Performances des Systèmes Asservis et Stabilité

Cours complet · sciences industrielles (PTSI), chapitre 4 · CPGE PTSI (1re année)

4.1 Critères de performance d'un système asservi

Ces trois critères ne se règlent pas indépendamment : ils s'opposent. Augmenter le gain de boucle rend le système plus précis et plus rapide, mais rapproche les pôles de l'axe imaginaire et dégrade la stabilité ; l'amortir le stabilise et le calme, mais le ralentit. Tout le travail de conception consiste à placer le curseur, et le cahier des charges dit où.

Le point commode est qu'une seule expérience les mesure tous les trois : la réponse indicielle donne à la fois le dépassement (amortissement), le temps de réponse (rapidité) et l'écart qui subsiste en régime permanent (précision). C'est cette courbe, et les grandeurs qu'on y relève, que la figure ci-dessous définit une fois pour toutes.

L'évaluation d'un système asservi repose sur trois critères majeurs du cahier des charges :

Stabilité : condition absolue sans laquelle le système est inexploitable.
Précision : minimisation des erreurs permanentes et transitoires (statique, traînage, accélération).
Rapidité et amortissement : temps de montée $t_{m}$ , temps de réponse $t_{5%}$ et dépassement $D_{1%}$ .

4.2 Stabilité des SLCI

Définition 4.1Stabilité Entrée Bornée / Sortie Bornée - BIBO

Un système est stable si à toute entrée bornée correspond une réponse bornée. En boucle fermée, cela équivaut à : tous les pôles de la FTBF ont une partie réelle strictement négative ( $Re (p_{i}) < 0$ ).

Méthode : Critère algébrique de Routh-Hurwitz

Chercher les racines du dénominateur devient impraticable au-delà du second ordre. Le critère de Routh-Hurwitz répond à la seule question utile — les pôles sont-ils tous à partie réelle négative ? — sans jamais les calculer.

Soit le dénominateur de la FTBF $D (p) = a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p + a_{0}$ .

Condition nécessaire : tous les coefficients $a_{i}$ doivent être présents et de même signe. Un coefficient nul ou de signe contraire suffit à conclure à l'instabilité, sans construire le tableau.

Tableau de Routh : les deux premières lignes reçoivent les coefficients pris un sur deux ; chaque ligne suivante se déduit des deux précédentes.

$p^{n} p^{n - 1} p^{n - 2} ⋮ a_{n} a_{n - 1} b_{1} ⋮ a_{n - 2} a_{n - 3} b_{2} \dots \dots \dots$

$b_{1} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 2} - a _{n} a _{n - 3}}{a _{n - 1}}, b_{2} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 4} - a _{n} a _{n - 5}}{a _{n - 1}}$

Conclusion : le système est stable en boucle fermée si et seulement si tous les termes de la première colonne sont strictement de même signe. Le nombre de changements de signe dans cette colonne donne le nombre de pôles à partie réelle positive.

iRemarque

Un terme de la première colonne qui s'annule marque la limite de stabilité : deux pôles conjugués viennent se poser sur l'axe imaginaire et la sortie entretient des oscillations d'amplitude constante. C'est cette valeur limite du gain que l'on cherche en pratique, car elle borne le réglage admissible du correcteur.

4.3 Marges de stabilité

La stabilité n'est pas une propriété binaire : un système dont les pôles frôlent l'axe imaginaire est stable sur le papier et inexploitable en pratique, car la moindre dérive d'un paramètre — un jeu qui s'installe, un retard de calcul, un échauffement — le fait basculer. Les marges de stabilité mesurent cette réserve, et se lisent directement sur le diagramme de Bode de la FTBO.

Définition 4.2Marges de gain et de phase

On repère sur la FTBO $T (j ω)$ deux pulsations particulières :

la pulsation de coupure $ω_{0 dB}$ , où le gain vaut $0 dB$ , c'est-à-dire $∣ T (j ω_{0 dB}) ∣ = 1$ ;
la pulsation $ω_{- 18 0^{\circ}}$ , où la phase vaut $- 18 0^{\circ}$ .

Les deux marges s'en déduisent :

$Δ ϕ = 18 0^{\circ} + φ (ω_{0 dB}) et Δ G = - 20 lo g ∣ T (j ω_{- 18 0^{\circ}}) ∣ [dB]$

iRemarque

Ces deux nombres répondent à la même question posée de deux façons : de combien peut-on dégrader la boucle avant qu'elle n'oscille ? La marge de phase est le retard de phase supplémentaire que le système tolère à sa pulsation de coupure ; la marge de gain est le facteur dont on peut encore multiplier le gain avant l'instabilité. Un système instable en boucle fermée présente une marge négative.

Méthode : Lire les marges sur un diagramme de Bode

Tracer le Bode de la FTBO (et non de la FTBF) : c'est elle qui porte l'information de stabilité de la boucle fermée.
Repérer $ω_{0 dB}$ sur la courbe de gain, descendre à la verticale sur la courbe de phase, et mesurer l'écart qui reste jusqu'à $- 18 0^{\circ}$ : c'est $Δ ϕ$ .
Repérer $ω_{- 18 0^{\circ}}$ sur la courbe de phase, remonter sur la courbe de gain, et mesurer l'écart qui reste jusqu'à $0 dB$ : c'est $Δ G$ .

Un cahier des charges industriel exige couramment $Δ ϕ \geq 45°$ (souvent $45°$ à $60°$ ) et $Δ G \geq 10 dB$ . Une marge de phase trop faible se paie en dépassement ; une marge trop généreuse, en lenteur.

Figure : Définition graphique des marges de phase

Δ ϕ

et de gain

Δ G

sur Bode

4.4 Précision des systèmes asservis

La précision se juge sur l'écart $ε (p)$ , différence entre la consigne et la mesure, c'est-à-dire sur le signal qui entre dans le correcteur. Pour une boucle à retour unitaire de FTBO $T (p)$ , cet écart vaut $ε (p) = \frac{E ( p )}{1 + T ( p )}$ , et le théorème de la valeur finale en donne la limite en régime permanent :

$ε_{\infty} = p \to 0 lim p ε (p) = p \to 0 lim \frac{p E ( p )}{1 + T ( p )}$

Tout se joue alors sur le nombre d'intégrateurs de la boucle ouverte, c'est-à-dire sur l'ordre $α$ du pôle de $T (p)$ à l'origine — ce qu'on appelle la classe du système. Un intégrateur accumule l'écart tant qu'il n'est pas nul : sa seule présence force donc l'écart permanent à s'annuler pour l'entrée correspondante. Une classe de plus annule un ordre d'écart de plus, et le tableau ci-dessous n'est que la lecture systématique de cette phrase.

Attention

Ajouter un intégrateur ne se fait pas gratuitement : il retire $9 0^{\circ}$ de phase à toutes les pulsations et ronge donc la marge de phase. La précision se paie en stabilité.

Classe $α$	Échelon (Position) $ε_{s}$	Rampe (Vitesse) $ε_{v}$	Parabole (Accélération) $ε_{a}$
$α = 0$	$\frac{e _{0}}{1 + K _{B O}}$	$\infty$	$\infty$
$α = 1$	$0$	$\frac{v _{0}}{K _{B O}}$	$\infty$
$α = 2$	$0$	$0$	$\frac{a _{0}}{K _{B O}}$

Figure : Erreurs permanentes en fonction de la classe

α

de la FTBO

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Critère de Routh-Hurwitz ordre 3 (

⋆

)

Soit un système de FTBF de dénominateur $D (p) = p^{3} + 4 p^{2} + 5 p + K$ . Déterminer la plage de gain $K$ assurant la stabilité stricte du système.

Démonstration

Tableau de Routh :

$p^{3}$	1	5
$p^{2}$	4	$K$
$p^{1}$	$\frac{4 \times 5 - 1 \times K}{4} = \frac{20 - K}{4}$	0
$p^{0}$	$K$	0

Pour que tous les termes de la première colonne soient strictement positifs :

$K > 0$
$\frac{20 - K}{4} > 0 ⟹ K < 20$

Le système est strictement stable en boucle fermée si et seulement si $0 < K < 20$ . Pour $K = 20$ , le système est à la limite de stabilité avec des oscillations pures entretenues de pulsation $ω = K /4 = 5 rad/s$ .

Exercice 2 : Calcul analytique de la marge de phase (

⋆ ⋆

)

Un système asservi à retour unitaire a pour FTBO $T (p) = \frac{10}{p ( 1 + 0 , 1 p )}$ .

Calculer la pulsation de coupure à $0 dB$ $ω_{0 dB}$ .
En déduire la marge de phase $Δ ϕ$ .

Démonstration

1. À $0 dB$ , $∣ T (j ω) ∣ = 1 ⟹ \frac{10}{ω 1 + 0 , 01 ω ^{2}} = 1 ⟹ ω^{2} (1 + 0, 01 ω^{2}) = 100$ . Posons $X = ω^{2} > 0$ :

$0, 01 X^{2} + X - 100 = 0 ⟺ X^{2} + 100 X - 10000 = 0$

$Δ = 10000 + 40000 = 50000 ⟹ X = \frac{- 100 + 50000}{2} = - 50 + 505 \approx - 50 + 111, 80 = 61, 80$ .

$ω_{0 dB} = 61, 80 \approx 7, 86 rad / s$

2. Phase en $ω_{0 dB}$ :

$φ (ω_{0 dB}) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 1 \times 7, 86) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 786) = - 9 0^{\circ} - 38, 1 7^{\circ} = - 128, 1 7^{\circ}$

Marge de phase :

$Δ ϕ = 18 0^{\circ} + φ (ω_{0 dB}) = 18 0^{\circ} - 128, 1 7^{\circ} = 51, 83°$

Exercice 3 : Calcul des erreurs de position et de vitesse (

⋆

)

Soit un système asservi à retour unitaire dont la FTBO est $T (p) = \frac{20}{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 05 p )}$ .

Quelle est la classe $α$ du système ?
Calculer l'erreur statique $ε_{s}$ pour un échelon unitaire $e (t) = u (t)$ .
Calculer l'erreur de traînage $ε_{v}$ pour une rampe unitaire $e (t) = t \cdot u (t)$ .

Démonstration

1. La FTBO possède un pôle simple à l'origine ( $p^{1}$ ) sous forme canonique : la classe est $α = 1$ . Le gain de boucle est $K_{B O} = 20 s^{- 1}$ .

2. Comme $α = 1 \geq 1$ , l'erreur de position en régime permanent est nulle : $ε_{s} = 0$ .

3. L'erreur de traînage en réponse à une rampe unitaire de pente $v_{0} = 1$ vaut :

$ε_{v} = \frac{v _{0}}{K _{B O}} = \frac{1}{20} = 0, 05 m = 5 cm$

Exercice 4 : Rejet d'une perturbation en échelon (

⋆ ⋆

)

Un moteur asservi en vitesse subit un couple résistant de perturbation $C_{r} (p) = \frac{C _{0}}{p}$ . La sortie s'exprime par $Ω (p) = \frac{G _{1} ( p ) G _{2} ( p )}{1 + G _{1} ( p ) G _{2} ( p )} Ω_{ref} (p) - \frac{G _{2} ( p )}{1 + G _{1} ( p ) G _{2} ( p )} C_{r} (p)$ avec $G_{2} (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ et $G_{1} (p) = K_{p} + \frac{K _{i}}{p}$ (correcteur PI). Montrer que l'écart de vitesse permanent induit par la perturbation est rigoureusement nul.

Démonstration

Pour $Ω_{ref} = 0$ :

$Ω (p) = - \frac{\frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}}{1 + \frac{K _{p} p + K _{i}}{p} \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}} \frac{C _{0}}{p} = - \frac{K _{m} p}{p ( 1 + τ _{m} p ) + K _{m} ( K _{p} p + K _{i} )} \frac{C _{0}}{p} = - \frac{K _{m} C _{0}}{p ( 1 + τ _{m} p ) + K _{m} ( K _{p} p + K _{i} )}$

Par le théorème de la valeur finale :

$Ω (+ \infty) = p \to 0 lim p Ω (p) = p \to 0 lim [- p \cdot \frac{K _{m} C _{0}}{p ( 1 + τ _{m} p ) + K _{m} K _{p} p + K _{m} K _{i}}] = 0$

L'action intégrale $K_{i} / p$ située dans la chaîne directe en amont de la perturbation annule parfaitement l'effet statique de la perturbation constante.

Exercice 5 : Système avec retard pur (

⋆ ⋆

)

Soit un procédé avec retard pur $τ = 0, 2 s$ : $G (p) = \frac{e ^{- 0, 2 p}}{1 + 0 , 5 p}$ .

Exprimer le gain $G_{dB} (ω)$ et le déphasage $φ (ω)$ de la FTBO.
Trouver la pulsation $ω_{π}$ où $φ (ω_{π}) = - 18 0^{\circ}$ .
En déduire le gain proportionnel maximal $K_{max}$ avant instabilité.

Démonstration

1. $∣ G (j ω) ∣ = \frac{∣ e ^{- 0, 2 j ω} ∣}{∣1 + 0 , 5 j ω ∣} = \frac{1}{1 + 0 , 25 ω ^{2}} ⟹ G_{dB} (ω) = - 10 lo g (1 + 0, 25 ω^{2})$ . Déphasage : $φ (ω) = - 0, 2 ω - arctan (0, 5 ω)$ (avec $ω$ en $rad/s$ et $0, 2 ω$ en radians).

2. On cherche $ω$ tel que $0, 2 ω + arctan (0, 5 ω) = π \approx 3, 1416 rad$ . Par itération numérique : Pour $ω = 5, 0$ : $0, 2 (5) + arctan (2, 5) = 1, 0 + 1, 190 = 2, 19 rad$ . Pour $ω = 7, 5$ : $0, 2 (7, 5) + arctan (3, 75) = 1, 5 + 1, 310 = 2, 81 rad$ . Pour $ω = 8, 65$ : $0, 2 (8, 65) + arctan (4, 325) = 1, 73 + 1, 343 = 3, 073 rad$ . Pour $ω \approx 8, 90 rad / s$ : $0, 2 (8, 90) + arctan (4, 45) = 1, 78 + 1, 350 = 3, 130 \approx π$ . $ω_{π} \approx 8, 90 rad / s$ .

3. Gain à la pulsation critique :

$∣ G (j ω_{π}) ∣ = \frac{1}{1 + 0 , 25 ( 8 , 90 ) ^{2}} = \frac{1}{1 + 19 , 80} = \frac{1}{20 , 80} \approx \frac{1}{4 , 56} \approx 0, 219$

Limite de stabilité : $K_{max} ∣ G (j ω_{π}) ∣ = 1 ⟹ K_{max} \approx 4, 56$ .

Exercice 6 : Compromis stabilité / rapidité / précision (

⋆

)

Expliquer l'impact de l'augmentation du gain proportionnel $K$ sur :

L'erreur statique $ε_{s}$ .
Le temps de montée $t_{m}$ et la pulsation de coupure $ω_{0 dB}$ .
La marge de phase $Δ ϕ$ et le dépassement $D_{1}$ .

Démonstration

1. Précision : $ε_{s} = \frac{e _{0}}{1 + K K _{0}}$ diminue : la précision statique s'améliore.

2. Rapidité : La courbe de gain monte verticalement de $+ 20 lo g K$ , $ω_{0 dB}$ augmente, la bande passante s'élargit : le temps de montée $t_{m}$ diminue (le système devient plus rapide).

3. Stabilité : La pulsation $ω_{0 dB}$ étant décalée vers les hautes fréquences où le déphasage est plus négatif, la marge de phase $Δ ϕ$ diminue : le système devient plus oscillatoire (le dépassement $D_{1}$ augmente) jusqu'au risque d'instabilité.

Exercice 7 : Critère de Routh à l'ordre 4 (

⋆ ⋆

)

Étudier la stabilité selon $K > 0$ du polynôme caractéristique :

$P (p) = p^{4} + 2 p^{3} + 3 p^{2} + 4 p + K$

Démonstration

Tableau de Routh :

$p^{4}$	1	3
$p^{3}$	2	4
$p^{2}$	$\frac{2 \times 3 - 1 \times 4}{2} = 1$	$K$
$p^{1}$	$\frac{1 \times 4 - 2 \times K}{1} = 4 - 2 K$	0
$p^{0}$	$K$	0

Conditions de stabilité stricte :

$4 - 2 K > 0 ⟹ K < 2$
$K > 0$

Le système est stable si et seulement si $0 < K < 2$ .

Exercice 8 : Détermination de la marge de gain (

⋆ ⋆

)

Soit la FTBO $T (p) = \frac{K}{( 1 + p ) ^{3}}$ .

Trouver la pulsation d'inversion de phase $ω_{- 180°}$ .
Calculer le module $∣ T (j ω_{- 180°}) ∣$ pour $K = 2$ .
En déduire la marge de gain $Δ G$ en $dB$ .

Démonstration

1. Phase : $φ (ω) = - 3 arctan (ω) = - 18 0^{\circ} ⟹ arctan (ω) = 6 0^{\circ} ⟹ ω_{- 180°} = tan (6 0^{\circ}) = 3 \approx 1, 732 rad / s$ .

2. Module :

$∣ T (j 3) ∣ = \frac{K}{( 1 + 3 ) ^{3}} = \frac{K}{2 ^{3}} = \frac{K}{8} = \frac{2}{8} = 0, 25$

3. Marge de gain :

$Δ G = - 20 lo g ∣ T (j ω_{- 180°}) ∣ = - 20 lo g (0, 25) = + 20 lo g (4) \approx 12, 04 dB$

Exercice 9 : Schéma-blocs non unitaire et erreur statique (

⋆ ⋆

)

Un système possède une chaîne directe $G (p) = \frac{10}{p + 1}$ et une chaîne de retour $H (p) = 2$ (capteur à gain non unitaire).

Calculer la valeur finale de la sortie $s (+ \infty)$ pour une consigne unitaire $e (t) = u (t)$ .
Définir l'écart mesuré $ε_{m} (t) = e (t) - H s (t)$ et calculer sa valeur en régime permanent.

Démonstration

1. FTBF : $F (p) = \frac{G ( p )}{1 + G ( p ) H ( p )} = \frac{\frac{10}{p + 1}}{1 + \frac{20}{p + 1}} = \frac{10}{p + 21}$ . Pour $e (t) = u (t)$ ( $E (p) = 1/ p$ ) :

$s (+ \infty) = p \to 0 lim pF (p) \frac{1}{p} = F (0) = \frac{10}{21} \approx 0, 476$

2. Le signal renvoyé par le capteur vaut $s_{m} (+ \infty) = H \cdot s (+ \infty) = 2 \times \frac{10}{21} = \frac{20}{21} \approx 0, 952$ . L'écart mesuré au comparateur vaut :

$ε_{m} (+ \infty) = 1 - \frac{20}{21} = \frac{1}{21} \approx 0, 0476$

Exercice 10 : Temps de réponse et bande passante (

⋆

)

Un système asservi en position présente une FTBF du premier ordre de pulsation de coupure $ω_{c BF} = 50 rad / s$ .

Calculer sa constante de temps en boucle fermée $τ_{B F}$ .
En déduire son temps de réponse à $5 %$ .
Si on double la bande passante ( $ω_{c BF} = 100 rad / s$ ), comment évolue $t_{5%}$ ?

Démonstration

1. $τ_{B F} = \frac{1}{ω _{c BF}} = \frac{1}{50} = 0, 02 s = 20 ms$ .

2. Temps de réponse à $5 %$ : $t_{5%} = 3 τ_{B F} = 3 \times 20 = 60 ms$ .

3. En doublant la bande passante, la constante de temps est divisée par 2 ( $τ_{B F}^{'} = 10 ms$ ), et le temps de réponse est divisé par deux : $t_{5%}^{'} = 30 ms$ (le système est deux fois plus rapide).

4.6 Problèmes contextualisés

Exemple 4.13Problème 1 : Pointage d'antenne de télécommunication satellite (

⋆ ⋆

)

Une antenne parabolique de station sol de masse importante a pour FTBO $T (p) = \frac{K _{p}}{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 02 p )}$ .

Le cahier des charges impose une marge de phase $Δ ϕ \geq 45°$ . Calculer la pulsation de coupure admissible $ω_{0 dB}$ et le gain $K_{p}$ correspondant.
Calculer l'erreur de traînage permanente lors du suivi d'un satellite en orbite défilant à vitesse constante $θ ˙_{sat} = 0, 5°/ s$ .

Démonstration

1. Déphasage de la FTBO : $φ (ω) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 2 ω) - arctan (0, 02 ω)$ . Condition de marge de phase : $φ (ω_{0 dB}) = - 18 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = - 13 5^{\circ}$ .

$arctan (0, 2 ω) + arctan (0, 02 ω) = 4 5^{\circ} ⟹ \frac{0 , 2 ω + 0 , 02 ω}{1 - 0 , 2 ω \times 0 , 02 ω} = tan (4 5^{\circ}) = 1$

$0, 22 ω = 1 - 0, 004 ω^{2} ⟺ 0, 004 ω^{2} + 0, 22 ω - 1 = 0 ⟺ 4 ω^{2} + 220 ω - 1000 = 0$

$Δ = 22 0^{2} + 16000 = 48400 + 16000 = 64400 ⟹ ω_{0 dB} = \frac{- 220 + 64400}{8} = \frac{- 220 + 253 , 77}{8} \approx 4, 22 rad / s$

Calcul du gain $K_{p}$ tel que $∣ T (j ω_{0 dB}) ∣ = 1$ :

$K_{p} = ω_{0 dB} 1 + (0, 2 \times 4, 22)^{2} 1 + (0, 02 \times 4, 22)^{2} = 4, 22 \times 1 + 0, 7123 1 + 0, 0071 = 4, 22 \times 1, 3085 \times 1, 0035 \approx 5, 54 s^{- 1}$

2. Erreur de traînage ( $α = 1$ , $v_{0} = 0, 5°/ s$ ) :

$ε_{v} = \frac{v _{0}}{K _{p}} = \frac{0 , 5°/ s}{5 , 54} \approx 0, 090° = 5, 4^{'}$

Important

Ce que ça nous apprend. La contrainte de stabilité robuste ( $Δ ϕ = 4 5^{\circ}$ ) bride le gain $K_{p}$ à $5, 54 s^{- 1}$ , ce qui laisse subsister une erreur de traînage de $5, 4^{'}$ d'arc qu'un correcteur plus évolué devra corriger.

Exemple 4.14Problème 2 : Pilote automatique de lacet d'un navire porte-conteneurs (

⋆ ⋆

)

La dynamique de cap d'un navire de $300 m$ est régie par le modèle de Nomoto : $\frac{Ψ ( p )}{δ ( p )} = \frac{K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p )}$ avec $K_{n} = 0, 08 s^{- 1}$ et $T_{n} = 25 s$ ( $Ψ$ : angle de cap, $δ$ : angle de barre).

Montrer que le système en boucle fermée avec un correcteur proportionnel $C (p) = K_{p}$ est toujours théoriquement stable quel que soit $K_{p} > 0$ .
Calculer $K_{p}$ pour obtenir un amortissement $ξ = 0, 707$ .
Calculer alors le temps de réponse à $5 %$ du cap du navire.

Démonstration

1. FTBF :

$F (p) = \frac{\frac{K _{p} K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p )}}{1 + \frac{K _{p} K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p )}} = \frac{K _{p} K _{n}}{T _{n} p ^{2} + p + K _{p} K _{n}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{K _{p} K _{n}} p + \frac{T _{n}}{K _{p} K _{n}} p ^{2}}$

C'est un polynôme du second ordre dont tous les coefficients ( $T_{n}, 1, K_{p} K_{n}$ ) sont strictement positifs pour tout $K_{p} > 0$ . Le système en boucle fermée est donc inconditionnellement stable.

2. Identification canonique :

$ω_{0} = \frac{K _{p} K _{n}}{T _{n}}, \frac{2 ξ}{ω _{0}} = \frac{1}{K _{p} K _{n}} ⟹ ξ = \frac{1}{2 K _{p} K _{n}} \frac{K _{p} K _{n}}{T _{n}} = \frac{1}{2 K _{p} K _{n} T _{n}}$

Pour $ξ = \frac{1}{2} \approx 0, 707$ :

$ξ^{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{4 K _{p} K _{n} T _{n}} ⟹ K_{p} = \frac{1}{2 K _{n} T _{n}} = \frac{1}{2 \times 0 , 08 \times 25} = \frac{1}{4} = 0, 25$

3. Pulsation propre : $ω_{0} = \frac{0 , 25 \times 0 , 08}{25} = \frac{0 , 02}{25} = 0, 0008 \approx 0, 0283 rad / s$ . Temps de réponse à $5 %$ :

$t_{5%} = \frac{3}{ω _{0}} = \frac{3}{0 , 0283} \approx 106 s \approx 1, 77 min$

Important

Ce que ça nous apprend. L'énorme inertie hydrodynamique d'un navire impose des constantes de temps de l'ordre de la minute : le pilote automatique doit anticiper les ordres de barre bien avant la fin de giration.

Exemple 4.15Problème 3 : Actionneur de genou d'un exosquelette de rééducation (

⋆ ⋆

)

Un motoréducteur sans balais actionnant une articulation de genou d'exosquelette a pour fonction de transfert de position $G (p) = \frac{40}{p ( 1 + 0 , 05 p )}$ .

Un correcteur proportionnel $C (p) = K_{p}$ est implanté. Calculer la valeur de $K_{p}$ qui assure une marge de phase $Δ ϕ = 60°$ .
En déduire le dépassement maximal en boucle fermée.

Démonstration

1. Déphasage : $φ (ω) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 05 ω)$ . Pour $Δ ϕ = 6 0^{\circ}$ , il faut $φ (ω_{0 dB}) = - 12 0^{\circ} ⟹ arctan (0, 05 ω_{0 dB}) = 3 0^{\circ}$ .

$0, 05 ω_{0 dB} = tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3} \approx 0, 577 ⟹ ω_{0 dB} = \frac{0 , 577}{0 , 05} \approx 11, 55 rad / s$

Condition de gain $∣ C (j ω) G (j ω) ∣ = 1$ en $ω_{0 dB}$ :

$\frac{40 K _{p}}{11 , 55 \times 1 + tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )} = 1 ⟹ \frac{40 K _{p}}{11 , 55 \times \frac{2}{3}} = 1 ⟹ 40 K_{p} = 11, 55 \times 1, 155 = 13, 33 ⟹ K_{p} \approx 0, 333$

2. La relation empirique reliant marge de phase et dépassement pour un second ordre donne :

$ξ \approx \frac{Δ ϕ ( en deg )}{100} \approx 0, 60 ⟹ D_{1} = e^{- \frac{π \times 0 , 6}{1 - 0 , 36}} = e^{- \frac{1 , 885}{0 , 8}} = e^{- 2, 356} \approx 0, 095 = 9, 5 %$

Important

Ce que ça nous apprend. Une marge de phase de $6 0^{\circ}$ garantit un amortissement protecteur ( $ξ \approx 0, 6$ , $D_{1} < 10 %$ ) indispensable au confort et à la sécurité articulaire du patient.

Exemple 4.16Problème 4 : Régulateur de vitesse d'une motrice de TGV en rampe (

⋆ ⋆

)

La chaîne de traction d'un TGV de masse $M = 400 t$ est soumise à une force motrice $F_{m} (t)$ et à une force de gravité sur une pente à $35 ‰$ ( $F_{p} = M g sin α \approx 137 kN$ ).

La FTBO sans correction est $T (p) = \frac{K _{t}}{p ( 1 + 2 p )}$ . Pour un correcteur $C (p) = K_{p}$ , montrer qu'une pente produit une perte de vitesse permanente.
Quelle structure de correcteur élimine totalement la chute de vitesse en rampe ?

Démonstration

1. La perturbation de pente intervient après le correcteur. Avec $C (p) = K_{p}$ , la chaîne directe ne possède pas d'intégrateur avant le point d'injection de la force de gravité :

$Δ V (+ \infty) = - \frac{1}{f + K _{p} K _{t}} F_{p 0} \neq = 0$

Le train ralentit sous l'effet de la pente.

2. Pour annuler cette erreur statique en rampe, il faut intégrer une action intégrale dans le correcteur : $C (p) = K_{p} + \frac{K _{i}}{p}$ (correcteur PI). L'intégrateur amont génère automatiquement le surcroît d'effort de traction $F_{m} = F_{p}$ nécessaire pour maintenir $V = V_{ref}$ sans écart permanent.

Important

Ce que ça nous apprend. L'action intégrale est mathématiquement indispensable dès que le système doit maintenir sa consigne face à une charge constante externe (gravité, vent, frottement sec).

Exemple 4.17Problème 5 : Miroir déformable d'optique adaptative pour télescope spatial (

⋆ ⋆

)

Un actionneur piézoélectrique de miroir déformable corrige les aberrations optiques de front d'onde avec une bande passante requise de $1 k Hz$ .

La dynamique piézoélectrique présente une résonance aiguë à $f_{0} = 8, 5 k Hz$ avec $Q = 20$ . Expliquer pourquoi cette résonance limite sévèrement le gain de boucle fermée.
Déterminer l'atténuation que doit apporter un filtre coupe-bande (notch) centré sur $f_{0}$ pour stabiliser la boucle.

Démonstration

1. Un facteur de qualité $Q = 20$ génère une surtension de gain $Q_{dB} = 20 lo g (20) = 26, 0 dB$ à la fréquence $f_{0} = 8, 5 k Hz$ , accompagnée d'une chute brutale de phase de $18 0^{\circ}$ . Si la courbe de gain traverse $0 dB$ au voisinage de $f_{0}$ , la boucle fermée devient violemment instable.

2. Le filtre réjecteur notch $H_{n} (p) = \frac{p ^{2} + ω _{0}^{2}}{p ^{2} + 2 ξ _{n} ω _{0} p + ω _{0}^{2}}$ doit apporter une atténuation d'au moins $- 26 dB$ à $f_{0}$ pour annuler exactement le pic résonant du piézoélectrique et permettre de pousser la bande passante utile jusqu'à $1 k Hz$ en toute stabilité.

Important

Ce que ça nous apprend. En présence de résonances structurales haute fréquence, la compensation par filtre coupe-bande (notch) est la solution de référence pour étendre la bande passante sans déstabiliser la boucle.

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