Résistance des matériaux : sollicitations composées

Cours · sciences industrielles (PT), chapitre 8 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une poutre réelle ne subit presque jamais une sollicitation simple : un arbre de transmission est à la fois tordu par le couple qu'il transmet et fléchi par les efforts de ses engrenages, le fût d'une potence est comprimé par les poids, fléchi et tordu par le vent, la colonne d'une presse est tendue et fléchie. Ce chapitre donne la démarche du programme pour déterminer les contraintes dans de telles poutres : associer un modèle poutre au solide, couper, écrire le torseur de cohésion, traduire chacune de ses composantes en contrainte dans la section droite, et superposer. Les déplacements (flèches, rotations) et la raideur des structures sont étudiés à part ; ici, on ne calcule que des contraintes, et l'on conclut toujours sur un cahier des charges.

8.1 Modèle poutre, torseur de cohésion et méthode des coupures

Le modèle poutre

Définition 8.1Poutre, ligne moyenne, section droite

Une poutre est un solide engendré par une surface plane $(S)$ , la section droite, dont le centre de gravité $G$ décrit une courbe, la ligne moyenne, la section restant perpendiculaire à cette courbe. Une fibre est la ligne décrite par un point de la section. Hypothèses de géométrie : la longueur de la poutre est grande devant les dimensions de sa section (rapport de l'ordre de 5 à 10 au moins) ; la section est constante ou varie lentement ; le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand devant les dimensions de la section.

En un point $G$ de la ligne moyenne, on utilise le repère local $(G, x, y, z)$ : $x$ tangent à la ligne moyenne, $y$ et $z$ axes principaux de la section (axes de symétrie quand elle en a). En flexion, une fibre ne s'allonge ni ne se raccourcit : c'est la fibre neutre. En flexion simple, c'est la ligne moyenne elle-même ; on verra qu'en flexion composée la fibre de contrainte nulle se décale de $G$ . Sa trace dans une section droite est l'axe neutre.

ImportantLes hypothèses du modèle poutre

Matériau continu, homogène, isotrope, au comportement élastique linéaire (loi de Hooke : $σ = E ε$ en traction, $τ = G γ$ en cisaillement).
Navier-Bernoulli : une section droite plane reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation. C'est ce qui rend linéaire la répartition des contraintes de flexion.
Barré de Saint-Venant : à une distance des points d'application des efforts de l'ordre de la plus grande dimension de la section, les contraintes ne dépendent que du torseur des actions appliquées, et non de la façon dont elles sont appliquées. Près d'une liaison, d'un effort concentré ou d'un changement brusque de section, le modèle ne donne que la contrainte nominale.
Petites perturbations : petites déformations et petits déplacements. On écrit l'équilibre sur la géométrie non déformée ; contraintes et déplacements dépendent alors linéairement des actions.

Le torseur de cohésion

On coupe la poutre par le plan de la section droite d'abscisse $x$ : la partie amont (I) et la partie aval (II), située du côté des $x$ croissants, exercent l'une sur l'autre des efforts intérieurs, répartis sur la section.

Définition 8.2Torseur de cohésion

Le torseur de cohésion en $G$ est le torseur des actions de la partie aval (II) sur la partie amont (I). L'équilibre de chaque partie donne

${T_{coh}}_{G} = {T (II \to I)}_{G} = {T (ext \to II)}_{G} = - {T (ext \to I)}_{G} = ⎩ ⎨ ⎧ N T_{y} T_{z} M_{t} M_{f y} M_{f z} ⎭ ⎬ ⎫_{G, (x, y, z)} .$

$N$ est l'effort normal (positif en traction), $T_{y}$ et $T_{z}$ les efforts tranchants, $M_{t}$ le moment de torsion, $M_{f y}$ et $M_{f z}$ les moments de flexion. On choisit, pour le calculer, la partie qui ne porte que des actions connues.

iRemarqueConvention de signe

Certains ouvrages définissent le torseur de cohésion comme l'action de la partie amont sur la partie aval : toutes ses composantes changent alors de signe, ainsi que les formules de contrainte qui suivent. Seule compte la cohérence ; le signe d'une contrainte se contrôle toujours physiquement (quelle face s'allonge ?).

Chaque composante non nulle nomme une sollicitation : traction ou compression ( $N$ ), cisaillement ( $T_{y}$ , $T_{z}$ ), torsion ( $M_{t}$ ), flexion ( $M_{f y}$ , $M_{f z}$ ) ; la flexion simple associe un moment de flexion et l'effort tranchant qui l'accompagne. Une sollicitation est composée quand plusieurs de ces sollicitations coexistent.

Contraintes dans une section droite

Sur la facette de normale $x$ , le vecteur contrainte a une composante normale $σ$ et une composante tangentielle $τ$ . Le modèle poutre donne, pour chaque sollicitation :

Proposition 8.3Contraintes associées aux sollicitations simples

Traction-compression : $σ = \frac{N}{S}$ , uniforme.
Flexion : $σ (y, z) = - \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y + \frac{M _{f y}}{I _{G y}} z$ , linéaire, nulle sur l'axe neutre ; son maximum en valeur absolue pour une flexion plane vaut $\frac{∣ M _{f} ∣}{I / v}$ , où $v$ est la distance de la fibre la plus éloignée et $I / v$ le module de flexion.
Torsion d'une section circulaire (pleine ou tubulaire) : $τ = \frac{M _{t}}{I _{0}} r$ , maximale en périphérie, $τ_{m a x} = \frac{M _{t}}{I _{0} / R}$ , avec $I_{0} = I_{G y} + I_{G z} = 2 I$ .
Effort tranchant : contrainte tangentielle moyenne $\frac{T}{S}$ ; la contrainte réelle est maximale sur l'axe neutre de la flexion associée, nulle sur les fibres extrêmes.

Moments quadratiques usuels (donnés) : rectangle $b \times h$ , $I = \frac{b h ^{3}}{12}$ autour de l'axe parallèle à $b$ ; disque de diamètre $d$ , $I = \frac{π d ^{4}}{64}$ , $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32}$ ; tube $D / d$ , $I = \frac{π ( D ^{4} - d ^{4} )}{64}$ . Ils s'assemblent par le théorème de Huygens, $I_{Δ} = I_{G Δ^{'}} + S δ^{2}$ ( $Δ^{'}$ parallèle à $Δ$ passant par le centre de gravité de la partie, à la distance $δ$ ).

iRemarque

Dans une poutre élancée, la contrainte due à l'effort tranchant est petite devant celle de la flexion qui l'accompagne (leur rapport est de l'ordre de $h / L$ ), et elle est maximale là où la contrainte de flexion est nulle : on la néglige le plus souvent, après l'avoir chiffrée.

Tronçons, méthode des coupures, superposition

◆Théorème 8.4Théorème de superposition

Sous les hypothèses du modèle poutre (élasticité linéaire, petites perturbations), les contraintes et les déplacements produits par plusieurs actions appliquées ensemble sont la somme de ceux que produirait chacune d'elles appliquée seule. En particulier, les contraintes normales dues à $N$ , $M_{f y}$ et $M_{f z}$ s'additionnent en chaque point, de même que les contraintes tangentielles de même direction dues à $M_{t}$ et à $T$ .

Méthode : Déterminer les contraintes le long d'une poutre

Si nécessaire, déterminer les actions de liaison par le principe fondamental de la statique appliqué à toute la poutre (problème isostatique).
Découper la poutre en tronçons : une frontière à chaque discontinuité du chargement (effort ou couple concentré, début ou fin d'une charge répartie, liaison, coude de la ligne moyenne, changement de section).
Sur chaque tronçon, couper en une abscisse $x$ quelconque, isoler la partie la plus simple et écrire le torseur de cohésion en fonction de $x$ ; en tracer les diagrammes.
Repérer les sections candidates : extremums des moments, mais aussi sections où plusieurs sollicitations se cumulent.
Dans chaque section candidate, traduire chaque composante en contrainte et superposer au point où les contributions se cumulent.
Conclure sur le cahier des charges : écart, marge, remède.

iRemarque

Les méthodes de résolution des problèmes hyperstatiques ne sont pas au programme : quand une poutre a plus de liaisons que n'en exige son équilibre (poutre continue sur trois appuis, par exemple), les actions de liaison ou les moments nécessaires sont donnés.

8.2 Flexion composée et flexion déviée

Définition 8.5Flexion composée

Une section est en flexion composée quand elle subit un effort normal $N$ et un moment de flexion, par exemple $M_{f z}$ . Par superposition,

$σ (y) = \frac{N}{S} - \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y .$

La contrainte s'annule en $y_{0} = \frac{N}{S} \frac{I _{G z}}{M _{f z}}$ : la fibre neutre est décalée du centre de gravité $G$ .

Le cas type est celui d'un effort normal $N$ parallèle à la ligne moyenne, appliqué en un point $C$ de la section décalé de $G$ : $GC = e y$ , où $e$ est l'excentricité (mesurée depuis $G$ , jamais depuis l'axe neutre). Réduit en $G$ , cet effort donne $N$ et $M_{f z} = - N e$ . On note $i^{2} = \frac{I _{G z}}{S}$ le carré du rayon de giration.

Proposition 8.6Fibre neutre en flexion composée, noyau central

Pour un effort normal $N$ d'excentricité $e$ ,

$σ (y) = \frac{N}{S} (1 + \frac{e y}{i ^{2}}), y_{0} = - \frac{i ^{2}}{e} .$

La fibre neutre est parallèle à l'axe du moment, du côté de $G$ opposé au point d'application, et sa position ne dépend pas de l'intensité de l'effort. Elle est hors de la section, qui reste alors entièrement tendue (ou comprimée), si $∣ e ∣ \leq \frac{i ^{2}}{v ^{'}}$ , où $v^{'}$ est la distance de $G$ à la fibre extrême opposée au point d'application : c'est le noyau central de la section. Rectangle de hauteur $h$ : $∣ e ∣ \leq \frac{h}{6}$ (tiers central) ; disque de diamètre $d$ : $∣ e ∣ \leq \frac{d}{8}$ .

Définition 8.7Flexion déviée

Une section est en flexion déviée quand le moment de flexion a deux composantes non nulles $M_{f y}$ et $M_{f z}$ sur ses axes principaux, avec $I_{G y} \neq = I_{G z}$ :

$σ (y, z) = - \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y + \frac{M _{f y}}{I _{G y}} z .$

La fibre neutre passe par $G$ (en l'absence d'effort normal) ; elle n'est pas perpendiculaire au plan de la charge, mais rabattue vers l'axe de plus grand moment quadratique. Les contraintes extrêmes sont aux points les plus éloignés de la fibre neutre ; pour un rectangle, aux coins, où $∣ σ ∣_{m a x} = \frac{∣ M _{f z} ∣}{I _{G z} / v _{y}} + \frac{∣ M _{f y} ∣}{I _{G y} / v _{z}}$ .

iRemarqueSection circulaire

Pour un disque ou un tube, tout diamètre est axe principal et $I_{G y} = I_{G z} = I$ : il n'y a pas de flexion déviée. Deux moments d'axes perpendiculaires se composent en $M_{f} = M_{f y}^{2} + M_{f z}^{2}$ , et $σ_{m a x} = \frac{M _{f}}{I / v}$ ; les additionner serait faux. Un effort normal s'ajoute à la flexion déviée par superposition, comme en flexion composée.

8.3 Flexion et torsion des arbres

◆Théorème 8.8Arbre circulaire en flexion et torsion

Dans un arbre plein de diamètre $d$ soumis à un moment de flexion $M_{f} = M_{f y}^{2} + M_{f z}^{2}$ et à un moment de torsion $M_{t}$ , les contraintes maximales sont atteintes au même point de la périphérie, sur la fibre la plus tendue (ou la plus comprimée) :

$σ = \frac{M _{f}}{I / ( d /2 )} = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}}, τ = \frac{M _{t}}{I _{0} / ( d /2 )} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}} .$

Pour un tube $D / d$ , de rapport $k = d / D$ , on remplace $π d^{3}$ par $π D^{3} (1 - k^{4})$ ; dans les deux cas, $τ = \frac{M _{t}}{2 ( I / v )}$ .

ImportantTenue d'une section : la relation est fournie

La résistance pratique $R_{p e} = \frac{R _{e}}{s}$ est fixée par le cahier des charges ( $R_{e}$ limite d'élasticité, $s$ coefficient de sécurité, qui intègre au besoin la fatigue). On vérifie $∣ σ ∣_{m a x} \leq R_{p e}$ pour une contrainte normale seule, $τ_{m a x} \leq R_{p g}$ (donnée) pour une contrainte tangentielle seule. Quand $σ$ et $τ$ coexistent au même point, deux vérifications séparées ne suffisent pas : la relation à vérifier est fournie par l'énoncé ou par le bureau d'études, le plus souvent

$σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e} .$

Pour un arbre plein, elle donne le diamètre minimal $d \geq \frac{16 4 M _{f}^{2} + 3 M _{t}^{2}}{π R _{p e}}^{1/3}$ .

iRemarqueLa section critique

La torsion n'existe qu'entre l'entrée et la sortie du couple : la section où la combinaison flexion-torsion est la plus sévère n'est pas toujours celle du moment de flexion maximal. On examine chaque section candidate. De même, dans le fil d'un ressort hélicoïdal de diamètre $d$ , enroulé au diamètre $D$ et comprimé par $F$ , la coupure révèle une torsion $M_{t} = \frac{F D}{2}$ et un cisaillement $T = F$ ; sur la fibre intérieure, leurs contraintes s'ajoutent : $τ = \frac{8 F D}{π d ^{3}} (1 + \frac{d}{2 D})$ , à corriger de la courbure du fil quand $D / d$ est petit.

8.4 Complément : état de contrainte en un point, critères de Tresca et de von Mises, fatigue

iRemarqueComplément hors programme PT

Cette section n'est pas au programme de PT : elle explique d'où vient la relation de tenue que les énoncés fournissent. Aucune de ses notions n'est exigible.

Tenseur des contraintes et contraintes principales

En un point $M$ d'un solide, le vecteur contrainte qui s'exerce sur une facette dépend de la normale $n$ à cette facette ; l'application linéaire qui les relie est le tenseur des contraintes de Cauchy, symétrique (l'équilibre en moment d'un cube élémentaire l'impose) :

$[σ (M)] = σ_{xx} τ_{x y} τ_{x z} τ_{x y} σ_{y y} τ_{y z} τ_{x z} τ_{y z} σ_{z z}_{(x, y, z)} .$

Il est diagonalisable dans une base orthonormée : les directions principales sont celles des facettes qui ne subissent aucun cisaillement, et les contraintes principales $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ ses valeurs propres.

Dans une poutre, au point le plus sollicité d'un arbre, l'état de contrainte se réduit à $σ_{xx} = σ$ et $τ_{x θ} = τ$ (directions $x$ axiale et $e_{θ}$ circonférentielle) ; ses contraintes principales sont

$σ_{1, 3} = \frac{σ}{2} \pm \frac{σ ^{2}}{4} + τ^{2}, σ_{2} = 0,$

et la direction principale de $σ_{1}$ fait avec l'axe l'angle $θ$ tel que $tan 2 θ = \frac{2 τ}{σ}$ . Le cercle de Mohr de cet état a pour centre $(σ /2, 0)$ et pour rayon $σ^{2} /4 + τ^{2}$ .

Critères de Tresca et de von Mises

Pour un matériau ductile, deux critères relient l'état de contrainte multiaxial à la limite d'élasticité mesurée en traction simple.

◆Théorème 8.9Critère de Tresca

La plastification commence quand le cisaillement maximal $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}$ atteint $\frac{R _{e}}{2}$ . On vérifie $σ_{1} - σ_{3} \leq R_{p e}$ , soit, pour l'état $(σ, τ)$ d'une poutre, $σ^{2} + 4 τ^{2} \leq R_{p e}$ . Pour un arbre plein, cela revient à un moment de flexion idéal $M_{f}^{2} + M_{t}^{2}$ .

◆Théorème 8.10Critère de von Mises

La plastification commence quand l'énergie de distorsion atteint celle de la traction simple à $R_{e}$ :

$\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}] \leq R_{p e},$

soit, pour l'état $(σ, τ)$ d'une poutre, $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ : c'est la relation que fournissent les énoncés. Moment de flexion idéal : $M_{f}^{2} + \frac{3}{4} M_{t}^{2}$ .

Fatigue et concentration de contrainte

Un arbre qui tourne sous un moment de flexion fixe voit chaque point de sa périphérie passer, à chaque tour, de la traction à la compression : la contrainte est alternée. Sous un grand nombre de cycles, la rupture survient sous une contrainte bien inférieure à $R_{e}$ ; on compare alors l'amplitude de la contrainte à la limite d'endurance $σ_{D}$ de la pièce, donnée par des essais de fatigue. Près d'un épaulement, d'une gorge ou d'un trou, la contrainte locale dépasse la contrainte nominale du modèle poutre (Saint-Venant ne s'y applique pas) : on la multiplie par un coefficient de concentration de contrainte $K_{t}$ , lu sur des abaques. Dans un énoncé de PT, $σ_{D}$ et $K_{t}$ ne peuvent qu'être fournis.

8.5 Synthèse du chapitre

Modèle poutre : ligne moyenne, section droite, fibre neutre ; hypothèses de Navier-Bernoulli, de Barré de Saint-Venant (loin des liaisons et des efforts concentrés) et des petites perturbations (équilibre sur la géométrie non déformée, linéarité).
Torseur de cohésion en $G$ : action de la partie aval sur la partie amont, égal au torseur des actions extérieures à la partie aval ; on isole la partie qui ne porte que des actions connues. Ses six composantes nomment les sollicitations.
Méthode : tronçons, coupure par tronçon, diagrammes, sections candidates, contraintes, superposition au point où les contributions se cumulent, conclusion sur le cahier des charges.
Flexion composée : $σ = \frac{N}{S} - \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y$ ; pour un effort d'excentricité $e$ , fibre neutre à $y_{0} = - \frac{i ^{2}}{e}$ , du côté opposé, indépendante de l'effort ; noyau central $∣ e ∣ \leq \frac{i ^{2}}{v ^{'}}$ (tiers central d'un rectangle, $d /8$ d'un disque).
Flexion déviée : projeter sur les axes principaux, cumuler aux points les plus éloignés de la fibre neutre ; sur une section circulaire, les moments se composent en $M_{f y}^{2} + M_{f z}^{2}$ .
Arbres : $σ = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}}$ et $τ = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}}$ au même point ; quand $σ$ et $τ$ coexistent, la relation de tenue est fournie, le plus souvent $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ .
Hors programme (complément) : tenseur des contraintes, cercle de Mohr, critères de Tresca et de von Mises, fatigue et concentration de contrainte.

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