Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires

Cours · physique quantique (MPI), chapitre 4 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le puits de potentiel infini : l'énergie est quantifiée, et chaque niveau a sa fonction d'onde stationnaire.

Confiner une particule dans une boîte de taille $L$ , c'est lui interdire certaines énergies : la quantification n'est pas un postulat, c'est une conséquence du confinement. Ce chapitre en donne le modèle le plus simple et le plus fécond.

Le chapitre précédent a montré qu'une particule quantique pénètre dans les zones classiquement interdites ; nous montrons ici que le confinement quantifie l'énergie. Nous étudions pour cela le modèle idéalisé le plus simple : le puits de potentiel infini à une dimension. Malgré sa simplicité, il capture l'essentiel de la physique du confinement : quantification de l'énergie, énergie minimale non nulle, ondes stationnaires de probabilité. Il permet en outre d'introduire les états non stationnaires, superpositions d'états d'énergie bien définie dont la densité de présence oscille au cours du temps.

4.1 Le modèle du puits de potentiel infini

4.1.1 Définition du potentiel

On considère une particule de masse $m$ astreinte à se déplacer sur un segment de longueur $L$ de l'axe $O x$ . On modélise ce confinement par un potentiel $V (x)$ nul à l'intérieur du segment et infini à l'extérieur : la particule ne peut absolument pas franchir les parois.

Définition 4.1Puits de potentiel infini

Le puits de potentiel infini (ou boîte quantique unidimensionnelle) de largeur $L$ est défini par le potentiel

$V (x) = {0 + \infty si 0 < x < L (int e ˊ rieur du puits), si x \leq 0 ou x \geq L (parois) .$

La particule est confinée : la probabilité de la trouver hors de l'intervalle $[0, L]$ est rigoureusement nulle.

iRemarque

Ce potentiel est une idéalisation. Physiquement, il modélise par exemple un électron piégé dans une nanostructure (boîte ou fil quantique), un électron de conduction dans un petit conducteur, ou encore, en première approche, un nucléon dans un noyau. Les parois « infinies » représentent des barrières de potentiel très hautes devant l'énergie de la particule (voir le modèle des marches finies du chapitre précédent).

4.2 États stationnaires et quantification de l'énergie

4.2.1 Équation de Schrödinger stationnaire

On cherche les états stationnaires de la particule, c'est-à-dire les solutions de l'équation de Schrödinger de la forme

$Ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ},$

pour lesquelles la densité de probabilité $∣ Ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$ est indépendante du temps. La fonction $φ (x)$ est solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} (x) + V (x) φ (x) = E φ (x) .$

ImportantConfinement strict

À l'extérieur du puits, $V = + \infty$ impose $φ (x) = 0$ : la particule ne peut s'y trouver. Par continuité de la fonction d'onde, on obtient les conditions aux limites

$φ (0) = 0 et φ (L) = 0.$

Ce sont ces conditions imposées aux bords qui vont sélectionner les énergies permises.

iRemarque

Contrairement au cas des marches de potentiel finies, on n'impose pas ici la continuité de la dérivée $φ^{'}$ aux parois : le potentiel infini rend cette condition caduque. La fonction d'onde présente une pente non nulle qui se raccorde à zéro à l'extérieur.

4.2.2 Résolution dans le puits

À l'intérieur du puits ( $0 < x < L$ ), $V = 0$ et l'équation devient

$\frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} + k^{2} φ = 0, avec k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} .$

Pour une particule confinée on cherche $E > 0$ , donc $k$ réel. La solution générale est

$φ (x) = A sin (k x) + B cos (k x), (A, B) \in C^{2} .$

Méthode : Application des conditions aux limites

On applique successivement les deux conditions de bord :

En $x = 0$ : $φ (0) = B = 0$ . La solution se réduit à $φ (x) = A sin (k x)$ .
En $x = L$ : $φ (L) = A sin (k L) = 0$ . Comme $A \neq = 0$ (sinon $φ \equiv 0$ , état sans particule), il faut $sin (k L) = 0$ , soit

$k L = nπ, n \in N^{*} .$

Seules les valeurs $k_{n} = nπ / L$ sont autorisées : le vecteur d'onde, donc l'énergie, est quantifié.

4.2.3 Quantification de l'énergie

En reportant $k_{n} = nπ / L$ dans $E = ℏ^{2} k^{2} / (2 m)$ , on obtient le spectre d'énergie.

◆Théorème 4.2Niveaux d'énergie du puits infini

Les seules énergies permises pour une particule dans un puits infini de largeur $L$ sont

$E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}, n \in N^{*} .$

L'entier $n$ est le nombre quantique. L'énergie ne peut prendre qu'une suite discrète de valeurs, proportionnelles à $n^{2}$ : les niveaux sont de plus en plus espacés lorsque $n$ croît.

iRemarque

On passe de $ℏ$ à $h$ par $ℏ = h / (2 π)$ , d'où $π^{2} ℏ^{2} = π^{2} h^{2} / (4 π^{2}) = h^{2} /4$ et le facteur $8$ au dénominateur. Les deux écritures sont équivalentes ; la forme en $h^{2} / (8 m L^{2})$ est commode pour les applications numériques.

4.2.4 Fonctions d'onde stationnaires

À chaque énergie $E_{n}$ correspond une fonction d'onde $φ_{n} (x) = A_{n} sin (nπ x / L)$ . La constante $A_{n}$ est fixée par la condition de normalisation : la probabilité de trouver la particule quelque part dans le puits vaut $1$ ,

$\int_{0}^{L} ∣ φ_{n} (x) ∣^{2} d x = 1 ⟹ A_{n}^{2} \int_{0}^{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = A_{n}^{2} \frac{L}{2} = 1.$

On en déduit $A_{n} = 2/ L$ (choisi réel positif).

Proposition 4.3États stationnaires normalisés

Les états stationnaires du puits infini sont, à une phase globale près,

$φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}) (0 \leq x \leq L), Ψ_{n} (x, t) = φ_{n} (x) e^{- i E_{n} t /ℏ} .$

La fonction $φ_{n}$ présente $n - 1$ nœuds intérieurs (points où $φ_{n} = 0$ ) et $n$ ventres. Ces fonctions forment une base orthonormée :

$\int_{0}^{L} φ_{p} (x) φ_{q} (x) d x = δ_{pq} (δ_{pq} = 1 si p = q, 0 sinon) .$

Trois premiers niveaux d'énergie ( $E_{n} \propto n^{2}$ ) et fonctions d'onde associées $φ_{n}$ , tracées à partir de leur niveau.}

Exemple 4.4Trois premiers niveaux et rapports d'énergie

Exprimer $E_{2}$ et $E_{3}$ en fonction de $E_{1}$ , puis les écarts $E_{2} - E_{1}$ et $E_{3} - E_{2}$ .

Démonstration

Comme $E_{n} = n^{2} E_{1}$ avec $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ , on a directement $E_{2} = 4 E_{1}$ et $E_{3} = 9 E_{1}$ . Les écarts valent

$E_{2} - E_{1} = 3 E_{1}, E_{3} - E_{2} = 5 E_{1} .$

Les niveaux s'écartent linéairement : $E_{n + 1} - E_{n} = (2 n + 1) E_{1}$ . Contrairement à l'oscillateur harmonique (niveaux équidistants), le puits infini a des niveaux de plus en plus espacés.

ImportantAnalogies avec d'autres domaines de la physique

La quantification par confinement n'est pas propre à la mécanique quantique : c'est le sort de toute onde enfermée entre deux bords où elle doit s'annuler.

Corde vibrante fixée à ses deux extrémités (corde de Melde, de guitare) : les modes propres $y_{n} (x, t) = Y_{n} sin (nπ x / L) cos (ω_{n} t)$ ont la même forme spatiale que les $φ_{n}$ , avec la même condition $L = n λ_{n} /2$ .
Cavité optique (laser, interféromètre de Fabry-Perot) et tuyau sonore : seules résonnent les longueurs d'onde telles que la longueur de la cavité contienne un nombre entier de demi-longueurs d'onde.

La différence tient à la relation de dispersion. Pour la corde, $ω = c k$ : les fréquences propres $f_{n} = n c / (2 L)$ sont équidistantes. Pour la particule, $ω = ℏ k^{2} / (2 m)$ : les énergies $E_{n} = ℏ ω_{n} \propto n^{2}$ s'écartent de plus en plus. Autre différence : la corde oscille réellement (le déplacement $y_{n}$ change de signe au cours du temps), alors que l'état stationnaire quantique $φ_{n} (x) e^{- i E_{n} t /ℏ}$ ne fait que tourner sa phase globale : sa densité de présence $∣ φ_{n} ∣^{2}$ est indépendante du temps.

4.3 Propriétés physiques des états stationnaires

4.3.1 Énergie minimale non nulle

Le nombre quantique $n$ commence à $1$ (car $n = 0$ donnerait $φ \equiv 0$ , absence de particule). L'énergie la plus basse accessible est donc

$E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{h ^{2}}{8 m L ^{2}} > 0.$

ImportantÉnergie de point zéro et principe de Heisenberg

Une particule confinée ne peut pas être au repos : son énergie minimale $E_{1}$ est strictement positive. Ce résultat s'interprète par l'inégalité de Heisenberg spatiale. La particule est localisée sur $Δ x \sim L$ , donc son impulsion présente une dispersion $Δ p ≳ ℏ/ (2Δ x) \sim ℏ/ L$ . L'énergie cinétique associée est de l'ordre de

$E \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m} \sim \frac{ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}},$

soit l'ordre de grandeur de $E_{1}$ (le calcul exact, $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ , fixe le préfacteur $π^{2} \approx 10$ , que l'estimation ne prétend pas donner). Plus le confinement est fort (petit $L$ ), plus l'énergie minimale est élevée : c'est la « pression quantique » du confinement.

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