RDM Spé : Flambement d'Euler et Théorèmes Énergétiques (Castigliano)

Cours complet · sciences industrielles (PT), chapitre 9 · CPGE PT (2e année)

9.1 Flambement élastique des poutres élancées d'Euler

Lorsqu'une poutre élancée de longueur $L$ subit un effort axial de compression pure $F$ , la configuration d'équilibre rectiligne devient instable au-delà d'une charge critique $F_{c}$ , provoquant une rupture brutale par bifurcation d'équilibre et déformation transversale de flexion.

◆Théorème 9.1Formule de la charge critique d'Euler

La charge critique de flambement élastique s'exprime par :

$F_{c} = \frac{π ^{2} E I _{min}}{L _{k}^{2}}$

où :

$E$ est le module d'Young ( $Pa$ ).
$I_{min} = min (I_{G z}, I_{G y})$ est le moment quadratique minimal de la section ( $m^{4}$ ).
$L_{k} = μL$ est la longueur libre de flambement dépendant des conditions aux limites :

Configuration aux limites	Schéma mécanique	Coefficient $μ$	Longueur $L_{k}$
Bi-articulée	Pivot à chaque extrémité	$1, 0$	$L$
Encastrée - Libre	Poteau console	$2, 0$	$2 L$
Bi-encastrée	Encastrement parfait aux deux bouts	$0, 5$	$0, 5 L$
Encastrée - Articulée	Encastrement à gauche, appui simple à droite	$0, 7$	$0, 7 L$

}

Définition 9.2Élancement géométrique d'une poutre

Le rayon de giration minimal vaut $i_{min} = \frac{I _{min}}{S}$ . L'élancement s'écrit :

$λ = \frac{L _{k}}{i _{min}}$

La contrainte critique d'Euler vaut $σ_{c} = \frac{F _{c}}{S} = \frac{π ^{2} E}{λ ^{2}}$ . La théorie d'Euler n'est valide qu'en régime purement élastique, c'est-à-dire pour $λ \geq λ_{0} = π \frac{E}{R _{e}}$ (typiquement $λ_{0} \approx 100$ pour l'acier de construction).

Figure : Les 4 modes fondamentaux de déformées de flambement d'Euler selon les liaisons d'extrémités.

Figure : Courbe d'élancement d'Euler et calcul énergétique des déformations de structure (Castigliano).

9.2 Énergie de déformation élastique et Théorème de Castigliano

Définition 9.3Énergie potentielle élastique globale d'une poutre

Pour une poutre sollicitée dans l'espace sous les composantes du torseur de cohésion $(N, T_{y}, T_{z}, M_{t}, M_{f y}, M_{f z})$ :

$W_{def} = \int_{0}^{L} [\frac{N ( x ) ^{2}}{2 E S} + \frac{M _{f z} ( x ) ^{2}}{2 E I _{G z}} + \frac{M _{f y} ( x ) ^{2}}{2 E I _{G y}} + \frac{M _{t} ( x ) ^{2}}{2 G I _{0}} + \frac{k _{y} T _{y} ( x ) ^{2}}{2 GS} + \frac{k _{z} T _{z} ( x ) ^{2}}{2 GS}] d x$

Pour les poutres élancées ( $L / h > 5$ ), l'énergie due aux moments de flexion et de torsion représente plus de $95 %$ de l'énergie totale.

◆Théorème 9.4Théorème de Castigliano

Dans une structure élastique linéaire soumise à un ensemble de forces ponctuelles $F_{i}$ et de couples concentrés $C_{j}$ , le déplacement $δ_{i}$ du point d'application de la force $F_{i}$ selon sa ligne d'action s'obtient par dérivation partielle de l'énergie de déformation :

$δ_{i} = \frac{\partial W _{def}}{\partial F _{i}} = \int_{0}^{L} \frac{M _{f z} ( x )}{E I _{G z}} \frac{\partial M _{f z} ( x )}{\partial F _{i}} d x$

De même, la rotation angulaire $θ_{j}$ dans la direction du couple $C_{j}$ s'écrit $θ_{j} = \frac{\partial W _{def}}{\partial C _{j}}$ .

◆Théorème 9.5Théorème de Menabrea pour structures hyperstatiques

Dans une structure hyperstatique de degré $h$ , la dérivée partielle de l'énergie de déformation par rapport à toute inconnue hyperstatique $X_{k}$ (force ou moment de liaison redondant) est rigoureusement nulle :

$\frac{\partial W _{def}}{\partial X _{k}} = 0 (\forall k \in {1, \dots, h})$

9.3 Exercices d'application corrigés

Exercice : Vérification au flambement de la tige d'un vérin hydraulique

La tige d'un vérin d'engin de chantier en acier ( $E = 2, 1 \times 1 0^{11} Pa, R_{e} = 360 M Pa$ ) a un diamètre $d = 60 mm$ et une course déployée maximale $L = 1, 8 m$ . Le vérin est articulé à ses deux extrémités ( $μ = 1$ ). Calculer la charge critique d'Euler $F_{c}$ et la force maximale d'utilisation $F_{adm}$ pour un coefficient de sécurité au flambement $s = 3, 5$ .

Démonstration

Moment quadratique d'une section circulaire pleine : $I = \frac{π d ^{4}}{64} = \frac{π \times ( 0 , 060 ) ^{4}}{64} = \frac{π \times 1 , 296 \times 1 0 ^{- 5}}{64} \approx 6, 362 \times 1 0^{- 7} m^{4}$ .
Longueur de flambement : $L_{k} = 1 \times 1, 8 = 1, 8 m$ .
Charge critique d'Euler : $F_{c} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}} = \frac{π ^{2} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{11} \times 6 , 362 \times 1 0 ^{- 7}}{1 , 8 ^{2}} = \frac{1 , 318 \times 1 0 ^{6}}{3 , 24} \approx 406900 N = 406, 9 kN$ .
Vérification de l'élancement : $S = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \times 0 , 0 6 ^{2}}{4} = 2, 827 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ .
$i = I / S = \frac{d}{4} = 0, 015 m = 15 mm$ .
$λ = \frac{L _{k}}{i} = \frac{1 , 8}{0 , 015} = 120 > λ_{0} = π \frac{2 , 1 \times 1 0 ^{11}}{360 \times 1 0 ^{6}} = π 583, 3 \approx 75, 8$ . Le régime est bien dans le domaine d'Euler élastique.
Force admissible avec $s = 3, 5$ : $F_{adm} = \frac{F _{c}}{s} = \frac{406 , 9}{3 , 5} \approx 116, 25 kN$ .

Exercice : Calcul de la flèche d'une poutre console par Castigliano

Une poutre console encastrée en $x = 0$ de longueur $L$ et de rigidité de flexion $E I$ supporte une force ponctuelle $F$ à son extrémité libre $x = L$ . Retrouver la flèche maximale $f$ et la rotation $θ$ à l'extrémité par le théorème de Castigliano.

Démonstration

Moment de flexion : $M_{f z} (x) = - F (L - x)$ pour $x \in [0, L]$ .
Dérivée partielle par rapport à $F$ : $\frac{\partial M _{f z}}{\partial F} = - (L - x)$ .
Flèche en bout de poutre : $f = \int_{0}^{L} \frac{M _{f z} ( x )}{E I} \frac{\partial M _{f z}}{\partial F} d x = \int_{0}^{L} \frac{[ - F ( L - x )] [ - ( L - x )]}{E I} d x = \frac{F}{E I} \int_{0}^{L} (L - x)^{2} d x = \frac{F}{E I} [- \frac{( L - x ) ^{3}}{3}]_{0}^{L} = \frac{F L ^{3}}{3 E I}$ .
Pour la rotation $θ$ , on applique un moment fictif $C$ en $x = L$ : $M_{f z} (x) = - F (L - x) - C ⟹ \frac{\partial M _{f z}}{\partial C} = - 1$ .
$θ = [\int_{0}^{L} \frac{[ - F ( L - x )] [ - 1 ]}{E I} d x]_{C = 0} = \frac{F}{E I} \int_{0}^{L} (L - x) d x = \frac{F L ^{2}}{2 E I}$ .

Exercice : Résolution d'une poutre hyperstatique encastrée-appuyée par Menabrea

Une poutre de longueur $L$ et de rigidité $E I$ est encastrée en $A (x = 0)$ , simplement appuyée en $B (x = L)$ et supporte une charge répartie uniforme $q$ . Calculer la réaction d'appui $R_{B}$ en appliquant le théorème de Menabrea.

Démonstration

La structure est hyperstatique de degré 1. On choisit la réaction d'appui verticale $R_{B}$ comme inconnue hyperstatique.
Moment fléchissant dans la section $x$ : $M_{f z} (x) = R_{B} (L - x) - \frac{q ( L - x ) ^{2}}{2}$ .
Dérivée : $\frac{\partial M _{f z}}{\partial R _{B}} = (L - x)$ .
Théorème de Menabrea : $\frac{\partial W _{def}}{\partial R _{B}} = \frac{1}{E I} \int_{0}^{L} [R_{B} (L - x) - \frac{q ( L - x ) ^{2}}{2}] (L - x) d x = 0$ .
$⟹ R_{B} \int_{0}^{L} (L - x)^{2} d x = \frac{q}{2} \int_{0}^{L} (L - x)^{3} d x ⟹ R_{B} \frac{L ^{3}}{3} = \frac{q}{2} \frac{L ^{4}}{4} = \frac{q L ^{4}}{8}$ .
$⟹ R_{B} = \frac{3}{8} q L$ .

Exercice : Flambement d'un poteau bi-encastré de bâtiment

Un poteau tubulaire carré $100 \times 100 \times 5 mm$ en acier de longueur $L = 4 m$ est parfaitement encastré à ses deux extrémités ( $μ = 0, 5$ ). Calculer la charge critique d'Euler $F_{c}$ .

Démonstration

Longueur de flambement : $L_{k} = 0, 5 \times 4 = 2 m$ .
Moment quadratique d'un profilé creux carré ( $a = 0, 10, b = 0, 09$ ) : $I = \frac{a ^{4} - b ^{4}}{12} = \frac{1 0 ^{- 4} - 0 , 6561 \times 1 0 ^{- 4}}{12} = \frac{0 , 3439 \times 1 0 ^{- 4}}{12} \approx 2, 866 \times 1 0^{- 6} m^{4}$ .
$F_{c} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}} = \frac{π ^{2} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{11} \times 2 , 866 \times 1 0 ^{- 6}}{2 ^{2}} = \frac{5 , 94 \times 1 0 ^{6}}{4} \approx 1485 kN \approx 1, 485 MN$ .

Exercice : Énergie de déformation en torsion d'une barre cylindrique

Une barre de torsion de suspension automobile de diamètre $d = 28 mm$ , de longueur $L = 1, 2 m$ et de module de Coulomb $G = 8 \times 1 0^{10} Pa$ subit un couple $M_{t} = 900 Nm$ . Calculer l'énergie de déformation emmagasinée $W_{def}$ et l'angle de torsion total $θ$ .

Démonstration

Moment quadratique polaire : $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32} = \frac{π \times ( 0 , 028 ) ^{4}}{32} = \frac{π \times 6 , 146 \times 1 0 ^{- 7}}{32} \approx 6, 034 \times 1 0^{- 8} m^{4}$ .
Énergie de déformation : $W_{def} = \frac{M _{t}^{2} L}{2 G I _{0}} = \frac{90 0 ^{2} \times 1 , 2}{2 \times 8 \times 1 0 ^{10} \times 6 , 034 \times 1 0 ^{- 8}} = \frac{972000}{9654 , 4} \approx 100, 68 J$ .
Angle de torsion : $θ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}} = \frac{900 \times 1 , 2}{8 \times 1 0 ^{10} \times 6 , 034 \times 1 0 ^{- 8}} = \frac{1080}{4827 , 2} \approx 0, 2237 rad \approx 12, 8 2^{\circ}$ .

Exercice : Déplacement horizontal d'un portique en L par Castigliano

Un portique en forme de L est constitué d'un montant vertical $A B$ encastré en $A$ de hauteur $H$ et d'une traverse horizontale $B C$ de longueur $L$ . Une force horizontale $F$ s'applique en $C$ . Calculer le déplacement horizontal $δ_{C}$ de $C$ ( $E I$ constant).

Démonstration

Sur la traverse $B C$ ( $s \in [0, L]$ depuis $C$ ) : $M_{1} (s) = 0 ⟹ \frac{\partial M _{1}}{\partial F} = 0$ .
Sur le montant vertical $A B$ ( $y \in [0, H]$ depuis $B$ ) : $M_{2} (y) = F \cdot y ⟹ \frac{\partial M _{2}}{\partial F} = y$ .
Déplacement horizontal : $δ_{C} = \int_{0}^{H} \frac{( F y ) ( y )}{E I} d y = \frac{F}{E I} \int_{0}^{H} y^{2} d y = \frac{F H ^{3}}{3 E I}$ .

Exercice : Flambement d'Euler avec ressort hélicoïdal de guidage latéral

Une barre rigide articulée au pied de hauteur $L$ comprimée par $F$ est maintenue en tête par un ressort transversal de raideur $k$ . Déterminer la force critique d'instabilité $F_{c}$ par analyse d'équilibre à l'angle $θ$ .

Démonstration

Pour un petit angle $θ$ , l'effort du ressort en tête est $F_{R} = k (L θ)$ . Le moment en pied vaut : $M_{ext} = F (L θ) - F_{R} L = F L θ - k L^{2} θ = (F - k L) L θ$ . Pour que la position droite $θ = 0$ soit stable, le couple de rappel du ressort doit l'emporter sur le couple déstabilisateur de $F$ , ce qui impose : $F \leq F_{c} = k L$ .

Exercice : Énergie de déformation d'un anneau élastique fendu (circlip)

Un anneau circulaire élastique de rayon moyen $R$ et de rigidité $E I$ est comprimé par deux forces ponctuelles opposées $F$ appliquées à ses extrémités fendues. Calculer l'écartement radial $Δ$ par intégration polaire.

Démonstration

Moment fléchissant dans la section à l'angle $θ \in [0, π]$ : $M (θ) = F R (1 - cos θ) ⟹ \frac{\partial M}{\partial F} = R (1 - cos θ)$ .
Élément de longueur : $d s = R d θ$ .
Par symétrie sur les deux demi-anneaux : $Δ = 2 \int_{0}^{π} \frac{F R ^{2} ( 1 - c o s θ ) ^{2}}{E I} R d θ = \frac{2 F R ^{3}}{E I} \int_{0}^{π} (1 - 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{2 F R ^{3}}{E I} (π - 0 + \frac{π}{2}) = \frac{3 π F R ^{3}}{E I}$ .

Exercice : Calcul d'une poutre bi-encastrée avec charge ponctuelle centrale par Menabrea

Une poutre bi-encastrée de portée $L$ supporte une force $F$ en son milieu $x = L /2$ . Calculer le moment d'encastrement $M_{A}$ par Menabrea.

Démonstration

Par symétrie, la réaction verticale vaut $R_{A} = F /2$ . L'inconnue hyperstatique restante est le couple d'encastrement $M_{A}$ .
Pour $x \in [0, L /2]$ : $M_{f z} (x) = M_{A} + \frac{F}{2} x ⟹ \frac{\partial M _{f z}}{\partial M _{A}} = 1$ .
Menabrea : $2 \int_{0}^{L /2} \frac{M _{A} + \frac{F}{2} x}{E I} (1) d x = 0 ⟹ M_{A} \frac{L}{2} + \frac{F}{2} \frac{( L /2 ) ^{2}}{2} = 0 ⟹ M_{A} \frac{L}{2} + \frac{F L ^{2}}{16} = 0 ⟹ M_{A} = - \frac{F L}{8}$ .

Exercice : Formule de Rankine pour le flambement intermédiaire

Expliquer l'intérêt de la formule empirique de Rankine $\frac{1}{F _{crit}} = \frac{1}{F _{e}} + \frac{1}{F _{c}}$ (où $F_{e} = R_{e} S$ et $F_{c} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}}$ ) pour les élancements intermédiaires $40 \leq λ \leq 100$ .

Démonstration

La formule de Rankine assure une transition continue sans singularité entre le domaine des poteaux courts écrasés en compression plastique pure ( $F_{crit} \to F_{e}$ quand $λ \to 0$ ) et celui des poteaux très élancés instables en flambement d'Euler élastique pur ( $F_{crit} \to F_{c}$ quand $λ \to \infty$ ).

9.4 Problèmes de concours résolus (Banque PT / Centrale / Arts et Métiers)

Problème : Stabilité au flambement d'une bielle forgée de moteur à combustion (Concours Banque PT)

Une bielle d'automobile de longueur $L = 150 mm$ en acier forgé ( $E = 2, 1 \times 1 0^{11} Pa, R_{e} = 550 M Pa$ ) possède une section en H d'aire $S = 180 m m^{2}$ avec des moments quadratiques $I_{G z} = 14500 m m^{4}$ (plan d'oscillation de la manivelle) et $I_{G y} = 5200 m m^{4}$ (plan perpendiculaire).

Expliquer pourquoi les conditions aux limites diffèrent selon les deux plans : bi-articulée dans le plan de rotation ( $μ_{z} = 1$ ) et encastrée dans le plan perpendiculaire grâce au guidage des coussinets ( $μ_{y} = 0, 5$ ).
Calculer la charge critique d'Euler selon les deux axes $F_{cz}$ et $F_{cy}$ et identifier l'axe de flambement préférentiel.
Pour un effort maximal d'explosion $F_{max} = 45 kN$ , vérifier le coefficient de sécurité $s$ .

Démonstration

Dans le plan $(O x y)$ , les liaisons pivot au pied (axe de piston) et à la tête (maneton) autorisent la rotation libre : $μ_{z} = 1 ⟹ L_{k z} = L = 150 mm$ .
Dans le plan $(O x z)$ , la largeur des coussinets et le guidage cylindrique empêchent toute rotation hors-plan : $μ_{y} = 0, 5 ⟹ L_{k y} = 0, 5 L = 75 mm$ .
Charge critique dans le plan d'oscillation $Z$ : $F_{cz} = \frac{π ^{2} E I _{G z}}{L _{k z}^{2}} = \frac{π ^{2} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{11} \times 1 , 45 \times 1 0 ^{- 8}}{( 0 , 150 ) ^{2}} = \frac{30050}{0 , 0225} \approx 1335, 5 kN$ .
Charge critique dans le plan perpendiculaire $Y$ : $F_{cy} = \frac{π ^{2} E I _{G y}}{L _{k y}^{2}} = \frac{π ^{2} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{11} \times 5 , 2 \times 1 0 ^{- 9}}{( 0 , 075 ) ^{2}} = \frac{10777}{0 , 005625} \approx 1916 kN$ .
L'axe préférentiel de flambement est l'axe $Z$ ( $F_{cz} < F_{cy}$ ), d'où $F_{c} = 1335, 5 kN$ .
Coefficient de sécurité effectif : $s = \frac{F _{c}}{F _{max}} = \frac{1335 , 5}{45} \approx 29, 7 ≫ 3$ . La sécurité au flambement est largement satisfaite ; la tige de bielle peut être allégée par optimisation de section.

Problème : Déformation d'une arche circulaire de pont roulant par le théorème de Castigliano (Concours Banque PT)

Une demi-arche circulaire élastique de rayon $R$ et de rigidité de flexion $E I$ est encastrée en $A (θ = 0)$ et soumise à une force verticale $P$ en sa clé de voûte $B (θ = π /2)$ .

Exprimer le moment fléchissant $M (θ)$ dans toute section angulaire $θ \in [0, π /2]$ .
Calculer le déplacement vertical $δ_{v}$ et le déplacement horizontal $δ_{h}$ du point $B$ par Castigliano.

Démonstration

Pour la force verticale $P$ seule : $M (θ) = - P R (1 - cos θ)$ pour $θ$ mesuré depuis $B$ vers $A$ .
Déplacement vertical de $B$ : $δ_{v} = \int_{0}^{π /2} \frac{[ - P R ( 1 - c o s θ )] [ - R ( 1 - c o s θ )]}{E I} R d θ = \frac{P R ^{3}}{E I} \int_{0}^{π /2} (1 - 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{P R ^{3}}{E I} (\frac{π}{2} - 2 + \frac{π}{4}) = (\frac{3 π}{4} - 2) \frac{P R ^{3}}{E I} \approx 0, 3562 \frac{P R ^{3}}{E I}$ .
Pour le déplacement horizontal, on applique une force fictive horizontale $Q$ en $B$ : $M (θ) = - P R (1 - cos θ) - QR sin θ ⟹ \frac{\partial M}{\partial Q} = - R sin θ$ .
$δ_{h} = [\int_{0}^{π /2} \frac{[ - P R ( 1 - c o s θ )] [ - R s i n θ ]}{E I} R d θ]_{Q = 0} = \frac{P R ^{3}}{E I} \int_{0}^{π /2} (sin θ - sin θ cos θ) d θ = \frac{P R ^{3}}{E I} ([- cos θ]_{0}^{π /2} - [\frac{s i n ^{2} θ}{2}]_{0}^{π /2}) = \frac{P R ^{3}}{E I} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{P R ^{3}}{2 E I}$ .

Problème : Optimisation de la raideur d'un ressort spirale d'horlogerie de précision (Concours Banque PT)

Un ressort spiral d'échappement en alliage Nivarox ( $E = 2 \times 1 0^{11} Pa$ ) de longueur totale $L$ , de largeur $b$ et d'épaisseur $e$ est soumis à un couple de torsion $C$ .

Établir l'énergie de déformation élastique $W_{def}$ en fonction de $C$ .
En déduire la raideur angulaire $K = \frac{C}{θ}$ par le théorème de Castigliano.
Justifier pourquoi la période propre d'oscillation du balancier reste insensible aux variations de température ( $\frac{d E}{d T} \approx 0$ pour le Nivarox).

Démonstration

Le moment fléchissant est constant sur toute la spire : $M (s) = C$ .
$W_{def} = \int_{0}^{L} \frac{C ^{2}}{2 E I} d s = \frac{C ^{2} L}{2 E I}$ avec $I = \frac{b e ^{3}}{12}$ .
Par Castigliano : $θ = \frac{\partial W _{def}}{\partial C} = \frac{C L}{E I} ⟹ K = \frac{C}{θ} = \frac{E I}{L} = \frac{E b e ^{3}}{12 L}$ .
La période propre du balancier d'inertie $J$ vaut $T_{0} = 2 π \frac{J}{K} = 2 π \frac{12 J L}{E b e ^{3}}$ . L'alliage auto-compensateur thermo-élastique Nivarox présente un coefficient thermoélastique $\frac{1}{E} \frac{d E}{d T}$ égal et opposé à la dilatation thermique $\frac{1}{J} \frac{d J}{d T}$ , rendant la fréquence de marche de la montre rigoureusement stable sur la plage $[- 1 0^{\circ} C, + 4 0^{\circ} C]$ .

Problème : Instabilité par flambement de colonnes de presse d'extrusion aluminium 40 MN (Concours Mines / PT)

Une presse d'extrusion directe de profilés d'aluminium de $40 MN$ comporte 4 colonnes cylindriques précontraintes en acier allié de longueur $L = 12 m$ .

Chaque colonne supporte un quart de l'effort ( $F = 10 MN$ ). Déterminer le diamètre minimal $D$ pour garantir une marge de sécurité au flambement $s \geq 4$ (colonnes bi-encastrées dans les sommiers $μ = 0, 5$ ).
Évaluer la précontrainte de traction initiale requise sur les écrous de colonnes pour maintenir les sommiers sous compression constante lors de l'extrusion.

Démonstration

$L_{k} = 0, 5 \times 12 = 6 m$ . On impose $F_{c} \geq s \cdot F = 4 \times 10 \times 1 0^{6} = 40 MN$ .
$F_{c} = \frac{π ^{2} E ( π D ^{4} /64 )}{L _{k}^{2}} = \frac{π ^{3} E D ^{4}}{64 L _{k}^{2}} ⟹ D \geq (\frac{64 L _{k}^{2} F _{c}}{π ^{3} E})^{1/4} = (\frac{64 \times 36 \times 40 \times 1 0 ^{6}}{π ^{3} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{11}})^{1/4} = (\frac{92160 \times 1 0 ^{6}}{6 , 512 \times 1 0 ^{12}})^{1/4} = (0, 01415)^{1/4} \approx 0, 345 m = 345 mm$ .
On choisit un diamètre standardisé de colonne $D = 380 mm$ .
La précharge de traction $F_{pre}$ doit dépasser l'effort de service pour éviter tout décollement des sommiers : $F_{pre} \geq 1, 2 \times 10 = 12 MN$ par colonne, réalisée par chauffe thermique des tirants ou par vérins hydrauliques d'écrou.

Problème : Matrice de souplesse et d'élasticité d'une suspension multibras de formule 1 (Concours Banque PT)

Un porte-fusée de monoplace relié au châssis par 5 tirants tubulaires en fibre de carbone subit un chargement 3D aérodynamique et d'adhérence au sol ${F}_{M}$ .

Exprimer l'énergie de déformation globale sous forme quadratique $W = \frac{1}{2} {X}^{T} [K] {X}$ .
Démontrer le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti : l'influence d'une force $F_{1}$ sur le déplacement $δ_{2}$ est égale à l'influence de la force $F_{2}$ sur le déplacement $δ_{1}$ ( $\frac{\partial ^{2} W}{\partial F _{1} \partial F _{2}} = \frac{\partial ^{2} W}{\partial F _{2} \partial F _{1}}$ ).

Démonstration

Par superposition linéaire en régime élastique, chaque tirant $k$ d'effort normal $N_{k} = \sum_{j} α_{k j} F_{j}$ emmagasine $W_{k} = \frac{N _{k}^{2} L _{k}}{2 E _{k} S _{k}}$ . La somme s'écrit matriciellement $W = \frac{1}{2} {F}^{T} [S] {F}$ où $[S]$ est la matrice de souplesse globale de la suspension.
La matrice de souplesse est la hessienne de l'énergie de déformation : $S_{ij} = \frac{\partial ^{2} W}{\partial F _{i} \partial F _{j}}$ . Le théorème de Schwarz garantit la commutativité des dérivées partielles secondes : $S_{ij} = S_{j i}$ . Il en résulte que le déplacement au point $i$ induit par une force unitaire en $j$ est rigoureusement identique au déplacement au point $j$ induit par une force unitaire en $i$ .

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