Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures

Cours complet · sciences industrielles (PTSI), chapitre 13 · CPGE PTSI (1re année)

13.1 Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples

La Résistance des Matériaux (RDM) permet de dimensionner les éléments de structures et de machines (poutres, arbres, bâtis, réservoirs) pour garantir leur résistance mécanique sous contraintes admissibles et limiter leurs déformations élastiques.

Figure : Répartition linéaire des contraintes normales

σ (y) = \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y

en flexion plane simple

◆Théorème 13.1Formules fondamentales des sollicitations de poutres

Pour un matériau homogène, isotrope, linéaire élastique (module d'Young $E$ , coefficient de Poisson $ν$ , module de cisaillement $G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$ ) :

Traction / Compression simple (effort normal $N$ ) :

$σ = \frac{N}{S}, Δ L = \frac{N L}{E S}, σ \leq R_{p e} = \frac{R _{e}}{s}$

Cisaillement simple (effort tranchant $T$ ) :

$τ = \frac{T}{S}, γ = \frac{τ}{G}, τ \leq R_{p g} = \frac{R _{e g}}{s} \approx \frac{R _{e}}{s 3}$

Torsion des arbres circulaires (moment de torsion $M_{t}$ , moment quadratique polaire $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32}$ ) :

$τ (r) = \frac{M _{t}}{I _{0}} r, τ_{max} = \frac{M _{t}}{I _{0} / R} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}}, θ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}}$

Flexion plane simple (moment fléchissant $M_{f z}$ , moment quadratique $I_{G z}$ ) :

$σ (y) = \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y, σ_{max} = \frac{∣ M _{f z, max} ∣}{I _{G z} / v} = \frac{∣ M _{f z, max} ∣}{W _{f z}} \leq R_{p e}$

Équation différentielle de la déformée : $E I_{G z} y^{''} (x) = - M_{f z} (x)$ .

13.2 Critères de rupture et résistance combinée (Tresca et Von Mises)

Un essai de traction fournit une seule limite, $R_{e}$ , alors qu'une pièce réelle subit simultanément une contrainte normale $σ$ et une contrainte tangentielle $τ$ — une flexion avec de la torsion, par exemple. Comparer à quoi ? L'idée des critères de rupture est de ramener cet état combiné à une unique contrainte équivalente, celle de l'essai de traction qui serait tout aussi dangereux, puis de la comparer à la limite pratique $R_{p e} = R_{e} / s$ , où $s$ est le coefficient de sécurité.

Les deux critères au programme diffèrent par ce qu'ils supposent responsable de la ruine. Tresca la fait dépendre du cisaillement maximal, Von Mises de l'énergie de distorsion. Von Mises décrit mieux les métaux ductiles et sert de référence dans les codes de calcul ; Tresca, plus sévère, est retenu quand la sécurité prime sur l'économie de matière. Sous cisaillement pur, l'écart entre les deux atteint son maximum : Tresca annonce $2 τ$ là où Von Mises annonce $3 τ$ , soit $15, 5 %$ de plus.

Définition 13.2Critères de limite élastique sous état de contraintes combiné

(σ, τ)

Critère de Tresca (Cisaillement maximal) :

$σ_{eq, Tresca} = σ^{2} + 4 τ^{2} \leq R_{p e}$

Critère de Von Mises (Énergie de distorsion) :

$σ_{eq, Von Mises} = σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>13.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Dimensionnement d'un tirant en acier en traction (

⋆

)

Un tirant de pont suspendu en acier ( $R_{e} = 480 M Pa, s = 2, 0$ ) supporte une charge $N = 150 kN$ . Calculer le diamètre minimal $d_{min}$ de la section circulaire du tirant.

Démonstration

Contrainte admissible : $R_{p e} = \frac{R _{e}}{s} = \frac{480}{2 , 0} = 240 M Pa$ . Condition de résistance :

$σ = \frac{N}{S} = \frac{4 N}{π d ^{2}} \leq R_{p e} ⟹ d \geq \frac{4 N}{π R _{p e}} = \frac{4 \times 150000}{π \times 240 \times 1 0 ^{6}} = \frac{600000}{7 , 5398 \times 1 0 ^{8}} = 7, 9577 \times 1 0^{- 4} \approx 0, 0282 m = 28, 2 mm$

On choisit un diamètre normalisé $d = 30 mm$ .

Exercice 2 : Allongement élastique d'un câble de levage (

⋆

)

Un câble en acier ( $E = 200 G Pa$ ) de section $S = 120 m m^{2}$ et de longueur $L = 40 m$ soulève une masse $M = 2000 kg$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ ). Calculer l'allongement élastique $Δ L$ .

Démonstration

Force de traction : $N = M g = 2000 \times 9, 81 = 19620 N$ .

$Δ L = \frac{N L}{E S} = \frac{19620 \times 40}{( 200 \times 1 0 ^{9} ) \times ( 120 \times 1 0 ^{- 6} )} = \frac{784800}{24000000} = 0, 0327 m = 32, 7 mm$

Exercice 3 : Dimensionnement d'un arbre de transmission en torsion pure (

⋆ ⋆

)

Un arbre plein en acier ( $R_{e g} = 180 M Pa, s = 3, 0$ ) transmet un couple $M_{t} = 850 Nm$ .

Calculer le diamètre minimal $d_{min}$ selon le critère de résistance.
Pour $L = 1, 5 m$ et $G = 80 G Pa$ , vérifier l'angle de torsion total $θ$ .

Démonstration

1. $R_{p g} = \frac{R _{e g}}{s} = \frac{180}{3 , 0} = 60 M Pa$ .

$τ_{max} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}} \leq R_{p g} ⟹ d \geq (\frac{16 M _{t}}{π R _{p g}})^{1/3} = (\frac{16 \times 850}{π \times 60 \times 1 0 ^{6}})^{1/3} = (7, 215 \times 1 0^{- 5})^{1/3} \approx 0, 0416 m = 41, 6 mm$

On adopte $d = 45 mm$ .

2. Moment quadratique polaire : $I_{0} = \frac{π ( 0 , 045 ) ^{4}}{32} \approx 4, 026 \times 1 0^{- 7} m^{4}$ .

$θ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}} = \frac{850 \times 1 , 5}{( 80 \times 1 0 ^{9} ) \times ( 4 , 026 \times 1 0 ^{- 7} )} = \frac{1275}{32208} \approx 0, 0396 rad \approx 2, 27°$

Exercice 4 : Poutre sur 2 appuis avec charge ponctuelle centrale : flexion simple (

⋆ ⋆

)

Une poutre de longueur $L = 4, 0 m$ repose sur deux appuis simples en $A$ et $B$ et supporte une charge $F = 12 kN$ en son milieu $C$ .

Déterminer les réactions d'appuis $R_{A}, R_{B}$ .
Établir l'expression du moment fléchissant maximal $M_{f z, max}$ .
Dimensionner un profilé IPE ( $W_{f z} = \frac{I _{G z}}{v}$ ) pour $R_{p e} = 160 M Pa$ .

Démonstration

1. Par symétrie : $R_{A} = R_{B} = \frac{F}{2} = 6, 0 kN$ .

2. Pour $x \in [0, L /2]$ : $T_{y} (x) = + R_{A} = + F /2 ⟹ M_{f z} (x) = R_{A} \cdot x = \frac{F x}{2}$ . Moment maximal au centre ( $x = L /2$ ) :

$M_{f z, max} = \frac{F L}{4} = \frac{12000 \times 4 , 0}{4} = 12000 Nm = 12 kNm$

3. Module de flexion minimal requis :

$W_{f z} \geq \frac{M _{f z, max}}{R _{p e}} = \frac{12000}{160 \times 1 0 ^{6}} = 7, 5 \times 1 0^{- 5} m^{3} = 75 c m^{3}$

On choisit un profilé normalisé IPE 140 ( $W_{f z} = 77, 3 c m^{3}$ ).

Exercice 5 : Flèche maximale d'une poutre console encastrée (

⋆ ⋆

)

Une poutre console de longueur $L$ encastrée en $A$ supporte une charge ponctuelle $F$ à son extrémité libre $B$ . Établir l'équation de la flèche $y (x)$ et calculer la flèche maximale en $B$ .

Démonstration

Moment fléchissant : $M_{f z} (x) = - F (L - x)$ . Équation différentielle : $E I_{G z} y^{''} (x) = F (L - x)$ . Par intégrations successives avec conditions aux limites d'encastrement en $x = 0$ ( $y (0) = 0, y^{'} (0) = 0$ ) :

$E I_{G z} y^{'} (x) = F (Lx - \frac{x ^{2}}{2}), E I_{G z} y (x) = F (\frac{L x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6})$

Flèche maximale en $x = L$ :

$f_{max} = y (L) = \frac{F L ^{3}}{3 E I _{G z}}$

Exercice 6 : Cisaillement d'un axe d'articulation à double cisaillement (

⋆

)

Une chape applique un effort $F = 40 kN$ sur un axe d'articulation en acier ( $R_{p g} = 100 M Pa$ ) cisaillé en deux sections ( $n = 2$ ). Calculer le diamètre minimal de l'axe.

Démonstration

Effort par section cisaillée : $T = \frac{F}{2} = 20000 N$ .

$τ = \frac{T}{\frac{π d ^{2}}{4}} = \frac{4 T}{π d ^{2}} \leq R_{p g} ⟹ d \geq \frac{4 \times 20000}{π \times 100 \times 1 0 ^{6}} = 2, 546 \times 1 0^{- 4} \approx 0, 0160 m = 16, 0 mm$

Exercice 7 : Sollicitations composées : Flexion et Torsion combinées (Arbre de réducteur) (

⋆ ⋆

)

Un arbre de diamètre $d = 50 mm$ subit simultanément un moment fléchissant $M_{f} = 600 Nm$ et un moment de torsion $M_{t} = 800 Nm$ . Calculer la contrainte équivalente de Von Mises $σ_{eq}$ .

Démonstration

Module de flexion et torsion : $W_{f} = \frac{π d ^{3}}{32} \approx 1, 227 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ . Contrainte normale maximale : $σ = \frac{M _{f}}{W _{f}} = \frac{600}{1 , 227 \times 1 0 ^{- 5}} = 48, 9 M Pa$ . Contrainte tangentielle maximale : $τ = \frac{M _{t}}{2 W _{f}} = \frac{800}{2 , 454 \times 1 0 ^{- 5}} = 32, 6 M Pa$ . Contrainte équivalente de Von Mises :

$σ_{eq} = σ^{2} + 3 τ^{2} = (48, 9)^{2} + 3 (32, 6)^{2} = 2391 + 3188 = 5579 \approx 74, 7 M Pa$

Exercice 8 : Flambement d'une colonne élancée : Formule d'Euler (

⋆ ⋆

)

Une bielle articulée à ses deux extrémités ( $L_{k} = L = 0, 80 m$ ) en acier ( $E = 210 G Pa$ ) a une section circulaire de diamètre $d = 20 mm$ . Calculer la charge critique d'Euler $F_{crit}$ au flambement.

Démonstration

Moment quadratique : $I = \frac{π d ^{4}}{64} = \frac{π ( 0 , 020 ) ^{4}}{64} \approx 7, 854 \times 1 0^{- 9} m^{4}$ . Formule d'Euler :

$F_{crit} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}} = \frac{π ^{2} \times ( 210 \times 1 0 ^{9} ) \times ( 7 , 854 \times 1 0 ^{- 9} )}{( 0 , 80 ) ^{2}} = \frac{16279}{0 , 64} \approx 25436 N \approx 25, 4 kN$

Exercice 9 : Réservoir cylindrique mince sous pression (Formule des chaudières) (

⋆

)

Un réservoir cylindrique d'air comprimé de diamètre intérieur $D = 600 mm$ et d'épaisseur $e = 4, 0 mm$ est soumis à une pression interne $P = 2, 0 M Pa = 20 bar$ . Calculer la contrainte circonférentielle tangentielle $σ_{θ}$ .

Démonstration

Formule des tubes minces :

$σ_{θ} = \frac{P \cdot D}{2 e} = \frac{2 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 0 , 600}{2 \times 0 , 004} = \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{6}}{0 , 008} = 150 M Pa$

Exercice 10 : Coefficient de concentration de contraintes

K_{t}

dans un arbre avec gorge (

⋆ ⋆

)

Un arbre de diamètre $D = 40 mm$ comporte une gorge de fond de diamètre $d = 32 mm$ et rayon de gorge $r = 2, 0 mm$ ( $K_{t} = 2, 1$ ). L'arbre est soumis à une traction nominale $σ_{0} = 80 M Pa$ . Calculer la contrainte maximale réelle de pointe $σ_{max}$ en fond d'entaille.

Démonstration

$σ_{max} = K_{t} \cdot σ_{0} = 2, 1 \times 80 = 168 M Pa$

La contrainte locale est plus que doublée en fond de gorge, soulignant l'importance d'adopter des rayons de raccordement généreux pour prévenir la rupture en fatigue.

13.4 Problèmes contextualisés

Exemple 13.13Problème 1 : Dimensionnement du longeron principal d'aile d'un avion d'affaires en matériaux composites carbone/époxy (

⋆ ⋆

)

L'aile d'un jet d'affaires de demi-envergure $L = 8, 0 m$ encaisse une portance aérodynamique totale de $F_{z} = 120 kN$ modélisée par une charge trapézoïdale décroissante.

Établir l'expression du moment fléchissant d'emplanture $M_{f z} (0)$ .
Dimensionner les semelles de longeron en composite carbone ( $E = 140 G Pa, σ_{adm} = 600 M Pa$ ) pour limiter la flèche d'extrémité à $f_{max} \leq 0, 35 m$ sous facteur de charge limite $n = 3, 8 g$ .

Démonstration

1. Pour une charge équivalente concentrée au centre de poussée à $x_{p} \approx 0, 42 L = 3, 36 m$ :

$M_{f z, emplanture} = F_{z} \cdot x_{p} = 120000 \times 3, 36 = 403, 2 kNm$

Sous facteur de charge $n = 3, 8$ : $M_{f z, max} = 3, 8 \times 403, 2 = 1532 kNm$ .

2. Avec une hauteur de longeron $h = 0, 30 m$ , l'effort axial dans chaque semelle vaut $N_{semelle} = \frac{M _{f z, max}}{h} = \frac{1 , 532 \times 1 0 ^{6}}{0 , 30} \approx 5, 11 MN$ . Section requise : $S \geq \frac{N}{σ _{adm}} = \frac{5 , 11 \times 1 0 ^{6}}{600 \times 1 0 ^{6}} \approx 85, 2 \times 1 0^{- 4} m^{2} = 85, 2 c m^{2}$ .

Important

Ce que ça nous apprend. En construction aéronautique, le dimensionnement des semelles de longeron découle directement de l'équilibre des moments fléchissants extrêmes en ressource à fort facteur de charge.

Exemple 13.14Problème 2 : Vilebrequin de moteur V6 biturbo : calcul en fatigue multiaxiale (Dang Van) (

⋆ ⋆

)

Un maneton de vilebrequin encaisse un pic de pression de combustion de $180 bar$ créant une force de bielle $F_{b} = 95 kN$ et un couple instantané de $1200 Nm$ . Analyser le critère de tenue en fatigue sous sollicitations cycliques combinées de flexion et torsion avec contrainte moyenne résiduelle de galetage.

Démonstration

Le critère de Dang Van évalue la combinaison de la cission maximale microscopique $τ_{max} (t)$ et de la pression hydrostatique maximale $P_{h} (t)$ . Le galetage mécanique des congés de raccordement introduit une précontrainte de compression qui abaisse $P_{h}$ , déplaçant le point de fonctionnement sous la droite limite d'endurance infinie ( $> 1 0^{7}$ cycles).

Important

Ce que ça nous apprend. La fatigue multiaxiale des composants moteurs est maîtrisée par la synergie entre calcul RDM avancé et traitements mécaniques d'écrouissage superficiel.

Exemple 13.15Problème 3 : Flèche et rigidité dynamique d'une traverse de pont roulant de

50 tonnes

(

⋆ ⋆

)

Une poutre caisson soudée de portée $L = 24 m$ supporte un chariot de levage de $M = 50000 kg$ . Calculer le moment quadratique $I_{G z}$ requis pour respecter le critère sévère de flèche admissible des ponts roulants $f_{adm} = \frac{L}{1000} = 24 mm$ .

Démonstration

Charge : $F = M g = 50000 \times 9, 81 = 490500 N$ . Flèche au centre d'une poutre bi-articulée :

$f = \frac{F L ^{3}}{48 E I _{G z}} \leq f_{adm} ⟹ I_{G z} \geq \frac{F L ^{3}}{48 E f _{adm}}$

$I_{G z} \geq \frac{490500 \times ( 24 ) ^{3}}{48 \times ( 210 \times 1 0 ^{9} ) \times 0 , 024} = \frac{490500 \times 13824}{2 , 4192 \times 1 0 ^{11}} = \frac{6 , 7806 \times 1 0 ^{9}}{2 , 4192 \times 1 0 ^{11}} \approx 0, 0280 m^{4} = 2, 80 \times 1 0^{7} cm^{4}$

Important

Ce que ça nous apprend. Pour les structures de grande portée, le critère de rigidité élastique (limitation de flèche $L /1000$ ) est systématiquement plus dimensionnant que le critère de contrainte de rupture.

Exemple 13.16Problème 4 : Arbre de rotor d'hélicoptère en titane Ti-6Al-4V sous battement et traînée (

⋆ ⋆

)

Le mât rotor principal d'un hélicoptère transmet la puissance de sustentation ( $M_{t} = 35 kNm$ ), encaisse la traction verticale du rotor ( $N = 65 kN$ ) et subit un moment de flexion alterné de battement ( $M_{f} = 18 kNm$ ). Calculer la contrainte équivalente de Von Mises maximale dans la section tubulaire ( $D_{ext} = 130 mm, D_{int} = 100 mm$ ).

Démonstration

Section tubulaire : $S = \frac{π}{4} (D^{2} - d^{2}) = \frac{π}{4} (0, 13 0^{2} - 0, 10 0^{2}) \approx 5, 419 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ . Moment quadratique : $I_{G z} = \frac{π}{64} (D^{4} - d^{4}) = \frac{π}{64} (0, 13 0^{4} - 0, 10 0^{4}) \approx 9, 111 \times 1 0^{- 6} m^{4}$ . $W_{f} = \frac{I _{G z}}{D /2} \approx 1, 402 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ , $I_{0} = 2 I_{G z} ⟹ W_{t} = \frac{I _{0}}{D /2} \approx 2, 803 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ .

Contraintes : $σ_{N} = \frac{N}{S} = \frac{65000}{5 , 419 \times 1 0 ^{- 3}} = 12, 0 M Pa$ . $σ_{f} = \frac{M _{f}}{W _{f}} = \frac{18000}{1 , 402 \times 1 0 ^{- 4}} = 128, 4 M Pa$ . $σ_{tot} = 12, 0 + 128, 4 = 140, 4 M Pa$ . $τ = \frac{M _{t}}{W _{t}} = \frac{35000}{2 , 803 \times 1 0 ^{- 4}} = 124, 9 M Pa$ .

Contrainte équivalente de Von Mises :

$σ_{eq} = (140, 4)^{2} + 3 (124, 9)^{2} = 19712 + 46800 = 66512 \approx 257, 9 M Pa \leq R_{p e} \approx 450 M Pa$

Important

Ce que ça nous apprend. Le mât rotor d'hélicoptère est l'exemple type de composant critique de sécurité soumis à un état de contraintes triaxial combinant traction, flexion tournante et torsion permanente.

Exemple 13.17Problème 5 : Enveloppe sous-marine d'exploration abyssale (

P = 1100 bar

, fosse des Mariannes) (

⋆ ⋆

)

Une sphère habitée de sous-marin habité de rayon moyen $R = 1, 10 m$ en alliage de titane haute résistance ( $R_{e} = 950 M Pa$ ) plonge à $h = 11000 m$ sous pression hydrostatique $P = 110 M Pa$ . Dimensionner l'épaisseur de paroi $e$ pour respecter un coefficient de sécurité $s = 1, 5$ contre la plastification en compression sphérique ( $σ = \frac{P R}{2 e}$ ).

Démonstration

Contrainte admissible en compression : $R_{p e} = \frac{R _{e}}{s} = \frac{950}{1 , 5} \approx 633, 3 M Pa$ . Condition de résistance :

$σ = \frac{P R}{2 e} \leq R_{p e} ⟹ e \geq \frac{P R}{2 R _{p e}} = \frac{110 \times 1 0 ^{6} \times 1 , 10}{2 \times ( 633 , 3 \times 1 0 ^{6} )} = \frac{1 , 21 \times 1 0 ^{8}}{1 , 2667 \times 1 0 ^{9}} \approx 0, 0955 m = 95, 5 mm$

On adopte une épaisseur forgée et usinée de $e = 100 mm = 10 cm$ de titane massif.

Important

Ce que ça nous apprend. Aux tréfonds des océans à plus de 1000 atmosphères, l'équilibre membranaire sphérique permet de contenir des pressions extrêmes avec une masse compatible avec la flottabilité du submersible.

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