Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel

Cours · physique quantique (MPI), chapitre 3 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'effet tunnel : l'onde décroît dans la barrière de potentiel, et une partie en ressort de l'autre côté.

« Ce qui est impossible en mécanique classique n'est que peu probable en mécanique quantique. »

Le chapitre précédent a établi la fonction d'onde d'une particule libre, c'est-à-dire évoluant dans un potentiel uniforme. Nous abordons ici la situation physiquement centrale du programme MPI : une particule rencontre une variation brutale du potentiel. Deux modèles élémentaires, la marche et la barrière, suffisent à faire apparaître des comportements sans aucun équivalent classique : réflexion partielle sur un obstacle franchissable, pénétration dans une région interdite (onde évanescente) et, plus spectaculaire encore, la traversée d'une barrière alors même que l'énergie de la particule est inférieure à sa hauteur — l'effet tunnel. Ces résultats gouvernent la radioactivité $α$ , le microscope à effet tunnel, les diodes tunnel et la fusion stellaire.

Conformément à l'esprit du programme, l'accent est mis sur l'interprétation des résultats et l'exploitation des formules, plus que sur la lourdeur algébrique du cas de la barrière.

Ce qui est au programme de MPI, et ce qui ne l'est pas. Sont exigibles en MPI : établir la solution pour une particule incidente sur une marche de potentiel, en exploitant les conditions de continuité ; expliquer les différences avec une particule classique ; identifier et caractériser une onde évanescente ; décrire qualitativement l'influence de la hauteur et de la largeur d'une barrière sur l'effet tunnel ; citer des applications. Ne sont pas au programme de MPI (ils le sont en MP) : la densité de courant de probabilité, les coefficients de réflexion $R$ et de transmission $T$ définis par les courants, et l'exploitation d'un coefficient de transmission fourni. Les passages correspondants sont conservés, mais signalés « Complément, hors programme MPI ».

3.1 Position du problème et outils

3.1.1 Potentiels constants par morceaux

On modélise l'action du milieu sur la particule par une énergie potentielle $V (x)$ constante par morceaux : le demi-espace ou la zone étudiée est découpé en régions où $V$ prend une valeur fixe, avec des discontinuités localisées. Ce n'est qu'une idéalisation — un vrai profil varie continûment — mais elle rend les calculs analytiquement solubles tout en conservant l'essentiel de la physique.

Dans chaque région où $V (x) = V_{0}$ (constante), on cherche les états stationnaires $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , dont la partie spatiale obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + V_{0} φ (x) = E φ (x) ⟺ \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ .$

Définition 3.1Régime propagatif et régime évanescent

Selon le signe de $E - V_{0}$ dans une région, la solution change de nature :

si $E > V_{0}$ , on pose $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = - k^{2} φ$ : les solutions sont des ondes planes $e^{\pm i k x}$ (régime propagatif) ;
si $E < V_{0}$ , on pose $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = + κ^{2} φ$ : les solutions sont des exponentielles réelles $e^{\pm κ x}$ (régime évanescent).

3.1.2 Conditions de raccordement

Aux points de discontinuité de $V$ , on ne peut pas résoudre l'équation localement ; on raccorde les solutions des différentes régions. Les conditions, admises, traduisent la régularité imposée par l'équation de Schrödinger.

ImportantContinuité de

φ

φ^{'}

En tout point $x_{0}$ où $V$ présente une discontinuité finie, la fonction d'onde spatiale $φ$ et sa dérivée première $φ^{'}$ sont continues :

$φ (x_{0}^{-}) = φ (x_{0}^{+}), φ^{'} (x_{0}^{-}) = φ^{'} (x_{0}^{+}) .$

La continuité de $φ$ assure une densité de présence $∣ φ ∣^{2}$ bien définie ; celle de $φ^{'}$ découle de ce que $φ^{''}$ ne peut avoir qu'une discontinuité finie (car $V$ est fini). Ces deux conditions à chaque interface fournissent exactement le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les amplitudes.

iRemarque

Si $V$ devient infini (marche ou puits infini, chapitre suivant), la continuité de $φ^{'}$ tombe : seule $φ$ reste continue et s'annule à la paroi.

Courant de probabilité et coefficients $R$ et $T$ (complément, hors programme MPI)

Complément, hors programme MPI

Cette sous-section, jusqu'à la marche de potentiel, n'est pas au programme de MPI : la densité de courant de probabilité et les coefficients $R$ et $T$ ne sont exigibles qu'en MP. En MPI, on décrit réflexion et transmission par les amplitudes réfléchie et transmise obtenues par raccordement.

Pour quantifier « ce qui passe » et « ce qui rebrousse chemin », on utilise le courant de probabilité, admis pour un état stationnaire.

Proposition 3.2Densité de courant de probabilité à une dimension

Pour une fonction d'onde $φ (x)$ , le courant de probabilité est

$J = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} \frac{d φ}{d x}) .$

Pour une onde plane $φ (x) = A e^{i k x}$ , on obtient $J = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2} = v ∣ A ∣^{2}$ , produit de la vitesse $v = ℏ k / m$ par la densité $∣ A ∣^{2}$ : c'est un flux de probabilité. En régime stationnaire à une dimension, $J$ est indépendant de $x$ (conservation du courant), ce qui traduit la conservation locale de la probabilité.

On envoie une onde incidente d'amplitude $A_{i}$ depuis $x \to - \infty$ . Une partie est réfléchie (amplitude $A_{r}$ , même région), une partie est transmise (amplitude $A_{t}$ , région de sortie).

Définition 3.3Coefficients de réflexion et de transmission

On définit

$R = \frac{∣ J _{r e ˊ fl e ˊ chi} ∣}{∣ J _{incident} ∣}, T = \frac{∣ J _{transmis} ∣}{∣ J _{incident} ∣} .$

La conservation du courant impose

$R + T = 1 .$

$R$ et $T$ s'interprètent comme les probabilités que la particule soit respectivement réfléchie et transmise.

Attention

$T$ n'est pas le simple rapport $∣ A_{t} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ des modules carrés : il faut pondérer par les vitesses (donc les vecteurs d'onde) de part et d'autre. On a $R = ∣ A_{r} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ (même vitesse), mais $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} \frac{∣ A _{t} ∣ ^{2}}{∣ A _{i} ∣ ^{2}}$ lorsque les vecteurs d'onde diffèrent ( $k_{1}$ à l'entrée, $k_{2}$ à la sortie).

3.2 Marche de potentiel

On considère une marche montante située en $x = 0$ :

$V (x) = {0 V_{0} > 0 si x < 0 (r e ˊ gion 1), si x > 0 (r e ˊ gion 2) .$

3.2.1 Cas $E > V_{0}$ : réflexion partielle

Dans la région 1, $φ_{1} (x) = A_{i} e^{i k_{1} x} + A_{r} e^{- i k_{1} x}$ avec $k_{1} = 2 m E /ℏ$ . Dans la région 2, l'onde transmise se propage vers les $x > 0$ seulement (pas de source à l'infini) : $φ_{2} (x) = A_{t} e^{i k_{2} x}$ avec $k_{2} = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ .

Exemple 3.4Solution de la marche pour

E > V_{0}

Établir les amplitudes réfléchie et transmise. Complément, hors programme MPI : en déduire $R$ et $T$ et vérifier $R + T = 1$ .

Démonstration

Les conditions de raccordement en $x = 0$ donnent :

$φ_{1} (0) = φ_{2} (0) : A_{i} + A_{r} = A_{t}, φ_{1}^{'} (0) = φ_{2}^{'} (0) : i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = i k_{2} A_{t} .$

En éliminant $A_{t} = A_{i} + A_{r}$ dans la seconde équation : $k_{1} (A_{i} - A_{r}) = k_{2} (A_{i} + A_{r})$ , d'où

$\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}, \frac{A _{t}}{A _{i}} = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}} .$

L'amplitude réfléchie est non nulle dès que $k_{1} \neq = k_{2}$ : c'est le résultat exigible en MPI.

(Complément, hors programme MPI.) On en déduit

$R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}, T = \frac{k _{2}}{k _{1}} (\frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}})^{2} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} .$

On vérifie $R + T = \frac{( k _{1} - k _{2} ) ^{2} + 4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = \frac{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = 1$ .

ImportantRéflexion quantique sur une marche

Le résultat majeur est que l'onde réfléchie existe, $A_{r} \neq = 0$ (soit $R \neq = 0$ avec le coefficient défini en complément), dès que $k_{1} \neq = k_{2}$ , c'est-à-dire dès que $V_{0} \neq = 0$ , même si $E > V_{0}$ . Classiquement, une particule d'énergie suffisante passe toujours ( $R = 0$ ) : elle est simplement ralentie. Quantiquement, toute variation brutale du potentiel réfléchit partiellement l'onde, exactement comme une onde lumineuse à l'interface entre deux milieux d'indices différents. Le rapport $\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ est d'ailleurs l'analogue du coefficient de réflexion en amplitude $\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ de l'optique (Fresnel, en incidence normale).

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