Fonction d'onde et équation de Schrödinger

Cours · physique quantique (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La fonction d'onde d'une particule et la densité de probabilité de présence, qui est le carré de son module.

La mécanique classique décrit une particule ponctuelle par une trajectoire $x (t)$ et une quantité de mouvement $p (t)$ déterminées à chaque instant. Les expériences du début du XX^e siècle (rayonnement du corps noir, effet photoélectrique, interférences électroniques) ont montré que cette description échoue à l'échelle atomique : la matière y manifeste un comportement à la fois corpusculaire et ondulatoire. La mécanique quantique répond à ce constat en abandonnant la notion de trajectoire au profit d'un objet nouveau, la fonction d'onde $ψ (x, t)$ , dont l'évolution est régie par l'équation de Schrödinger.

Ce premier chapitre pose les fondements du formalisme, à une dimension d'espace : nature et interprétation probabiliste (Born) de la fonction d'onde, équation d'évolution et sa linéarité, puis recherche des états stationnaires par séparation des variables. Les applications physiques concrètes – particule libre, marche et barrière de potentiel, puits confinant – font l'objet des chapitres suivants. Toute discussion sur la mesure, le spin ou la dimension trois est hors programme.

1.1 Dualité onde-corpuscule

1.1.1 Les deux relations fondamentales

L'étude du corps noir puis de l'effet photoélectrique a conduit Planck et Einstein à attribuer au rayonnement électromagnétique une structure granulaire : la lumière de pulsation $ω$ transporte son énergie par paquets, les photons, d'énergie $E = ℏ ω$ . Réciproquement, de Broglie postula en 1924 qu'à toute particule matérielle est associée une onde.

ImportantRelations de Planck-Einstein et de de Broglie

À une particule d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ sont associées une pulsation $ω$ et un vecteur d'onde $k$ tels que

$E = ℏ ω et p = ℏ k = \frac{h}{λ},$

où $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} Js$ est la constante de Planck et $ℏ = \frac{h}{2 π} \approx 1, 055 \times 1 0^{- 34} Js$ la constante de Planck réduite. La longueur d'onde $λ = h / p$ est la longueur d'onde de de Broglie de la particule.

Exemple 1.1Ordres de grandeur de

λ

Pour un électron ( $m = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ ) d'énergie cinétique $E_{c} = 100 eV$ , avec $p = 2 m E_{c}$ ,

$λ = \frac{h}{2 m E _{c}} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 17}} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 10} m = 0, 12 nm,$

comparable à la distance interatomique dans un cristal : d'où la possibilité de diffracter des électrons (Davisson-Germer, 1927). Pour une balle de tennis ( $m = 60 g$ , $v = 30 m / s$ ), $λ = h / (m v) \approx 3, 7 \times 1 0^{- 34} m$ , totalement indécelable : le caractère ondulatoire de la matière n'est perceptible qu'à l'échelle microscopique.

1.1.2 L'expérience des fentes d'Young avec des particules

Lorsqu'on envoie des électrons un par un sur un dispositif à deux fentes, chaque particule laisse un impact ponctuel (aspect corpusculaire) sur le détecteur, mais la répartition statistique des impacts, après un grand nombre de particules, reconstitue une figure d'interférences (aspect ondulatoire). Aucune trajectoire ne peut être attribuée à la particule : c'est la manifestation la plus directe de la dualité, et elle impose de décrire la particule par une amplitude ondulatoire dont le module carré donne une probabilité.

Figure : Interférences électron par électron : chaque impact est ponctuel (aspect

corpusculaire, points), mais la statistique des impacts dessine des franges (aspect ondulatoire, courbe), données par $∣ ψ_{1} + ψ_{2} ∣^{2}$ et non

∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2}

1.2 Fonction d'onde et interprétation de Born

1.2.1 La fonction d'onde

Définition 1.2Fonction d'onde

L'état d'une particule quantique sans spin se déplaçant sur un axe $O x$ est entièrement décrit, à chaque instant $t$ , par une fonction complexe de la position, la fonction d'onde

$ψ : (x, t) ⟼ ψ (x, t) \in C .$

Elle joue le rôle d'amplitude de probabilité : elle n'est pas directement mesurable, mais son module carré possède un sens physique.

ImportantInterprétation probabiliste de Born (1926)

Le module carré de la fonction d'onde est la densité de probabilité de présence de la particule :

$ρ (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ψ^{*} (x, t) ψ (x, t) \geq 0.$

La probabilité de trouver, à l'instant $t$ , la particule dans l'intervalle $[x, x + d x]$ vaut

$d P (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x .$

La probabilité de la trouver dans un domaine $[a, b]$ est $P (a \leq X \leq b, t) = \int_{a}^{b} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x$ .

Figure : Interprétation de Born : la probabilité de présence dans

[a, b]

est l'aire

sous la courbe $∣ ψ ∣^{2}$ (zone colorée) ; la tranche $∣ ψ ∣^{2} d x$ est la probabilité de présence élémentaire. L'aire totale sous la courbe vaut $1$

(normalisation).

La densité $ρ$ s'exprime en $m^{- 1}$ (à une dimension) : $∣ ψ ∣^{2} d x$ étant sans dimension, $ψ$ a la dimension de $(longueur)^{- 1/2}$ .

1.2.2 Normalisation

La particule se trouve quelque part sur l'axe : la probabilité de la trouver sur $R$ tout entier vaut $1$ . Cette certitude impose une contrainte à la fonction d'onde.

Définition 1.3Condition de normalisation

Une fonction d'onde physiquement acceptable est normalisée :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = 1 .$

Elle doit donc être de carré sommable ; en pratique (fonctions d'onde physiques, régulières), $ψ (x, t) \to 0$ lorsque $x \to \pm \infty$ . Une fonction d'onde connue à un facteur près se normalise en la multipliant par une constante $A$ (réelle positive, dite constante de normalisation) choisie pour satisfaire cette égalité.

iRemarqueCapacités exigibles

Calculer une constante de normalisation ne figure pas parmi les capacités exigibles en MP ni en MPI : dans les exercices, les fonctions d'onde sont données déjà normalisées, et les calculs de normalisation sont des compléments.

iRemarqueConservation de la norme

L'équation de Schrödinger (§ 3) garantit que si $ψ$ est normalisée à un instant, elle le reste à tout instant ultérieur : $\frac{d}{d t} \int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 0$ . La probabilité totale se conserve, ce qui est indispensable à l'interprétation de Born.

AttentionPhase globale non observable

La fonction d'onde $ψ$ et la fonction $e^{i α} ψ$ (avec $α$ réel constant) ont même densité $∣ ψ ∣^{2}$ : elles décrivent le même état physique. Une phase globale est sans signification ; seules les différences de phase, responsables des interférences, sont observables.

1.2.3 Valeurs moyennes (complément)

La fonction d'onde étant probabiliste, la position de la particule n'est pas déterminée : seule sa distribution l'est. On lui associe des grandeurs moyennes. Ce paragraphe est un complément : les valeurs moyennes ne figurent pas parmi les capacités exigibles.

Définition 1.4Position moyenne et écart quadratique

Pour une fonction d'onde normalisée, la position moyenne et sa variance sont

$⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x, σ_{x}^{2} = ⟨ x^{2} ⟩ - ⟨ x ⟩^{2},$

où $⟨ x^{2} ⟩ = \int_{R} x^{2} ∣ ψ ∣^{2} d x$ . L'écart-type $σ_{x}$ mesure l'étalement de la densité de présence, c'est-à-dire l'indétermination de la position ; ses ordres de grandeur sont notés $Δ x$ (inégalité de Heisenberg, chapitre sur la particule libre).

iRemarquePoint de vue « opérateur » (culture)

En formalisme quantique, une observable est représentée par un opérateur agissant sur $ψ$ : la position par la multiplication $x = x$ , la quantité de mouvement par $p = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ . Une valeur moyenne s'écrit $⟨ A ⟩ = \int_{R} ψ^{*} A ψ d x$ . Ce point de vue, hors programme, éclaire la structure de l'équation de Schrödinger ci-dessous : on y reconnaît $\frac{p ^{2}}{2 m} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ .

1.3 L'équation de Schrödinger

1.3.1 Énoncé

L'évolution de la fonction d'onde est postulée : elle obéit à une équation aux dérivées partielles, linéaire, du premier ordre en temps et du second ordre en espace, établie par Schrödinger en 1926. On l'admet.

ImportantÉquation de Schrödinger à une dimension

Pour une particule de masse $m$ soumise à une énergie potentielle $V (x, t)$ , la fonction d'onde vérifie

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) + V (x, t) ψ (x, t) .$

Le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ est associé à l'énergie cinétique, le terme $V ψ$ à l'énergie potentielle.

iRemarqueLecture de l'équation (culture, hors programme)

On peut l'écrire $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ$ , où $H = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + V$ est l'opérateur hamiltonien (énergie totale). La comparaison avec $E = \frac{p ^{2}}{2 m} + V$ et les substitutions $E \to i ℏ \frac{\partial}{\partial t}$ , $p \to - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ fournissent un moyen mnémotechnique de retrouver l'équation. Le programme n'utilise pas les opérateurs.

AttentionUne équation à valeurs complexes

La présence explicite de $i = - 1$ impose que $ψ$ soit complexe : ce n'est pas ici une commodité de calcul (comme la notation complexe en électrocinétique) mais une nécessité. On ne peut pas remplacer $ψ$ par sa partie réelle.

1.3.2 Terme cinétique : justification sur l'onde plane

Démonstration (Identification du terme d'énergie cinétique)

Pour une particule libre ( $V = 0$ ), essayons l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , qui combine les relations de de Broglie ( $p = ℏ k$ ) et de Planck-Einstein ( $E = ℏ ω$ ). On calcule

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = i ℏ (- iω) ψ = ℏ ω ψ = E ψ, - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} ψ = \frac{p ^{2}}{2 m} ψ .$

L'équation de Schrödinger $E ψ = \frac{p ^{2}}{2 m} ψ$ redonne l'énergie cinétique classique $E_{c} = p^{2} /2 m$ : le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ est bien le terme cinétique.

1.3.3 Linéarité et principe de superposition

ImportantPrincipe de superposition

L'équation de Schrödinger est linéaire et homogène. Par conséquent, si $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ en sont deux solutions, toute combinaison

$ψ = λ_{1} ψ_{1} + λ_{2} ψ_{2}, (λ_{1}, λ_{2}) \in C^{2},$

en est encore une. Une particule peut donc se trouver dans une superposition d'états.

Proposition 1.5Terme d'interférence

La densité de présence d'une superposition n'est pas la somme des densités :

$∣ ψ ∣^{2} = ∣ λ_{1} ∣^{2} ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ λ_{2} ∣^{2} ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (λ_{1} λ_{2}^{*} ψ_{1} ψ_{2}^{*}) .$

Le troisième terme, dit terme d'interférence, croise les deux composantes : c'est lui qui rend compte de la figure d'interférences des fentes d'Young et fait de la superposition un phénomène purement ondulatoire.

AttentionNormalisation d'une superposition (complément)

La combinaison $λ_{1} ψ_{1} + λ_{2} ψ_{2}$ n'est en général pas normalisée, même si $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ le sont : il faut réajuster le facteur global. Si de plus $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ sont orthogonales ( $\int_{R} ψ_{1}^{*} ψ_{2} d x = 0$ , cas des états stationnaires distincts d'un même puits), alors $∣ λ_{1} ∣^{2} + ∣ λ_{2} ∣^{2} = 1$ suffit à normaliser.

1.4 États stationnaires

1.4.1 Séparation des variables

On s'intéresse désormais au cas fréquent d'un potentiel indépendant du temps $V (x)$ , et l'on cherche des solutions particulières à variables séparées.

Méthode : Séparation des variables temps–espace

Pour un potentiel $V (x)$ stationnaire, on cherche une solution de la forme produit

$ψ (x, t) = φ (x) f (t) .$

On reporte dans l'équation de Schrödinger, on divise par $φ (x) f (t)$ , et l'on constate que chaque membre ne dépend que d'une seule variable : ils sont donc égaux à une même constante, homogène à une énergie, notée $E$ .

Démonstration (Obtention de l'équation stationnaire)

En injectant $ψ = φ f$ dans $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} + V ψ$ :

$i ℏ φ (x) f^{'} (t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) f (t) + V (x) φ (x) f (t) .$

On divise par $φ (x) f (t)$ :

$fonction de t i ℏ \frac{f ^{'} ( t )}{f ( t )} = fonction de x \frac{1}{φ ( x )} (- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x)) .$

Une fonction de $t$ seul égale à une fonction de $x$ seul est nécessairement constante ; notons-la $E$ . On obtient d'une part $i ℏ f^{'} (t) = E f (t)$ , d'où

$f (t) = f (0) e^{- i E t /ℏ},$

et d'autre part l'équation portant sur $φ$ .

Définition 1.6État stationnaire et équation de Schrödinger stationnaire

Un état stationnaire d'énergie $E$ est une fonction d'onde de la forme

$ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ},$

dans laquelle la partie spatiale $φ (x)$ est solution de l'équation de Schrödinger stationnaire (ou indépendante du temps)

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x) = E φ (x) .$

$E$ , réelle, est l'énergie de l'état. Pour une particule liée, la condition que $φ$ soit de carré sommable ne sélectionne, dans de nombreux cas, qu'un ensemble discret de valeurs de $E$ : c'est l'origine de la quantification.

1.4.2 Le lien énergie – évolution temporelle

Proposition 1.7Facteur de phase temporel et relation de Planck-Einstein

Dans un état stationnaire, toute la dépendance temporelle est portée par le facteur de phase $e^{- i E t /ℏ} = e^{- iω t}$ de pulsation

$ω = \frac{E}{ℏ}, soit E = ℏ ω .$

On retrouve la relation de Planck-Einstein : l'énergie de la particule fixe la fréquence d'oscillation de sa fonction d'onde.

Important« État stationnaire » n'est pas « onde stationnaire »

Pour un état stationnaire, la densité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2} = 1 e^{- i E t /ℏ}^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$

est indépendante du temps : d'où le nom. Il ne faut pas confondre avec l'onde stationnaire usuelle $sin (k x) cos (ω t)$ de la physique des ondes, qui possède des nœuds fixes où le champ s'annule à tout instant. Ici, $ψ$ oscille en tout point à la même pulsation $ω$ , mais via une phase globale $e^{- iω t}$ : aucun nœud temporel, et la distribution de probabilité est figée.

1.4.3 Superposition de deux états stationnaires

Un état stationnaire est un cas particulier ; l'état général est une superposition, qui évolue.

Proposition 1.8Battement quantique

Soit une particule dans la superposition de deux états stationnaires d'énergies $E_{1} \neq = E_{2}$ :

$ψ (x, t) = \frac{1}{2} (φ_{1} (x) e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} (x) e^{- i E_{2} t /ℏ}),$

avec $φ_{1}, φ_{2}$ réelles, normalisées et orthogonales. La densité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = \frac{1}{2} (φ_{1}^{2} + φ_{2}^{2} + 2 φ_{1} φ_{2} cos (ω_{21} t)), ω_{21} = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ},$

dépend du temps : cet état n'est pas stationnaire. La densité de présence (et, en général, la position moyenne, dès que $\int_{R} x φ_{1} φ_{2} d x \neq = 0$ ) oscille à la pulsation $ω_{21}$ fixée par la différence des énergies. C'est le mécanisme des transitions et de l'émission d'un photon de pulsation $ω_{21}$ .

1.5 Conditions aux limites et de raccordement

1.5.1 Continuité de $φ$ et $φ^{'}$

L'équation stationnaire est du second ordre : sa résolution dans un potentiel constant par morceaux exige de raccorder les solutions aux frontières entre zones.

ImportantConditions de raccordement (admises)

Aux frontières entre deux régions où $V$ prend des valeurs finies différentes, la fonction d'onde spatiale et sa dérivée première sont continues :

$φ continue et φ^{'} continue .$

La continuité de $φ$ assure celle de la densité de présence ; en MP, celle de $φ^{'}$ assure en outre celle du courant de probabilité, défini au chapitre sur la particule libre. Ces conditions résultent du fait que $φ^{''}$ reste borné lorsque $V$ est fini.

AttentionCas d'un potentiel infini

Là où le potentiel devient infini (mur impénétrable, parois d'un puits infini), la particule ne peut pénétrer : $φ = 0$ dans la région interdite. Seule la continuité de $φ$ est alors imposée à la frontière ( $φ$ s'y annule) ; la dérivée $φ^{'}$ y présente en général une discontinuité.

Méthode : Résolution dans un potentiel constant par morceaux

Dans une zone où $V = V_{0}$ est constant, l'équation stationnaire s'écrit $φ^{''} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ$ . On distingue :

$E > V_{0}$ : $φ^{''} = - k^{2} φ$ avec $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ ; solutions oscillantes $e^{\pm ik x}$ (région classiquement permise).
$E < V_{0}$ : $φ^{''} = + κ^{2} φ$ avec $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ ; solutions exponentielles $e^{\pm κ x}$ (région classiquement interdite, onde évanescente).

On écrit la solution générale dans chaque zone, puis on impose : (i) le caractère borné/sommable de $φ$ , (ii) la continuité de $φ$ et $φ^{'}$ aux frontières. Ces équations fournissent les constantes et, pour un état lié, la quantification des énergies.

Le schéma de la figure fig:zones résume la nature des solutions selon le signe de $E - V$ .

Figure : Nature des solutions de l'équation stationnaire de part et d'autre d'une frontière. Où

$E > V$ la fonction d'onde oscille ; où $E < V$ elle décroît exponentiellement (onde évanescente).

Aux frontières à potentiel fini,

φ

φ^{'}

se raccordent continûment.

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