Mesure et incertitudes
Cours complet · physique (seconde), chapitre 1 · seconde générale, physique-chimie
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Mesurer une grandeur physique ne donne jamais « la » valeur exacte : en répétant la mesure, on obtient des valeurs légèrement différentes. Ce chapitre, transversal à toute la physique-chimie, apprend à décrire cette variabilité, à en estimer l'incertitude, et à écrire correctement un résultat de mesure.
1.1 Variabilité d'une mesure
Lorsqu'on mesure plusieurs fois la même grandeur dans les mêmes conditions, on obtient une série de mesures dont les valeurs fluctuent. Cette variabilité provient de l'instrument, du protocole et de l'expérimentateur.
Pour une série de mesures :
La moyenne donne la meilleure estimation de la grandeur ; l'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne. Pour une série de mesures expérimentales, on divise par : c'est l'écart-type expérimental, obtenu sur les calculatrices par la touche (ou s).
On visualise la répartition des mesures par un histogramme : on regroupe les valeurs par classes et on trace un rectangle par classe, de hauteur proportionnelle à l'effectif.
L'histogramme montre d'un coup d'œil ce que résument les deux nombres : la position de la série (sa moyenne , en rouge) et sa largeur (l'écart-type ).
Méthode : Exploiter une série de mesures
- calculer la moyenne (meilleure estimation de la grandeur) ;
- calculer l'écart-type et tracer l'histogramme pour apprécier la dispersion ;
- une dispersion plus faible (série resserrée) traduit une mesure plus fidèle.
Deux séries de même moyenne (trait rouge) mais de dispersions très différentes : la moyenne seule ne dit rien de la qualité de la mesure, il faut lui adjoindre l'écart-type.
Changer d'instrument (plus ou moins précis) ou modifier le protocole modifie la dispersion de la série. Un bon protocole vise à réduire cette dispersion.
Un tableur — ou le langage Python — permet de saisir la série, de calculer moyenne et écart-type, et de tracer l'histogramme associé.
Capacité numérique (Python). Représenter l'histogramme d'une série de mesures et sa moyenne :
import matplotlib.pyplot as plt
mesures = [12.1, 12.3, 12.0, 12.4, 12.2, 12.1, 12.3, 12.2]
moyenne = sum(mesures) / len(mesures)
plt.hist(mesures, bins=5, edgecolor="black") # histogramme
plt.axvline(moyenne, color="red", label="moyenne")
plt.xlabel("valeur mesurée")
plt.ylabel("effectif")
plt.legend()
plt.show()1.2 Incertitude-type
L'incertitude-type sur une grandeur mesurée est une estimation de l'étendue des valeurs que l'on peut raisonnablement lui attribuer. Pour une série de mesures, on l'évalue par une approche statistique. L'incertitude-type sur la moyenne se calcule par
où est l'écart-type de la série et le nombre de mesures.
Plus l'incertitude-type est petite, plus la mesure est précise. Elle ne « corrige » pas la mesure : elle indique l'intervalle dans lequel se situe vraisemblablement la vraie valeur.
1.3 Écriture du résultat et valeur de référence
Méthode : Écrire le résultat d'une mesure
On écrit le résultat sous la forme
en gardant un nombre de chiffres significatifs adapté à l'incertitude : il est inutile d'afficher plus de décimales que ne le permet la précision de la mesure.
Une valeur de référence est une valeur admise (tabulée) de la grandeur. On compare la mesure à cette référence : si l'écart entre la valeur mesurée et la valeur de référence reste de l'ordre de l'incertitude (ou plus petit), les deux valeurs sont dites compatibles ; sinon, elles ne le sont pas.
On mesure la masse volumique d'un liquide : avec une incertitude-type . On écrit . La valeur de référence de l'eau étant , l'écart () est plus petit que l'incertitude : la mesure est compatible avec de l'eau.
La valeur de référence tombe dans l'intervalle : les deux valeurs sont compatibles. Si le trait vert tombait à l'extérieur, la mesure serait à remettre en cause.