Résistance des Matériaux : Sollicitations Composées et Critères d'Élasticité

Cours complet · sciences industrielles (PT), chapitre 8 · CPGE PT (2e année)

8.1 État de contrainte tridimensionnel et tenseur des contraintes

Une poutre réelle ne subit presque jamais une sollicitation pure : un arbre de transmission est à la fois tordu et fléchi, un tirant de pont est tendu et cisaillé par le vent. Décrire l'état mécanique en un point demande alors davantage qu'un nombre — il faut savoir quelle contrainte s'exerce sur quelle facette, et c'est ce que fait le tenseur de Cauchy : à toute normale $n$ il associe le vecteur contrainte qui s'exerce sur la facette correspondante.

Sa symétrie n'est pas une hypothèse de calcul : elle traduit l'équilibre en moment d'un cube élémentaire. Sans elle, un volume infiniment petit serait animé d'une accélération angulaire infinie.

iRemarque

Diagonaliser ce tenseur, c'est chercher les trois directions — les directions principales — pour lesquelles la facette ne subit aucun cisaillement. C'est là que se joue le dimensionnement : les critères de rupture du chapitre suivant s'énoncent sur les contraintes principales, et non sur les composantes lues dans le repère de la pièce, qui dépendent d'un choix d'axes arbitraire.

En un point $M$ d'un solide élastique continu, l'état de contrainte interne est représenté par le tenseur d'ordre 2 symétrique de Cauchy :

$[σ (M)] = σ_{xx} τ_{x y} τ_{x z} τ_{x y} σ_{y y} τ_{y z} τ_{x z} τ_{y z} σ_{z z}_{(O, x, y, z)}$

Dans le repère principal d'élasticité $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ , le tenseur est diagonalisé et les contraintes principales vérifient $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ .

8.2 Sollicitations composées dans les poutres droites

Définition 8.1Flexion composée : Traction / Compression + Flexion

Lorsqu'une section droite est soumise simultanément à un effort normal $N (x)$ et un moment fléchissant $M_{f z} (x)$ , la contrainte normale totale en un point d'ordonnée $y$ s'obtient par superposition linéaire :

$σ (x, y) = \frac{N ( x )}{S} + \frac{M _{f z} ( x )}{I _{G z}} y$

L'axe neutre ( $σ = 0$ ) est décalé du barycentre $G$ d'une distance $y_{0} = - \frac{N}{S} \frac{I _{G z}}{M _{f z}}$ .

Définition 8.2Flexion déviée

Lorsque le moment fléchissant possède deux composantes non nulles $(M_{f y}, M_{f z})$ :

$σ (x, y, z) = \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y - \frac{M _{f y}}{I _{G y}} z$

◆Théorème 8.3Sollicitation combinée Flexion + Torsion des arbres de transmission

Dans un arbre cylindrique plein de diamètre $d$ soumis à un moment de flexion $M_{f} = M_{f y}^{2} + M_{f z}^{2}$ et un moment de torsion $M_{t}$ , les contraintes maximales en peau extérieure valent :

$σ = \frac{M _{f}}{I _{G z} / ( d /2 )} = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}}, τ = \frac{M _{t}}{I _{0} / ( d /2 )} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}}$

Figure : Représentation tridimensionnelle de Mohr et état de contrainte dans un arbre sous flexion-torsion.

8.3 Critères d'élasticité et contraintes équivalentes

Pour les matériaux ductiles (aciers de construction, alliages d'aluminium), la limite d'élasticité sous sollicitation multiaxiale est régie par deux critères principaux :

◆Théorème 8.4Critère de Tresca (Cisaillement maximal)

La plastification survient lorsque le cisaillement maximal $τ_{max} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}$ atteint la limite de glissement pur $R_{e g} = \frac{R _{e}}{2}$ :

$σ_{eq, Tresca} = σ_{1} - σ_{3} = σ^{2} + 4 τ^{2} \leq R_{p e} = \frac{R _{e}}{s}$

Pour un arbre circulaire plein soumis à $(M_{f}, M_{t})$ , le moment idéal de flexion équivalent de Tresca (formule de Guest) s'écrit :

$M_{f eq, Tresca} = M_{f}^{2} + M_{t}^{2} ⟹ d \geq \frac{32 M _{f}^{2} + M _{t}^{2}}{π R _{p e}}^{1/3}$

◆Théorème 8.5Critère de Von Mises (Énergie de distorsion élastique)

La plastification survient lorsque l'énergie de distorsion atteint le seuil critique uniaxiale :

$σ_{eq, VM} = \frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}] = σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$

Le moment de flexion équivalent de Von Mises (formule de Huber-Hencky) vaut :

$M_{f eq, VM} = M_{f}^{2} + \frac{3}{4} M_{t}^{2} ⟹ d \geq \frac{32 M _{f}^{2} + \frac{3}{4} M _{t}^{2}}{π R _{p e}}^{1/3}$

8.4 Exercices d'application corrigés

Exercice : Dimensionnement d'un arbre d'hélice de navire en flexion-torsion

Un arbre porte-hélice en acier forgé ( $R_{e} = 480 M Pa$ , coefficient de sécurité $s = 2$ , d'où $R_{p e} = 240 M Pa$ ) transmet un couple de torsion $M_{t} = 18000 Nm$ et supporte un moment de flexion dû au poids de l'hélice et à la poussée radiale $M_{f} = 12000 Nm$ .

Calculer le moment idéal de flexion selon le critère de Tresca et de Von Mises.
Déterminer le diamètre minimal $d$ dans les deux cas.

Démonstration

Critère de Tresca : $M_{f eq, Tresca} = M_{f}^{2} + M_{t}^{2} = 1200 0^{2} + 1800 0^{2} = 144 \times 1 0^{6} + 324 \times 1 0^{6} = 468 \times 1 0^{6} \approx 21633 Nm$ .
Critère de Von Mises : $M_{f eq, VM} = M_{f}^{2} + \frac{3}{4} M_{t}^{2} = 144 \times 1 0^{6} + 0, 75 \times 324 \times 1 0^{6} = 144 \times 1 0^{6} + 243 \times 1 0^{6} = 387 \times 1 0^{6} \approx 19672 Nm$ .
Diamètre selon Tresca : $d_{Tresca} \geq (\frac{32 \times 21633}{π \times 240 \times 1 0 ^{6}})^{1/3} = (\frac{692256}{753 , 98 \times 1 0 ^{6}})^{1/3} = (9, 18 \times 1 0^{- 4})^{1/3} \approx 0, 0972 m = 97, 2 mm$ .
Diamètre selon Von Mises : $d_{VM} \geq (\frac{32 \times 19672}{π \times 240 \times 1 0 ^{6}})^{1/3} = (8, 35 \times 1 0^{- 4})^{1/3} \approx 0, 0942 m = 94, 2 mm$ .
On choisit un diamètre normalisé $d = 100 mm$ .

Exercice : Flexion déviée d'une panne de toiture industrielle sous vent et neige

Une poutre de section rectangulaire $b = 80 mm$ , $h = 160 mm$ inclinée de $α = 1 5^{\circ}$ par rapport à l'horizontale subit une charge verticale $q = 3500 N / m$ sur une portée $L = 4 m$ . Calculer la contrainte normale maximale $σ_{max}$ .

Démonstration

Moment fléchissant total au centre : $M_{0} = \frac{q L ^{2}}{8} = \frac{3500 \times 16}{8} = 7000 Nm$ .
Composantes dans le repère de la section : $M_{f z} = M_{0} cos (1 5^{\circ}) = 7000 \times 0, 9659 = 6761 Nm$ .
$M_{f y} = M_{0} sin (1 5^{\circ}) = 7000 \times 0, 2588 = 1812 Nm$ .
Modules de flexion : $\frac{I _{G z}}{v _{y}} = \frac{b h ^{2}}{6} = \frac{0 , 080 \times ( 0 , 160 ) ^{2}}{6} = \frac{0 , 080 \times 0 , 0256}{6} = 3, 413 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ .
$\frac{I _{G y}}{v _{z}} = \frac{h b ^{2}}{6} = \frac{0 , 160 \times ( 0 , 080 ) ^{2}}{6} = \frac{0 , 160 \times 0 , 0064}{6} = 1, 707 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ .
Contrainte maximale aux coins critiques : $σ_{max} = \frac{M _{f z}}{I _{G z} / v _{y}} + \frac{M _{f y}}{I _{G y} / v _{z}} = \frac{6761}{3 , 413 \times 1 0 ^{- 4}} + \frac{1812}{1 , 707 \times 1 0 ^{- 4}} = 19, 81 \times 1 0^{6} + 10, 61 \times 1 0^{6} = 30, 42 M Pa$ .

Exercice : Arbre tubulaire creux sous torsion et flexion

Un arbre tubulaire de diamètre extérieur $D = 80 mm$ et intérieur $d = 60 mm$ transmet $M_{t} = 4000 Nm$ et $M_{f} = 3000 Nm$ . Calculer la contrainte équivalente de Von Mises $σ_{eq, VM}$ .

Démonstration

Rapport des diamètres : $k = \frac{d}{D} = \frac{60}{80} = 0, 75 ⟹ 1 - k^{4} = 1 - (0, 75)^{4} = 1 - 0, 3164 = 0, 6836$ .
Module de flexion : $\frac{I _{G z}}{D /2} = \frac{π D ^{3}}{32} (1 - k^{4}) = \frac{π \times ( 0 , 080 ) ^{3}}{32} \times 0, 6836 = 5, 026 \times 1 0^{- 5} \times 0, 6836 = 3, 436 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ .
$σ = \frac{M _{f}}{I / v} = \frac{3000}{3 , 436 \times 1 0 ^{- 5}} = 87, 3 M Pa$ .
$τ = \frac{M _{t}}{I _{0} / v} = \frac{M _{t}}{2 ( I / v )} = \frac{4000}{2 \times 3 , 436 \times 1 0 ^{- 5}} = 58, 2 M Pa$ .
$σ_{eq, VM} = σ^{2} + 3 τ^{2} = (87, 3)^{2} + 3 (58, 2)^{2} = 7621 + 3 \times 3387 = 7621 + 10161 = 17782 \approx 133, 35 M Pa$ .

Exercice : Traction excentrée sur un tirant de presse hydraulique

Un tirant carré de côté $a = 100 mm$ supporte un effort de traction $N = 500 kN$ appliqué avec une excentricité $e = 15 mm$ par rapport à l'axe neutre. Calculer les contraintes extrêmes $σ_{1}$ et $σ_{2}$ dans la section.

Démonstration

Section : $S = a^{2} = (0, 10)^{2} = 0, 01 m^{2}$ . Moment fléchissant induit : $M_{f} = N \cdot e = 500 \times 1 0^{3} \times 0, 015 = 7500 Nm$ .
Module de flexion : $\frac{I _{G z}}{a /2} = \frac{a ^{3}}{6} = \frac{( 0 , 10 ) ^{3}}{6} = 1, 667 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ .
Contrainte de traction pure : $σ_{0} = \frac{N}{S} = \frac{500 \times 1 0 ^{3}}{0 , 01} = 50 M Pa$ .
Contrainte de flexion : $σ_{f} = \frac{M _{f}}{I / v} = \frac{7500}{1 , 667 \times 1 0 ^{- 4}} = 45 M Pa$ .
Contraintes extrêmes : $σ_{max} = σ_{0} + σ_{f} = 50 + 45 = 95 M Pa$ .
$σ_{min} = σ_{0} - σ_{f} = 50 - 45 = 5 M Pa$ (toute la section reste en traction).

Exercice : Récipient sous pression cylindrique à paroi mince (Formule des chaudières)

Une virole cylindrique de réservoir de gaz de diamètre intérieur $D = 800 mm$ et d'épaisseur $e = 6 mm$ est soumise à une pression interne $P = 25 bar = 2, 5 M Pa$ . Calculer les contraintes circonférentielle $σ_{θ}$ et longitudinale $σ_{z}$ , puis la contrainte équivalente de Von Mises.

Démonstration

Contrainte circonférentielle : $σ_{θ} = \frac{P \cdot D}{2 e} = \frac{2 , 5 \times 800}{2 \times 6} = \frac{2000}{12} \approx 166, 67 M Pa$ .
Contrainte axiale : $σ_{z} = \frac{P \cdot D}{4 e} = \frac{σ _{θ}}{2} \approx 83, 33 M Pa$ . Contrainte radiale : $σ_{r} \approx 0$ en peau extérieure.
Contrainte équivalente de Von Mises en état biaxial : $σ_{eq, VM} = σ_{θ}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{θ} σ_{z} = (166, 67)^{2} + (83, 33)^{2} - (166, 67 \times 83, 33) = 83, 33 4 + 1 - 2 = 83, 33 \times 3 \approx 144, 34 M Pa$ .

Exercice : Essieu ferroviaire plein sous charge dynamique tournante

Expliquer pourquoi la flexion tournante induit une fatigue alternée ( $σ (t) = σ_{0} sin (ω t)$ ) et impose de réduire la contrainte admissible au seuil d'endurance de Wöhler $σ_{D} \approx 0, 45 R_{m}$ .

Démonstration

Bien que le chargement mécanique soit statique dans l'espace, la rotation de l'essieu fait passer chaque fibre superficielle continuellement d'un état de traction maximale ( $+ σ_{max}$ ) à un état de compression maximale ( $- σ_{max}$ ). Cette fatigue purement alternée ( $R = - 1$ ) génère des microfissures d'endommagement, nécessitant de dimensionner selon la limite d'endurance $σ_{D}$ plutôt que la limite élastique statique $R_{e}$ .

Exercice : Calcul de la contrainte équivalente dans une soudure d'angle

Un cordon de soudure d'angle d'épaisseur de gorge $a = 5 mm$ et de longueur $L = 100 mm$ supporte un effort normal $N = 40 kN$ et un effort tranchant $T = 30 kN$ . Calculer la contrainte équivalente selon la méthode de l'Eurocode 3 ( $σ_{eq} = σ_{⊥}^{2} + 3 (τ_{⊥}^{2} + τ_{∥}^{2})$ ).

Démonstration

Sur le plan de gorge à $4 5^{\circ}$ , l'aire vaut $S_{g} = a \cdot L = 5 \times 100 = 500 m m^{2}$ . $σ_{⊥} = τ_{⊥} = \frac{N}{2 S _{g}} = \frac{40000}{2 \times 500} = \frac{80}{2} \approx 56, 57 M Pa$ .
$τ_{∥} = \frac{T}{S _{g}} = \frac{30000}{500} = 60 M Pa$ .
$σ_{eq} = (56, 57)^{2} + 3 ((56, 57)^{2} + (60)^{2}) = 3200 + 3 (3200 + 3600) = 3200 + 3 (6800) = 3200 + 20400 = 23600 \approx 153, 6 M Pa$ .

Exercice : Coefficient de concentration de contrainte $K_{t}$ dans un arbre épaulé

Un arbre de diamètre $D = 60 mm$ est réduit à $d = 40 mm$ avec un rayon de congé $r = 4 mm$ . L'abaque de Peterson donne un coefficient de concentration de contrainte $K_{t} = 1, 85$ en flexion. Calculer la contrainte réelle de pic pour un moment nominal $M_{f} = 600 Nm$ .

Démonstration

Contrainte nominale dans la section réduite $d = 40 mm$ : $σ_{nom} = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}} = \frac{32 \times 600}{π \times ( 0 , 040 ) ^{3}} = \frac{19200}{π \times 6 , 4 \times 1 0 ^{- 5}} = \frac{19200}{2 , 0106 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 95, 5 M Pa$ .
Contrainte locale maximale de pic au fond du congé : $σ_{max} = K_{t} \cdot σ_{nom} = 1, 85 \times 95, 5 = 176, 7 M Pa$ .

Exercice : Sollicitation combinée de compression et de cisaillement sur un rivet

Un rivet de diamètre $d = 16 mm$ subit une compression axiale $N = 20 kN$ et un effort tranchant $V = 35 kN$ . Calculer $σ_{eq, VM}$ .

Démonstration

Aire du rivet : $S = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \times 1 6 ^{2}}{4} = 64 π \approx 201, 06 m m^{2}$ .
$σ = \frac{N}{S} = \frac{20000}{201 , 06} \approx 99, 47 M Pa$ .
$τ = \frac{V}{S} = \frac{35000}{201 , 06} \approx 174, 08 M Pa$ .
$σ_{eq, VM} = σ^{2} + 3 τ^{2} = (99, 47)^{2} + 3 (174, 08)^{2} = 9894 + 3 (30304) = 9894 + 90912 = 100806 \approx 317, 5 M Pa$ .

Exercice : Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises en cisaillement pur

Pour un état de cisaillement pur ( $σ_{1} = τ, σ_{2} = 0, σ_{3} = - τ$ ), exprimer le seuil de limite élastique admissible selon Tresca et selon Von Mises.

Démonstration

Selon Tresca : $σ_{eq} = σ_{1} - σ_{3} = 2 τ \leq R_{e} ⟹ τ_{adm, Tresca} = \frac{R _{e}}{2} = 0, 50 R_{e}$ .
Selon Von Mises : $σ_{eq} = 3 τ^{2} = 3 τ \leq R_{e} ⟹ τ_{adm, VM} = \frac{R _{e}}{3} \approx 0, 577 R_{e}$ .
Le critère de Von Mises autorise un seuil de cisaillement supérieur de $15, 5 %$ par rapport à Tresca, ce qui est plus fidèle aux résultats expérimentaux sur aciers doux.

8.5 Problèmes de concours résolus (Banque PT / Arts et Métiers / Mines)

Problème : Arbre primaire de boîte de vitesses sous engrenage hélicoïdal 3D (Concours Banque PT)

Un pignon hélicoïdal à denture droite de module réel $m_{n} = 3 mm$ , d'angle de pression réel $α_{n} = 2 0^{\circ}$ , d'angle d'hélice $β = 2 5^{\circ}$ et de diamètre primitif $d = 90 mm$ transmet un couple $C = 450 Nm$ à une distance $a = 80 mm$ du palier A et $b = 120 mm$ du palier B ( $L = 200 mm$ ).

Calculer les 3 composantes d'efforts sur la denture : tangentielle $F_{t}$ , axiale $F_{a}$ et radiale $F_{r}$ .
Déterminer le moment de flexion résultant $M_{f} (x)$ le long de l'arbre en tenant compte de l'effort radial et du couple induit par la force axiale $F_{a} \cdot \frac{d}{2}$ .
Tracer le cercle de Mohr au point le plus sollicité et dimensionner le diamètre $d_{arbre}$ en acier $30 CrNiMo 8$ ( $R_{p e} = 350 M Pa$ ) selon le critère de Von Mises.

Démonstration

Effort tangentiel : $F_{t} = \frac{C}{d /2} = \frac{450}{0 , 045} = 10000 N = 10 kN$ .
Effort axial : $F_{a} = F_{t} tan β = 10000 \times tan (2 5^{\circ}) = 10000 \times 0, 4663 = 4663 N$ .
Effort radial : $F_{r} = \frac{F _{t} t a n α _{n}}{c o s β} = \frac{10000 \times t a n ( 2 0 ^{\circ} )}{c o s ( 2 5 ^{\circ} )} = \frac{3639 , 7}{0 , 9063} \approx 4016 N$ .
Au niveau du pignon ( $x = a = 0, 080 m$ ) :

Dans le plan $(O x y)$ (effort radial $F_{r}$ ) : $M_{f z} = F_{r} \frac{ab}{L} = 4016 \times \frac{0 , 080 \times 0 , 120}{0 , 200} = 192, 77 Nm$ .
Dans le plan $(O x z)$ (effort tangentiel $F_{t}$ ) : $M_{f y 1} = F_{t} \frac{ab}{L} = 10000 \times 0, 048 = 480 Nm$ .
Moment induit par $F_{a}$ décentré : $M_{ind} = F_{a} \frac{d}{2} = 4663 \times 0, 045 = 209, 8 Nm$ . Ce moment crée une discontinuité, soit $M_{f y} \approx 480 + 209, 8 \times \frac{0 , 12}{0 , 20} = 605, 9 Nm$ .
Moment de flexion total : $M_{f} = M_{f z}^{2} + M_{f y}^{2} = (192, 77)^{2} + (605, 9)^{2} = 37160 + 367115 = 404275 \approx 635, 8 Nm$ .

Moment équivalent de Von Mises : $M_{f eq, VM} = M_{f}^{2} + \frac{3}{4} C^{2} = (635, 8)^{2} + 0, 75 \times (450)^{2} = 404242 + 151875 = 556117 \approx 745, 7 Nm$ .
Diamètre minimal : $d_{arbre} \geq (\frac{32 \times 745 , 7}{π \times 350 \times 1 0 ^{6}})^{1/3} = (\frac{23862}{1 , 0995 \times 1 0 ^{9}})^{1/3} = (2, 17 \times 1 0^{- 5})^{1/3} \approx 0, 0279 m = 27, 9 mm$ . On retiendra un diamètre standardisé de $32 mm$ .

Problème : Vilebrequin de moteur marin sous couple de combustion et force d'inertie de bielle (Concours Banque PT)

Un maneton de vilebrequin subit à l'angle critique de pression maximale une force de bielle $F_{b} = 120 kN$ inclinée de $θ = 1 2^{\circ}$ sur un rayon de manivelle $R = 110 mm$ .

Décomposer l'effort en composante tangentielle motrice $F_{t}$ et composante radiale de compression $F_{r}$ .
Calculer le moment fléchissant et le moment de torsion appliqués au tourillon.
Vérifier la résistance du maneton ( $\emptyset 110 mm$ , acier forgé $R_{p e} = 280 M Pa$ ) selon le critère de Tresca.

Démonstration

$F_{t} = F_{b} sin (1 2^{\circ}) = 120 \times 1 0^{3} \times 0, 2079 = 24, 95 kN$ .
$F_{r} = F_{b} cos (1 2^{\circ}) = 120 \times 1 0^{3} \times 0, 9781 = 117, 38 kN$ .
Couple de torsion transmis : $M_{t} = F_{t} \cdot R = 24950 \times 0, 110 = 2744, 5 Nm$ .
Moment fléchissant maximal entre bras de manivelle ( $L = 140 mm$ ) : $M_{f} = F_{b} \frac{L}{4} = 120000 \times \frac{0 , 140}{4} = 4200 Nm$ .
Moment idéal de Tresca : $M_{f eq} = M_{f}^{2} + M_{t}^{2} = 420 0^{2} + 2744, 5^{2} = 17, 64 \times 1 0^{6} + 7, 53 \times 1 0^{6} = 25, 17 \times 1 0^{6} \approx 5017 Nm$ .
Contrainte maximale de Tresca : $σ_{eq} = \frac{32 M _{f eq}}{π d ^{3}} = \frac{32 \times 5017}{π \times ( 0 , 110 ) ^{3}} = \frac{160544}{π \times 1 , 331 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{160544}{4 , 1815 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 38, 4 M Pa ≪ R_{p e} = 280 M Pa$ . La sécurité statique est largement assurée ; le dimensionnement final est dicté par la tenue en fatigue sous $1 0^{8}$ cycles.

Problème : Mât de grue télescopique sous vent latéral et charge suspendue (Concours Mines-Ponts / PT)

Un mât tubulaire de grue de longueur $L = 18 m$ , de diamètre extérieur $D = 500 mm$ et d'épaisseur $e = 12 mm$ soulève une charge $M = 10 t$ et subit une poussée de vent latérale $q_{vent} = 400 N / m$ .

Écrire l'état de contrainte normal complet au pied de mât encastré combinant compression axiale et flexion déviée selon deux axes.
Déterminer la position de l'axe neutre et la contrainte maximale de compression.

Démonstration

Poids de la charge : $N = M g = 10000 \times 9, 81 = 98100 N$ .
Moment de flexion dû à la flèche de levage ( $d = 8 m$ ) : $M_{f z} = N \cdot d = 98100 \times 8 = 784800 Nm$ .
Moment de flexion dû au vent en pied : $M_{f y} = \frac{q L ^{2}}{2} = \frac{400 \times 1 8 ^{2}}{2} = 64800 Nm$ .
Section : $S = π D e = π \times 0, 50 \times 0, 012 \approx 0, 01885 m^{2}$ .
Module de flexion : $\frac{I}{v} \approx \frac{π D ^{2} e}{4} = \frac{π \times 0 , 25 \times 0 , 012}{4} \approx 2, 356 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ .
Les deux moments agissent sur des axes perpendiculaires : ils ne s'additionnent pas, ils se composent. La section étant circulaire, $I_{G y} = I_{G z}$ et le moment résultant vaut

$M_{f} = M_{f z}^{2} + M_{f y}^{2} = 78480 0^{2} + 6480 0^{2} \approx 787471 Nm,$

incliné de $α = arctan (\frac{M _{f y}}{M _{f z}}) = 4, 7 2^{\circ}$ par rapport à $G z$ .
$σ_{comp, max} = \frac{N}{S} + \frac{M _{f}}{I / v} = \frac{98100}{0 , 01885} + \frac{787471}{2 , 356 \times 1 0 ^{- 3}} = 5, 20 + 334, 24 = 339, 4 M Pa$ .
Position de l'axe neutre : $σ = 0$ donne, avec $I = \frac{I}{v} \cdot \frac{D}{2} = 5, 890 \times 1 0^{- 4} m^{4}$ ,

$y_{0} = \frac{N}{S} \frac{I}{M _{f}} = 5, 204 \times 1 0^{6} \times \frac{5 , 890 \times 1 0 ^{- 4}}{787471} \approx 3, 9 mm .$

L'axe neutre est donc parallèle à l'axe du moment résultant, décalé de $3, 9 mm$ du barycentre $G$ vers la fibre tendue : la compression uniforme déplace l'axe neutre sans le faire sortir de la section.

Problème : Arbre d'éolienne 3 MW sous couple aérodynamique et cisaillement de poids (Concours Banque PT)

L'arbre principal d'une éolienne offshore de 3 MW tourne à $N = 15 tr / min$ . Il supporte le poids du rotor $P_{rotor} = 600 kN$ à une distance porte-à-faux $L = 1, 8 m$ et la poussée axiale du vent $F_{ax} = 450 kN$ .

Calculer le couple de torsion $M_{t}$ .
Établir le tenseur complet des contraintes sur la fibre la plus critique et vérifier la tenue en élasticité selon Von Mises ( $R_{p e} = 200 M Pa$ , arbre creux $\emptyset 800/ \emptyset 500 mm$ ).

Démonstration

$ω = \frac{15 \times 2 π}{60} = \frac{π}{2} \approx 1, 5708 rad / s$ .
$M_{t} = \frac{P}{ω} = \frac{3 \times 1 0 ^{6}}{1 , 5708} \approx 1909860 Nm \approx 1, 91 MNm$ .
Moment fléchissant de porte-à-faux : $M_{f} = P_{rotor} \cdot L = 600 \times 1 0^{3} \times 1, 8 = 1080000 Nm = 1, 08 MNm$ .
Effort normal de poussée axiale : $N = - 450 kN$ .
Module de flexion pour $D = 0, 80 m, d = 0, 50 m$ : $\frac{I}{v} = \frac{π \times 0 , 8 ^{3}}{32} (1 - (\frac{5}{8})^{4}) = 0, 05026 \times (1 - 0, 1526) = 0, 04259 m^{3}$ .
$σ_{flexion} = \frac{1 , 08 \times 1 0 ^{6}}{0 , 04259} \approx 25, 36 M Pa$ .
$σ_{axial} = \frac{450 \times 1 0 ^{3}}{\frac{π}{4} ( 0 , 8 ^{2} - 0 , 5 ^{2} )} = \frac{450 \times 1 0 ^{3}}{0 , 3063} \approx 1, 47 M Pa$ .
$σ_{tot} = 25, 36 + 1, 47 = 26, 83 M Pa$ .
$τ = \frac{M _{t}}{2 ( I / v )} = \frac{1 , 91 \times 1 0 ^{6}}{2 \times 0 , 04259} = \frac{1 , 91 \times 1 0 ^{6}}{0 , 08518} \approx 22, 42 M Pa$ .
$σ_{eq, VM} = σ_{tot}^{2} + 3 τ^{2} = (26, 83)^{2} + 3 (22, 42)^{2} = 720 + 3 (502, 7) = 720 + 1508 = 2228 \approx 47, 2 M Pa < 200 M Pa$ .

Problème : Optimisation topologique et allègement d'un bras de suspension en aluminium forgé (Concours Banque PT)

Un bras de suspension avant subit un freinage d'urgence combiné à un virage serré ( $3 g$ longitudinal $+ 1, 5 g$ transversal).

Expliquer la modélisation par éléments finis (FEM) du champ de contraintes de Von Mises sous chargement combiné.
Décrire comment l'algorithme SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) redistribue la matière pour minimiser la souplesse globale (compliance) sous contrainte de volume ( $V \leq 0, 40 V_{0}$ ).

Démonstration

Le calcul FEM discrétise le domaine en éléments tétraédriques 3D, calcule le champ de déplacement nodal ${u} = [K]^{- 1} {F}$ , en déduit le tenseur des déformations $[ε]$ puis le tenseur des contraintes $[σ] = [C] [ε]$ , et calcule en chaque point d'intégration la contrainte équivalente de Von Mises $σ_{VM}$ .
L'optimisation SIMP assigne à chaque élément une densité artificielle $ρ_{e} \in [0, 1]$ avec pénalisation de raideur $E_{e} = ρ_{e}^{p} E_{0}$ ( $p = 3$ ). Les zones faiblement contraintes ( $σ_{VM} \approx 0$ ) convergent vers $ρ_{e} \to 0$ (vide) tandis que les trajectoires d'efforts principaux (treillis de traction/compression) convergent vers $ρ_{e} \to 1$ (matière pleine), générant une structure bionique allégée de $60 %$ tout en respectant $σ_{VM, max} \leq R_{p e}$ .

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Résistance des Matériaux : Sollicitations Composées et Critères d'Élasticité

8.1 État de contrainte tridimensionnel et tenseur des contraintes

8.2 Sollicitations composées dans les poutres droites

8.3 Critères d'élasticité et contraintes équivalentes

8.4 Exercices d'application corrigés

Exercice : Dimensionnement d'un arbre d'hélice de navire en flexion-torsion

Exercice : Flexion déviée d'une panne de toiture industrielle sous vent et neige

Exercice : Arbre tubulaire creux sous torsion et flexion

Exercice : Traction excentrée sur un tirant de presse hydraulique

Exercice : Récipient sous pression cylindrique à paroi mince (Formule des chaudières)

Exercice : Essieu ferroviaire plein sous charge dynamique tournante

Exercice : Calcul de la contrainte équivalente dans une soudure d'angle

Exercice : Coefficient de concentration de contrainte Kt​ dans un arbre épaulé

Exercice : Sollicitation combinée de compression et de cisaillement sur un rivet

Exercice : Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises en cisaillement pur

8.5 Problèmes de concours résolus (Banque PT / Arts et Métiers / Mines)

Problème : Arbre primaire de boîte de vitesses sous engrenage hélicoïdal 3D (Concours Banque PT)

Problème : Vilebrequin de moteur marin sous couple de combustion et force d'inertie de bielle (Concours Banque PT)

Problème : Mât de grue télescopique sous vent latéral et charge suspendue (Concours Mines-Ponts / PT)

Problème : Arbre d'éolienne 3 MW sous couple aérodynamique et cisaillement de poids (Concours Banque PT)

Problème : Optimisation topologique et allègement d'un bras de suspension en aluminium forgé (Concours Banque PT)

Exercice : Coefficient de concentration de contrainte $K_{t}$ dans un arbre épaulé