Cinétique des Solides et des Systèmes

2.1 Torseur cinétique d'un solide

La cinétique fait le pont entre la cinématique, qui ne connaît que des vitesses, et la dynamique, qui a besoin d'inertie : elle pondère chaque point du solide par sa masse. Le torseur cinétique est le résultat de cette pondération.

Sa résultante $\overrightarrow{P}$ ne retient du mouvement que celui du centre d'inertie — toute la répartition de masse y disparaît. C'est le moment $\overrightarrow{\sigma }$ qui porte l'information de forme, et c'est pour cela que la suite du chapitre lui est consacrée. Que les deux se transportent comme un torseur n'est pas une commodité de notation : c'est ce qui autorise à choisir librement le point de réduction, et donc à le choisir là où le calcul est le plus simple.

2.2 Calcul du moment cinétique d'un solide

L'expression $\overrightarrow{\sigma }=[I]\overrightarrow{\Omega }$ est la raison d'être de la matrice d'inertie : elle transforme une intégrale sur tout le solide en un produit matriciel. Mais elle a un prix, et c'est la faute la plus fréquente du chapitre.

2.3 Cinétique d'un ensemble de solides

L'additivité paraît évidente et elle l'est — à une condition qu'on oublie souvent : les torseurs ne s'additionnent que réduits au même point. Sommer un moment cinétique écrit en $G_1$ et un autre écrit en $G_2$ n'a aucun sens ; il faut d'abord transporter chacun au point commun choisi.

Cette remarque a une conséquence pratique dans les mécanismes en chaîne, où chaque solide a son propre centre d'inertie : le point de réduction se choisit une fois pour toutes au début, généralement un point fixe du bâti, et tous les torseurs y sont ramenés avant la moindre addition.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.4 Exercices résolus

Exercice 2.1 : Disque en rotation pure autour d'un axe fixe

Un disque homogène $(S)$ de masse $m$, rayon $R$, tourne à la vitesse angulaire $\omega (t)$ autour de son axe $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$ fixe dans $R$. Exprimer $\{\mathcal{C}(S/R){\}}_O$.

Démonstration

Le centre d'inertie $G=O$ est fixe, donc $\overrightarrow{V}(G/R)=\overrightarrow{0}⟹\overrightarrow{P}(S/R)=\overrightarrow{0}$. La matrice d'inertie est $[I(O,S)]=\mathrm{diag}(\frac{1}{4}m{R}^2,\frac{1}{4}m{R}^2,\frac{1}{2}m{R}^2)$ et $\overrightarrow{\Omega }(S/R)=\omega {\overrightarrow{e}}_z$. Le moment cinétique en $O$ est $\overrightarrow{\sigma }(O,S/R)=[I(O,S)](\omega {\overrightarrow{e}}_z)=\frac{1}{2}m{R}^2\omega {\overrightarrow{e}}_z$. Le torseur cinétique s'écrit : $\{\mathcal{C}(S/R){\}}_O={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ \frac{1}{2}m{R}^2\omega {\overrightarrow{e}}_z\end{array}\right\}}_O$.

Exercice 2.2 : Pendule pesant plan

Une tige homogène $OA$ de masse $m$, longueur $L$, oscille d'un angle $\theta (t)$ autour de l'axe horizontal $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$. Calculer $\overrightarrow{\sigma }(O,S/R)$ et $\overrightarrow{\sigma }(A,S/R)$.

Démonstration

$\overrightarrow{\Omega }(S/R)=\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z$. $O$ est un point fixe de la tige : $\overrightarrow{\sigma }(O,S/R)=[I(O,S)](\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z)=\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z$. $\overrightarrow{V}(G/R)=\frac{L}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Pour le point $A$ : $\overrightarrow{\sigma }(A,S/R)=\overrightarrow{\sigma }(O,S/R)+\overrightarrow{AO}\wedge m\overrightarrow{V}(G/R)=\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z+(-L{\overrightarrow{u}}_r)\wedge m\left(\frac{L}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\right)=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)m{L}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z=-\frac{1}{6}m{L}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z$.

Exercice 2.3 : Roulement sans glissement d'un cylindre sur un plan

Un cylindre plein de masse $m$, rayon $R$, roule sans glisser sur un plan horizontal $(O,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y)$ avec $\overrightarrow{V}(G/R)=V{\overrightarrow{e}}_x$ et $\overrightarrow{\Omega }(S/R)=-\frac{V}{R}{\overrightarrow{e}}_z$. Calculer le moment cinétique au point de contact instantané $I$.

Démonstration

$\overrightarrow{\sigma }(G,S/R)=[I(G,S)]\overrightarrow{\Omega }(S/R)=\left(\frac{1}{2}m{R}^2\right)\left(-\frac{V}{R}{\overrightarrow{e}}_z\right)=-\frac{1}{2}mRV{\overrightarrow{e}}_z$. Par transport en $I$ avec $\overrightarrow{IG}=R{\overrightarrow{e}}_y$ : $\overrightarrow{\sigma }(I,S/R)=\overrightarrow{\sigma }(G,S/R)+\overrightarrow{IG}\wedge m\overrightarrow{V}(G/R)=-\frac{1}{2}mRV{\overrightarrow{e}}_z+(R{\overrightarrow{e}}_y)\wedge (mV{\overrightarrow{e}}_x)=-\frac{1}{2}mRV{\overrightarrow{e}}_z-mRV{\overrightarrow{e}}_z=-\frac{3}{2}mRV{\overrightarrow{e}}_z$.

Exercice 2.4 : Système bielle-manivelle

Soit une manivelle $1$ ($OA$, longueur $r$, masse $m_1$) et une bielle $2$ ($AB$, longueur $L$, masse $m_2$). Exprimer le moment cinétique total en $O$ de l'ensemble $\{1+2\}$.

Démonstration

$\overrightarrow{\sigma }(O,\{1+2\}/R)=\overrightarrow{\sigma }(O,1/R)+\overrightarrow{\sigma }(O,2/R)$. $\overrightarrow{\sigma }(O,1/R)=\frac{1}{3}{m}_1{r}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_z$. Pour la bielle $2$ : $\overrightarrow{\sigma }(O,2/R)=[I(G_2,2)]\overrightarrow{\Omega }(2/R)+{\overrightarrow{OG}}_2\wedge m_2\overrightarrow{V}(G_2/R)$. On calcule $\overrightarrow{\Omega }(2/R)=\dot{\beta }{\overrightarrow{e}}_z$ et $\overrightarrow{V}(G_2/R)=\overrightarrow{V}(A/R)+\overrightarrow{\Omega }(2/R)\wedge {\overrightarrow{AG}}_2$, puis on effectue le produit vectoriel.

Exercice 2.5 : Gyroscope symétrique précessant

Une toupie symétrique ($A=B$) de masse $m$ tourne sur elle-même à vitesse $\dot{\psi }$ autour de son axe propre ${\overrightarrow{e}}_{z_1}$ tout en effectuant un mouvement de précession à vitesse $\dot{\phi }$ autour de l'axe vertical ${\overrightarrow{e}}_{z_0}$. Exprimer $\overrightarrow{\sigma }(O,S/R_0)$ au sommet fixe $O$.

Démonstration

Le vecteur rotation s'écrit $\overrightarrow{\Omega }(S/R_0)=\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{z_0}+\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{x_1}+\dot{\psi }{\overrightarrow{e}}_{z_1}=\dot{\phi }\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{y_1}+\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{x_1}+(\dot{\psi }+\dot{\phi }\cos \theta ){\overrightarrow{e}}_{z_1}$. Dans la base liée $(O,{\overrightarrow{e}}_{x_1},{\overrightarrow{e}}_{y_1},{\overrightarrow{e}}_{z_1})$, $[I(O,S)]=\mathrm{diag}(A,A,C)$. D'où $\overrightarrow{\sigma }(O,S/R_0)=A\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{x_1}+A\dot{\phi }\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{y_1}+C(\dot{\psi }+\dot{\phi }\cos \theta ){\overrightarrow{e}}_{z_1}$.

Exercice 2.6 : Moment cinétique d'une tige en rotation spatiale

Une tige mince $OB$ de masse $m$, longueur $L$, est inclinée d'un angle constant $\alpha$ par rapport à l'axe vertical $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$ et tourne autour de cet axe à vitesse $\omega$ constante. Calculer $\overrightarrow{\sigma }(O,\text{tige}/R)$.

Démonstration

Dans la base liée $({\overrightarrow{e}}_{x_1},{\overrightarrow{e}}_{y_1},{\overrightarrow{e}}_{z_1})$ avec ${\overrightarrow{e}}_{z_1}$ selon la tige : $[I(O)]=\mathrm{diag}(\frac{1}{3}m{L}^2,\frac{1}{3}m{L}^2,0)$. $\overrightarrow{\Omega }=\omega {\overrightarrow{e}}_z=\omega (-\sin \alpha {\overrightarrow{e}}_{x_1}+\cos \alpha {\overrightarrow{e}}_{z_1})$. $\overrightarrow{\sigma }(O)=[I(O)]\overrightarrow{\Omega }=-\frac{1}{3}m{L}^2\omega \sin \alpha {\overrightarrow{e}}_{x_1}$. On constate que $\overrightarrow{\sigma }(O)$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{\Omega }$, ce qui génère un moment dynamique tournant.

Exercice 2.7 : Sphère roulant sur une table tournante

Une sphère pleine homogène de masse $m$, rayon $R$, se déplace sans glisser sur un plateau tournant à vitesse ${\Omega }_0{\overrightarrow{e}}_z$. Déterminer l'expression de $\overrightarrow{\sigma }(G,S/R_0)$.

Démonstration

Pour une sphère, $[I(G,S)]=\frac{2}{5}m{R}^2{\mathbb{I}}_3$, ce qui est invariant par changement de base. Ainsi, pour tout repère et toute rotation $\overrightarrow{\Omega }(S/R_0)$ : $\overrightarrow{\sigma }(G,S/R_0)=\frac{2}{5}m{R}^2\overrightarrow{\Omega }(S/R_0)$.

Exercice 2.8 : Conservation du moment cinétique d'un patineur

Un patineur en rotation libre sur la glace replie ses bras, faisant passer son moment d'inertie de $I_1=3,5\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$ à $I_2=1,0\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$. Sa vitesse initiale est $N_1=1\mathrm{tr}/\mathrm{s}$. Calculer sa vitesse finale $N_2$.

Démonstration

Les actions extérieures (poids et réaction normale de la glace) ont un moment nul selon l'axe vertical $(G,{\overrightarrow{e}}_z)$. Par conservation du moment cinétique selon ${\overrightarrow{e}}_z$ : ${\sigma }_z=I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2⟹{\omega }_2=\frac{I_1}{I_2}{\omega }_1$. $N_2=\frac{3,5}{1,0}\times 1=3,5\mathrm{tr}/\mathrm{s}$.

Exercice 2.9 : Moment cinétique d'un train épicycloïdal

Dans un train épicycloïdal simple, calculer le moment cinétique, par rapport au bâti $R_0$, d'un satellite $(sat)$ de masse $m$ et de rayon $r$, tournant à la vitesse ${\omega }_{\text{sat}/ps}$ par rapport au porte-satellite, celui-ci tournant à ${\omega }_{ps/0}$ par rapport au bâti.

Démonstration

C'est la rotation absolue qui entre dans le calcul, jamais la seule rotation propre : $\overrightarrow{\Omega }(sat/R_0)=\overrightarrow{\Omega }(sat/ps)+\overrightarrow{\Omega }(ps/0)$. $\overrightarrow{\sigma }(G_{\text{sat}},sat/R_0)=\frac{1}{2}m{r}^2\overrightarrow{\Omega }(sat/R_0)=\frac{1}{2}m{r}^2({\omega }_{\text{sat}/ps}+{\omega }_{ps/0}){\overrightarrow{e}}_z$.

Exercice 2.10 : Cinétique d'un robot cartésien à 3 axes

Pour un manipulateur à 3 translations orthogonales portant une charge utile de masse $M_c$, exprimer le torseur cinétique global au centre d'inertie de la charge.

Démonstration

Les rotations sont toutes nulles : $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}⟹\overrightarrow{\sigma }(G_c,C/R_0)=\overrightarrow{0}$. Le torseur cinétique se réduit à un glisseur : $\{\mathcal{C}(C/R_0){\}}_{G_c}={\left\{\begin{array}{c}{M}_c(\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y+\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z)\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{G_c}$.

2.5 Problèmes de concours résolus

Problème 2.1 : Volant d'inertie à sustentation magnétique (Concours Mines-Ponts)

Un volant d'inertie en composite, assimilé à un cylindre plein homogène de masse $M=50\mathrm{kg}$ et de rayon $R=0,2\mathrm{m}$, tourne à $60000\mathrm{tr}/\min$ dans le vide sur deux paliers magnétiques actifs distants de $L=0,6\mathrm{m}$. Son axe de rotation est horizontal, l'axe de lacet du véhicule porteur étant vertical.

• Calculer le moment cinétique axial du volant.
• Évaluer le couple gyroscopique induit lors d'une rotation de lacet du véhicule porteur à $\dot{\psi }=0,5\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.
• Dimensionner la force de rappel des paliers magnétiques nécessaires pour compenser ce couple.

Démonstration

1. $I_{zz}=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\times 50\times (0,2{)}^2=1,0\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$. $\omega =60000\times \frac{2\pi }{60}=6283\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. ${\sigma }_z=1,0\times 6283=6283\mathrm{Js}$.
2. Le couple gyroscopique est ${\overrightarrow{C}}_{\text{gyro}}={\overrightarrow{\Omega }}_{\text{veˊhicule}}\wedge \overrightarrow{\sigma }=(\dot{\psi }{\overrightarrow{e}}_{z_{\text{veh}}})\wedge ({\sigma }_z{\overrightarrow{e}}_{x_{\text{volant}}})⟹\Vert {\overrightarrow{C}}_{\text{gyro}}\Vert =0,5\times 6283=3141,5\mathrm{Nm}$.
3. Pour un entraxe de paliers $L=0,6\mathrm{m}$, l'effort sur chaque palier est $F=\frac{C_{\text{gyro}}}{L}=\frac{3141,5}{0,6}\approx 5236\mathrm{N}$.

Problème 2.2 : Cinétique d'un cardan d'hélicoptère (Concours Centrale-Supélec)

Le rotor d'un hélicoptère est articulé sur son mât par une liaison cardan permettant les mouvements de battement $\beta$ et de traînée $\delta$.

• Établir la composition des vecteurs rotation pour une pale.
• Exprimer le moment cinétique de la pale au centre du moyeu $O$.
• Déterminer les composantes oscillantes créant des vibrations sur le mât rotor.

Démonstration

1. $\overrightarrow{\Omega }(\text{pale}/R_0)=\Omega {\overrightarrow{e}}_{z_0}+\dot{\beta }{\overrightarrow{e}}_{x_1}+\dot{\delta }{\overrightarrow{e}}_{y_2}$.
2. Par projection dans la base liée à la pale et application de $[I(O,\text{pale})]$, on obtient les 3 composantes de $\overrightarrow{\sigma }(O)$.
3. Les produits croisés des vitesses angulaires génèrent des termes harmoniques à pulsation $2\Omega$ et $4\Omega$ responsables des vibrations structurelles.

Problème 2.3 : Gyromètre à structure vibrante MEMS (Concours CCINP)

Un capteur MEMS utilise une masse oscillante $m$ excitée selon ${\overrightarrow{e}}_x$ à vitesse $V_x(t)=V_0\cos ({\omega }_{e}t)$ pour mesurer une vitesse angulaire de lacet ${\Omega }_z$.

• Exprimer la quantité de mouvement relative et absolue de la masse.
• Calculer le moment cinétique en $O$ dans le référentiel tournant.
• Mettre en évidence l'effet de Coriolis $2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{V}}_{\text{rel}}$ et la déviation induite selon ${\overrightarrow{e}}_y$.

Démonstration

1. $\overrightarrow{P}=m(\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y)+m(\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{r})$.
2. $\overrightarrow{\sigma }(O)=\overrightarrow{r}\wedge \overrightarrow{P}$.
3. La dérivation temporelle fait apparaître la force de Coriolis $F_{\text{Cor},y}=-2m{\Omega }_z{V}_x(t)$, qui engendre une oscillation mesurable selon ${\overrightarrow{e}}_y$ proportionnelle à ${\Omega }_z$.

Problème 2.4 : Système de stabilisation d'un télescope spatial (Concours Banque PT)

Pour pointer une étoile avec une précision de quelques millisecondes d'arc, un télescope spatial utilise des gyroscopes actionneurs de contrôle de moment (CMG).

• Écrire le torseur cinétique global de la plate-forme et de ses $4$ CMG montés en configuration pyramidale.
• Calculer le moment cinétique total disponible pour la manœuvre de réorientation.
• Démontrer la relation entre la vitesse de gimbal ${\dot{\theta }}_i$ des toupies et le couple appliqué au télescope.

Démonstration

1. ${\overrightarrow{\sigma }}_{\text{tot}}=[I_{\text{sat}}]\overrightarrow{\Omega }+{\sum }_{i=1}^4{\overrightarrow{\sigma }}_{\text{CMG},i}$.
2. Chaque CMG ayant une toupie de moment $h_0$ orientée d'un angle ${\theta }_i$, ${\overrightarrow{\sigma }}_{\text{CMG}}=\sum h_0{\overrightarrow{u}}_i({\theta }_i)$.
3. Le couple appliqué est ${\overrightarrow{C}}_{\text{ext}}=\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{\sigma }}_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t}=J\dot{\overrightarrow{\Omega }}+\sum h_0{\dot{\theta }}_i\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_i}{\partial {\theta }_i}$, permettant un couple de manœuvre très élevé sans gros moteurs de propulsion.

Problème 2.5 : Dynamique d'un gyroscope optique et effets relativistes (Concours X / ENS)

On étudie la cinétique d'un résonateur gyroscopique hémisphérique (HRG) en silice fondue vibrant sur son mode elliptique à deux ondes stationnaires.

• Exprimer le champ de vitesse de la cloche hémisphérique sous déformation élastique.
• Déterminer le torseur cinétique associé à l'onde stationnaire en rotation.
• Établir le facteur d'entraînement de Bryan reliant la rotation du motif vibratoire à la rotation mécanique du boîtier.

Démonstration

1. En coordonnées sphériques $(\theta ,\phi )$, le déplacement modal d'ordre 2 est $u_r=w_0\cos (2(\phi -{\theta }_{\text{onde}}))$.
2. L'intégration de $\overrightarrow{r}\wedge \mathrm{d}\overrightarrow{P}$ sur la calotte hémisphérique donne le moment cinétique modal.
3. L'application de la conservation du moment cinétique conduit au facteur d'échelle $k_{\text{Bryan}}\approx 0,28$, prouvant que l'onde tourne à une vitesse ${\dot{\theta }}_{\text{onde}}=-k_{\text{Bryan}}{\Omega }_z$.