Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel

Cours complet · physique quantique (MPI), chapitre 3 · CPGE MPI (2e année)

« Ce qui est impossible en mécanique classique n'est que peu probable en mécanique quantique. »

Le chapitre précédent a établi la fonction d'onde d'une particule libre, c'est-à-dire évoluant dans un potentiel uniforme. Nous abordons ici la situation physiquement centrale du programme MPI : une particule rencontre une variation brutale du potentiel. Deux modèles élémentaires, la marche et la barrière, suffisent à faire apparaître des comportements sans aucun équivalent classique : réflexion partielle sur un obstacle franchissable, pénétration dans une région interdite (onde évanescente) et, plus spectaculaire encore, la traversée d'une barrière alors même que l'énergie de la particule est inférieure à sa hauteur — l'effet tunnel. Ces résultats gouvernent la radioactivité $α$ , le microscope à effet tunnel, les diodes tunnel et la fusion stellaire.

Conformément à l'esprit du programme, l'accent est mis sur l'interprétation des résultats et l'exploitation des formules, plus que sur la lourdeur algébrique du cas de la barrière.

3.1 Position du problème et outils

3.1.1 Potentiels constants par morceaux

On modélise l'action du milieu sur la particule par une énergie potentielle $V (x)$ constante par morceaux : le demi-espace ou la zone étudiée est découpé en régions où $V$ prend une valeur fixe, avec des discontinuités localisées. Ce n'est qu'une idéalisation — un vrai profil varie continûment — mais elle rend les calculs analytiquement solubles tout en conservant l'essentiel de la physique.

Dans chaque région où $V (x) = V_{0}$ (constante), on cherche les états stationnaires $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , dont la partie spatiale obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + V_{0} φ (x) = E φ (x) ⟺ \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ .$

Définition 3.1Régime propagatif et régime évanescent

Selon le signe de $E - V_{0}$ dans une région, la solution change de nature :

si $E > V_{0}$ , on pose $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = - k^{2} φ$ : les solutions sont des ondes planes $e^{\pm i k x}$ (régime propagatif) ;
si $E < V_{0}$ , on pose $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} > 0$ et $φ^{''} = + κ^{2} φ$ : les solutions sont des exponentielles réelles $e^{\pm κ x}$ (régime évanescent).

3.1.2 Conditions de raccordement

Aux points de discontinuité de $V$ , on ne peut pas résoudre l'équation localement ; on raccorde les solutions des différentes régions. Les conditions, admises, traduisent la régularité imposée par l'équation de Schrödinger.

ImportantContinuité de

φ

φ^{'}

En tout point $x_{0}$ où $V$ présente une discontinuité finie, la fonction d'onde spatiale $φ$ et sa dérivée première $φ^{'}$ sont continues :

$φ (x_{0}^{-}) = φ (x_{0}^{+}), φ^{'} (x_{0}^{-}) = φ^{'} (x_{0}^{+}) .$

La continuité de $φ$ assure une densité de présence $∣ φ ∣^{2}$ bien définie ; celle de $φ^{'}$ découle de ce que $φ^{''}$ ne peut avoir qu'une discontinuité finie (car $V$ est fini). Ces deux conditions à chaque interface fournissent exactement le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les amplitudes.

iRemarque

Si $V$ devient infini (marche ou puits infini, chapitre suivant), la continuité de $φ^{'}$ tombe : seule $φ$ reste continue et s'annule à la paroi.

3.1.3 Courant de probabilité et coefficients $R$ et $T$

Pour quantifier « ce qui passe » et « ce qui rebrousse chemin », on utilise le courant de probabilité, admis pour un état stationnaire.

Proposition 3.2Densité de courant de probabilité à une dimension

Pour une fonction d'onde $φ (x)$ , le courant de probabilité est

$J = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} \frac{d φ}{d x}) .$

Pour une onde plane $φ (x) = A e^{i k x}$ , on obtient $J = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2} = v ∣ A ∣^{2}$ , produit de la vitesse $v = ℏ k / m$ par la densité $∣ A ∣^{2}$ : c'est un flux de probabilité. En régime stationnaire à une dimension, $J$ est indépendant de $x$ (conservation du courant), ce qui traduit la conservation locale de la probabilité.

On envoie une onde incidente d'amplitude $A_{i}$ depuis $x \to - \infty$ . Une partie est réfléchie (amplitude $A_{r}$ , même région), une partie est transmise (amplitude $A_{t}$ , région de sortie).

Définition 3.3Coefficients de réflexion et de transmission

On définit

$R = \frac{∣ J _{r e ˊ fl e ˊ chi} ∣}{∣ J _{incident} ∣}, T = \frac{∣ J _{transmis} ∣}{∣ J _{incident} ∣} .$

La conservation du courant impose

$R + T = 1 .$

$R$ et $T$ s'interprètent comme les probabilités que la particule soit respectivement réfléchie et transmise.

Attention

$T$ n'est pas le simple rapport $∣ A_{t} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ des modules carrés : il faut pondérer par les vitesses (donc les vecteurs d'onde) de part et d'autre. On a $R = ∣ A_{r} ∣^{2} / ∣ A_{i} ∣^{2}$ (même vitesse), mais $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} \frac{∣ A _{t} ∣ ^{2}}{∣ A _{i} ∣ ^{2}}$ lorsque les vecteurs d'onde diffèrent ( $k_{1}$ à l'entrée, $k_{2}$ à la sortie).

3.2 Marche de potentiel

On considère une marche montante située en $x = 0$ :

$V (x) = {0 V_{0} > 0 si x < 0 (r e ˊ gion 1), si x > 0 (r e ˊ gion 2) .$

3.2.1 Cas $E > V_{0}$ : réflexion partielle

Dans la région 1, $φ_{1} (x) = A_{i} e^{i k_{1} x} + A_{r} e^{- i k_{1} x}$ avec $k_{1} = 2 m E /ℏ$ . Dans la région 2, l'onde transmise se propage vers les $x > 0$ seulement (pas de source à l'infini) : $φ_{2} (x) = A_{t} e^{i k_{2} x}$ avec $k_{2} = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ .

Exemple 3.4Coefficients de la marche pour

E > V_{0}

Établir $R$ et $T$ et vérifier $R + T = 1$ .

Démonstration

Les conditions de raccordement en $x = 0$ donnent :

$φ_{1} (0) = φ_{2} (0) : A_{i} + A_{r} = A_{t}, φ_{1}^{'} (0) = φ_{2}^{'} (0) : i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = i k_{2} A_{t} .$

En éliminant $A_{t} = A_{i} + A_{r}$ dans la seconde équation : $k_{1} (A_{i} - A_{r}) = k_{2} (A_{i} + A_{r})$ , d'où

$\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}, \frac{A _{t}}{A _{i}} = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}} .$

On en déduit

$R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}, T = \frac{k _{2}}{k _{1}} (\frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}})^{2} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} .$

On vérifie $R + T = \frac{( k _{1} - k _{2} ) ^{2} + 4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = \frac{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = 1$ .

ImportantRéflexion quantique sur une marche

Le résultat majeur est que $R \neq = 0$ dès que $k_{1} \neq = k_{2}$ , c'est-à-dire dès que $V_{0} \neq = 0$ , même si $E > V_{0}$ . Classiquement, une particule d'énergie suffisante passe toujours ( $R = 0$ ) : elle est simplement ralentie. Quantiquement, toute variation brutale du potentiel réfléchit partiellement l'onde, exactement comme une onde lumineuse à l'interface entre deux milieux d'indices différents. La formule $(\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}$ est d'ailleurs l'analogue du coefficient de Fresnel en amplitude.

iRemarque

Ce phénomène subsiste pour une marche descendante ( $V_{0} < 0$ ) : la particule accélère mais est encore partiellement réfléchie. Seule compte la discontinuité, pas son signe.

3.2.2 Cas $E < V_{0}$ : onde évanescente et réflexion totale

Si $E < V_{0}$ , la région 2 est classiquement interdite. Le vecteur d'onde $k_{2}$ devient imaginaire pur : posons $k_{2} = i κ$ avec $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ . La solution $e^{i k_{2} x} = e^{- κ x}$ ne diverge pas, on la retient ; l'autre, $e^{+ κ x}$ , exploserait en $+ \infty$ et est rejetée. Ainsi :

$φ_{2} (x) = A_{t} e^{- κ x} (x > 0) : onde e ˊ vanescente .$

Exemple 3.5Marche avec

E < V_{0}

: réflexion totale et pénétration

Montrer que $R = 1$ tout en admettant une pénétration non nulle de la fonction d'onde dans la zone interdite.

Démonstration

On reprend le raccordement en remplaçant $k_{2} \to i κ$ :

$A_{i} + A_{r} = A_{t}, i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = - κ A_{t} .$

D'où $\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{k _{1} - i κ}{k _{1} + i κ}$ . Ce nombre complexe a pour module $1$ : $R = ∣ A_{r} / A_{i} ∣^{2} = 1$ . Toute la probabilité est réfléchie. Le courant transmis est nul car $φ_{2}$ est réelle à une phase globale près : $J_{2} = \frac{ℏ}{m} Im (φ_{2}^{*} φ_{2}^{'}) = 0$ , donc $T = 0$ et $R + T = 1$ est bien respecté.

Pourtant, la densité de présence dans la zone interdite n'est pas nulle :

$∣ φ_{2} (x) ∣^{2} = ∣ A_{t} ∣^{2} e^{- 2 κ x} \neq = 0.$

La particule pénètre sur une profondeur caractéristique $δ = \frac{1}{2 κ} = \frac{ℏ}{2 2 m ( V _{0} - E )}$ avant que l'onde ne s'éteigne.

ImportantUn comportement non classique

Deux ruptures avec la mécanique classique :

la particule est certainement réfléchie ( $R = 1$ ), comme classiquement, mais avec un déphasage à la réflexion (le coefficient $A_{r} / A_{i}$ est complexe) ;
il existe une probabilité non nulle de trouver la particule dans la région interdite $x > 0$ , sur une épaisseur $\sim δ$ . Classiquement, $E_{c} = E - V_{0} < 0$ y serait absurde. C'est cette pénétration qui, appliquée à une barrière d'épaisseur finie, engendre l'effet tunnel.

Capacité numérique : profondeur de pénétration

Estimons la profondeur de pénétration $δ = 1/ (2 κ)$ pour un électron face à une marche telle que $V_{0} - E = 1 e V$ .


import numpy as np

hbar = 1.054e-34      # J.s
m    = 9.109e-31      # masse de l'electron (kg)
eV   = 1.602e-19      # 1 eV en joules

def profondeur(dV_eV):
    """Profondeur de penetration delta = 1/(2 kappa) en metres."""
    dV = dV_eV * eV
    kappa = np.sqrt(2 * m * dV) / hbar
    return 1.0 / (2 * kappa)

for dV in (0.1, 1.0, 5.0):
    print(f"V0 - E = {dV:4.1f} eV  ->  delta = {profondeur(dV)*1e9:6.3f} nm")
# V0 - E = 1.0 eV -> delta   0.098 nm : quelques dixiemes de nm, echelle atomique

La pénétration est de l'ordre de l'angström : microscopique, mais suffisante pour qu'une barrière atomiquement fine soit franchie par effet tunnel.

3.3 Barrière de potentiel et effet tunnel

On superpose maintenant deux marches : une barrière rectangulaire de hauteur $V_{0}$ et de largeur $a$ :

$V (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 V_{0} 0 x < 0 (r e ˊ gion 1), 0 < x < a (r e ˊ gion 2), x > a (r e ˊ gion 3) .$

On s'intéresse au cas tunnel $0 < E < V_{0}$ : classiquement la particule incidente rebrousse toujours chemin ( $T = 0$ ). Quantiquement, l'onde évanescente n'a pas le temps de s'éteindre complètement sur la largeur $a$ et « ressort » de l'autre côté avec une amplitude réduite mais non nulle.

3.3.1 Structure des solutions

$φ_{1} = A_{i} e^{i k x} + A_{r} e^{- i k x}, φ_{2} = B e^{- κ x} + C e^{+ κ x}, φ_{3} = A_{t} e^{i k x},$

avec $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ et $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ . Dans la région 2, les deux exponentielles sont conservées car la région est bornée : aucune ne diverge. Il y a deux interfaces ( $x = 0$ et $x = a$ ), donc quatre équations de raccordement pour quatre rapports d'amplitude — le calcul est lourd (non exigible), on en donne le résultat.

Proposition 3.6Coefficient de transmission exact de la barrière

Pour $0 < E < V_{0}$ , le coefficient de transmission vaut

$T = [1 + \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh^{2} (κa)]^{- 1}, κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} .$

Il décroît lorsque la hauteur $V_{0}$ ou la largeur $a$ de la barrière augmente, et tend vers $1$ quand $E \to V_{0}^{-}$ .

3.3.2 Barrière épaisse : la formule à retenir

Méthode : Approximation de barrière épaisse (ou opaque)

Lorsque la barrière est « épaisse », au sens $κa ≫ 1$ , on a $sinh (κa) ≃ \frac{1}{2} e^{κa}$ , donc $sinh^{2} (κa) ≃ \frac{1}{4} e^{2 κa} ≫ 1$ . Le terme $1$ est négligeable devant le second et

$T ≃ \frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} e^{- 2 κa} soit, en ordre de grandeur T \sim e^{- 2 κa} .$

ImportantSensibilité exponentielle

Le facteur dominant est l'exponentielle $e^{- 2 κa}$ : la transmission décroît exponentiellement avec

la largeur $a$ de la barrière ;
la racine du déficit d'énergie $V_{0} - E$ ;
la racine de la masse $m$ : un proton ( $\approx 1836 m_{e}$ ) traverse $1836 \approx 43$ fois moins facilement qu'un électron dans les mêmes conditions. L'effet tunnel est donc essentiellement un phénomène d'objets légers.

Cette dépendance exponentielle explique la sensibilité extrême du microscope à effet tunnel (le courant varie d'un ordre de grandeur quand la pointe s'éloigne d'un seul angström) et l'étalement gigantesque des durées de vie en radioactivité $α$ .

Exemple 3.7Transmission d'un électron à travers une barrière

Un électron d'énergie $E = 1 e V$ arrive sur une barrière de hauteur $V_{0} = 2 e V$ et de largeur $a = 0.5 nm$ . Estimer $T$ .

Démonstration

On calcule d'abord $κ$ :

$κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} = \frac{2 \times 9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31} \times 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 05 \cdot 1 0 ^{- 34}} \approx 5, 1 \cdot 1 0^{9} m^{- 1} .$

Alors $κa \approx 5, 1 \cdot 1 0^{9} \times 0, 5 \cdot 1 0^{- 9} \approx 2, 6$ (barrière modérément épaisse), et $2 κa \approx 5, 1$ . Le préfacteur vaut $\frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} = \frac{16 \times 1 \times 1}{4} = 4$ , donc

$T \approx 4 e^{- 5, 1} \approx 4 \times 6, 1 \cdot 1 0^{- 3} \approx 2, 4 \cdot 1 0^{- 2} .$

Environ $2, 4 %$ des électrons traversent : faible, mais parfaitement mesurable. La formule brute $e^{- 2 κa} \approx 6 \cdot 1 0^{- 3}$ donne le bon ordre de grandeur.

Capacité numérique : $T$ en fonction de la largeur et de l'énergie

Traçons $T (a)$ et comparons formule exacte et formule approchée : la décroissance exponentielle apparaît comme une droite en échelle logarithmique.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

hbar = 1.054e-34; m = 9.109e-31; eV = 1.602e-19

def T_exact(E, V0, a):
    E, V0 = E*eV, V0*eV
    kappa = np.sqrt(2*m*(V0 - E))/hbar
    return 1.0/(1 + V0**2/(4*E*(V0 - E)) * np.sinh(kappa*a)**2)

def T_approx(E, V0, a):
    E, V0 = E*eV, V0*eV
    kappa = np.sqrt(2*m*(V0 - E))/hbar
    return 16*E*(V0 - E)/V0**2 * np.exp(-2*kappa*a)

a = np.linspace(0.1e-9, 1.0e-9, 200)
plt.semilogy(a*1e9, T_exact(1.0, 2.0, a), label="exact")
plt.semilogy(a*1e9, T_approx(1.0, 2.0, a), '--', label="approx epaisse")
plt.xlabel("largeur a (nm)"); plt.ylabel("T")
plt.title("Transmission tunnel : E=1 eV, V0=2 eV")
plt.legend(); plt.grid(True, which="both"); plt.show()
# La pente en echelle log vaut -2*kappa/ln(10) : signature de l'effet tunnel.

On observe une droite en échelle logarithmique (loi $e^{- 2 κa}$ ) et la coïncidence de l'approximation avec l'exact dès que $κa ≳ 2$ .

3.3.3 Applications de l'effet tunnel

ImportantTrois applications emblématiques

[Radioactivité $α$ (Gamow, 1928).] Une particule $α$ est piégée dans le noyau par la barrière coulombienne. Sa faible probabilité de traverser par effet tunnel, exponentiellement sensible à l'énergie, explique l'écart colossal des durées de vie ( $1 0^{- 7}$ s à $1 0^{17}$ ans) : c'est la loi de Geiger--Nuttall.
[Microscope à effet tunnel (STM, 1981).] Une pointe conductrice est approchée à quelques angströms d'une surface ; les électrons franchissent le vide (barrière de potentiel) par effet tunnel. Le courant, en $e^{- 2 κa}$ , varie d'un facteur $\sim 10$ par angström, offrant une résolution atomique (prix Nobel 1986 à Binnig et Rohrer).
[Jonction et diode tunnel.] Dans une jonction semi-conductrice mince ou une jonction Josephson supraconductrice, les porteurs traversent une fine barrière isolante par effet tunnel, à la base de composants électroniques rapides.

La fusion thermonucléaire dans les étoiles repose elle aussi sur l'effet tunnel : les protons franchissent leur répulsion coulombienne bien qu'ils n'aient pas l'énergie classique suffisante.

3.4 Synthèse

Méthode générale. Dans chaque région où $V$ est constant, écrire $φ$ comme onde plane $e^{\pm i k x}$ (si $E > V$ ) ou exponentielle réelle $e^{\pm κ x}$ (si $E < V$ ), avec

$k = \frac{2 m ( E - V )}{ℏ}, κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ} .$

Raccorder $φ$ et $φ^{'}$ à chaque interface (discontinuité finie de $V$ ). Rejeter toute exponentielle divergente dans une région non bornée.

Coefficients. $R = ∣ A_{r} / A_{i} ∣^{2}$ et $T$ via les courants de probabilité $J = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} φ^{'})$ ; toujours $R + T = 1$ .
Marche, $E > V_{0}$ . $R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2} \neq = 0$ : réflexion partielle quantique même quand la particule a l'énergie de passer.
Marche, $E < V_{0}$ . $R = 1$ (réflexion totale) mais onde évanescente $e^{- κ x}$ : pénétration sur $δ = 1/ (2 κ)$ dans la zone classiquement interdite.
Barrière, $E < V_{0}$ = effet tunnel. $T \neq = 0$ : la particule traverse. Barrière épaisse ( $κa ≫ 1$ ) :

$T ≃ \frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} e^{- 2 κa} \sim e^{- 2 κa} .$

Décroissance exponentielle en $a$ , en $V_{0} - E$ et en $m$ .

Applications. Radioactivité $α$ , microscope à effet tunnel (STM), diodes/jonctions tunnel, fusion stellaire.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.5 Exercices résolus

Exemple 3.8Continuité et rejet des solutions divergentes

Une particule d'énergie $E < V_{0}$ est dans la région $x > 0$ où $V = V_{0}$ , non bornée vers $+ \infty$ . Justifier la forme $φ (x) = A e^{- κ x}$ .

Démonstration

La solution générale est $φ = A e^{- κ x} + B e^{+ κ x}$ . Comme la région s'étend jusqu'à $+ \infty$ , le terme $B e^{+ κ x}$ diverge et rend $\int ∣ φ ∣^{2} d x$ infini : il est physiquement inacceptable, donc $B = 0$ . Il reste l'onde évanescente $A e^{- κ x}$ , de carré intégrable sur $[0, + \infty [$ .

Exemple 3.9Déphasage à la réflexion sur une marche

E < V_{0}

Calculer la phase du coefficient de réflexion $r = A_{r} / A_{i} = \frac{k _{1} - i κ}{k _{1} + i κ}$ .

Démonstration

Écrivons $k_{1} - i κ = ρ e^{- i θ}$ avec $ρ = k_{1}^{2} + κ^{2}$ et $tan θ = κ / k_{1}$ . Alors $k_{1} + i κ = ρ e^{+ i θ}$ et

$r = \frac{ρ e ^{- i θ}}{ρ e ^{+ i θ}} = e^{- 2 i θ}, ∣ r ∣ = 1, ar g r = - 2 θ = - 2 arctan \frac{κ}{k _{1}} .$

La réflexion est totale ( $∣ r ∣ = 1$ ) mais s'accompagne d'un déphasage $- 2 arctan (κ / k_{1})$ , contrairement à la réflexion classique. Ce déphasage dépend de l'énergie, ce qui décale la position des ventres de l'onde stationnaire en amont de la marche.

Exemple 3.10Épaisseur pour diviser

T

par 10 dans un STM

Dans un STM, la barrière du vide a une hauteur effective $V_{0} - E \approx 4 e V$ . De combien faut-il éloigner la pointe pour que le courant tunnel soit divisé par 10 ?

Démonstration

Le courant est $\propto T \sim e^{- 2 κa}$ , donc $ln 10 = 2 κ Δ a$ , soit $Δ a = \frac{ln 10}{2 κ}$ . Or

$κ = \frac{2 m \times 4 eV}{ℏ} = \frac{2 \times 9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31} \times 6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 05 \cdot 1 0 ^{- 34}} \approx 1, 0 \cdot 1 0^{10} m^{- 1} .$

D'où $Δ a = \frac{2 , 30}{2 \times 1 , 0 \cdot 1 0 ^{10}} \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 10} m \approx 1 A ˚$ . Un seul angström de recul divise le courant par 10 : d'où la résolution verticale sub-atomique du STM.

Exemple 3.11Vérification

R + T = 1

pour la barrière

À partir de la formule exacte de $T$ , exprimer $R$ et vérifier $R + T = 1$ sans recalculer les amplitudes.

Démonstration

La conservation du courant en régime stationnaire impose directement $R = 1 - T$ . Avec $T = [1 + \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh^{2} (κa)]^{- 1}$ , on a

$R = 1 - T = \frac{\frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh ^{2} ( κa )}{1 + \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh ^{2} ( κa )} .$

Aucun courant ne se « perd » : ce qui n'est pas transmis est réfléchi. Cette relation dispense de calculer explicitement $A_{r}$ , souvent la partie la plus pénible du problème.

Exemple 3.12Comparaison électron / proton

À $V_{0} - E$ et $a$ fixés, comparer les transmissions tunnel d'un électron et d'un proton.

Démonstration

Le facteur dominant est $e^{- 2 κa}$ avec $κ \propto m$ . Le rapport des exposants est $m_{p} / m_{e} = 1836 \approx 42, 8$ . Ainsi $ln T_{p} \approx 42, 8 ln T_{e}$ , c'est-à-dire que pour une même barrière, si $T_{e} = 1 0^{- 2}$ , alors $T_{p} \approx 1 0^{- 2 \times 42, 8} = 1 0^{- 85, 6}$ : rigoureusement inobservable. L'effet tunnel est donc réservé, en pratique, aux particules légères (électrons) ou aux barrières nucléaires très minces.

Exemple 3.13Limite

E \to V_{0}

de la barrière

Que devient $T$ quand $E \to V_{0}^{-}$ ? Interpréter.

Démonstration

Quand $E \to V_{0}$ , $κ \to 0$ , donc $sinh (κa) \to κa$ et $sinh^{2} (κa) \to κ^{2} a^{2} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} a^{2}$ . Le terme

$\frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh^{2} (κa) \to \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} \cdot \frac{2 m ( V _{0} - E ) a ^{2}}{ℏ ^{2}} = \frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}} (fini),$

donc $T \to [1 + \frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}}]^{- 1}$ , valeur finie non nulle. La transmission reste inférieure à 1 même à la « crête » de la barrière : il subsiste une réflexion quantique, en continuité avec le cas de la marche $E > V_{0}$ .

3.6 Exercices d'entraînement

Marche descendante. Une particule d'énergie $E$ aborde une marche descendante ( $V$ passe de $0$ à $- V_{0} < 0$ ). Établir $R$ et $T$ et montrer que $R \neq = 0$ : commenter l'analogie optique.
Vitesses et courant. Vérifier explicitement que pour la marche $E > V_{0}$ , le rapport $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ A_{t} / A_{i} ∣^{2}$ redonne bien $\frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}$ .
Profondeur de pénétration. Pour un neutron thermique ( $E \approx 25 m e V$ ) face à une marche telle que $V_{0} - E = 1 e V$ , calculer $δ = 1/ (2 κ)$ et comparer à la taille d'un noyau ( $\sim 1 f m$ ).
Onde stationnaire partielle. Dans la région $x < 0$ d'une marche $E < V_{0}$ , montrer que $∣ φ_{1} (x) ∣^{2}$ présente des oscillations (interférence incident/réfléchi) et exprimer le contraste. En déduire pourquoi $R = 1$ n'interdit pas ces franges.
Continuité de $J$ . Montrer, à partir de l'équation de Schrödinger stationnaire, que $\frac{d J}{d x} = 0$ dans toute région où $V$ est réel.
Barrière fine. Développer $T$ exact au premier ordre en $κa$ (barrière mince, $κa ≪ 1$ ) et montrer que $T \to 1$ .
Application numérique STM. Pour $V_{0} - E = 4.5 e V$ et une distance pointe--surface $a = 0.6 nm$ , estimer $T$ pour un électron, puis le facteur de variation du courant si la distance augmente de $0.1 nm$ .
Double barrière (qualitatif). On place deux barrières identiques séparées par un puits. Expliquer qualitativement pourquoi certaines énergies donnent $T \approx 1$ (transmission résonnante).
Radioactivité $α$ (Gamow simplifié). On modélise la barrière coulombienne par une barrière rectangulaire équivalente de hauteur $V_{0}$ et largeur $a$ . Exprimer $ln T$ en fonction de $E$ et retrouver la dépendance de la durée de vie $τ \propto 1/ T$ avec l'énergie $E$ de la particule $α$ .
Barrière et masse effective. Un électron de masse effective $m^{⋆} = 0, 2 m_{e}$ dans un semi-conducteur traverse une barrière isolante. Comparer $T$ à celui d'un électron libre de masse $m_{e}$ dans la même barrière.
Symétrie du problème. Montrer que pour une barrière symétrique, $T$ est le même que l'onde arrive par la gauche ou par la droite (réciprocité).
Estimation d'énergie par Heisenberg. Pour une particule qui pénètre sur $δ$ dans la zone interdite, relier $δ$ à l'incertitude en position et retrouver, via $Δ p Δ x ≳ ℏ$ , l'ordre de grandeur du « déficit » d'énergie $V_{0} - E$ .

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Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel

3.1 Position du problème et outils

3.1.1 Potentiels constants par morceaux

3.1.2 Conditions de raccordement

3.1.3 Courant de probabilité et coefficients R et T

3.2 Marche de potentiel

3.2.1 Cas E>V0​ : réflexion partielle

3.2.2 Cas E<V0​ : onde évanescente et réflexion totale

Capacité numérique : profondeur de pénétration

3.3 Barrière de potentiel et effet tunnel

3.3.1 Structure des solutions

3.3.2 Barrière épaisse : la formule à retenir

Méthode : Approximation de barrière épaisse (ou opaque)

Capacité numérique : T en fonction de la largeur et de l'énergie

3.3.3 Applications de l'effet tunnel

3.4 Synthèse

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.5 Exercices résolus

3.6 Exercices d'entraînement

3.1.3 Courant de probabilité et coefficients $R$ et $T$

3.2.1 Cas $E > V_{0}$ : réflexion partielle

3.2.2 Cas $E < V_{0}$ : onde évanescente et réflexion totale

Capacité numérique : $T$ en fonction de la largeur et de l'énergie