Statique des fluides dans un référentiel galiléen

Cours · thermodynamique et machines thermiques (PT), chapitre 1 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La pression dans un liquide au repos augmente avec la profondeur.

Jusqu'ici, un fluide était décrit globalement par ses variables d'état $(P, V, T)$ , supposées uniformes. Dès qu'un fluide s'étend sur une hauteur appréciable, la pression varie d'un point à l'autre : elle augmente avec la profondeur dans l'océan, décroît avec l'altitude dans l'atmosphère, et cette variation est à l'origine de la poussée d'Archimède que subit tout corps immergé. On se propose ici de décrire le champ de pression $P (M)$ d'un fluide au repos dans un référentiel galiléen. On distinguera d'abord les forces qui s'exercent sur un élément de fluide (forces volumiques vs surfaciques), on établira la relation fondamentale de la statique des fluides, puis on l'appliquera successivement aux liquides (incompressibles), à l'atmosphère (gaz parfait isotherme) et à la poussée d'Archimède. La méthode de fond — découper un domaine physique en éléments infinitésimaux, puis sommer — resservira dans tout le programme de deuxième année.

1.1 Forces dans un fluide au repos

Un fluide au repos est un milieu déformable dont les particules ne se déplacent pas en moyenne. Une particule de fluide est un volume mésoscopique $d τ$ , assez grand pour contenir un très grand nombre de molécules (grandeurs moyennées bien définies) mais assez petit pour être ponctuel à l'échelle du problème.

Définition 1.1Forces volumiques et forces surfaciques

Un élément de fluide de volume $d τ$ subit deux catégories de forces :

les forces volumiques (ou de champ), réparties dans tout le volume et proportionnelles à $d τ$ . Dans le champ de pesanteur, la particule de masse $d m = ρ d τ$ subit le poids $d F_{v} = ρ g d τ$ . On définit la densité volumique de force (en $N / m^{3}$ ) :

$f_{v} = \frac{d F _{v}}{d τ} = ρ g;$

les forces surfaciques (ou de contact), exercées à travers une surface et proportionnelles à l'aire $d S$ . Ce sont les forces de pression (et, pour un fluide en mouvement, les forces de viscosité, hors sujet ici).

Définition 1.2Pression et force de pression

En un point $M$ d'un fluide, la pression $P (M)$ (en pascals, $Pa$ ) est une grandeur scalaire, toujours positive. La force pressante exercée par le fluide sur un élément de surface $d S$ , de normale unitaire sortante $n$ (dirigée du fluide vers la surface), vaut

$d F = - P d S n$

Cette force est normale à la surface et dirigée vers la surface : un fluide au repos ne peut qu'appuyer (compression), jamais tirer.

iRemarque

La pression est isotrope : en un point donné, elle ne dépend pas de l'orientation $n$ de la surface test. C'est la même pression $P (M)$ qui intervient quelle que soit la face considérée. Cette propriété (théorème de Pascal sur l'isotropie) est admise.

ImportantDistinguer pression et pesanteur

Il ne faut pas confondre les deux forces :

le poids $ρ g d τ$ est une force volumique, verticale, descendante, indépendante de la forme de la particule ;
la force de pression $- P d S n$ est une force surfacique, normale à chaque face, dont c'est le déséquilibre entre faces basses et hautes qui compensera le poids.

1.2 Résultante des forces de pression : équivalent volumique

Pour obtenir la force totale de pression sur une particule, on somme $- P d S n$ sur toute sa surface fermée. Le calcul, mené sur un petit pavé, fait apparaître le gradient de pression.

Méthode : Densité volumique des forces de pression

Considérons un pavé de fluide de côtés $d x, d y, d z$ centré en $M (x, y, z)$ . Sur les deux faces perpendiculaires à $O x$ , d'aire $d y d z$ , la résultante des forces de pression selon $e_{x}$ vaut

$face amont, pousse vers + x P (x - \frac{d x}{2}) d y d z - face aval, pousse vers - x P (x + \frac{d x}{2}) d y d z = - \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z .$

En procédant de même selon $O y$ et $O z$ , la résultante des forces de pression sur le volume $d τ = d x d y d z$ s'écrit

$d F_{p} = - (\frac{\partial P}{\partial x} e_{x} + \frac{\partial P}{\partial y} e_{y} + \frac{\partial P}{\partial z} e_{z}) d τ = - grad P d τ .$

La densité volumique des forces de pression est donc

$f_{p} = \frac{d F _{p}}{d τ} = - grad P$

iRemarqueInterprétation du gradient

Le vecteur $grad P$ pointe dans le sens des pressions croissantes. La force $- grad P$ pousse donc la particule des zones de forte pression vers les zones de faible pression : c'est bien ce déséquilibre qui, en statique, va supporter le poids.

1.3 Relation fondamentale de la statique des fluides

◆Théorème 1.3Relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF)

Pour un fluide au repos dans un référentiel galiléen, soumis à la seule pesanteur, l'équilibre de chaque particule impose que la somme des densités volumiques de forces soit nulle en tout point :

$f_{p} + f_{v} = 0 ⟹ grad P = ρ g$

En projetant sur un axe $O z$ ascendant ( $g = - g e_{z}$ ), et comme $P$ ne dépend alors que de $z$ :

$\frac{d P}{d z} = - ρ g soit d P = - ρ g d z$

Démonstration (Démonstration par bilan de forces)

On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule de fluide de volume $d τ$ , immobile donc d'accélération nulle. Les seules forces sont le poids $ρ g d τ$ et la résultante des pressions $- grad P d τ$ . Leur somme est nulle :

$ρ g d τ - grad P d τ = 0 ⟹ grad P = ρ g .$

La projection sur $O z$ ascendant donne immédiatement $\frac{d P}{d z} = - ρ g$ .

ImportantConséquences immédiates

Dans un fluide au repos soumis à la pesanteur uniforme :

comme $grad P$ est vertical, $P$ ne dépend que de l'altitude $z$ : les surfaces isobares sont horizontales (en particulier la surface libre d'un liquide au repos est plane et horizontale) ;
la pression décroît quand l'altitude augmente ( $d P / d z < 0$ ) ;
deux points à la même altitude d'un même fluide connexe au repos sont à la même pression.

Attention

La RFSF suppose le fluide au repos dans un référentiel galiléen. Dans un fluide accéléré (référentiel non galiléen, camion qui freine, seau qui tourne), il faut ajouter les forces d'inertie : les isobares ne sont plus horizontales. Ce cas est hors-programme mais la méthode (ajouter $f_{i e}$ à la RFSF) reste la même.

1.4 Fluide incompressible : loi de l'hydrostatique

Proposition 1.4Champ de pression dans un liquide

Un liquide est très peu compressible : on prend $ρ = cte$ . L'intégration de $d P / d z = - ρ g$ entre deux points d'altitudes $z_{1}$ et $z_{2}$ donne

$P (z_{2}) - P (z_{1}) = - ρ g (z_{2} - z_{1})$

En notant $h = z_{1} - z_{2} > 0$ la profondeur d'un point sous un point de référence, on retient que la pression augmente de $ρ g$ par mètre de descente :

$P = P_{surface} + ρ g h .$

iRemarqueOrdre de grandeur

Dans l'eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ ), $ρ g \approx 1, 0 \times 1 0^{4} Pa / m$ : la pression augmente d'environ 1 bar tous les $10 m$ . À $10 m$ de fond, un plongeur subit déjà $\approx 2$ bar.

iRemarqueThéorème de Pascal, presse hydraulique

Comme $P (z_{2}) - P (z_{1})$ ne dépend que des altitudes, toute surpression $Δ P$ appliquée en un point d'un liquide incompressible se transmet intégralement à tout le fluide. C'est le principe du vérin et de la presse hydraulique : une petite force sur un petit piston (aire $s$ ) engendre une grande force $F = Δ P \cdot S$ sur un grand piston (aire $S ≫ s$ ).

ImportantParadoxe hydrostatique

La pression au fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur de liquide, pas de la forme du récipient ni du volume total : un tube fin et un large réservoir remplis à la même hauteur exercent la même pression sur le fond. Seule la hauteur compte.

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