Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle

Cours complet · sciences industrielles (PTSI), chapitre 12 · CPGE PTSI (1re année)

12.1 Concepts fondamentaux de la norme ISO-GPS et tolérancement

La Spécification Géométrique des Produits (GPS) définit le langage normalisé international permettant d'exprimer rigoureusement sur un plan technique les exigences fonctionnelles dimensionnelles, de forme, d'orientation, de position et de battement requises pour garantir l'interchangeabilité et le fonctionnement d'un mécanisme.

Figure : Structure normalisée du cadre de tolérance géométrique ISO-GPS

◆Théorème 12.1Ajustements normalisés ISO (Système de l'alésage normal

H

)

Un ajustement cylindrique est noté $\emptyset D H7/g6$ .

L'alésage $H 7$ a un écart inférieur nul ( $E I = 0$ ) et un écart supérieur $E S = + I T_{H} > 0$ .
L'arbre $g 6, f 7, h 6$ définit un ajustement avec jeu ( $J_{maxi} = E S - e i > 0, J_{mini} = E I - es > 0$ ).
L'arbre $p 6, s 6$ définit un ajustement avec serrage ( $S_{maxi} = es - E I > 0, S_{mini} = e i - E S > 0$ ).
L'arbre $j s 6, k 6, m 6$ définit un ajustement incertain.

12.2 Cotation fonctionnelle et chaînes de cotes unidirectionnelles

La cotation fonctionnelle prend le problème par la fin : on part de la condition à respecter — un jeu qui doit rester positif, un dépassement qui doit rester borné — et l'on remonte aux cotes des pièces qui la réalisent. La condition $J$ et les cotes qui y contribuent forment une chaîne de cotes : une suite de vecteurs mis bout à bout qui se referme sur la condition.

Deux règles suffisent à l'exploiter. La cote nominale de la condition est la somme algébrique des cotes de la chaîne, comptées positivement dans un sens et négativement dans l'autre. Et l'intervalle de tolérance de la condition est la somme des intervalles de tolérance de toutes les cotes, quels que soient les signes : les dispersions s'ajoutent toujours. D'où la règle de conception qui en découle — une chaîne courte est une chaîne précise, et l'on cherche à réduire le nombre de pièces qui participent à une condition.

iRemarqueExigence du maximum de matière

Le symbole \textcircled{\raisebox{0.15ex}{ M}} signale que la tolérance géométrique indiquée est celle qui s'applique lorsque la pièce est au maximum de matière — arbre au plus gros, alésage au plus petit. Si la pièce s'en écarte, le jeu ainsi libéré peut être ajouté à la tolérance géométrique sans compromettre l'assemblage : c'est un bonus de tolérance, qui abaisse le coût de fabrication sans changer la fonction. Cette exigence ne s'emploie donc que pour des conditions d'assemblage, jamais pour une condition de précision cinématique.

Figure : Chaîne de cotes fermée relative à une condition de jeu fonctionnel

J_{a}

◆Théorème 12.2Équations aux cotes limites d'une chaîne de cotes

Le vecteur jeu $J$ oriente la boucle de chaîne :

$J + \sum a_{i} = 0 ⟹ J = a_{positifs} - a_{n e ˊ gatifs}$

$J_{maxi} = \sum a_{pos, maxi} - \sum a_{n e ˊ g, mini}$
$J_{mini} = \sum a_{pos, mini} - \sum a_{n e ˊ g, maxi}$
Intervalle de tolérance du jeu : $I T (J) = J_{maxi} - J_{mini} = \sum I T (a_{i})$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>12.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Calcul des jeux limites d'un ajustement

\emptyset 40 H7/g6

(

⋆

)

Données ISO pour $\emptyset 40$ : Alésage $H 7 : 0/ + 25 μ m$ ( $E S = + 25, E I = 0$ ). Arbre $g 6 : - 25 μ m / - 9 μ m$ ( $es = - 9, e i = - 25$ ). Calculer $J_{maxi}, J_{mini}$ et $I T (J)$ .

Démonstration

$J_{maxi} = E S - e i = (+ 25) - (- 25) = + 50 μ m = + 0, 050 mm$

$J_{mini} = E I - es = (0) - (- 9) = + 9 μ m = + 0, 009 mm$

$I T (J) = J_{maxi} - J_{mini} = 50 - 9 = 41 μ m = I T_{al e ˊ sage} + I T_{arbre} = 25 + 16 = 41 μ m$

L'ajustement est toujours glissant avec un jeu compris entre $9$ et $50 μ m$ .

Exercice 2 : Serrage d'un ajustement

\emptyset 30 H7/p6

(

⋆

)

Données ISO pour $\emptyset 30$ : Alésage $H 7 : 0/ + 21 μ m$ . Arbre $p 6 : + 22 μ m / + 35 μ m$ . Calculer $S_{maxi}$ et $S_{mini}$ .

Démonstration

$S_{maxi} = e s_{arbre} - E I_{al e ˊ sage} = 35 - 0 = + 35 μ m$

$S_{mini} = e i_{arbre} - E S_{al e ˊ sage} = 22 - 21 = + 1 μ m$

Il y a un serrage garanti d'au moins $1 μ m$ et d'au plus $35 μ m$ (montage à la presse ou par frettage thermique).

Exercice 3 : Établissement d'une chaîne de cotes de jeu axial de bielle (

⋆ ⋆

)

Une bielle (cote $a_{1} = 30 \pm 0, 1$ ) est montée entre deux épaulements de vilebrequin (cote $a_{0} = 30, 5 \pm 0, 15$ ). Écrire l'équation du jeu axial $J_{x}$ et calculer $J_{maxi}$ et $J_{mini}$ .

Démonstration

Équation de projection : $J_{x} = a_{0} - a_{1} ⟹ J_{x} = a_{0} - a_{1}$ .

$J_{maxi} = a_{0, maxi} - a_{1, mini} = (30, 5 + 0, 15) - (30, 0 - 0, 1) = 30, 65 - 29, 90 = 0, 75 mm$

$J_{mini} = a_{0, mini} - a_{1, maxi} = (30, 5 - 0, 15) - (30, 0 + 0, 1) = 30, 35 - 30, 10 = 0, 25 mm$

$I T (J) = 0, 75 - 0, 25 = 0, 50 mm = I T (a_{0}) + I T (a_{1}) = 0, 30 + 0, 20 = 0, 50 mm$ .

Exercice 4 : Tolérance de coaxialité et zone de tolérance cylindrique (

⋆

)

Décrire la signification de l'indication : symbole coaxialité $\subset \supset \emptyset 0, 02 A$ .

Démonstration

L'axe de l'élément cylindrique toléré doit être intégralement contenu à l'intérieur d'une zone de tolérance cylindrique de diamètre $0, 02 mm$ , coaxiale à l'axe de référence spécifié $A$ .

Exercice 5 : Tolérance de planéité d'une face de carter (

⋆

)

Décrire la signification de : symbole planéité $□ 0, 05$ .

Démonstration

La surface réelle extraite du carter doit être comprise entre deux plans géométriques parallèles distants de $0, 05 mm$ (sans référence à un autre élément).

Exemple 12.8

[Exercice 6 : Principe du Maximum de Matière (symbole

M ◯

) (

⋆ ⋆

)]

Expliquer le bonus de tolérance accordé par le principe du maximum de matière lors du contrôle par calibre à limites d'un perçage de positionnement.

Démonstration

L'état au maximum de matière correspond au plus petit trou admissible ( $D_{mini}$ ). Si le trou réel est usiné à un diamètre supérieur $D_{r e ˊ el} > D_{mini}$ , la tolérance de localisation admissible augmente de la valeur de l'écart $D_{r e ˊ el} - D_{mini}$ , sans compromettre l'assemblage avec la goupille homologue.

Exercice 7 : Transfert de cotes de fabrication en tournage (

⋆ ⋆

)

Un bureau des méthodes doit transformer une cote bureau d'études $B_{1} = 4 0^{\pm 0, 1}$ non directement mesurable en cours d'usinage en deux cotes de fabrication $F_{1}$ et $F_{2} = 1 5^{\pm 0, 05}$ . Calculer la cote de fabrication $F_{1}$ et son intervalle de tolérance $I T (F_{1})$ .

Démonstration

Relation : $B_{1} = F_{1} - F_{2} ⟹ F_{1} = B_{1} + F_{2} = 40 + 15 = 55 mm$ . Intervalle de tolérance : $I T (B_{1}) = I T (F_{1}) + I T (F_{2}) ⟹ I T (F_{1}) = I T (B_{1}) - I T (F_{2}) = 0, 20 - 0, 10 = 0, 10 mm$ . Donc $F_{1} = 5 5^{\pm 0, 05}$ .

Exercice 8 : Tolérance de perpendicularité avec référence spécifiée (

⋆

)

Décrire la zone de tolérance de : symbole $⊥ 0, 03 B$ .

Démonstration

La surface tolérée doit être comprise entre deux plans parallèles distants de $0, 03 mm$ et strictement perpendiculaires au plan de référence primaire $B$ .

Exercice 9 : Battement circulaire radial et total (

⋆ ⋆

)

Distinguer le battement circulaire radial du battement total radial pour une portée d'arbre tournant à haute vitesse.

Démonstration

Battement circulaire : mesuré par un comparateur fixe sur une section circulaire unique lors d'un tour complet (cumul des défauts de circularité et de faux-rond/excentrement).
Battement total : mesuré sur toute la longueur de la portée pendant la rotation combinée au déplacement longitudinal du comparateur (cumul circularité, coaxialité, cylindricité et rectitude de l'axe).

Exercice 10 : Calcul statistique des chaînes de cotes (

⋆ ⋆

)

Une chaîne de 9 cotes indépendantes ayant chacune un $I T = 0, 06 mm$ réparties selon une loi normale ( $C p = 1, 33$ ). Comparer l'IT arithmétique (pire cas) et l'IT quadratique statistique $I T_{stat} = \sum I T_{i}^{2}$ .

Démonstration

Pire des cas (arithmétique) : $I T_{pire} = 9 \times 0, 06 = 0, 54 mm$ .
Calcul statistique : $I T_{stat} = 9 \times (0, 06)^{2} = 3 \times 0, 06 = 0, 18 mm$ .

Le calcul statistique divise par 3 l'intervalle de tolérance global pour un risque de non-conformité inférieur à $0, 27%$ , réduisant massivement les coûts d'usinage.

12.4 Problèmes contextualisés

Exemple 12.13Problème 1 : Cotation fonctionnelle d'un réducteur de vitesse à engrenages étanche (

⋆ ⋆

)

Établir le graphe de liaison, les chaînes de cotes minimales pour :

La condition de jeu fonctionnel $J_{A}$ d'engrènement sans serrage des dentures.
La condition d'écrasement $J_{B}$ du joint torique d'étanchéité de couvercle.

Démonstration

La chaîne d'entraxe $J_{A}$ relie l'alésage carter de l'arbre 1, l'alésage carter de l'arbre 2 et les deux diamètres primitifs : $J_{A} = a_{carter} - (r_{1} + r_{2})$ .
La chaîne $J_{B}$ d'écrasement de joint torique relie la profondeur de gorge $p_{gorge}$ , l'épaisseur de joint $d_{joint}$ et la face du couvercle pour garantir un taux de compression entre 15% et 25%.

Important

Ce que ça nous apprend. La cotation fonctionnelle est l'outil contractuel rigoureux qui garantit simultanément l'assemblabilité, le rendement mécanique et l'étanchéité industrielle.

Exemple 12.14Problème 2 : Spécification GPS de la ligne d'arbre d'un turboréacteur LEAP (

⋆ ⋆

)

Analyser les spécifications de localisation au maximum de matière $ϕ pos \emptyset 0, 015 (M) A B (M)$ des 24 perçages de brides de carter structural.

Démonstration

La spécification assure le montage automatique des 24 boulons haute résistance par robot de vissage sans reprise manuelle, en garantissant qu'aucune interférence géométrique n'apparaîtra quelles que soient les dispersions d'usinage des brides.

Important

Ce que ça nous apprend. Le tolérancement GPS au maximum de matière est la clé de la fabrication sans retouche et de l'interchangeabilité globale dans l'industrie aéronautique mondiale.

Exemple 12.15Problème 3 : Chaîne de cotes d'un empilement de plaquettes de frein carbone-carbone d'Airbus A350 (

⋆ ⋆

)

Un frein d'atterrissage comporte 5 disques rotors et 4 disques stators. Le jeu total de garde au repos doit être $J_{garde} \in [8, 0, 12, 0] mm$ . Calculer l'IT admissible sur l'épaisseur de chaque disque en méthode statistique.

Démonstration

Nombre de disques : $n = 9$ . $I T (J) = 12, 0 - 8, 0 = 4, 0 mm$ . Par calcul quadratique : $I T (J) = 9 \cdot I T_{d}^{2} = 3 \cdot I T_{d} ⟹ I T_{d} = \frac{4 , 0}{3} \approx 1, 33 mm$ . (Contre seulement $\frac{4 , 0}{9} = 0, 44 mm$ en arithmétique pure).

Important

Ce que ça nous apprend. L'approche statistique en cotation fonctionnelle permet d'élargir considérablement les tolérances de fabrication individuelles sur les assemblages multi-pièces sans risque opérationnel.

Exemple 12.16Problème 4 : Contrôle tridimensionnel sur Machine à Mesurer Tridimensionnelle (MMT) (

⋆ ⋆

)

Expliquer comment une MMT palpe les surfaces réelles, reconstruit les éléments géométriques idéaux par moindres carrés (Gauss) ou Chebyshev (zone minimale) et vérifie la conformité au modèle GPS.

Démonstration

La MMT acquiert un nuage de points par palpeur optique ou tactile piézoélectrique. Un algorithme d'optimisation associe le cylindre ou plan idéal selon le critère de Chebyshev (écart minimax) pour vérifier que l'élément réel ne déborde pas de la zone de tolérance prescrite.

Important

Ce que ça nous apprend. La métrologie 3D numérique moderne matérialise fidèlement la philosophie mathématique du tolérancement ISO-GPS.

Exemple 12.17Problème 5 : Démarche d'ajustement sans jeu d'un vérin hydraulique haute pression (

350 bar

) (

⋆ ⋆

)

Déterminer l'ajustement piston/chemise garantissant le guidage précis sans arc-boutement et l'étanchéité par joint composite PTFE/NBR.

Démonstration

Chemise alésée en $H 8$ rodée ( $R a < 0, 2 μ m$ ), piston guidé par bandes de guidage en résine acétal ajustées $f 7$ , avec gorge normalisée ISO 7425 pour bague PTFE préchargée par joint torique NBR.

Important

Ce que ça nous apprend. L'association cohérente des tolérances dimensionnelles, géométriques et des états de surface conditionne l'endurance des actionneurs sous très haute pression.

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