Correction des Systèmes Asservis

Déphasage : $\phi (\omega )=-90^{\circ }-\arctan (0,1\omega )-\arctan (0,05\omega )$. Pulsation ${\omega }_{-180°}$ : $\arctan (0,1\omega )+\arctan (0,05\omega )=90^{\circ }⟺0,1\omega \times 0,05\omega =1⟹0,005{\omega }^2=1⟹{\omega }_{-180°}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14,14\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Module du système nu ($K_p=1$) en ${\omega }_{-180°}$ :

$$\begin{array}{rl}|T_1(j\sqrt{200})|& =\frac{1}{\sqrt{200}\sqrt{1+0,01\times 200}\sqrt{1+0,0025\times 200}}=\frac{1}{14,14\times \sqrt{3}\times \sqrt{1,5}}\\ & =\frac{1}{14,14\times \sqrt{4,5}}=\frac{1}{14,14\times 2,121}=\frac{1}{30}\end{array}$$

Pour une marge de gain $\Delta G=12\mathrm{dB}$, il faut $|T(j{\omega }_{-180°})|=10^{-12/20}\approx 0,251\approx \frac{1}{4}$.

$$K_p|T_1(j{\omega }_{-180°})|=\frac{K_p}{30}=\frac{1}{4}⟹K_p=\frac{30}{4}=7,5$$

1. Le pôle dominant correspond à la plus grande constante de temps ${\tau }_1=2,0\mathrm{s}$. On choisit donc ${\mathbf{T}}_{\mathbf{i}}=2,0\mathrm{s}$.

2. La FTBO devient :

$$T(p)=C(p)G(p)=K_p\frac{1+2p}{2p}\frac{4}{(1+2p)(1+0,2p)}=\frac{2K_p}{p(1+0,2p)}$$

La compensation transforme un second ordre sans intégrateur en un système de classe 1 (erreur statique désormais strictement nulle !).

3. Déphasage : $\phi (\omega )=-90^{\circ }-\arctan (0,2\omega )$. Pour $\Delta \varphi =53^{\circ }$, on a $\arctan (0,2{\omega }_{0\mathrm{dB}})=37^{\circ }⟹0,2{\omega }_{0\mathrm{dB}}=\tan (37^{\circ })\approx 0,7536⟹{\omega }_{0\mathrm{dB}}\approx 3,77\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Condition de gain :

$$|T(j{\omega }_{0\mathrm{dB}})|=\frac{2K_p}{3,77\times \sqrt{1+0,7536^2}}=\frac{2K_p}{3,77\times 1,252}=\frac{2K_p}{4,72}=1⟹K_p=\frac{4,72}{2}=2,36$$

1. Phase du procédé nu :

$${\phi }_G(20)=-90^{\circ }-\arctan (0,1\times 20)=-90^{\circ }-\arctan (2)=-90^{\circ }-63,43^{\circ }=-153,43^{\circ }$$

2. Avec le correcteur, on veut $\phi ({\omega }_m)=-180^{\circ }+50^{\circ }=-130^{\circ }$. L'avance de phase nécessaire vaut :

$${\varphi }_m=-130^{\circ }-(-153,43^{\circ })=+23,43^{\circ }\approx 24^{\circ }$$

3. Calcul du coefficient $a$ :

$$a=\frac{1+\sin ({\varphi }_m)}{1-\sin ({\varphi }_m)}=\frac{1+\sin (23,43^{\circ })}{1-\sin (23,43^{\circ })}=\frac{1+0,3976}{1-0,3976}=\frac{1,3976}{0,6024}\approx 2,32$$

Constante de temps $\tau$ (avec ${\omega }_m=20\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) :

$$\tau =\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}=\frac{1}{20\times \sqrt{2,32}}=\frac{1}{20\times 1,523}=\frac{1}{30,46}\approx 0,0328\mathrm{s}\approx 32,8\mathrm{ms}$$

Le zéro est en $\frac{1}{a\tau }=\frac{20}{\sqrt{2,32}}\approx 13,13\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et le pôle en $\frac{1}{\tau }\approx 30,46\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Gain $K_d$ : en ${\omega }_m$, le correcteur amplifie de $\sqrt{a}=1,523$. Le module du procédé nu en $\omega =20$ est $|G(j20)|=\frac{10}{20\sqrt{1+4}}=\frac{0,5}{\sqrt{5}}\approx 0,2236$.

$$|C(j{\omega }_m)G(j{\omega }_m)|=1⟹K_d\sqrt{a}|G(j{\omega }_m)|=1⟹K_d=\frac{1}{1,523\times 0,2236}=\frac{1}{0,3405}\approx 2,94$$

Un dérivateur pur $T_{d}p$ a un gain fréquentiel $|j{T}_d\omega |=T_d\omega$ qui tend vers l'infini en haute fréquence ($+20\text{dB/deˊcade}$ sans limite). En pratique :

• Il amplifierait démesurément les bruits de mesure haute fréquence (bruit électromagnétique, quantification de codeur), ce qui saturerait instantanément les hacheurs et ferait chauffer les moteurs.
• Le pôle de filtrage haute fréquence $\frac{T_d}{N}$ coupe cette amplification au-delà de $\omega =\frac{N}{T_d}$, limitant le gain à $+20\log N$ (environ $+20\text{dB}$ pour $N=10$).

Application numérique directe des formules de Ziegler-Nichols :

• Gain proportionnel : $K_p=0,60\times 8,0=4,80$.
• Temps d'intégration : $T_i=0,50\times 0,60=0,30\mathrm{s}$.
• Temps de dérivation : $T_d=0,125\times 0,60=0,075\mathrm{s}=75\mathrm{ms}$.

Fonction de transfert du PID :

$$C(p)=4,80\left(1+\frac{1}{0,30p}+0,075p\right)$$

1. Lorsqu'un échelon de consigne de grande amplitude est appliqué, la commande calculée par le PID dépasse la tension maximale disponible sur l'amplificateur ($U_{\text{max}}$). Pendant toute la phase de saturation, l'erreur reste positive et le terme intégral $\int \epsilon \mathrm{d}t$ continue d'accumuler une valeur énorme (effet mémoire). Lorsque la sortie rejoint enfin la consigne ($\epsilon =0$), l'intégrateur reste saturé et continue de pousser à pleine puissance, provoquant un dépassement colossal et un temps de rétablissement très long.

2. La correction Anti-Windup mesure la différence entre la commande calculée $u(t)$ et la commande effectivement délivrée après saturation $u_{\text{sat}}(t)$ et réinjecte cet écart avec un gain de décharge $K_w$ pour stopper l'accumulation intégrale dès que l'actionneur sature.

1. En basse fréquence ($\omega \to 0$), le gain est amplifié de $+20\log (1/b)>0\text{dB}$, ce qui réduit fortement l'erreur statique sans modifier la marge de phase en haute fréquence.

2. Il évite la chute de phase permanente de $-90^{\circ }$ d'un intégrateur pur en très basse fréquence tout en améliorant significativement la précision statique.

1. Avec $C(p)=K_p$, la FTBF est $F(p)=\frac{K_p}{J{p}^2+K_p}=\frac{1}{1+\frac{J}{K_p}{p}^2}$. Le dénominateur n'a pas de terme en $p^1$ ($\xi =0$) : les pôles sont purement imaginaires $p=\pm j\sqrt{K_p/J}$. Le système oscille indéfiniment.

2. Avec le PD, la FTBF devient $F(p)=\frac{K_p(1+T_{d}p)}{J{p}^2+K_p{T}_{d}p+K_p}$. Le terme en $p^1$ vaut $K_p{T}_d>0$, ce qui confère un amortissement $\xi =\frac{K_p{T}_d}{2\sqrt{J{K}_p}}=\frac{T_d}{2}\sqrt{\frac{K_p}{J}}>0$. Le système est exponentiellement stable.

Équation d'état en boucle fermée :

$${\dot{x}}_2=-2x_1-3x_2-k_1{x}_1-k_2{x}_2+r=-(2+k_1)x_1-(3+k_2)x_2+r$$

Polynôme caractéristique en boucle fermée :

$$P_{BF}(p)=p^2+(3+k_2)p+(2+k_1)$$

Polynôme désiré :

$$P_{\text{deˊsireˊ}}(p)=(p+4-4j)(p+4+4j)=(p+4{)}^2+16=p^2+8p+32$$

Par identification terme à terme :

• $3+k_2=8⟹{\mathbf{k}}_2=5$
• $2+k_1=32⟹{\mathbf{k}}_1=30$

Cette synthèse résume les propriétés fondamentales vérifiées au concours :

• Le PI assure la précision absolue par son intégrateur mais consomme de la phase en basse fréquence.
• L'avance de phase et le PD restaurent la marge de phase pour accélérer la dynamique sans dépassement.

1. Phase du procédé nu en $\omega =100\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ :

$${\phi }_G(100)=-90^{\circ }-\arctan (0,01\times 100)=-90^{\circ }-\arctan (1)=-90^{\circ }-45^{\circ }=-135^{\circ }$$

Pour une marge de phase de $65^{\circ }$, la phase totale désirée en ${\omega }_{0\mathrm{dB}}$ est $\phi =-180^{\circ }+65^{\circ }=-115^{\circ }$. L'apport d'avance de phase nécessaire vaut :

$${\varphi }_m=-115^{\circ }-(-135^{\circ })=+20^{\circ }$$

Calcul du coefficient d'avance de phase $a$ :

$$a=\frac{1+\sin (20^{\circ })}{1-\sin (20^{\circ })}=\frac{1+0,3420}{1-0,3420}=\frac{1,3420}{0,6580}\approx 2,04$$

Constante de temps :

$$\tau =\frac{1}{{\omega }_{0\mathrm{dB}}\sqrt{a}}=\frac{1}{100\times \sqrt{2,04}}=\frac{1}{100\times 1,428}\approx 7,00\mathrm{ms}$$

Le zéro est placé en $1/(a\tau )\approx 70\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et le pôle en $1/\tau \approx 143\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

2. Avec une marge de phase de $\Delta \varphi =65^{\circ }$, le coefficient d'amortissement équivalent vaut $\xi \approx \frac{65}{100}=0,65$. Le dépassement indiciel est :

$$D_1=e^{-\frac{\pi \times 0,65}{\sqrt{1-0,65^2}}}=e^{-\frac{2,042}{0,760}}=e^{-2,687}\approx 0,068=6,8\%$$

1. Avec $C(p)=K_p$, le dénominateur de la FTBF s'écrit :

$$D(p)=(p^2-{\omega }_u^2)+K_p(-K_0)=p^2+0\cdot p-({\omega }_u^2+K_0{K}_p)$$

Le terme en $p^1$ est nul et le terme constant est négatif : les pôles sont toujours réels de signes opposés. Le système reste violemment instable.

2. Avec le correcteur PD $C(p)=-K_p(1+T_{d}p)$ (gain négatif pour compenser le signe de $G$) :

$$D(p)=(p^2-{\omega }_u^2)+K_p{K}_0(1+T_{d}p)=p^2+(K_p{K}_0{T}_d)p+(K_p{K}_0-{\omega }_u^2)$$

D'après le critère de Routh, le système est strictement stable si et seulement si :

• $K_p{K}_0>{\omega }_u^2⟹K_p>\frac{{\omega }_u^2}{K_0}$ (raideur magnétique équivalente positive)
• $T_d>0$ (amortissement dérivé actif positif)

1. En posant $T_i=4,0\mathrm{s}$, la FTBO devient :

$$T(p)=K_p\frac{1+4p}{4p}\frac{2e^{-0,5p}}{1+4p}=\frac{0,5K_p{e}^{-0,5p}}{p}$$

2. Déphasage de la FTBO : $\phi (\omega )=-90^{\circ }-(0,5\omega )\times \frac{180^{\circ }}{\pi }=-90^{\circ }-28,65^{\circ }\cdot \omega$. Pour une marge de phase de $45^{\circ }$, on impose $\phi ({\omega }_{0\mathrm{dB}})=-135^{\circ }$ :

$$-90^{\circ }-28,65^{\circ }\cdot {\omega }_{0\mathrm{dB}}=-135^{\circ }⟹28,65^{\circ }\cdot {\omega }_{0\mathrm{dB}}=45^{\circ }⟹{\omega }_{0\mathrm{dB}}=\frac{45}{28,65}\approx 1,57\mathrm{rad}/\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\text{rad/s}$$

Condition de gain $|T(j{\omega }_{0\mathrm{dB}})|=1$ :

$$\frac{0,5K_p}{{\omega }_{0\mathrm{dB}}}=1⟹K_p=2{\omega }_{0\mathrm{dB}}=2\times 1,57\approx 3,14=\pi$$

1. Dans une commande cascade :

• La boucle interne de vitesse réagit très rapidement ($\tau \approx 10\mathrm{ms}$) et compense les perturbations de couple dues au vent avant même que l'antenne n'ait eu le temps de dévier significativement en position.
• La boucle externe de position ne voit qu'un actionneur de vitesse quasi-parfait sans frottement non linéaire.

2. La FTBF interne est $F_v(p)=\frac{1}{1+0,01p}$. La FTBO de position avec correcteur proportionnel $K_{\text{pos}}$ vaut :

$$T_{\text{pos}}(p)=K_{\text{pos}}\cdot \frac{1}{1+0,01p}\cdot \frac{1}{p}=\frac{K_{\text{pos}}}{p(1+0,01p)}$$

La FTBF globale est un second ordre de pulsation propre ${\omega }_0=10\sqrt{K_{\text{pos}}}$ et d'amortissement $\xi =5/\sqrt{K_{\text{pos}}}$ : on obtient $\xi =0,707$ en réglant $K_{\text{pos}}=50{\mathrm{s}}^{-1}$ ($K_{\text{pos}}=25{\mathrm{s}}^{-1}$ donnerait le régime critique, $\xi =1$).

1. Le spectre d'une impulsion trapézoïdale présente des zéros d'énergie fréquentielle à toutes les fréquences multiples de $f=1/t_m$. En choisissant un temps de montée égal à la période propre de résonance :

$$t_m=T_r=\frac{1}{f_r}=\frac{1}{120\mathrm{k}\mathrm{Hz}}\approx 8,33\mu \mathrm{s}$$

l'énergie spectrale injectée à $f_r=120\mathrm{k}\mathrm{Hz}$ est rigoureusement nulle, ce qui évite les vibrations résiduelles d'éjection.

2. L'Input Shaping décompose l'ordre en deux impulsions décalées de $T_r/2=4,17\mu \mathrm{s}$ de telle sorte que l'onde générée par la seconde impulsion annule par interférence destructive exacte l'oscillation créée par la première.