Déplacements et raideur des structures

Cours · sciences industrielles (PT), chapitre 9 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une pièce peut résister et pourtant ne pas remplir sa fonction : une broche qui ne casse pas mais laisse l'outil reculer, un bâti de presse qui tient mais désaligne les outils, une règle qui reste élastique mais n'est plus droite. Le cahier des charges limite alors un déplacement, et c'est la raideur qui dimensionne. Le chapitre des sollicitations composées établit les contraintes dans une section droite ; celui-ci détermine les déplacements le long de la ligne moyenne, comme le demande le programme : tronçons, méthode des coupures, théorème de superposition, conditions aux limites, torseur des petits déplacements, choix d'un modèle déformable, indicateur de performances en résistance et en déplacement. Les méthodes de résolution des problèmes hyperstatiques ne sont pas au programme : toutes les structures étudiées sont isostatiques. Deux compléments hors programme terminent le cours : l'énergie de déformation (théorème de Castigliano) et le flambement.

9.1 La déformée d'une poutre fléchie

Définition 9.1Hypothèses du modèle poutre et petites perturbations

On modélise par une poutre un solide dont une dimension (la longueur) est grande devant les deux autres (élancement d'au moins 5 à 10) ; sa ligne moyenne est le lieu des centres $G$ des sections droites. On suppose le matériau continu, homogène, isotrope et élastique linéaire (loi de Hooke, $σ = E ε$ , $τ = G γ$ ) ; les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne déformée (Navier-Bernoulli) ; les résultats valent loin des points d'application des efforts (Barré de Saint-Venant) ; enfin les déformations et les déplacements sont petits (petites perturbations) : les efforts intérieurs se calculent sur la géométrie initiale.

Définition 9.2Déformée, flèche, rotation de section

Pour une poutre droite d'axe $(O, x)$ fléchie dans le plan $(x, y)$ , la déformée est la fonction $y (x)$ , déplacement transversal du point $G$ de la section d'abscisse $x$ . Sous l'hypothèse des petites perturbations, la section tourne de l'angle $ω (x) = y^{'} (x)$ autour de $z$ . On appelle flèche la valeur absolue d'un déplacement transversal (souvent sa valeur maximale).

ImportantConvention de signe

Le torseur de cohésion en $x$ est l'action de la partie amont (abscisses inférieures à $x$ ) sur la partie aval, comme au chapitre des sollicitations composées. Son moment fléchissant $M_{f z} (x)$ est donc l'opposé du moment en $G$ des actions extérieures appliquées à la partie aval, ou, ce qui revient au même pour une poutre en équilibre, le moment en $G$ des actions extérieures appliquées à la partie amont. Avec cette convention, $σ = \frac{N}{S} + \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y$ : un $M_{f z}$ positif tend la fibre supérieure.

◆Théorème 9.3Équation de la déformée

Sous les hypothèses du modèle poutre et des petites perturbations, la déformée d'une poutre fléchie dans le plan $(x, y)$ vérifie, tronçon par tronçon :

$E I_{G z} y^{''} (x) = - M_{f z} (x) .$

Démonstration

Par Navier-Bernoulli, la section d'abscisse $x + d x$ a tourné de $d ω = y^{''} d x$ par rapport à celle d'abscisse $x$ ; une fibre d'ordonnée $Y$ s'allonge donc de $- Y y^{''} d x$ sur la longueur $d x$ : $ε = - Y y^{''} (x)$ . Par la loi de Hooke, $σ = - E Y y^{''}$ . Le moment de ces contraintes en $G$ vaut, avec la convention choisie, $M_{f z} = \int_{S} Y σ d S = - E y^{''} \int_{S} Y^{2} d S = - E I_{G z} y^{''}$ .

Méthode : Déterminer une déformée

Calculer les actions de liaison (statique) ; découper la poutre en tronçons entre deux discontinuités de chargement.
Sur chaque tronçon, couper et écrire $M_{f z} (x)$ en isolant la partie aval (ou la partie amont).
Intégrer deux fois $E I y^{''} = - M_{f z}$ : deux constantes par tronçon.
Les fixer par les conditions aux limites — encastrement : $y = 0$ et $y^{'} = 0$ ; appui simple ou articulation : $y = 0$ — et par les conditions de raccordement entre tronçons : $y$ et $y^{'}$ continus.
Vérifier l'homogénéité ( $F L^{3} / E I$ et $q L^{4} / E I$ sont des longueurs, $F L^{2} / E I$ un angle) et le sens du déplacement.

Proposition 9.4Cas de base

Les exercices résolus du chapitre établissent, par la méthode précédente, les résultats suivants (flèches et rotations en valeur absolue, $E I$ constant) :

Poutre et chargement	Flèche	Rotation
console de longueur $L$ , force $F$ en bout	en bout : $\frac{F L ^{3}}{3 E I}$	en bout : $\frac{F L ^{2}}{2 E I}$
[6pt] console, charge répartie $q$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">en bout : $\frac{q L ^{4}}{8 E I}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">en bout : $\frac{q L ^{3}}{6 E I}$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] console, couple $C$ en bout</td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">en bout : $\frac{C L ^{2}}{2 E I}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">en bout : $\frac{C L}{E I}$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] deux appuis, force $F$ au milieu</td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">au milieu : $\frac{F L ^{3}}{48 E I}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">aux appuis : $\frac{F L ^{2}}{16 E I}$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] deux appuis, charge répartie $q$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">au milieu : $\frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">aux appuis : $\frac{q L ^{3}}{24 E I}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] deux appuis, moment constant $C$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">au milieu : $\frac{C L ^{2}}{8 E I}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">aux appuis : $\frac{C L}{2 E I}$ </td></tr></table></div>% }

iRemarque

La flèche croît comme la puissance troisième (force) ou quatrième (charge répartie) des longueurs, alors que la contrainte maximale ne croît que comme la puissance première ou deuxième : un déplacement est beaucoup plus sensible à la géométrie qu'une contrainte. La flèche admissible ( $L /200$ , $L /500$ …) est une exigence du cahier des charges, fixée par la fonction.

9.2 Le théorème de superposition

◆Théorème 9.5Superposition

Si le matériau est élastique linéaire et si les déplacements restent petits (les efforts intérieurs se calculant sur la géométrie initiale), les efforts intérieurs, les contraintes et les déplacements produits par plusieurs actions mécaniques appliquées ensemble sont les sommes de ceux que produirait chacune d'elles appliquée seule.

Méthode : Décomposer en cas de base

Un chargement compliqué se décompose en cas de base, dont on additionne les flèches et les rotations.
Une charge répartie sur une partie $[d, L]$ d'une console est la différence d'une charge sur $[0, L]$ et d'une charge sur $[0, d]$ .
On peut couper une poutre au droit d'un appui et remplacer la partie retirée par l'action qu'elle exerce : un porte-à-faux de longueur $a$ sous la charge linéique $p$ exerce sur la travée le couple $p a^{2} /2$ .
Une rotation $ω$ d'une section produit, à la distance $d$ le long d'un tronçon qui la prolonge, le déplacement $ω d$ .

Attention

La superposition cesse de valoir quand l'équilibre doit s'écrire sur la configuration déformée (flambement, câbles, grands déplacements) ou quand le matériau quitte le domaine élastique.

9.3 Torsion et traction : angle, allongement, raideur

Proposition 9.6Déplacements en torsion et en traction

Un tronçon de longueur $L$ , de section circulaire (moment quadratique polaire $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32}$ pour un arbre plein, $\frac{π ( D ^{4} - d ^{4} )}{32}$ pour un tube), soumis à un moment de torsion constant $M_{t}$ , tourne d'une extrémité à l'autre de

$Δ φ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}}, et la contrainte maximale vaut τ_{m a x} = \frac{M _{t} R}{I _{0}} .$

Un tronçon de section $S$ soumis à un effort normal constant $N$ s'allonge de $Δ L = \frac{N L}{E S}$ . Sur plusieurs tronçons, les déplacements s'ajoutent.

Définition 9.7Raideur, souplesse

La raideur d'une structure en un point est le rapport $k = F / δ$ de l'effort appliqué au déplacement qu'il produit en ce point, dans sa direction ( $N m^{- 1}$ , ou $N m ra d^{- 1}$ pour un couple et une rotation). La souplesse est son inverse, $c = 1/ k$ . En élasticité linéaire, l'énergie stockée vaut $\frac{1}{2} F δ = \frac{1}{2} k δ^{2}$ , comme dans un ressort.

Proposition 9.8Assemblages de raideurs

En série (le même effort traverse les éléments, les déplacements s'ajoutent) : $\frac{1}{k} = \sum \frac{1}{k _{i}}$ ; l'élément le plus souple décide.
En parallèle (même déplacement, les efforts s'ajoutent) : $k = \sum k_{i}$ .
Raideur ramenée : un élément de raideur en torsion $k$ placé du côté rapide d'un réducteur de rapport $i$ (vitesse divisée par $i$ ) présente, vu du côté lent, la raideur $i^{2} k$ : le couple y est divisé par $i$ , et la rotation encore divisée par $i$ en traversant le réducteur. Un bras de levier de longueur $r$ transforme de même une raideur en torsion $K$ en une raideur linéaire $K / r^{2}$ à son extrémité.

9.4 Torseur des petits déplacements et raideur d'un assemblage

Définition 9.9Torseur des petits déplacements

Si un solide (ou une partie de structure supposée indéformable) subit un petit déplacement, le champ des déplacements de ses points est celui d'un torseur, le torseur des petits déplacements, de résultante la petite rotation $ω$ et de moment en $A$ le déplacement $u_{A}$ :

$u_{B} = u_{A} + ω \land A B .$

C'est la linéarisation, pour une rotation petite, du déplacement d'un solide : il a la même structure que le champ des vitesses.

Méthode : Déplacement d'un point de travail d'un assemblage

Choisir un modèle déformable pour chaque élément qui peut compter (poutres, liaisons, ancrages, roulements modélisés par des ressorts).
Calculer le petit déplacement que produit chaque élément, les autres étant supposés indéformables.
Le transporter jusqu'au point de travail par le torseur des petits déplacements de la partie, supposée indéformable, qui prolonge l'élément.
Additionner (superposition) et identifier la part de chaque élément : on raidit le plus souple, ou celui qui coûte le moins à raidir.

iRemarque

Une petite rotation au pied d'une structure, multipliée par un bras long, produit un grand déplacement au point de travail : un ancrage ou un roulement « raide » compte dès que le bras est grand. Un modèle qui oublie une souplesse surestime la raideur.

9.5 Déformations et déplacements

Proposition 9.10Déformation longitudinale en flexion

Dans une poutre fléchie, la déformation longitudinale d'une fibre d'ordonnée $Y$ vaut

$ε (x, Y) = - Y y^{''} (x) = \frac{M _{f z} ( x )}{E I _{G z}} Y .$

Elle est proportionnelle à la courbure locale $\frac{M _{f z}}{E I}$ et maximale sur les faces : c'est elle que mesure une jauge de déformation collée en surface. La flèche, elle, intègre deux fois cette même courbure : déformation et déplacement d'une même poutre ne se règlent pas indépendamment.

iRemarquePoutre de section variable, poutre d'égale contrainte

Si la section varie, $E I (x) y^{''} = - M_{f z} (x)$ s'intègre avec $I (x)$ . Lorsque $I (x)$ est proportionnel à $M_{f z} (x)$ (lame de largeur décroissant linéairement vers l'extrémité chargée d'une console), la courbure est constante : la déformée est un arc de cercle et la contrainte de surface est uniforme (poutre d'égale contrainte, principe des ressorts à lames).

9.6 Choisir un modèle et un matériau

Définition 9.11Solide indéformable, solide déformable, domaine de validité

Le modèle du solide indéformable suffit pour la cinématique et la statique d'un mécanisme isostatique, quand les déplacements dus aux déformations ne changent pas la performance évaluée. Un modèle déformable s'impose dès que la performance est un déplacement (précision, alignement, flèche admissible), une raideur ou une déformation mesurée. Chaque modèle a son domaine de validité : élasticité ( $σ$ inférieure à la limite d'élasticité), petites perturbations, élancement suffisant pour le modèle poutre, distance aux points d'application des efforts (Saint-Venant).

ImportantCritères de résistance et de déplacement

Une pièce se vérifie selon les deux critères : $σ \leq R_{p e}$ (résistance) et $δ \leq δ_{adm}$ (déplacement). Pour les bâtis de machines, les broches, les instruments et les structures légères, le second est souvent le plus sévère : la résistance est alors surabondante.

Méthode : Indicateur de performance d'un matériau

On fixe la fonction (tirant, poutre fléchie, plaque), la contrainte (raideur imposée, ou résistance), l'objectif (masse, coût, empreinte carbone minimale) et la variable libre (taille de la section, forme fixée). On écrit l'objectif, on élimine la variable libre grâce à la contrainte : il reste une combinaison de propriétés du matériau, l'indicateur de performance, à maximiser.

Fonction et contrainte (masse minimale)	Indicateur	Pente sur le diagramme d'Ashby $(lo g ρ, lo g E)$
tirant de raideur imposée	$E / ρ$	1
poutre de forme fixée, flèche imposée	$E^{1/2} / ρ$	2
plaque d'épaisseur libre, flèche imposée	$E^{1/3} / ρ$	3
poutre de forme fixée, résistance imposée	$R_{e}^{2/3} / ρ$	---

}

Sur un diagramme d'Ashby (module en fonction de la masse volumique, échelles logarithmiques), les matériaux d'égale performance sont alignés sur une droite ; plus elle est haute, meilleur est le matériau.

9.7 Complément (hors programme) : énergie de déformation et théorème de Castigliano

ImportantHors programme PT

Les méthodes énergétiques ne figurent pas au programme PTSI-PT : elles sont données pour la culture et pour vérifier un résultat obtenu par la déformée et la superposition. Les méthodes de résolution des problèmes hyperstatiques (théorème de Menabrea, entre autres) sont exclues explicitement du programme et ne sont pas traitées.

Définition 9.12Énergie de déformation d'une poutre

Pour une poutre élastique linéaire de torseur de cohésion $(N, T_{y}, T_{z}, M_{t}, M_{f y}, M_{f z})$ , l'énergie de déformation vaut

$W = \int_{0}^{L} [\frac{N ^{2}}{2 E S} + \frac{M _{t}^{2}}{2 G I _{0}} + \frac{M _{f y}^{2}}{2 E I _{G y}} + \frac{M _{f z}^{2}}{2 E I _{G z}} + \frac{k _{y} T _{y}^{2}}{2 GS} + \frac{k _{z} T _{z}^{2}}{2 GS}] d x,$

où $k_{y}$ , $k_{z}$ sont des coefficients de forme de la section. Pour une poutre élancée en flexion, les termes d'effort tranchant sont négligeables (moins de $3 %$ de l'énergie dès un élancement de 5 pour une section rectangulaire). Sous une charge unique $F$ , $W = \frac{1}{2} F δ$ .

◆Théorème 9.13Théorème de Castigliano (admis)

Dans une structure élastique linéaire isostatique soumise à des forces $F_{i}$ et à des couples $C_{j}$ , le déplacement du point d'application de $F_{i}$ , projeté sur sa direction, et la rotation dans la direction de $C_{j}$ valent

$δ_{i} = \frac{\partial W}{\partial F _{i}}, ω_{j} = \frac{\partial W}{\partial C _{j}} .$

Pour une poutre fléchie dans le plan $(x, y)$ , où seul $M_{f z}$ compte, $δ_{i} = \int_{0}^{L} \frac{M _{f z}}{E I _{G z}} \frac{\partial M _{f z}}{\partial F _{i}} d x$ ; les autres termes de $W$ s'y ajoutent quand ils ne sont pas négligeables. Pour obtenir le déplacement d'un point qui ne porte pas de force, on y applique une force fictive, que l'on annule après dérivation.

9.8 Complément (hors programme) : flambement des poutres comprimées

ImportantHors programme PT

Le flambement ne figure pas au programme PTSI-PT ; il est présenté parce qu'il marque la limite de l'hypothèse des petites perturbations. Il ne concerne que les pièces comprimées : un tirant ne flambe pas. Les colonnes d'une presse, qui relient les sommiers et reprennent l'effort de travail, sont tendues ; ce sont la tige d'un vérin qui pousse, une bielle, un poteau qui peuvent flamber.

Au-delà d'une charge critique, la configuration rectiligne d'une poutre élancée comprimée cesse d'être un équilibre stable : une petite perturbation latérale ne disparaît plus, la poutre fléchit brusquement. L'équilibre doit s'écrire sur la forme déformée : c'est précisément ce que l'hypothèse des petites perturbations écarte, et la superposition ne s'applique plus.

◆Théorème 9.14Charge critique d'Euler (admise)

Une poutre élastique, parfaitement droite, comprimée dans l'axe, de moment quadratique minimal $I_{m i n}$ , flambe sous la charge

$F_{c} = \frac{π ^{2} E I _{m i n}}{L _{k}^{2}}, L_{k} = μL,$

où la longueur de flambement $L_{k}$ dépend des liaisons d'extrémité :

Liaisons d'extrémité	Description	Coefficient $μ$	Longueur $L_{k}$
articulée -- articulée	pivot à chaque extrémité	$1$	$L$
encastrée -- libre	poteau en console	$2$	$2 L$
encastrée -- encastrée	encastrement parfait aux deux bouts	$0, 5$	$0, 5 L$
encastrée -- articulée	encastrement d'un côté, articulation de l'autre	$0, 7$	$0, 7 L$

}

Définition 9.15Élancement et domaine de validité

Le rayon de giration minimal vaut $i_{m i n} = I_{m i n} / S$ et l'élancement $λ = \frac{L _{k}}{i _{m i n}}$ ; la contrainte critique d'Euler s'écrit $σ_{c} = \frac{F _{c}}{S} = \frac{π ^{2} E}{λ ^{2}}$ . Elle n'a de sens que si elle reste inférieure à la limite d'élasticité, c'est-à-dire pour

$λ \geq λ_{0} = π \frac{E}{R _{e}} .$

Avec $E = 210 G Pa$ : $λ_{0} = 93, 9$ pour un acier S235, $76, 4$ pour un S355, $61, 4$ pour un acier de $R_{e} = 550 M Pa$ . Pour $λ < λ_{0}$ , la formule d'Euler surestime la charge admissible : la pièce s'écrase plastiquement, ou flambe en régime plastique, bien avant $F_{c}$ ; la vérification se fait alors par les courbes de flambement des normes ou par des formules empiriques de transition (Rankine : $\frac{1}{F} = \frac{1}{R _{e} S} + \frac{1}{F _{c}}$ ).

Figure : Premiers modes de flambement d'Euler selon les liaisons d'extrémité.

Figure : Contrainte critique en fonction de l'élancement : la formule d'Euler ne vaut qu'à droite de

λ_{0}

; à gauche, la tenue est limitée par la limite d'élasticité (palier idéalisé, que les courbes réelles arrondissent).

9.9 Travaux dirigés

Exercice 1 — La fourche de chariot élévateur : où est la palette ?

Un bras de fourche de chariot élévateur est une barre d'acier de section rectangulaire, largeur $b = 100 mm$ , épaisseur $h = 45 mm$ , de longueur utile $L = 1150 mm$ ; il est modélisé par une poutre encastrée au talon (point $O$ , fixé au tablier) et libre à la pointe $P$ ; $E = 210 GPa$ . Il porte la moitié d'une palette de $2000 kg$ , soit $m = 1000 kg$ répartis uniformément sur la longueur de la palette, $ℓ = 1000 mm$ ; la palette commence à la distance $d$ du talon ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ . Cahier des charges : la pointe chargée ne descend pas de plus de $10 mm$ (au-delà, en reprise de charge, elle accroche la lisse du rayonnage) ; la contrainte normale reste inférieure à $R_{p e} = 200 MPa$ (donnée, coefficients dynamiques compris). Le poids propre du bras est négligé.

1) On place la palette contre le talon ( $d = 0$ ). Couper le bras en une section d'abscisse $x$ ; écrire le moment fléchissant $M_{f z} (x)$ sur les deux tronçons $[0, ℓ]$ et $[ℓ, L]$ . Que dire du second tronçon ?

2) Intégrer l'équation de la déformée sur le premier tronçon, avec les conditions d'encastrement. En déduire le déplacement et la rotation de la section d'abscisse $ℓ$ , puis, par la condition de raccordement, le déplacement de la pointe. Conclure sur les deux exigences.

3) Les plaques des constructeurs donnent la capacité d'une fourche pour une charge concentrée au « centre de charge », ici à $c = 500 mm$ du talon. Montrer que ce modèle donne le même moment au talon que la charge répartie, puis calculer la flèche de pointe qu'il prévoit. Le modèle simplifié est-il du côté de la sécurité ? Pourquoi ?

4) Le cariste a laissé la palette à $d = 150 mm$ du talon. Calculer la flèche de pointe (on pourra décomposer la charge en deux charges réparties qui partent du talon) et la contrainte maximale. Quelle épaisseur de bras rétablit l'exigence de flèche ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Coupure, moment par tronçons en isolant la partie aval (elle ne contient pas l'encastrement, dont on ne connaît pas l'action), double intégration de $E I y^{''} = - M_{f z}$ , constantes fixées par l'encastrement ( $y (0) = 0$ , $y^{'} (0) = 0$ ), puis raccordement entre tronçons : $y$ et $y^{'}$ sont continus, la poutre ne se rompt ni ne se plie en angle vif.

1) Le moment par tronçons. La rigidité de flexion vaut $E I = E \frac{b h ^{3}}{12} = 210 \cdot 1 0^{9} \times \frac{0 , 1 \times 0 , 04 5 ^{3}}{12} = 159469 N m^{2}$ et la charge linéique $q = \frac{1 000 \times 9 , 81}{1} = 9810 N m^{- 1}$ . Tronçon $[0, ℓ]$ : la partie aval porte la charge $q (ℓ - x)$ , de résultante verticale descendante appliquée au milieu de $[x, ℓ]$ , à $\frac{ℓ - x}{2}$ de la section ; son moment en $G$ vaut $- \frac{q ( ℓ - x ) ^{2}}{2} z$ , d'où

$M_{f z} (x) = \frac{q ( ℓ - x ) ^{2}}{2} (0 \leq x \leq ℓ) .$

Il est positif : la fibre supérieure est tendue, le bras se courbe vers le bas. Tronçon $[ℓ, L]$ : la partie aval ne porte rien, $M_{f z} = 0$ : ce tronçon reste droit. Il ne se déforme pas, mais il se déplace : il prolonge la tangente en $x = ℓ$ , et c'est par là que la rotation de la section $ℓ$ s'ajoute à la flèche.

2) Intégration et raccordement. Sur $[0, ℓ]$ , $E I y^{''} = - \frac{q ( ℓ - x ) ^{2}}{2}$ . Une première intégration donne $E I y^{'} = \frac{q ( ℓ - x ) ^{3}}{6} + C_{1}$ ; l'encastrement impose $y^{'} (0) = 0$ , donc $C_{1} = - \frac{q ℓ ^{3}}{6}$ . Une seconde : $E I y = - \frac{q ( ℓ - x ) ^{4}}{24} - \frac{q ℓ ^{3} x}{6} + C_{2}$ , et $y (0) = 0$ impose $C_{2} = \frac{q ℓ ^{4}}{24}$ . En $x = ℓ$ :

$y (ℓ) = - \frac{q ℓ ^{4}}{8 E I} = - 7, 69 mm, y^{'} (ℓ) = - \frac{q ℓ ^{3}}{6 E I} = - 1, 025 \cdot 1 0^{- 2} rad = - 0, 58 7^{\circ} .$

On reconnaît les deux résultats de la console sous charge répartie. Sur $[ℓ, L]$ , $y^{''} = 0$ : $y$ est affine, et la continuité de $y$ et de $y^{'}$ en $ℓ$ donne $y (x) = y (ℓ) + y^{'} (ℓ) (x - ℓ)$ . À la pointe :

$y (L) = - \frac{q ℓ ^{4}}{8 E I} - \frac{q ℓ ^{3}}{6 E I} (L - ℓ) = - (7, 69 + 1, 54) = - 9, 23 mm .$

Contrainte : le moment est maximal au talon, $M_{f z} (0) = \frac{q ℓ ^{2}}{2} = 4905 N m$ , et $σ_{m a x} = \frac{6 M}{b h ^{2}} = \frac{6 \times 4 905}{0 , 1 \times 0 , 04 5 ^{2}} = 145 MPa$ . Les deux exigences sont tenues, la flèche avec $8 %$ de marge seulement, la contrainte avec $27 %$ . Homogénéité : $q ℓ^{4} / E I$ est en $N m^{- 1} m^{4} / (N m^{2})$ , des mètres ; $q ℓ^{3} / E I$ est sans dimension, un angle.

3) Le modèle concentré. La force $F = m g = 9810 N$ à $c = 500 mm$ donne au talon $F c = 4905 N m$ : le même moment, puisque la résultante de la charge répartie passe au même point. Mais sur $[0, c]$ , $M_{f z} = F (c - x)$ , et $M_{f z} = 0$ au-delà ; la console sous force en bout, puis le tronçon droit, donnent

$δ = \frac{F c ^{3}}{3 E I} + \frac{F c ^{2}}{2 E I} (L - c) = 2, 56 + 5, 00 = 7, 56 mm,$

soit 18 % de moins que la vraie flèche : le modèle simplifié n'est pas du côté de la sécurité. La raison : la flèche cumule la courbure $M / (E I)$ sur toute la longueur, pondérée par la distance à la pointe. Le modèle concentré annule le moment au-delà de $500 mm$ , alors que la palette réelle courbe encore le bras jusqu'à $1000 mm$ . Le centre de charge sert à vérifier la résistance (le moment au talon), pas le déplacement.

4) La palette mal placée. La charge occupe $[d, L]$ avec $d = 150 mm$ (puisque $d + ℓ = L$ ). Par superposition, c'est une charge $q$ sur $[0, L]$ moins une charge $q$ sur $[0, d]$ ; la seconde est une console de longueur $d$ , prolongée par un tronçon droit. Donc

$δ = \frac{q L ^{4}}{8 E I} - [\frac{q d ^{4}}{8 E I} + \frac{q d ^{3}}{6 E I} (L - d)] = \frac{q}{24 E I} (3 L^{4} - 4 d^{3} L + d^{4}) = 13, 41 mm .$

Le moment au talon vaut $q ℓ (d + ℓ /2) = 6376 N m$ , d'où $σ_{m a x} = 189 MPa$ : la résistance tient encore ( $5 %$ de marge), la flèche non ( $+ 34 %$ ). Un décalage de $15 %$ de la longueur coûte $45 %$ de flèche, parce que la flèche croît comme la puissance quatrième des longueurs. La flèche étant en $1/ h^{3}$ , il faut $h \geq 45 \times (13, 41/10)^{1/3} = 49, 6 mm$ : avec $h = 50 mm$ , $δ = 13, 41 \times (45/50)^{3} = 9, 78 mm$ et $σ = 153 MPa$ , pour $11 %$ de masse en plus.

Exigence	Palette au talon	Modèle concentré	Palette à $150 mm$	$h = 50 mm$
flèche $\leq 10 mm$	$9, 23$ tenu	$7, 56$ (optimiste)	$13, 41$ non tenu	$9, 78$ tenu
$σ \leq 200 MPa$	$145$ tenu	$145$ tenu	$189$ tenu	$153$ tenu

Ce que l'exercice installe. La méthode complète de la déformée : moment par tronçons sur la partie aval, double intégration, conditions d'encastrement, raccordement qui fait d'un tronçon non chargé un prolongement rectiligne. Et deux leçons de dimensionnement : un chargement équivalent pour le moment ne l'est pas pour la flèche ; la flèche, en puissance quatrième des longueurs, est bien plus sensible à la position de la charge que la contrainte.

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