ψ ^{*}}{\partial x ^{2}}) = \frac{\partial}{\partial x} [\frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial x})] .$

En posant $j = - \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \partial_{x} ψ - ψ \partial_{x} ψ^{*})$ , on obtient l'équation de conservation locale.

◆Théorème 2.9Équation de conservation locale de la probabilité

La densité de probabilité $ρ = ∣ ψ ∣^{2}$ et la densité de courant de probabilité $j$ satisfont l'équation de conservation

$\frac{\partial ∣ ψ ∣ ^{2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$

formellement identique à l'équation de conservation de la charge en électromagnétisme ( $\partial_{t} ρ + div  = 0$ ).

Définition 2.10Densité de courant de probabilité

La densité de courant de probabilité associée à la fonction d'onde $ψ$ est

$j (x, t) = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) = \frac{ℏ}{2 i m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ ^{*}}{\partial x}) .$

Elle s'exprime en $/ s$ (probabilité traversant un point par unité de temps). La forme $\frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \partial_{x} ψ)$ est l'expression admise à connaître et à savoir utiliser.

2.5.2 Interprétation : densité $\times$ vitesse

Proposition 2.11Courant d'une onde plane

Pour l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , la densité de courant vaut

$j = \frac{ℏ}{m} Im (A^{*} e^{- i (k x - ω t)} \cdot i k A e^{i (k x - ω t)}) = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2} = ρ ∣ A ∣^{2} \times v \frac{p}{m} .$

ImportantInterprétation courant

=

densité

\times

vitesse

Le courant de probabilité de l'onde plane se lit comme le produit

$j = ρ \times v avec ρ = ∣ A ∣^{2} (densit e ˊ de pr e ˊ sence), v = \frac{ℏ k}{m} = \frac{p}{m} (vitesse de la particule) .$

C'est l'analogue du flux de particules d'un faisceau : si l'on interprète $∣ A ∣^{2}$ comme un nombre de particules par unité de longueur, $j$ est le nombre de particules franchissant un point par seconde. Le signe de $j$ donne le sens de propagation : $j > 0$ pour $k > 0$ (vers les $x$ croissants), $j < 0$ pour $k < 0$ .

iRemarquePourquoi le courant est utile malgré la non-normalisation

Bien que l'onde plane ne soit pas normalisable, son courant $j = (ℏ k / m) ∣ A ∣^{2}$ est parfaitement défini. Au chapitre suivant, réflexion et transmission sur une marche de potentiel seront quantifiées par les rapports $R = ∣ j_{r e ˊ fl e ˊ chi} ∣ / j_{incident}$ et $T = j_{transmis} / j_{incident}$ , où l'amplitude commune $∣ A ∣^{2}$ se simplifie : le courant est l'outil naturel du bilan de probabilité.

Exemple 2.12Courant nul d'une onde stationnaire réelle

Montrer que la densité de courant de probabilité d'une fonction d'onde $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i ω t}$ à partie spatiale $φ$ réelle est nulle.

Démonstration

Si $φ$ est réelle, $ψ^{*} \partial_{x} ψ = φ e^{+ i ω t} \cdot φ^{'} e^{- i ω t} = φ φ^{'}$ , qui est réel. Donc $Im (ψ^{*} \partial_{x} ψ) = 0$ et $j = 0$ . Une fonction d'onde à partie spatiale réelle (par exemple $φ \propto sin (k x)$ dans un puits infini) ne transporte aucune probabilité : c'est un état lié, sans flux net. Le transport n'apparaît qu'avec une phase spatiale, comme $e^{i k x}$ , c'est-à-dire pour une onde progressive.

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, $v_{g}$ et courant en Python

On construit numériquement un paquet gaussien, on suit son centre (vitesse de groupe) et on calcule le courant $j$ par différences finies.


import numpy as np
hbar, m = 1.0, 1.0
x = np.linspace(-40, 40, 4000); dx = x[1] - x[0]
k0, dk, x0 = 3.0, 0.3, -15.0

def psi(t):
    k = np.linspace(k0 - 5*dk, k0 + 5*dk, 400)
    g = np.exp(-((k - k0)**2) / (2*dk**2))       # spectre gaussien
    w = hbar*k**2 / (2*m)                          # dispersion quantique
    # superposition d'ondes planes : paquet d'ondes
    return (g[:, None]*np.exp(1j*(k[:, None]*(x - x0) - w[:, None]*t))).sum(axis=0)

def courant(p):
    dpsi = np.gradient(p, dx)
    return (hbar/m) * np.imag(np.conj(p)*dpsi)     # j = (hbar/m) Im(psi* dpsi/dx)

for t in (0.0, 4.0, 8.0):
    p = psi(t); rho = np.abs(p)**2
    centre = np.sum(x*rho) / np.sum(rho)           # <x>(t)
    v = (centre - x0) / t if t else 0.0
    print(f"t={t:>4}  <x>={centre:7.2f}  v={v:5.2f}  (vg theo = {hbar*k0/m:.2f})")

On vérifie que le centre du paquet avance à $v_{g} = ℏ k_{0} / m = 3, 0$ , et que le courant $j$ change de signe si l'on prend $k_{0} < 0$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

Exemple 2.13Vitesse de groupe d'un électron

Un électron est décrit par un paquet d'ondes centré sur $k_{0}$ tel que sa longueur d'onde de de Broglie centrale vaut $λ_{0} = 0, 5 nm$ . Calculer sa vitesse de groupe et la comparer à la vitesse de phase de l'onde centrale.

Démonstration

Le vecteur d'onde central est $k_{0} = 2 π / λ_{0} = 2 π /5 \times 1 0^{- 10} \approx 1, 26 \times 1 0^{10} / m$ . La vitesse de groupe est

$v_{g} = \frac{ℏ k _{0}}{m} = \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 34} \times 1 , 26 \times 1 0 ^{10}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 5 \times 1 0^{6} m / s .$

C'est bien la vitesse classique de l'électron d'impulsion $p_{0} = ℏ k_{0}$ . La vitesse de phase de l'onde centrale vaut $v_{φ} = v_{g} /2 \approx 7, 3 \times 1 0^{5} m / s$ : la porteuse défile deux fois moins vite que le « grain » de probabilité. Seule $v_{g}$ correspond au déplacement effectif de l'électron.

Exemple 2.14Sens du courant et amplitude

Une onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ décrit un faisceau d'électrons de vitesse $v = 1 \times 1 0^{6} m / s$ et de densité linéique de présence $∣ A ∣^{2} = 1 \times 1 0^{9} / m$ (nombre d'électrons par mètre). Calculer le flux de particules, puis le sens du courant si l'on remplace $k$ par $- k$ .

Démonstration

Le courant de probabilité est $j = ∣ A ∣^{2} v = 1 \times 1 0^{9} \times 1 \times 1 0^{6} = 1 \times 1 0^{15} / s$ : interprété comme un flux, $1 0^{15}$ électrons franchissent un point donné chaque seconde. Le signe : $j = (ℏ k / m) ∣ A ∣^{2} > 0$ pour $k > 0$ (faisceau vers les $x$ croissants). En remplaçant $k$ par $- k$ , l'impulsion change de signe, $v = ℏ (- k) / m < 0$ , donc $j < 0$ : le faisceau se propage vers les $x$ décroissants, avec le même flux en valeur absolue. Le signe du courant code le sens de propagation.

Exemple 2.15Estimation de Heisenberg pour un électron confiné

Un électron est confiné dans un atome, de taille $Δ x \approx 0, 1 nm$ . Estimer, à l'aide de l'inégalité de Heisenberg spatiale, l'ordre de grandeur de sa vitesse, puis de son énergie cinétique. Commenter.

Démonstration

L'inégalité $Δ x Δ p ≳ ℏ/2$ donne

$Δ p ≳ \frac{ℏ}{2Δ x} = \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 1 \times 1 0 ^{- 10}} \approx 5 \times 1 0^{- 25} kgm / s, Δ v = \frac{Δ p}{m} \approx 6 \times 1 0^{5} m / s .$

L'énergie cinétique associée est de l'ordre de $E_{c} \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 19} J \approx 0, 8 eV$ , soit l'échelle des énergies atomiques (électron-volt). L'indétermination quantique impose donc à elle seule une énergie minimale non nulle : c'est l'origine de la stabilité des atomes, incompréhensible en physique classique (où l'électron pourrait s'immobiliser au fond du puits, avec $E_{c} = 0$ ).

Exemple 2.16Paquet à deux ondes et vitesse de groupe

On superpose deux ondes planes de même amplitude, de vecteurs d'onde $k_{0} \pm δ k$ et de pulsations $ω_{0} \pm δ ω$ . Écrire la fonction d'onde sous forme porteuse $\times$ enveloppe et en déduire la vitesse de l'enveloppe.

Démonstration

En factorisant l'onde centrale :

$ψ = A e^{i [(k_{0} + δ k) x - (ω_{0} + δ ω) t]} + A e^{i [(k_{0} - δ k) x - (ω_{0} - δ ω) t]} = 2 A porteuse e^{i (k_{0} x - ω_{0} t)} enveloppe cos (δ k x - δ ω t) .$

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ , l'enveloppe (le « battement ») à la vitesse pour laquelle $δ k x - δ ω t = cste$ , soit

$v_{env} = \frac{δ ω}{δ k} δ k \to 0 \frac{d ω}{d k} = v_{g} .$

On retrouve que l'enveloppe, donc la localisation de la particule, se propage à la vitesse de groupe. Le paquet gaussien continu du § sec:paquet n'est que la généralisation de ce battement à une infinité de composantes.

Particule libre : $V = 0$ , équation de Schrödinger $i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ$ .
Onde plane : $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , état stationnaire progressif, de densité $∣ ψ ∣^{2} = ∣ A ∣^{2}$ uniforme.
Relation de dispersion : $ω = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m}$ , soit $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ ; dispersion quadratique.
de Broglie : $p = ℏ k$ , $λ = h / p$ .
Non-normalisable : $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = \infty$ ; cohérent avec $Δ p = 0 \Rightarrow Δ x = \infty$ (Heisenberg).
Paquet d'ondes : superposition d'ondes planes ( $Δ x Δ p ≳ ℏ/2$ ), se déplace à la vitesse de groupe $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{ℏ k _{0}}{m} = v_{classique}$ , et s'étale (milieu dispersif). Vitesse de phase $v_{φ} = v_{g} /2$ .
Courant de probabilité : $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \partial_{x} ψ)$ , avec $\partial_{t} ∣ ψ ∣^{2} + \partial_{x} j = 0$ . Pour l'onde plane : $j = ∣ A ∣^{2} \frac{ℏ k}{m} = ρ v$ (densité $\times$ vitesse).

2.7 Exercices d'entraînement

Vérification de solution. Montrer par report direct que $ψ (x, t) = A e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger libre si et seulement si $ω = ℏ k^{2} /2 m$ . La fonction $ψ = A cos (k x - ω t)$ est-elle solution ? Commenter.

Longueur d'onde de de Broglie thermique. Un neutron ( $m = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ ) a une énergie cinétique d'agitation thermique $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ à $T = 300 K$ . Calculer sa vitesse, son impulsion et sa longueur d'onde de de Broglie. Pourquoi les neutrons « thermiques » servent-ils à sonder les cristaux ?

Vitesses de phase et de groupe. Pour la relation de dispersion $ω = ℏ k^{2} /2 m$ , exprimer $v_{φ}$ et $v_{g}$ en fonction de $k$ . Vérifier $v_{φ} = v_{g} /2$ . Que vaudrait $v_{φ}$ si l'on ajoutait une énergie potentielle constante $V_{0}$ (donc $E \to E + V_{0}$ ) ? La vitesse de groupe change-t-elle ?

Relation $Δ x Δ p$ . Un électron est localisé dans une région de taille $Δ x = 0, 1 nm$ (taille d'un atome). Estimer l'incertitude minimale $Δ p$ puis l'ordre de grandeur de sa vitesse $Δ v = Δ p / m$ . Conclure sur la pertinence d'une description classique à l'échelle atomique.

Courant d'une superposition de deux ondes planes. Soit $ψ = A e^{i (k x - ω t)} + B e^{i (- k x - ω t)}$ (onde incidente $+$ onde réfléchie de même $∣ k ∣$ ). Calculer $j (x, t)$ . Montrer que le courant est la différence $j = \frac{ℏ k}{m} (∣ A ∣^{2} - ∣ B ∣^{2})$ et non la somme ; en déduire la signification des « courants incident et réfléchi ».

Onde évanescente. Dans une région où $E < V_{0}$ (anticipant le chapitre suivant), la solution est $ψ = C e^{- κ x} e^{- i ω t}$ avec $κ$ réel $> 0$ . Calculer la densité de courant de probabilité associée. Interpréter physiquement le résultat.

Normalisation « en boîte ». On impose des conditions périodiques sur un segment $[0, L]$ : $ψ (0) = ψ (L)$ . Montrer que les vecteurs d'onde admissibles sont quantifiés, $k_{n} = 2 π n / L$ ( $n \in Z$ ). Normaliser l'onde plane correspondante et donner $∣ A ∣$ . Que devient l'écart entre niveaux de $k$ quand $L \to \infty$ ?

Paquet à deux ondes (battements). On superpose deux ondes planes de vecteurs d'onde $k_{0} \pm δ k$ et pulsations $ω_{0} \pm δ ω$ correspondantes. Écrire $ψ$ sous la forme (porteuse) $\times$ (enveloppe) et identifier les vitesses de la porteuse et de l'enveloppe. Retrouver $v_{g} = δ ω / δ k$ .

Étalement d'un paquet. Pour un électron avec $Δ x_{0} = 1 nm$ , utiliser $Δ x (t) = Δ x_{0} 1 + (ℏ t /2 m Δ x_{0}^{2})^{2}$ pour estimer le temps $τ$ au bout duquel la largeur a doublé. Comparer avec le même calcul pour un grain de poussière ( $m = 1 \times 1 0^{- 9} kg$ , $Δ x_{0} = 1 μ m$ ).

Densité de courant en 3D (culture). L'expression généralisée est $ = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} grad ψ)$ . Vérifier que pour l'onde plane $ψ = A e^{i (k \cdot r - ω t)}$ on obtient $ = ∣ A ∣^{2} \frac{ℏ k}{m}$ , colinéaire à $k$ .

Conservation intégrale. À partir de $\partial_{t} ∣ ψ ∣^{2} + \partial_{x} j = 0$ , montrer que $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = 0$ pour toute fonction d'onde de carré sommable (on admettra $j \to 0$ à l'infini). Interpréter.

Vitesse de groupe relativiste (ouverture). Pour une particule relativiste, $E = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ et $E = ℏ ω$ , $p = ℏ k$ . Calculer $v_{g} = d ω / d k$ et montrer que $v_{g} = p c^{2} / E$ , c'est-à-dire la vitesse classique relativiste $v = p c^{2} / E$ . Vérifier la limite non relativiste $v_{g} \to p / m$ .

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Particule libre et densité de courant de probabilité

2.1 L'onde plane, solution de la particule libre

2.1.1 Position du problème

2.1.2 Recherche des états stationnaires

2.2 Relation de dispersion et relation de de Broglie

2.2.1 La relation de dispersion quantique

2.2.2 Lien avec la relation de de Broglie

2.3 Le problème de la normalisation

2.3.1 Une onde non localisée

Méthode : Deux façons de contourner la non-normalisation

2.4 Le paquet d'ondes

2.4.1 Construction par superposition

2.4.2 Vitesse de groupe et lien avec la vitesse classique

2.4.3 Étalement du paquet d'ondes

2.5 Densité de courant de probabilité

2.5.1 Conservation locale de la probabilité

2.5.2 Interprétation : densité × vitesse

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, vg​ et courant en Python

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

2.7 Exercices d'entraînement

2.5.2 Interprétation : densité $\times$ vitesse

Capacité numérique : Visualiser paquet d'ondes, $v_{g}$ et courant en Python