Diffusion thermique

Cours · thermodynamique et machines thermiques (PT), chapitre 6 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'équation de la chaleur : un profil de température qui s'aplatit au fil du temps.

Lorsqu'un corps présente des inhomogénéités de température, l'agitation thermique se transmet spontanément des régions chaudes vers les régions froides, sans déplacement macroscopique de matière : c'est le transfert thermique par conduction, ou diffusion thermique. Ce mode de transport, formellement analogue à d'autres phénomènes de transport, obéit à une loi phénoménologique linéaire (loi de Fourier, 1822) et conduit à une équation aux dérivées partielles irréversible : l'équation de la chaleur. Nous établissons dans ce chapitre le bilan local d'énergie interne, la loi de Fourier et l'équation de diffusion ; nous en tirons, en régime stationnaire, la notion de résistance thermique, calquée sur la loi d'Ohm, qui permet de traiter les transferts au travers de parois composites. Nous introduisons enfin la loi de Newton du transfert conducto-convectif, condition aux limites à l'interface entre un solide et un fluide. Conformément au programme de PT, la mise en équations est menée dans les solides, à une dimension, en coordonnées cartésiennes et sans source interne ; les résultats s'étendent aux fluides en l'absence de convection. Les sources internes, les géométries cylindrique et sphérique et l'ailette de refroidissement sont présentées en fin de chapitre, dans un complément hors programme.

6.1 Vecteur densité de flux thermique

6.1.1 Modes de transfert thermique

On distingue trois modes de transfert de l'énergie thermique :

la conduction : transmission de proche en proche de l'agitation thermique, sans transport de matière ; c'est l'objet de ce chapitre ;
la convection : transport d'énergie par déplacement macroscopique d'un fluide ;
le rayonnement : transport par ondes électromagnétiques, ne nécessitant aucun support matériel.

6.1.2 Définition du vecteur densité de flux

Définition 6.1Vecteur densité de flux thermique

Le transfert thermique par conduction est décrit par un champ vectoriel, le vecteur densité de flux thermique $j_{Q} (M, t)$ , tel que la puissance thermique $d Φ$ traversant un élément de surface orientée $d S$ dans le sens de $d S$ vaut

$d Φ = j_{Q} \cdot d S .$

Le flux thermique au travers d'une surface $S$ orientée est

$Φ = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S,$

homogène à une puissance et exprimé en watts. La norme de $j_{Q}$ s'exprime en $W / m^{2}$ .

iRemarque

Le vecteur $j_{Q}$ pointe dans le sens du transfert thermique, c'est-à-dire des zones chaudes vers les zones froides. Le flux $Φ$ à travers une surface fermée orientée vers l'extérieur compte positivement l'énergie qui sort du volume. À une dimension, $j_{Q} = j_{x} (x, t) u_{x}$ , et le flux à travers une section $S$ orientée selon $u_{x}$ vaut $Φ = j_{x} S$ : c'est une grandeur algébrique, positive si l'énergie traverse dans le sens de $u_{x}$ .

6.2 Bilan local d'énergie interne

6.2.1 Premier principe pour un système fermé au repos

Considérons un milieu solide immobile, de masse volumique $ρ$ et de capacité thermique massique $c$ , sans source interne. Pour un système fermé au repos, l'énergie interne massique $u$ ne varie que par transfert thermique : le travail des forces de pression est nul (solide indéformable). On admet la relation $d u = c d T$ .

Méthode : Bilan d'énergie interne à une dimension

Isolons la tranche de solide comprise entre les abscisses $x$ et $x + d x$ , de section $S$ constante, en géométrie cartésienne. Pendant $d t$ , le premier principe appliqué au système fermé de volume $S d x$ s'écrit

$d U ρ S d x c \frac{\partial T}{\partial t} d t = transfert conductif [Φ (x) - Φ (x + d x)] d t .$

Avec $Φ (x) = j_{x} (x) S$ et $Φ (x + d x) = Φ (x) + \frac{\partial Φ}{\partial x} d x$ , on obtient l'équation locale du premier principe, qui relie la température et la densité de flux :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x}$

iRemarque

Cette équation traduit la conservation de l'énergie : la température d'une tranche augmente si le flux qui y entre l'emporte sur celui qui en sort (terme $- \frac{\partial j _{x}}{\partial x} > 0$ ). Un flux non uniforme signifie un régime variable ; en régime stationnaire, $j_{x}$ est uniforme.

6.3 Loi de Fourier et équation de la chaleur

6.3.1 Loi de Fourier

Définition 6.2Loi de Fourier

Dans un milieu isotrope où la température ne dépend que de $x$ , le vecteur densité de flux thermique $j_{Q} = j_{x} u_{x}$ est proportionnel à la dérivée de la température et de sens opposé :

$j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$

où $λ > 0$ est la conductivité thermique du matériau, exprimée en $W / m / K$ . C'est la non-uniformité de la température qui crée le flux, et celui-ci est dirigé vers les températures décroissantes : le signe moins traduit le second principe, l'énergie migrant spontanément du chaud vers le froid.

ImportantOrdres de grandeur de

λ

Quelques valeurs usuelles à retenir :

Matériau	$λ$ ( $W / m / K$ )
Air (immobile)	$\approx 0, 025$
Eau liquide	$\approx 0, 6$
Béton, verre	$\approx 1$
Acier	$\approx 15$ à $50$
Cuivre, argent	$\approx 400$

Les métaux, bons conducteurs électriques, sont aussi bons conducteurs thermiques (les électrons libres transportent l'énergie) ; l'air immobile est au contraire un excellent isolant, principe des matériaux alvéolaires. Dans l'habitat : béton $1$ à $2$ , brique $0, 5$ à $1$ , bois $0, 1$ à $0, 2$ , plâtre $0, 25$ , laines minérales et polystyrène $0, 03$ à $0, 04$ $W / m / K$ .

6.3.2 Équation de la diffusion thermique

◆Théorème 6.3Équation de la chaleur

En reportant la loi de Fourier $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ dans l'équation locale $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x}$ , avec $λ$ uniforme, on obtient l'équation de la diffusion thermique :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}, D_{th} = \frac{λ}{ρ c},$

où $D_{th}$ est la diffusivité thermique, en $m^{2} / s$ .

Démonstration (Démonstration)

On a $\frac{\partial j _{x}}{\partial x} = - λ \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ ( $λ$ uniforme), d'où $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ , soit après division par $ρ c$ le résultat annoncé. $□$

ImportantAnalyse dimensionnelle : échelles de diffusion

L'analyse dimensionnelle de l'équation, $\frac{Δ T}{τ} \sim D_{th} \frac{Δ T}{L ^{2}}$ , relie l'échelle de temps $τ$ à l'échelle spatiale $L$ :

$L \sim D_{th} τ$

Le temps de diffusion croît comme le carré de la distance : doubler l'épaisseur d'une paroi quadruple son temps de réponse thermique. Le préfacteur n'est pas fixé par l'analyse.

6.3.3 Irréversibilité de la diffusion

La diffusion thermique est un phénomène irréversible, et l'équation de la chaleur le traduit :

l'équation n'est pas invariante par renversement du temps : changer $t$ en $- t$ change le signe de $\frac{\partial T}{\partial t}$ mais pas celui de $\frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ . Le film « à l'envers » d'une diffusion (un profil qui se reconcentre) ne vérifie pas l'équation : il n'est jamais observé ;
les inhomogénéités s'effacent : un pic de température s'étale (figure ci-dessous), deux corps en contact égalisent leurs températures, et jamais l'inverse ;
le sens du flux est celui du second principe : l'énergie va du chaud vers le froid ( $j_{x}$ et $\frac{\partial T}{\partial x}$ de signes opposés). Un transfert thermique d'un corps chaud vers un corps froid crée de l'entropie ; le transfert inverse, spontané, en détruirait, ce qu'interdit le second principe.

Une onde mécanique sans amortissement (corde vibrante) obéit au contraire à une équation en $\frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}}$ , invariante par $t \to - t$ : son évolution est réversible.

Figure : Diffusion d'un pic de température au cours du temps : le profil s'étale en

conservant l'énergie (aire sous la courbe constante), sa largeur croissant comme $D_{th} t$ — quadrupler la durée ne fait que doubler la largeur.

L'évolution est irréversible : les profils ne se reconcentrent jamais.

6.4 Régime stationnaire et résistance thermique

6.4.1 Profil de température dans un mur

Proposition 6.4Profil linéaire à une dimension

En régime stationnaire ( $\frac{\partial T}{\partial t} = 0$ ), sans source interne, l'équation de la chaleur à une dimension se réduit à $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : le champ de température est affine en $x$ . Le flux thermique $Φ = j_{Q} S$ est alors uniforme le long du mur (conservation du flux en l'absence de source).

Figure : Profil de température affine dans un mur en régime stationnaire (

T_{1} > T_{2}

). Le flux thermique s'écoule du chaud vers le froid.

6.4.2 Définition de la résistance thermique

Définition 6.5Résistance thermique

Par analogie avec l'électrocinétique, où le courant $I$ traverse une résistance $R$ soumise à une différence de potentiel $U = R I$ , on définit la résistance thermique $R_{th}$ d'un système traversé par un flux $Φ$ entre deux faces aux températures $T_{1}$ et $T_{2}$ :

$T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$

Correspondances : température $T \leftrightarrow$ potentiel $V$ ; flux thermique $Φ \leftrightarrow$ intensité $I$ ; résistance thermique $R_{th} \leftrightarrow$ résistance $R$ . L'unité de $R_{th}$ est le $K / W$ . L'analogie suppose que le même flux traverse tout le système, d'une face à l'autre : elle ne vaut qu'en régime stationnaire et sans source dans le système considéré.

Méthode : Résistance d'un mur plan

Dans le mur ci-dessus, le profil affine donne $j_{Q} = - λ \frac{d T}{d x} = λ \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ , d'où $Φ = j_{Q} S = λ S \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ . En identifiant à $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ :

$R_{th} = \frac{e}{λ S}$

La résistance croît avec l'épaisseur, décroît avec la section et la conductivité, exactement comme $R = \frac{ℓ}{γ S}$ en électrocinétique ( $γ$ conductivité électrique). Le résultat vaut pour toute pièce traversée selon une seule direction, par exemple un barreau de longueur $e$ et de section $S$ dont la surface latérale est calorifugée. Dans le bâtiment, on raisonne par mètre carré : $r = R S = e / λ$ , en $m^{2} K / W$ .

Figure : Analogie électrique : le mur se comporte comme une résistance

R_{th} = e / (λ S)

parcourue par le flux

Φ

6.4.3 Associations de résistances thermiques

Proposition 6.6Association série et parallèle

Les lois d'association sont identiques à celles de l'électrocinétique :

En série (couches empilées en contact parfait, même flux $Φ$ les traversant toutes) :

$R_{th}^{tot} = i \sum R_{th, i} .$

En parallèle (murs côte à côte, même écart $T_{1} - T_{2}$ ) :

$\frac{1}{R _{th}^{tot}} = i \sum \frac{1}{R _{th, i}} .$

Figure : Deux murs en série : les résistances thermiques s'ajoutent car le même flux

Φ

traverse successivement les deux couches.

Figure : Mur bicouche en régime stationnaire : le profil de température est affine par

morceaux, la pente la plus raide se trouvant dans le matériau le moins conducteur (la chute de température se répartit au prorata des résistances). En dessous, le circuit

thermique équivalent, avec la température d'interface

T_{i}

comme nœud intermédiaire.

6.5 Conditions aux limites et transfert conducto-convectif

6.5.1 Conditions aux limites usuelles

La résolution de l'équation de la chaleur requiert des conditions aux limites :

une température imposée sur une face (contact avec un thermostat) ;
un flux imposé (paroi chauffée par effet Joule), nul pour une paroi calorifugée ( $j_{Q} \cdot n = 0$ ) ;
à l'interface entre deux milieux, la continuité du flux ;
entre deux solides en contact parfait, la continuité de la température ;
à la surface d'un solide baigné par un fluide, la loi de Newton (ci-dessous).

Proposition 6.7Continuité du flux et contact parfait

Une interface n'a pas d'épaisseur : l'énergie interne d'une tranche $[- ε, ε]$ qui la contient tend vers zéro avec $ε$ , et son bilan impose $j_{x} (0^{-}) = j_{x} (0^{+})$ . Le flux est continu à toute interface sans source. Si le contact est de plus parfait (surfaces jointives, sans lame d'air), la température est continue : $T (0^{-}) = T (0^{+})$ ; c'est ce qui justifie l'association en série de couches empilées. Un contact imparfait (rugosité, lame d'air, pâte thermique) se modélise par une résistance de contact : la température y subit un saut proportionnel au flux.

6.5.2 Loi de Newton du transfert conducto-convectif

Définition 6.8Loi de Newton

À l'interface entre un solide de température de surface $T_{s}$ et un fluide en mouvement de température $T_{f}$ (loin de la paroi), le transfert conducto-convectif est décrit par la loi phénoménologique de Newton : la densité de flux thermique cédée par le solide au fluide vaut

$j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$

où $h$ est le coefficient de transfert conducto-convectif, ou coefficient de Newton, exprimé en $W / m^{2} / K$ .

ImportantOrdres de grandeur de

h

Le coefficient $h$ dépend du fluide et de son écoulement : air en convection naturelle, $h \sim 5$ à $10$ ; air en convection forcée (vent, ventilateur), $10$ à $100$ ; eau, $1 0^{2}$ à $1 0^{4}$ $W / m^{2} / K$ . Dans le bâtiment, on emploie pour une paroi verticale des résistances superficielles conventionnelles, qui regroupent convection et rayonnement : $1/ h_{i} = 0, 13 m^{2} K / W$ côté intérieur et $1/ h_{e} = 0, 04 m^{2} K / W$ côté extérieur.

Figure : Transfert conducto-convectif à l'interface solide--fluide : la loi de Newton relie la densité de flux à l'écart de température.

Proposition 6.9Résistance thermique de convection

La loi de Newton s'interprète comme une résistance thermique de surface. Le flux échangé sur une surface $S$ est $Φ = h S (T_{s} - T_{f})$ , d'où

$R_{th}^{conv} = \frac{1}{h S} .$

Cette résistance s'associe en série avec les résistances conductives de la paroi. Pour une paroi mince, elle domine : le verre d'un simple vitrage ne porte qu'une infime part de l'écart de température entre les deux airs, ce sont les résistances de surface qui isolent. Dans un double vitrage, la lame d'air ajoute une résistance, mais bien moindre que celle d'une couche d'air immobile de même épaisseur : la convection dans la lame et le rayonnement entre les vitres y transportent l'essentiel du flux, et le double vitrage divise les pertes par deux environ, non par cent.

6.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Flux thermique : $d Φ = j_{Q} \cdot d S$ , $Φ = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S$ (en $W$ ), $j_{Q}$ en $W / m^{2}$ .
Bilan local (premier principe), à 1D cartésien et sans source : $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x}$ .
Loi de Fourier : $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ , $λ$ en $W / m / K$ (air immobile $\sim 0, 025$ , isolants $\sim 0, 035$ , eau $\sim 0, 6$ , béton et verre $\sim 1$ , métaux de $10$ à $400$ ) ; la non-uniformité de $T$ crée le flux.
Équation de la chaleur : $\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ , diffusivité $D_{th} = \frac{λ}{ρ c}$ en $m^{2} / s$ ; échelles $L \sim D_{th} τ$ .
Irréversibilité : équation non invariante par $t \to - t$ ; les inhomogénéités s'effacent, l'énergie va du chaud vers le froid.
Régime stationnaire 1D : profil de $T$ affine, flux uniforme.
Interface : flux continu ; en contact parfait, température continue.
Résistance thermique : $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ (en $K / W$ ) ; mur $R_{th} = \frac{e}{λ S}$ ; série $\sum R_{i}$ , parallèle $(\sum 1/ R_{i})^{- 1}$ .
Conducto-convection (Newton) : $j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$ , $h$ en $W / m^{2} / K$ , $R_{th}^{conv} = \frac{1}{h S}$ ; $h$ de $5$ (air calme) à $1 0^{4}$ (eau) $W / m^{2} / K$ .

Capacité numérique : Équation de la chaleur par différences finies

On résout l'équation de diffusion thermique 1D $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ sur une barre $[0, L]$ par la méthode d'Euler explicite : on discrétise l'espace ( $x_{i} = i Δ x$ ) et le temps ( $t_{n} = n Δ t$ ), et l'on approche la dérivée seconde par le schéma centré $\frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} \approx \frac{T _{i + 1} - 2 T _{i} + T _{i - 1}}{Δ x ^{2}}$ . Le schéma d'avancement s'écrit

$T_{i}^{n + 1} = T_{i}^{n} + r (T_{i + 1}^{n} - 2 T_{i}^{n} + T_{i - 1}^{n}), r = \frac{D Δ t}{Δ x ^{2}} .$

Il est stable si $r \leq \frac{1}{2}$ : $T_{i}^{n + 1}$ est alors une moyenne pondérée à coefficients positifs ( $r$ , $1 - 2 r$ , $r$ ) des valeurs voisines, et aucun extremum ne peut apparaître ; si $r > \frac{1}{2}$ , le coefficient $1 - 2 r$ est négatif et une perturbation en dents de scie est amplifiée d'un facteur $∣ 1 - 4 r ∣ > 1$ à chaque pas. On impose ici les températures aux bords (conditions de Dirichlet) ; une condition de Newton s'écrirait en égalant, au nœud de bord, le flux reçu du fluide et le flux de Fourier vers le nœud voisin.


import numpy as np

# --- Parametres physiques et numeriques ---
L  = 1.0          # longueur de la barre (m)
D  = 1.0e-4       # diffusivite thermique (m^2/s)
Nx = 51           # nombre de points d'espace
dx = L / (Nx - 1)
r  = 0.4          # r = D*dt/dx^2 : doit rester <= 1/2
dt = r * dx**2 / D
Nt = 1600         # nombre de pas (t final = 2560 s)

x = np.linspace(0, L, Nx)

# --- Barre a 20 C, zone chaude de 10 cm au centre ---
T = 20.0 * np.ones(Nx)
T[np.abs(x - 0.5) < 0.051] = 100.0

# --- Euler explicite, bords maintenus a 20 C ---
assert r <= 0.5, "Schema instable : reduire dt"
profils = [(0.0, T.copy())]
for n in range(Nt):
    T[1:-1] = T[1:-1] + r * (T[2:] - 2 * T[1:-1] + T[:-2])
    T[0], T[-1] = 20.0, 20.0
    if n + 1 in (25, 100, 400, 1600):   # enregistre APRES le pas
        profils.append(((n + 1) * dt, T.copy()))

for t, p in profils:
    exces = np.trapezoid(p - 20.0, x)   # energie en exces / (rho c S)
    print(f"t = {t:6.0f} s   Tmax = {p.max():5.1f} C   "
          f"exces = {exces:5.2f} K.m")

Résultat obtenu en exécutant le script :


t =      0 s   Tmax = 100.0 C   exces =  8.00 K.m
t =     40 s   Tmax =  53.7 C   exces =  8.00 K.m
t =    160 s   Tmax =  37.6 C   exces =  7.91 K.m
t =    640 s   Tmax =  28.5 C   exces =  5.38 K.m
t =   2560 s   Tmax =  21.3 C   exces =  0.81 K.m

La zone chaude s'étale : de $40$ à $160 s$ , la durée est multipliée par $4$ et l'écart $T_{m a x} - 20° C$ divisé par $1, 9$ (la largeur double, l'énergie en excès se conserve). Quand l'étalement $D t$ atteint les bords, l'énergie s'écoule par les extrémités maintenues à $20° C$ , et la barre tend vers le profil stationnaire uniforme. Avec $r = 0, 6$ , le même calcul atteint $1 0^{29}$ en $200$ pas : la condition de stabilité est impérative.

6.7 Complément (hors programme PT) : sources internes, géométrie quelconque, ailette

iRemarque

Le programme de PT se limite à la conduction à une dimension, en coordonnées cartésiennes et sans source. Ce complément, hors programme, présente les généralisations qu'emploient les autres filières ; il n'est pas exigible.

6.7.1 Sources internes

Si le milieu est le siège d'une puissance volumique $p_{v}$ (effet Joule, réaction chimique, radioactivité), le bilan de la tranche $[x, x + d x]$ reçoit en plus le terme $p_{v} S d x d t$ :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x} + p_{v}, \frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} + \frac{p _{v}}{ρ c} .$

En régime stationnaire, le flux n'est alors plus uniforme ( $\frac{d j _{x}}{d x} = p_{v}$ ) et l'analogie électrique ne s'applique plus au milieu qui produit l'énergie.

6.7.2 Géométrie quelconque

En dimension supérieure, la loi de Fourier s'écrit avec l'opérateur gradient, $j_{Q} = - λ grad T$ , et le bilan local avec l'opérateur divergence :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v}, \frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} Δ T + \frac{p _{v}}{ρ c},$

puisque $div (grad T) = Δ T$ . En géométrie cylindrique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{Q} )}{\partial r}$ ; en géométrie sphérique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{Q} )}{\partial r}$ (expressions fournies). En régime stationnaire sans source, c'est alors le flux $Φ$ à travers un cylindre ou une sphère de rayon $r$ qui est conservé, non la densité de flux.

6.7.3 Géométries cylindrique et sphérique

Quand la température ne dépend que de la distance $r$ à un axe ou à un centre, le bilan se fait sur une coquille $[r, r + d r]$ , d'aire $A (r) = 2 π r ℓ$ (cylindre) ou $4 π r^{2}$ (sphère) : $ρ c A d r \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial ( A j _{r} )}{\partial r} d r + p_{v} A d r$ , soit

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{r} )}{\partial r} + p_{v} ou ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r} + p_{v},$

et le laplacien vaut $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r})$ ou $\frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r})$ . Sans source et en régime stationnaire, les profils sont logarithmique ( $A ln r + B$ ) ou en $1/ r$ , et la résistance d'une coque se construit : flux conservé, loi de Fourier $Φ = - λ A (r) \frac{d T}{d r}$ , intégration de $R_{1}$ à $R_{2}$ , d'où $R_{th} = \frac{ln ( R _{2} / R _{1} )}{2 π λ ℓ}$ (manchon) ou $\frac{1}{4 π λ} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$ (coquille). Avec une source uniforme, un bilan global donne $j_{r} = p_{v} r /2$ (cylindre) ou $p_{v} r /3$ (sphère) : le flux croît vers l'extérieur.

6.7.4 L'ailette de refroidissement

Méthode : Bilan sur une ailette

Une ailette est une tige conductrice (section $S$ , périmètre $p$ , conductivité $λ$ ) fixée sur un corps chaud et baignée par un fluide à $T_{f}$ , destinée à augmenter la surface d'échange. En régime stationnaire, le bilan sur la tranche $[x, x + d x]$ combine conduction axiale et pertes latérales de Newton :

$λ S \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = h p (T - T_{f}) .$

En posant $θ = T - T_{f}$ et $δ = \frac{λ S}{h p}$ , il vient $\frac{d ^{2} θ}{d x ^{2}} = \frac{θ}{δ ^{2}}$ , dont la solution décroissante est $θ (x) = θ_{0} e^{- x / δ}$ pour une ailette longue. La longueur caractéristique $δ$ mesure la portée thermique de l'ailette.

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