Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles

Cours · thermodynamique et machines thermiques (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une machine thermique : elle reçoit de la chaleur de la source chaude, en cède à la source froide et fournit du travail.

Les chapitres précédents ont adapté les principes de la thermodynamique aux fluides réels et introduit les diagrammes d'état $(T, s)$ et $(P, h)$ . La quasi-totalité des machines de conversion d'énergie — turbines de centrales, compresseurs, réacteurs, réfrigérateurs, pompes à chaleur — fonctionnent en écoulement continu : un fluide entre en permanence par une section, traverse un organe et ressort par une autre. Le système pertinent n'est plus une masse fixée de fluide, mais une région fixe de l'espace, le volume de contrôle.

Ce chapitre établit d'abord les deux principes pour un système ouvert en régime stationnaire à une entrée et une sortie,

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q et Δ s = s_{e} + s_{c},$

formulés en grandeurs massiques. Il les applique ensuite aux dispositifs industriels du programme (compresseur, turbine, tuyère, détendeur, échangeur, mélangeur, pompe), puis les assemble en cycles : cycle moteur (Rankine à vapeur, Brayton à gaz), cycle frigorifique et pompe à chaleur, dont on lit rendement, efficacité et COP directement sur les diagrammes.

5.1 Volume de contrôle et bilans en régime stationnaire

Définition 5.1Système ouvert et volume de contrôle

Un système ouvert est délimité par une surface géométrique fixe, la surface de contrôle $Σ$ , enfermant un volume de contrôle $V$ à travers lequel de la matière transite. On raisonne sur une conduite munie d'une section d'entrée $S_{e}$ et d'une section de sortie $S_{s}$ , l'écoulement y étant unidimensionnel (grandeurs uniformes sur chaque section). Le régime stationnaire est celui où toutes les grandeurs à l'intérieur de $V$ sont indépendantes du temps.

Figure : Volume de contrôle

V

à une entrée et une sortie. Le fluide reçoit le transfert thermique massique

q

et le travail utile massique

w_{u}

(parties mobiles).

Définition 5.2Débit massique

Le débit massique à travers une section $S$ est la masse de fluide la traversant par unité de temps :

$D_{m} = ρ c S = \frac{c S}{v} (kg / s),$

où $ρ$ est la masse volumique, $c$ la vitesse (normale à $S$ ) et $v = 1/ ρ$ le volume massique.

◆Théorème 5.3Conservation du débit

En régime stationnaire, la masse contenue dans $V$ est constante : le débit entrant égale le débit sortant. Pour une entrée et une sortie,

$D_{m, e} = D_{m, s} \equiv D_{m} soit \frac{c _{e} S _{e}}{v _{e}} = \frac{c _{s} S _{s}}{v _{s}} .$

Démonstration (Démonstration)

Soit $m (t)$ la masse instantanée dans $V$ . Entre $t$ et $t + d t$ , il entre $δ m_{e} = D_{m, e} d t$ et il sort $δ m_{s} = D_{m, s} d t$ : $d m = (D_{m, e} - D_{m, s}) d t$ . En régime stationnaire $d m / d t = 0$ , d'où l'égalité des débits.

5.2 Premier principe industriel

Par rapport au système fermé, la nouveauté est que le fluide entrant pousse le fluide déjà présent et est poussé par l'amont : ce travail des forces de pression aux frontières fait apparaître l'enthalpie.

Méthode : Système fermé équivalent

Pour appliquer le premier principe des systèmes fermés (connu de PTSI), on suit une masse $δ m$ de son entrée à sa sortie, comme un système fermé qui se déplace. À l'entrée, la pression amont $P_{e}$ pousse cette masse sur $δ V_{e} = v_{e} δ m$ : travail $+ P_{e} v_{e} δ m$ . À la sortie, l'aval s'oppose sur $δ V_{s} = v_{s} δ m$ : travail $- P_{s} v_{s} δ m$ . Ce travail de transvasement $P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}$ se combine à l'énergie interne pour reconstituer l'enthalpie massique $h = u + P v$ .

◆Théorème 5.4Premier principe industriel (par unité de masse)

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation entre entrée et sortie de l'enthalpie massique $h$ , de l'énergie cinétique massique $e_{c} = \frac{1}{2} c^{2}$ et de l'énergie potentielle de pesanteur $e_{p} = g z$ vérifie

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q Δ h = h_{s} - h_{e}, Δ e_{c} = \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}), Δ e_{p} = g Δ z,$

où $w_{u}$ est le travail utile massique (dit indiqué ou technique) reçu des parties mobiles, et $q$ le transfert thermique massique reçu. Toutes ces grandeurs sont en $J / kg$ .

Démonstration (Démonstration)

On isole le système fermé $Σ^{⋆}$ constitué, à $t$ , du fluide dans $V$ plus la masse $δ m$ prête à entrer ; à $t + d t$ , du fluide dans $V$ plus la masse $δ m$ qui vient de sortir. Le régime étant stationnaire, le contenu de $V$ est inchangé : la variation d'énergie de $Σ^{⋆}$ se réduit à celle de $δ m$ transférée de l'entrée à la sortie,

$d E = [(u_{s} + \frac{1}{2} c_{s}^{2} + g z_{s}) - (u_{e} + \frac{1}{2} c_{e}^{2} + g z_{e})] δ m .$

Le premier principe pour $Σ^{⋆}$ s'écrit $d E = δ W + δ Q$ avec $δ W = w_{u} δ m + (P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}) δ m$ et $δ Q = q δ m$ . En divisant par $δ m$ et en faisant passer le transvasement à gauche : $Δ u + (P_{s} v_{s} - P_{e} v_{e}) = Δ (u + P v) = Δ h$ , d'où le résultat.

ImportantConventions et simplifications usuelles

Signes : $w_{u} > 0$ et $q > 0$ sont reçus par le fluide.
Négligences : sauf pour les tuyères, on néglige souvent $Δ e_{c}$ ; presque toujours $Δ e_{p}$ (gaz). La relation se réduit alors à $Δ h = w_{u} + q$ .
Travail utile : $w_{u} \neq = 0$ seulement s'il y a une pièce mobile traversée par le fluide (aubes, piston). Conduite, vanne, échangeur passif : $w_{u} = 0$ .
Puissances : en multipliant par le débit, $P_{u} = D_{m} w_{u}$ (mécanique) et $P_{t h} = D_{m} q$ (thermique), en watts.

5.3 Deuxième principe pour un système ouvert

◆Théorème 5.5Bilan d'entropie massique

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie,

$Δ s = s_{e} + s_{c}, Δ s = s_{sortie} - s_{entr e ˊ e},$

où $s_{e} = \int \frac{δ q}{T _{front}}$ est l'entropie massique échangée avec les sources et $s_{c} \geq 0$ l'entropie massique créée par les irréversibilités internes. Pour un transfert $q$ reçu d'une source à $T_{f}$ , $s_{e} = q / T_{f}$ .

Attention : ici $s_{e}$ désigne l'entropie massique échangée, à ne pas confondre avec l'indice « entrée » utilisé ailleurs ( $h_{e}$ , $P_{e}$ …).

Démonstration (Démonstration)

On reprend le système fermé mobile $δ m$ . Le second principe fermé donne $d S = δ S_{e ˊ ch} + δ S_{c}$ avec $δ S_{e ˊ ch} = δ Q / T_{front}$ et $δ S_{c} \geq 0$ . En régime stationnaire, l'entropie dans $V$ est constante, donc $d S = (s_{sortie} - s_{entr e ˊ e}) δ m$ . En divisant par $δ m$ : $Δ s = s_{e} + s_{c}$ .

ImportantÉcoulements idéaux

Réversible : $s_{c} = 0$ , alors $Δ s = s_{e}$ .
Adiabatique ( $q = 0$ , $s_{e} = 0$ ) : $Δ s = s_{c} \geq 0$ , au mieux isentropique.
Adiabatique réversible = isentropique ( $Δ s = 0$ ) : modèle de référence de la turbine et du compresseur idéaux.
Laminage : adiabatique mais fortement irréversible, $s_{c} > 0$ .

iRemarqueLecture graphique

Sur le diagramme $(T, s)$ , l'aire sous une transformation réversible vaut $q = \int T d s$ . Le long d'une isobare, l'identité $d h = T d s + v d P$ donne $d h = T d s$ : le transfert thermique reçu dans un échangeur, $q = Δ h$ , est l'aire sous l'isobare, même si l'échange avec la source est irréversible. Une évolution calorifugée et réversible est une verticale ; dans un organe calorifugé réel, $s_{c} = s_{sortie} - s_{entr e ˊ e} > 0$ déplace l'état de sortie vers la droite. L'aire sous un trajet irréversible (un laminage, dessiné en pointillé) ne représente aucun transfert thermique. Sur le diagramme $(P, h)$ des frigoristes, les organes usuels (isobares, isenthalpes) se lisent en segments : le laminage y est une verticale ( $Δ h = 0$ ), la condensation et l'évaporation des horizontales. Le chapitre « Diagrammes d'état des fluides réels purs » en a détaillé la construction ; on s'en sert ici comme d'un abaque.

5.4 Dispositifs d'une installation industrielle

Chaque organe est un système ouvert. On applique le premier principe en identifiant lesquels de $w_{u}$ , $q$ , $Δ e_{c}$ , $Δ e_{p}$ sont nuls ou négligeables.

5.4.1 Tuyère : conversion d'enthalpie en énergie cinétique

Proposition 5.6Tuyère

Une tuyère est une conduite fixe ( $w_{u} = 0$ ), calorifugée ( $q \approx 0$ ), horizontale ( $Δ e_{p} \approx 0$ ). Le premier principe donne

$Δ h + \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}) = 0 ⟹ c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s}) .$

La détente ( $h_{e} > h_{s}$ ) accélère le fluide : l'enthalpie est convertie en énergie cinétique (propulsion, éjecteurs).

5.4.2 Turbine et compresseur calorifugés

Figure : Turbine (détente motrice,

w_{u} < 0

) et compresseur (compression,

w_{u} > 0

). Calorifugés, à

Δ e_{c}, Δ e_{p}

négligés : tous deux vérifient

w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e}

Proposition 5.7Turbine et compresseur calorifugés

Turbine et compresseur sont des machines à parties mobiles, calorifugées ( $q \approx 0$ ), avec $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligeables :

$w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e} .$

La turbine détend ( $h_{s} < h_{e}$ , $w_{u} < 0$ : travail fourni à l'arbre). Le compresseur comprime ( $h_{s} > h_{e}$ , $w_{u} > 0$ : travail reçu). Le modèle idéal est isentropique ( $Δ s = 0$ ).

Définition 5.8Rendements isentropiques

(toujours défini et fourni dans les énoncés) En notant l'état réel de sortie $s$ et l'état isentropique $s_{i s}$ (même pression $P_{s}$ , $Δ s = 0$ ) :

$η_{turbine} = \frac{h _{e} - h _{s}}{h _{e} - h _{s, i s}} \leq 1, η_{compresseur} = \frac{h _{s, i s} - h _{e}}{h _{s} - h _{e}} \leq 1.$

Le travail réel est toujours moins favorable que l'idéal ( $s_{c} > 0$ ) : la turbine fournit moins, le compresseur consomme plus.

Proposition 5.9Travail d'une machine calorifugée réversible

Pour un écoulement calorifugé et réversible, $d s = 0$ , et l'identité $d h = T d s + v d P$ donne la variation d'enthalpie massique

$w_{u} = Δ h = \int v d P,$

quel que soit le fluide. Pour un gaz parfait ( $d h = c_{p} d T$ ), $Δ h = c_{p} Δ T$ , et la loi de Laplace $T P^{(1 - γ) / γ} = cste$ donne le travail utile en fonction du rapport de pression :

$w_{u} = c_{p} T_{e} [(\frac{P _{s}}{P _{e}})^{\frac{γ - 1}{γ}} - 1] .$

5.4.3 Détendeur : laminage isenthalpique

Figure : Détendeur (laminage) : conduite fixe, calorifugée. La détente à travers l'obstacle est isenthalpique mais irréversible (

s_{c} > 0

Proposition 5.10Laminage / détente de Joule--Thomson

Le passage à travers une vanne ou un milieu poreux est calorifugé ( $q \approx 0$ ), sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ), $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables :

$Δ h = 0 (isenthalpique), Δ s = s_{c} > 0.$

Pour un gaz parfait ( $h (T)$ seul), $Δ h = 0 \Rightarrow Δ T = 0$ (les températures d'entrée et de sortie sont égales, sans que la transformation soit isotherme). Pour un gaz réel, la température varie : elle baisse au-dessous de la température d'inversion, cas de la plupart des gaz à l'ambiante, et monte au-dessus (dihydrogène à l'ambiante). Un liquide saturant qu'on lamine se vaporise en partie et se refroidit jusqu'à la température de saturation aval : c'est l'effet exploité dans les machines frigorifiques et les liquéfacteurs.

5.4.4 Échangeur thermique calorifugé

Proposition 5.11Échangeur

Dans un échangeur, chaque fluide circule sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ), avec $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables : $q = Δ h = h_{s} - h_{e}$ . Si l'ensemble est calorifugé de l'extérieur, la puissance thermique cédée par un fluide est reçue par l'autre :

$D_{m, 1} Δ h_{1} + D_{m, 2} Δ h_{2} = 0 .$

5.4.5 Mélangeur et séparateur isobares calorifugés

Figure : Mélangeur isobare calorifugé à deux entrées, une sortie : conservation du débit

D_{1} + D_{2} = D_{3}

et bilan enthalpique

D_{1} h_{1} + D_{2} h_{2} = D_{3} h_{3}

. Le séparateur est le dispositif inverse.

Proposition 5.12Mélangeur / séparateur

Un mélangeur isobare calorifugé réunit deux flux ( $D_{1}, D_{2}$ ) en un ( $D_{3}$ ). Sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ) ni échange externe ( $q = 0$ ), le bilan de masse et le bilan d'énergie s'écrivent

$D_{1} + D_{2} = D_{3}, D_{1} h_{1} + D_{2} h_{2} = D_{3} h_{3} .$

Le séparateur est le dispositif inverse (un flux entrant, plusieurs sortants) et vérifie les relations symétriques. Un ballon séparateur qui reçoit un mélange liquide-vapeur de titre $x$ sous la pression $P$ en extrait $D_{v} = x D$ de vapeur saturante et $D_{ℓ} = (1 - x) D$ de liquide saturant. Plus généralement, pour un système ouvert à plusieurs entrées et sorties en régime stationnaire, $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligés, la conservation de la masse et le premier principe s'écrivent avec les débits et les puissances indiquée $P_{u}$ et thermique $P_{t h}$ reçues :

$entr e ˊ es \sum D_{m} = sorties \sum D_{m}, sorties \sum D_{m} h - entr e ˊ es \sum D_{m} h = P_{u} + P_{t h} .$

5.4.6 Pompe

Proposition 5.13Pompe

Une pompe élève la pression d'un liquide (quasi incompressible, $v \approx cste$ ). Calorifugée et réversible, elle vérifie $w_{u} = Δ h$ avec $d s = 0$ : l'identité $d h = T d s + v d P$ donne $d h = v d P$ , et le travail massique est faible :

$w_{u} = \int v d P \approx v (P_{s} - P_{e}) .$

Pour un liquide incompressible, $d s = c d T / T$ : l'évolution isentropique est aussi isotherme. La pompe ne chauffe pas le liquide (environ $0, 1 K$ pour une élévation de $40 bar$ , d'après les tables de l'eau). C'est ce qui rend l'alimentation d'une chaudière peu coûteuse devant le travail fourni par la turbine dans un cycle à vapeur : quelques $kJ / kg$ contre près de $1000 kJ / kg$ .

5.5 Cycles thermodynamiques industriels

Une machine dithermique assemble ces organes en un cycle : le fluide revient à son état initial, de sorte que $\sum Δ h = 0$ et $\sum Δ s = 0$ sur un tour. Comme $Δ h = w_{u} + q$ pour chaque organe,

$\sum w_{u} + \sum q = 0 ⟹ w_{net} = - (q_{c} + q_{f}),$

où $q_{c}$ (source chaude) et $q_{f}$ (source froide) sont les transferts thermiques massiques du cycle. Le sens de parcours sur le diagramme distingue moteur et récepteur.

ImportantRepérage d'une machine

Pour une machine dont les organes sont donnés : (i) repérer les sources (là où le fluide reçoit ou cède $q$ ) ; (ii) identifier le sens des échanges (signe de $q_{c}$ , $q_{f}$ , $w_{net}$ ) ; (iii) relier le fonctionnement au sens de parcours du cycle. Sur $(T, s)$ , un cycle parcouru dans le sens horaire est moteur (son aire est le travail fourni si toutes ses évolutions sont réversibles) ; anti-horaire, il est récepteur (frigo / PAC).

5.5.1 Cycle moteur à vapeur (Rankine et Hirn)

Proposition 5.14Cycle moteur à vapeur sur le diagramme

(T, s)

: Rankine et Hirn

Pompe $1 \to 2$ : calorifugée et réversible, $d s = 0$ , et l'identité $d h = T d s + v d P$ donne $w_{p} = \int v d P \approx v_{ℓ} (P_{2} - P_{1})$ , quelques $kJ / kg$ ; la pompe ne chauffe pas, et le point 2 est confondu avec le point 1. Chaudière $2 \to 3$ : chauffage du liquide le long de la courbe d'ébullition, palier de vaporisation, puis, dans le cycle de Hirn, surchauffe de la vapeur. Turbine $3 \to 4$ : verticale si elle est idéale, vers la droite sinon. Condenseur $4 \to 1$ : palier à $T_{f}$ . Le cycle est parcouru dans le sens horaire, et son rendement vaut

$η = \frac{∣ w _{t} ∣ - w _{p}}{q _{c}} .$

On l'exprime avec la température moyenne $T ˉ_{c} = q_{c} / (s_{3} - s_{2})$ à laquelle le fluide reçoit la chaleur. Si la vapeur sort humide de la turbine, la chaleur est rejetée sur le palier : $∣ q_{f} ∣ = T_{f} (s_{4} - s_{1})$ , et, l'entropie revenant à sa valeur sur un tour, $s_{4} - s_{1} = s_{3} - s_{2} + s_{c}$ , où $s_{c}$ est l'entropie massique créée sur le tour. D'où

$η = 1 - \frac{T _{f}}{T ˉ _{c}} - \frac{T _{f} s _{c}}{q _{c}} < 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} .$

Le cycle perd sur Carnot parce que la chaleur entre au-dessous de $T_{c}$ (chauffage du liquide : $T ˉ_{c} < T_{c}$ ), et parce que chaque unité d'entropie créée coûte $T_{f}$ de travail.

Figure : Cycles moteurs à vapeur sur le diagramme

(T, s)

de l'eau, tracés à partir des tables ; condenseur à

0, 05 bar

(

306 K

). En trait épais, cycle de Rankine à vapeur saturante sous

55 bar

: la pompe est confondue avec la courbe d'ébullition, la détente idéale est verticale (

3 \to 4 s

), la détente réelle se dessine en pointillé (

3 \to 4

). En tirets, le rectangle de même largeur et de même aire que la surface sous

2 \to 3

: sa hauteur est

T ˉ_{c} = 485 K

, et le cycle idéal a le rendement

1 - T_{f} / T ˉ_{c} = 0, 37

. En rouge, cycle de Hirn à

165 bar

565^{\circ} C

: surchauffe,

T ˉ_{c}

plus haut (

550 K

), vapeur plus sèche en fin de détente.

iRemarqueAmélioration du cycle

La relation $η = 1 - T_{f} / T ˉ_{c} - T_{f} s_{c} / q_{c}$ guide toutes les améliorations : monter la température moyenne $T ˉ_{c}$ à laquelle le fluide reçoit la chaleur, et réduire l'entropie créée. La surchauffe (cycle de Hirn) porte la vapeur au-delà de la courbe de rosée avant la turbine : $T ˉ_{c}$ monte, et la vapeur sort plus sèche de la détente, ce qui ménage les aubes. Le préchauffage de l'eau d'alimentation par de la vapeur soutirée sur la turbine, dans des réchauffeurs, évite de chauffer le liquide froid avec la chaleur de la source chaude : $T ˉ_{c}$ monte encore. La resurchauffe et le séchage de la vapeur entre deux corps de turbine limitent l'humidité. Le choix du fluide adapte le cycle aux températures disponibles : aux basses températures (géothermie, récupération de chaleur), un fluide organique, dont la détente reste sèche et dont la vapeur est dense, donne une turbine compacte. On les discute sur diagramme ou avec un logiciel de tables (exercices résolus).

5.5.2 Cycle moteur à gaz (Brayton)

Proposition 5.15Cycle de Brayton

Turbine à gaz : compresseur $1 \to 2$ , chambre de combustion isobare $2 \to 3$ ( $q_{c}$ ), turbine $3 \to 4$ , refroidissement isobare $4 \to 1$ ( $q_{f}$ ). Ce dernier est un modèle : dans une turbine à gaz réelle, les gaz s'échappent dans l'atmosphère et de l'air frais est aspiré ; l'atmosphère joue le rôle de source froide. Pour un gaz parfait avec compression et détente isentropiques de rapport de pression $π = P_{2} / P_{1}$ , le rendement ne dépend que de $π$ :

$η_{Brayton} = 1 - π^{- \frac{γ - 1}{γ}} .$

Sur le diagramme $(T, s)$ , le cycle est compris entre deux isobares exponentielles, avec deux verticales, et parcouru dans le sens horaire. Le compresseur absorbe une grande part du travail de la turbine (plus de $40 %$ ) : le travail net, petite différence de deux grands nombres, est très sensible aux irréversibilités des deux machines.

5.5.3 Machine frigorifique et pompe à chaleur

Figure : Machine frigorifique ou pompe à chaleur : schéma synoptique d'un récepteur ditherme. Le fluide reçoit le travail

w > 0

(flèche entrante), prélève

q_{f} > 0

à la source froide et cède

q_{c} < 0

à la source chaude.

Figure : Cycle de référence d'une machine frigorifique au R134a sur le diagramme

(P, h)

(tracé à partir des tables) : évaporation à

- 10^{\circ} C

, condensation à

40^{\circ} C

, compression isentropique. On lit

q_{f} = 136

w = 34

∣ q_{c} ∣ = 170 kJ k g^{- 1}

e_{f} = 4, 0

COP = 5, 0

, contre

5, 3

6, 3

pour Carnot entre les mêmes températures.

Définition 5.16Efficacités frigorifique et calorifique

Une machine réceptrice ( $w > 0$ ) transfère de la chaleur du froid vers le chaud. On définit :

$R e ˊ frig e ˊ rateur : e_{f} = \frac{q _{f}}{w} = \frac{∣ h _{1} - h _{4} ∣}{h _{2} - h _{1}}, Pompe a ˋ chaleur : e_{c} = COP = \frac{∣ q _{c} ∣}{w} .$

On a toujours $e_{c} = e_{f} + 1$ , et les bornes de Carnot $e_{f} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}}$ , $e_{c} \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}}$ . Une PAC de COP $\approx 3$ – $4$ restitue 3 à 4 fois l'énergie électrique consommée.

Proposition 5.17Cycle frigorifique à compression de vapeur

Le cycle comporte : compresseur $1 \to 2$ ( $w = h_{2} - h_{1} > 0$ ), condenseur $2 \to 3$ ( $q_{c} = h_{3} - h_{2} < 0$ ), détendeur $3 \to 4$ (laminage, $h_{4} = h_{3}$ ), évaporateur $4 \to 1$ ( $q_{f} = h_{1} - h_{4} > 0$ ). Toutes les grandeurs se lisent en abscisses sur le diagramme $(ln P, h)$ : le point 1 est sur la courbe de rosée ou à sa droite (le compresseur n'aspire pas de liquide), le point 3 sur la courbe d'ébullition ou à sa gauche, le laminage est vertical, et le cycle est parcouru dans le sens antihoraire. Sur le diagramme $(T, s)$ , le même cycle est aussi parcouru dans le sens antihoraire : la compression réelle part vers la droite, la désurchauffe forme une « corne » au-dessus du palier de condensation, le laminage est un pointillé vers la droite. Le diagramme $(P, h)$ sert aux énergies, le diagramme $(T, s)$ aux pertes.

Figure : Le cycle frigorifique de référence du diagramme

(P, h)

(R134a, évaporation à

- 10^{\circ} C

, condensation à

40^{\circ} C

, compression isentropique) sur le diagramme

(T, s)

: sens antihoraire, compression verticale, « corne » de désurchauffe au-dessus du palier de

40^{\circ} C

, laminage en pointillé vers la droite. Par rapport à une détente isentropique (

3 \to 4 s

), le laminage coûte

T_{e} (s_{4} - s_{3}) = 263 K \times 0, 025 kJ K^{- 1} k g^{- 1} = 6, 6 kJ k g^{- 1}

de froid, lu sur le palier d'évaporation.

iRemarqueDiagrammes, tables et logiciels

Les enthalpies $h_{1}$ à $h_{4}$ se lisent sur le diagramme du fluide frigorigène, ou se calculent dans ses tables (en interpolant si nécessaire) ; un logiciel de tables les donne directement. On s'en sert pour discuter l'effet d'un paramètre : température de condensation (plancher chauffant ou radiateurs), surchauffe, choix du fluide (pressions de travail, forme de la cloche, volume de vapeur à aspirer) ; les exercices résolus en donnent des exemples chiffrés.

iRemarqueOrdres de grandeur des puissances

Réfrigérateur domestique : $50$ à $100 W$ électriques ; pompe à chaleur d'une maison : $3$ à $10 kW$ de chaleur ; moteur de voiture : $50$ à $150 kW$ mécaniques ; turbine à gaz de centrale : $300 MW$ ; tranche nucléaire : $900$ à $1450 MW$ électriques pour $3$ à $4 GW$ thermiques. Les grandeurs massiques restent de l'ordre de $1 0^{2}$ à $1 0^{3} kJ / kg$ : c'est le débit qui fait la taille.

5.6 Synthèse du chapitre

Cadre. Système ouvert = volume de contrôle fixe, écoulement stationnaire, une entrée / une sortie. Grandeurs massiques ( $h$ , $s$ , $w_{u}$ , $q$ en $J / kg$ ) ; puissances $= D_{m} \times$ grandeur.

Bilan de masse. $D_{m, e} = D_{m, s} = D_{m} = c S / v$ .

Premier principe industriel. $Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q$ ; souvent $Δ h = w_{u} + q$ .

Deuxième principe. $Δ s = s_{e} + s_{c}$ , $s_{e} = \int δ q / T_{front}$ , $s_{c} \geq 0$ (nul si réversible).

Dispositifs (calorifugés, $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligés sauf tuyère).

Tuyère ( $w_{u} = 0$ ) : $c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s})$ .
Turbine / compresseur : $w_{u} = Δ h$ ; réversible : $w_{u} = \int v d P$ ; rendements isentropiques $η$ (définis dans l'énoncé).
Laminage : $Δ h = 0$ ( $s_{c} > 0$ ).
Échangeur ( $w_{u} = 0$ ) : $q = Δ h$ ; $D_{1} Δ h_{1} + D_{2} Δ h_{2} = 0$ .
Mélangeur / séparateur : $\sum D$ et $\sum D h$ conservés ; ballon séparateur : $D_{v} = x D$ .
Pompe (liquide) : $w_{u} = \int v d P \approx v Δ P$ , sans échauffement.

Cycles. $\sum (w_{u} + q) = 0$ ; horaire sur $(T, s)$ $=$ moteur, anti-horaire $=$ récepteur.

$η_{moteur} = \frac{∣ w _{net} ∣}{q _{c}}, e_{f} = \frac{q _{f}}{w}, COP = \frac{∣ q _{c} ∣}{w} = e_{f} + 1.$

Diagramme $(T, s)$ : aire sous une isobare $= q$ ; organe calorifugé réel vers la droite ; travail perdu $T_{f} s_{c}$ . Cycle à vapeur : $η = 1 - T_{f} / T ˉ_{c} - T_{f} s_{c} / q_{c}$ , $T ˉ_{c} = q_{c} / (s_{3} - s_{2})$ . Turbine à gaz : $η = 1 - π^{- (γ - 1) / γ}$ .

Amélioration. Monter $T ˉ_{c}$ (surchauffe, préchauffage par soutirage), réduire $s_{c}$ (séchage, resurchauffe), choisir le fluide. Puissances : du watt (réfrigérateur) au gigawatt (centrale).

5.7 Travaux dirigés

5.7.1 Systèmes ouverts en régime stationnaire et machines réelles

Exercice 1 — Le sèche-cheveux : débit, dilatation et termes qu'on a le droit de négliger

Un sèche-cheveux de $2000 W$ aspire, en régime établi, $1, 8 m^{3}$ d'air par minute à $20^{\circ} C$ sous $1, 013 bar$ , à travers une grille de section $S_{1} = 20 c m^{2}$ . L'air traverse un ventilateur, puis une résistance chauffante, et sort par une buse rectangulaire de $7, 0 cm \times 1, 8 cm$ , à la pression atmosphérique. On assimile toute la puissance électrique à celle de la résistance (le moteur du ventilateur en prend environ $1 %$ ) et l'on néglige les pertes thermiques par le boîtier. L'air est un gaz parfait (données communes).

On étudie deux surfaces de contrôle : $Σ_{A}$ , qui englobe tout l'appareil, et $Σ_{B}$ , qui contient l'air seul et laisse la résistance à l'extérieur (pointillés autour d'elle).

1) Calculer le débit massique $D_{m}$ . Pourquoi est-ce lui, et non le débit volumique, qui se conserve dans l'appareil ?

2) Écrire le premier principe pour $Σ_{A}$ et en déduire la température de l'air soufflé, en négligeant d'abord les termes cinétique et de pesanteur. Calculer le débit volumique à la sortie et le comparer au débit aspiré.

3) Calculer les vitesses $c_{1}$ et $c_{2}$ , puis $Δ e_{c}$ ; estimer $g Δ z$ pour un appareil tenu à bout de bras ( $∣ Δ z ∣ ⩽ 0, 3 m$ ). Le choix de la question 2 était-il justifié ? De combien corrige-t-il la température de sortie ?

4) Avec la surface $Σ_{B}$ , que valent $w_{u}$ et $q$ ? Le résultat de la question 2 change-t-il ?

5) Calculer l'entropie massique créée $s_{c}$ avec $Σ_{A}$ , puis avec $Σ_{B}$ en prenant la résistance à $600^{\circ} C$ . Où naît l'entropie ? La surpression du ventilateur, quelques centaines de pascals, change-t-elle le résultat ?

6) Cas limite : que prédit le bilan si le ventilateur se bloque ? Quel dispositif l'appareil doit-il comporter ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Un appareil traversé par un fluide en régime établi est un système ouvert à une entrée et une sortie : on calcule d'abord le débit massique, conservé, puis on écrit le premier principe en grandeurs massiques, et l'on ne néglige un terme qu'après l'avoir chiffré.

1) Le débit massique. À l'aspiration, $v_{1} = \frac{r T _{1}}{P _{1}} = \frac{287 \times 293 , 15}{1 , 013 \times 1 0 ^{5}} = 0, 8305 m^{3} k g^{- 1}$ , et le débit volumique vaut $D_{V, 1} = 1, 8/60 = 0, 030 m^{3} s^{- 1}$ :

$D_{m} = \frac{D _{V, 1}}{v _{1}} = \frac{0 , 030}{0 , 8305} = 3, 61 \times 1 0^{- 2} kg s^{- 1} = 36, 1 g s^{- 1} .$

En régime stationnaire, la masse contenue dans l'appareil ne varie pas : il sort autant de masse qu'il en entre, $D_{m, 1} = D_{m, 2}$ . Le débit volumique $D_{V} = D_{m} v$ n'a aucune raison de se conserver, puisque l'air chauffé à pression constante se dilate.

2) La température de sortie. Pour $Σ_{A}$ , l'énergie électrique entre sous forme de travail (le courant fait travailler les forces électriques sur les porteurs de charge à l'intérieur de la surface) : $w_{u} = P_{el} / D_{m}$ , et $q = 0$ (boîtier sans pertes). Avec $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligés :

$Δ h = w_{u} = \frac{P _{el}}{D _{m}} = \frac{2000}{3 , 612 \times 1 0 ^{- 2}} = 55, 4 kJ k g^{- 1}, T_{2} - T_{1} = \frac{w _{u}}{c _{p}} = 55, 1 K .$

L'air sort à $75^{\circ} C$ , ordre de grandeur des sèche-cheveux en position chaude. Le volume massique devient $v_{2} = r T_{2} / P_{2} = 0, 9866 m^{3} k g^{- 1}$ , et le débit volumique $D_{V, 2} = D_{m} v_{2} = 35, 6 L s^{- 1}$ au lieu de $30, 0$ : le rapport vaut $v_{2} / v_{1} = T_{2} / T_{1} = 1, 19$ . Il sort $19 %$ de volume de plus qu'il n'en entre.

3) Les termes négligés. $c_{1} = D_{V, 1} / S_{1} = 0, 030/20 \times 1 0^{- 4} = 15, 0 m s^{- 1}$ ; la buse a $S_{2} = 12, 6 c m^{2}$ , d'où

$c_{2} = \frac{D _{m} v _{2}}{S _{2}} = \frac{3 , 612 \times 1 0 ^{- 2} \times 0 , 9866}{12 , 6 \times 1 0 ^{- 4}} = 28, 3 m s^{- 1}, Δ e_{c} = \frac{c _{2}^{2} - c _{1}^{2}}{2} = 288 J k g^{- 1} .$

C'est $0, 5 %$ de $Δ h$ ; $g ∣ Δ z ∣ ⩽ 9, 81 \times 0, 3 = 3 J k g^{- 1}$ , cent fois moins encore. Le choix était justifié. En gardant $Δ e_{c}$ , $c_{p} Δ T = w_{u} - Δ e_{c}$ : la température de sortie baisse de $288/1005 = 0, 29 K$ , invisible. Ce qui compte n'est pas que la vitesse « soit grande » ( $28 m s^{- 1}$ , c'est $100 km h^{- 1}$ ) mais que $\frac{1}{2} c^{2}$ soit petit devant $Δ h$ .

4) Changer de frontière. Avec $Σ_{B}$ , la résistance est à l'extérieur : l'air ne reçoit aucun travail ( $w_{u} \approx 0$ , le ventilateur étant négligé), mais un transfert thermique $q = P_{el} / D_{m} = 55, 4 kJ k g^{- 1}$ venu du fil chaud. Le premier principe donne le même $Δ h$ : la nature de l'échange (travail ou transfert thermique) dépend de la frontière choisie, pas le bilan. Il faut donc toujours dire quelle surface de contrôle on a tracée.

5) L'entropie. Pour $Σ_{A}$ , aucun transfert thermique ne traverse la frontière : $s_{e} = 0$ et, la pression étant uniforme,

$s_{c} = Δ s = c_{p} ln \frac{T _{2}}{T _{1}} = 1005 ln \frac{348 , 2}{293 , 15} = 173 J K^{- 1} k g^{- 1},$

soit $D_{m} s_{c} = 6, 25 W K^{- 1}$ créés en permanence. Pour $Σ_{B}$ , la frontière touche le fil à $T_{f} = 873 K$ : $s_{e} = q / T_{f} = 55, 4 \times 1 0^{3} /873 = 63, 4 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , et $s_{c} = Δ s - s_{e} = 110 J K^{- 1} k g^{- 1}$ . Les deux résultats se complètent : $63$ naissent dans le fil (effet Joule, qui dégrade du travail en énergie interne) et $110$ dans le transfert thermique du fil à $600^{\circ} C$ vers un air à moins de $80^{\circ} C$ . Une surpression de $300 Pa$ ajoute $- r ln (P_{2} / P_{1}) \approx - 0, 85 J K^{- 1} k g^{- 1}$ : négligeable devant $173$ .

6) Ventilateur bloqué. $Δ T = P_{el} / (D_{m} c_{p})$ diverge quand $D_{m} \to 0$ : $110 K$ à débit moitié, $275 K$ au cinquième. Le modèle stationnaire cesse de valoir (l'air immobile ne refroidit plus la résistance, qui monte jusqu'à rougir), d'où le thermostat de sécurité qui coupe la résistance au-delà d'une température de consigne. C'est aussi pourquoi un sèche-cheveux à la grille encrassée chauffe davantage et se coupe.

Ce que l'exercice installe. Le débit massique se conserve, le débit volumique non dès que le fluide change de température. Le premier principe d'un système ouvert se lit $Δ h = w_{u} + q$ après avoir chiffré $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ devant $Δ h$ . Travail ou transfert thermique dépend de la surface de contrôle, le bilan non ; l'entropie créée se localise en déplaçant cette surface. Un cas limite ( $D_{m} \to 0$ ) montre où le modèle cesse de valoir.

Exercice 2 — Le compresseur à piston de l'atelier : le travail indiqué est un $Δ h$

Un compresseur d'atelier à piston aspire de l'air à $P_{1} = 1, 0 bar$ et $T_{1} = 293, 15 K$ , et le refoule dans une cuve à $P_{2} = 8, 0 bar$ . Sa cylindrée vaut $V_{b} = 0, 35 L$ ; il tourne à $1450 tr mi n^{- 1}$ , et chaque tour comporte une admission et un refoulement. On néglige l'espace mort (à la fin du refoulement, le piston touche le fond du cylindre) et les pertes de charge aux clapets ; la compression est adiabatique et réversible. L'air est un gaz parfait.

1) Décrire le cycle du piston (admission, compression, refoulement) dans le diagramme de Watt $(P, V)$ , où $V$ est le volume d'air dans le cylindre. Exprimer le travail $W$ reçu de la face du piston par l'air pendant un tour, et montrer que $W = \int_{P_{1}}^{P_{2}} V d P$ , aire comprise entre la courbe de compression et l'axe des pressions.

2) Montrer que, pour la masse $m$ d'air admise à chaque tour, $W = m (h_{2} - h_{1})$ . Comparer au premier principe industriel : que représente $W / m$ ?

3) Calculer $T_{2}$ , le travail massique $w_{u}$ , le débit massique et la puissance du compresseur. L'huile de lubrification se dégrade au-delà de $180$ à $200^{\circ} C$ : conclure.

4) Cas limite : que vaudrait $w_{u}$ pour une compression isotherme réversible à $T_{1}$ ? Pourquoi est-ce le minimum ? Interpréter sur le diagramme de Watt.

5) On comprime en deux étages adiabatiques réversibles, séparés par un échangeur qui ramène l'air à $T_{1}$ sous la pression intermédiaire $P_{i}$ . Exprimer le travail massique total en fonction de $P_{i}$ et montrer qu'il est minimal pour $P_{i} = P_{1} P_{2}$ . Calculer ce travail, la température en fin de chaque étage, le transfert thermique massique dans l'échangeur et le gain par rapport à un étage. Que donnerait un nombre d'étages croissant ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Une machine à piston n'est pas en régime stationnaire à l'échelle d'un tour, mais elle l'est en moyenne sur un grand nombre de tours. On suit la masse $m$ admise à chaque tour comme un système fermé (acquis de première année), et l'on identifie le travail du piston à $w_{u}$ .

1) Le cycle et son travail. Le volume d'air suit $V$ : admission à $P_{1}$ de $V = 0$ à $V_{b}$ (clapet d'admission ouvert), compression de $V_{b}$ à $V_{2}$ (clapets fermés), refoulement à $P_{2}$ de $V_{2}$ à $0$ (clapet de refoulement ouvert). Le travail reçu de la face du piston est $- P d V$ à chaque instant :

$W = - P_{1} V_{b} - \int_{V_{b}}^{V_{2}} P d V + P_{2} V_{2} .$

Comme $d (P V) = P d V + V d P$ , l'intégration par parties donne $\int_{P_{1}}^{P_{2}} V d P = P_{2} V_{2} - P_{1} V_{b} - \int_{V_{b}}^{V_{2}} P d V = W$ : c'est l'aire comprise entre la courbe de compression et l'axe des pressions (figure).

2) Le travail indiqué est un $Δ h$ . Pour la masse $m$ , compression adiabatique : $- \int_{V_{b}}^{V_{2}} P d V = m (u_{2} - u_{1})$ (premier principe d'un système fermé). Avec $P_{1} V_{b} = m P_{1} v_{1}$ et $P_{2} V_{2} = m P_{2} v_{2}$ :

$W = m (u_{2} - u_{1}) + m (P_{2} v_{2} - P_{1} v_{1}) = m (h_{2} - h_{1}) .$

Le terme $P_{2} v_{2} - P_{1} v_{1}$ est exactement le travail de transvasement du cours : $W / m$ est le travail utile $w_{u}$ , et l'on retrouve $Δ h = w_{u}$ pour une machine adiabatique. Le résultat ne suppose pas la réversibilité (seulement l'adiabaticité) ; on parle de « travail indiqué », lu sur le diagramme de Watt relevé par un indicateur de pression.

3) Un seul étage. Loi de Laplace : $T_{2} = T_{1} (P_{2} / P_{1})^{(γ - 1) / γ} = 293, 15 \times 8^{0, 2857} = 531, 0 K$ , soit $258^{\circ} C$ . Puis

$w_{u} = c_{p} (T_{2} - T_{1}) = 1005 \times 237, 9 = 239 kJ k g^{- 1} .$

Masse admise : $m = \frac{P _{1} V _{b}}{r T _{1}} = \frac{1 0 ^{5} \times 0 , 35 \times 1 0 ^{- 3}}{287 \times 293 , 15} = 0, 416 g$ , d'où $D_{m} = m \times 1450/60 = 10, 05 g s^{- 1}$ ( $507 L mi n^{- 1}$ aspirés) et une puissance $D_{m} w_{u} = 2, 40 kW$ . Vérification par le diagramme de Watt : $- P_{1} V_{b} = - 35, 0 J$ , compression $m c_{v} (T_{2} - T_{1}) = 71, 0 J$ , refoulement $P_{2} V_{2} = 63, 4 J$ ( $V_{2} = 0, 0793 L$ ) : $W = 99, 4 J$ par tour, et $m w_{u} = 99, 4 J$ . À $258^{\circ} C$ , l'huile se dégraderait (calamine sur les clapets, risque d'inflammation) : un étage ne suffit pas pour $8 bar$ .

4) La compression isotherme. Pour un gaz parfait à $T_{1}$ , $V = m r T_{1} / P$ et

$w_{u} = \frac{1}{m} \int_{P_{1}}^{P_{2}} V d P = r T_{1} ln \frac{P _{2}}{P _{1}} = 287 \times 293, 15 \times ln 8 = 175 kJ k g^{- 1},$

soit $1, 76 kW$ . Sur le diagramme de Watt, l'isotherme ( $P V =$ cste) passe à gauche de l'adiabatique ( $P V^{γ} =$ cste) dès que $P > P_{1}$ : à chaque pression le volume est plus petit, donc l'aire $\int V d P$ aussi. Refroidir pendant la compression réduit le travail.

5) Deux étages. Chaque étage est adiabatique réversible, l'échangeur ramène l'air à $T_{1}$ :

$w_{u} (P_{i}) = c_{p} T_{1} [(\frac{P _{i}}{P _{1}})^{k} + (\frac{P _{2}}{P _{i}})^{k} - 2], k = \frac{γ - 1}{γ} .$

La dérivée par rapport à $P_{i}$ s'annule pour $\frac{k}{P _{i}} (\frac{P _{i}}{P _{1}})^{k} = \frac{k}{P _{i}} (\frac{P _{2}}{P _{i}})^{k}$ , soit $P_{i}^{2} = P_{1} P_{2}$ : $P_{i} = P_{1} P_{2} = 2, 83 bar$ , les deux étages ont le même rapport de pression et le même travail (c'est un minimum : $w_{u}$ tend vers l'infini aux deux bornes). Chaque étage finit à $T_{1} (2, 83)^{0, 2857} = 394, 6 K$ ( $121^{\circ} C$ , acceptable pour l'huile) et

$w_{u} = 2 c_{p} (394, 6 - 293, 15) = 204 kJ k g^{- 1},$

soit $2, 05 kW$ : $15 %$ de moins qu'en un étage. L'échangeur intermédiaire ( $w_{u} = 0$ ) reçoit $q = Δ h = - c_{p} (394, 6 - 293, 15) = - 102 kJ k g^{- 1}$ , cédés à l'air ambiant ( $1, 0 kW$ ). Avec trois étages, $194 kJ k g^{- 1}$ ; avec $n$ étages, $w_{u}$ décroît vers la limite isotherme $175 kJ k g^{- 1}$ (l'escalier de la figure épouse l'isotherme). D'où les compresseurs d'atelier bi-étagés à refroidissement intermédiaire au-delà de $7$ à $8 bar$ .

Ce que l'exercice installe. Sur une machine à piston, le travail utile est l'aire $\int V d P$ du diagramme de Watt, et le travail de transvasement $P_{2} v_{2} - P_{1} v_{1}$ transforme $Δ u$ en $Δ h$ : $w_{u} = Δ h$ vaut pour toute machine adiabatique, à aubes ou à piston. La compression isotherme est la moins coûteuse ; on s'en approche par étages et refroidissements intermédiaires, à pression intermédiaire $P_{1} P_{2}$ ; l'échangeur est un système ouvert où $q = Δ h$ .

Exercice 3 — La tuyère d'un turboréacteur, et celle d'un moteur-fusée

À la sortie de la turbine d'un turboréacteur, les gaz brûlés (gaz parfait, $c_{p} = 1150 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , $γ = 1, 33$ ) entrent dans la tuyère à $T_{1} = 880 K$ , $P_{1} = 1, 6 bar$ , $c_{1} = 200 m s^{- 1}$ , et en sortent à la pression ambiante $P_{2} = 1, 0 bar$ . La tuyère est fixe, adiabatique, horizontale.

1) Appliquer le premier principe à la tuyère. Pour une détente isentropique, établir la formule de Saint-Venant

$c_{2} = c_{1}^{2} + 2 c_{p} T_{1} [1 - (\frac{P _{2}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ}],$

et calculer $T_{2}$ et $c_{2}$ . Le terme $\frac{1}{2} c_{1}^{2}$ est-il négligeable ? Comparer $c_{2}$ à la vitesse du son dans les gaz de sortie, $γ r T_{2}$ .

2) La tuyère réelle a un rendement défini par $η_{t} = \frac{c _{2}^{2} - c _{1}^{2}}{c _{2, is}^{2} - c _{1}^{2}} = 0, 95$ , où $c_{2, is}$ est la vitesse de la question 1. Calculer $c_{2}$ , $T_{2}$ et l'entropie massique créée. Pourquoi $s_{c} > 0$ impose-t-il $η_{t} < 1$ ?

3) Cas limite : quelle vitesse atteindrait-on en détendant jusqu'au vide ? Tracer l'allure de $c_{2}$ en fonction de $P_{2} / P_{1}$ .

4) Dans le moteur d'un lanceur à hydrogène et oxygène liquides, les produits de combustion (vapeur d'eau et hydrogène en excès, masse molaire $M = 14, 1 g mo l^{- 1}$ , assimilés à un gaz parfait de $γ = 1, 2$ ) quittent la chambre à $3500 K$ sous $115 bar$ , à vitesse négligeable, et sont détendus jusqu'à $0, 20 bar$ . Calculer la vitesse d'éjection isentropique et la vitesse limite ; $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ . Pourquoi l'hydrogène, et pourquoi en excès ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Une tuyère n'a pas de pièce mobile et le gaz la traverse trop vite pour échanger de la chaleur : $w_{u} = 0$ , $q = 0$ , $Δ e_{p} = 0$ . Le premier principe se réduit à $Δ h + Δ e_{c} = 0$ : l'enthalpie perdue devient énergie cinétique. Le deuxième principe dit jusqu'où.

1) La formule de Saint-Venant. $h_{1} + \frac{1}{2} c_{1}^{2} = h_{2} + \frac{1}{2} c_{2}^{2}$ , et pour le gaz parfait $h_{1} - h_{2} = c_{p} (T_{1} - T_{2})$ . Isentropique : $T_{2} = T_{1} (P_{2} / P_{1})^{(γ - 1) / γ}$ (Laplace). En combinant,

$c_{2}^{2} = c_{1}^{2} + 2 c_{p} (T_{1} - T_{2}) = c_{1}^{2} + 2 c_{p} T_{1} [1 - (\frac{P _{2}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ}] .$

Avec $(γ - 1) / γ = 0, 248$ : $T_{2} = 880 \times 0, 62 5^{0, 248} = 783, 1 K$ , $h_{1} - h_{2} = 1150 \times 96, 9 = 111, 4 kJ k g^{- 1}$ , et

$c_{2} = 20 0^{2} + 2 \times 111, 4 \times 1 0^{3} = 513 m s^{- 1} .$

$\frac{1}{2} c_{1}^{2} = 20 kJ k g^{- 1}$ pèse $18 %$ de $Δ h$ : ici, on ne le néglige pas (sans lui, $472 m s^{- 1}$ , $8 %$ d'erreur). Avec $r = c_{p} (γ - 1) / γ = 285, 3 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , la vitesse du son en sortie vaut $1, 33 \times 285, 3 \times 783 = 545 m s^{- 1}$ : le jet sort à Mach $0, 94$ , une tuyère convergente suffit. Le bilan d'énergie, lui, ne dépend pas de la forme de la tuyère.

2) La tuyère réelle. $c_{2}^{2} = c_{1}^{2} + 0, 95 (c_{2, is}^{2} - c_{1}^{2})$ donne $c_{2} = 502 m s^{- 1}$ ; l'enthalpie convertie vaut $0, 95 \times 111, 4 = 105, 8 kJ k g^{- 1}$ , d'où $T_{2} = 880 - 105, 8 \times 1 0^{3} /1150 = 788, 0 K$ . Adiabatique : $s_{e} = 0$ et

$s_{c} = Δ s = c_{p} ln \frac{T _{2}}{T _{1}} - r ln \frac{P _{2}}{P _{1}} = 1150 ln \frac{788 , 0}{880} - 285, 3 ln 0, 625 = 7, 1 J K^{- 1} k g^{- 1} > 0.$

À la même pression de sortie, $s$ croît avec $T$ ; l'état isentropique est donc le plus froid possible, et toute création d'entropie ( $s_{c} > 0$ , frottements dans la couche limite) laisse le gaz plus chaud, avec moins d'enthalpie convertie : $η_{t} < 1$ . Ici, la vitesse d'éjection perd $2 %$ et l'énergie cinétique du jet $4 %$ .

3) Détente jusqu'au vide. $P_{2} \to 0$ : $c_{m a x} = c_{1}^{2} + 2 c_{p} T_{1} = 1437 m s^{- 1}$ , toute l'enthalpie du gaz (au sens de $c_{p} T_{1}$ ) devenue énergie cinétique, gaz à $0 K$ : limite inaccessible (le gaz se condenserait bien avant), mais qui borne la vitesse. La courbe monte vite aux faibles détentes puis sature :

4) Le moteur-fusée. $r = R / M = 8, 314/0, 0141 = 590 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , $c_{p} = γ r / (γ - 1) = 3540 J K^{- 1} k g^{- 1}$ (trois fois celui de l'air). Avec $c_{1} \approx 0$ et $(P_{2} / P_{1})^{(γ - 1) / γ} = (0, 2/115)^{0, 1667} = 0, 347$ :

$c_{2} = 2 \times 3540 \times 3500 \times (1 - 0, 347) = 4, 0 km s^{- 1}, c_{m a x} = 2 c_{p} T_{1} = 5, 0 km s^{- 1} .$

Les gaz sortent à $1210 K$ : il reste $35 %$ de $c_{p} T_{1}$ non converti, d'où les grands divergents des moteurs d'étage supérieur. Comme $c_{p} = \frac{γ}{γ - 1} \frac{R}{M}$ , $c \propto T / M$ : à température donnée, les produits les plus légers vont le plus vite. Des produits de masse molaire $29 g mo l^{- 1}$ (kérosène-air) sortiraient à $2, 8 km s^{- 1}$ dans les mêmes conditions. On brûle l'hydrogène en excès (rapport de masse oxygène/hydrogène voisin de 6, pour 8 à la stœchiométrie) : on perd un peu de température, mais on abaisse $M$ de $18$ à $14 g mo l^{- 1}$ et l'on gagne en vitesse.

Ce que l'exercice installe. La tuyère convertit l'enthalpie en énergie cinétique, $Δ h + Δ e_{c} = 0$ , et c'est le seul organe où $Δ e_{c}$ est le terme principal. La détente isentropique d'un gaz parfait donne la formule de Saint-Venant ; l'entropie créée ( $s_{c} > 0$ pour un écoulement adiabatique) chiffre l'écart à l'idéal, et un rendement défini dans l'énoncé le résume. La vitesse d'éjection croît comme $T / M$ .

Exercice 4 — La station de compression du réseau de gaz : une compression lue sur le diagramme $(P, h)$ du méthane

Le long d'un gazoduc, le gaz perd de la pression par frottement ; tous les 100 à 200 km, une station de compression la relève. On assimile le gaz naturel à du méthane pur. Le compresseur centrifuge d'une station aspire $1, 0 \times 1 0^{6} m^{3} (n) h^{- 1}$ (masse volumique normale $0, 7175 kg m^{- 3} (n)$ ) à $P_{1} = 45 bar$ et $15^{\circ} C$ , et le refoule à $P_{2} = 67, 7 bar$ , pression maximale du réseau. Il est calorifugé, $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ sont négligeables. Son rendement isentropique est défini par

$η = \frac{h _{2 s} - h _{1}}{h _{2} - h _{1}} = 0, 82,$

où $2 s$ est l'état de sortie à $P_{2}$ d'une compression isentropique depuis l'état 1. Après le compresseur, un aéroréfrigérant (échangeur à air) ramène le gaz à $40^{\circ} C$ , limite que tolère le revêtement du gazoduc, sans perte de pression.

Diagramme $(P, h)$ du méthane gazeux : isothermes en traits pleins (en $^{\circ}$ C), isentropes en tirets, de $0, 05$ en $0, 05 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ , de $4, 40$ à $4, 60$ . Pour la précision, les valeurs des tables :

état du méthane	$P$ (bar)	$T$ ( $^{\circ}$ C)	$h$ ( $kJ k g^{- 1}$ )	$s$ ( $kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ )
gaz, aspiration	$45$	$15, 0$	$840, 4$	$4, 5124$
gaz, même entropie	$67, 7$	$46, 1$	$899, 3$	$4, 5124$
gaz	$67, 7$	$51, 0$	$912, 2$	$4, 5526$
gaz	$67, 7$	$40, 0$	$882, 9$	$4, 4607$
gaz	$67, 7$	$15, 0$	$815, 0$	$4, 2345$

Facteur de compressibilité à l'aspiration : $Z = \frac{P v}{r T} = 0, 914$ , avec $r = 518, 3 J K^{- 1} k g^{- 1}$ . Capacité thermique massique du méthane à basse pression : $c_{p} = 2204 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , soit $γ = 1, 31$ .

1) Placer le point 1 sur le diagramme. L'isotherme $15^{\circ} C$ est-elle verticale ? Qu'en conclure sur le modèle du gaz parfait à ces pressions ?

2) Suivre l'isentrope jusqu'à $P_{2}$ : en déduire $T_{2 s}$ et le travail massique de la compression isentropique.

3) En déduire $h_{2}$ , $T_{2}$ , le travail massique réel, la puissance du compresseur et l'entropie massique créée. Représenter la compression sur le diagramme.

4) Reprendre la question 2 avec le modèle du gaz parfait de $γ = 1, 31$ . Quelle erreur commet-on sur le travail, et sur la puissance ?

5) Calculer le transfert thermique massique et la puissance cédés dans l'aéroréfrigérant.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Le compresseur est un système ouvert calorifugé à pièce mobile : $w_{u} = h_{2} - h_{1}$ . Le diagramme donne les $h$ ; l'isentrope donne l'état idéal ; le rendement, défini dans l'énoncé, donne l'état réel.

1) Le point 1 et ses isothermes. Le point $(840, 4; 45)$ est sur l'isotherme $15^{\circ} C$ , entre les isentropes $4, 50$ et $4, 55$ . Cette isotherme n'est pas verticale : à $15^{\circ} C$ , $h$ passe de $840, 4$ à $815, 0 kJ k g^{- 1}$ entre $45$ et $67, 7 bar$ ( $- 25 kJ k g^{- 1}$ ). Or l'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de $T$ (deuxième loi de Joule) : à $45 bar$ , le méthane n'est plus un gaz parfait, ce que confirme $Z = 0, 914$ (son volume massique est $9 %$ plus petit que celui du gaz parfait). Les attractions entre molécules abaissent l'énergie quand la densité croît.

2) La compression isentropique. L'isentrope $s = 4, 5124$ coupe l'isobare $67, 7 bar$ en $h_{2 s} = 899, 3 kJ k g^{- 1}$ , à $46, 1^{\circ} C$ :

$w_{u, s} = h_{2 s} - h_{1} = 899, 3 - 840, 4 = 58, 9 kJ k g^{- 1} .$

3) La compression réelle. Par la définition du rendement,

$h_{2} = h_{1} + \frac{h _{2 s} - h _{1}}{η} = 840, 4 + \frac{58 , 9}{0 , 82} = 912, 2 kJ k g^{- 1}, w_{u} = 71, 8 kJ k g^{- 1} .$

Sur l'isobare $67, 7 bar$ , ce point est à $T_{2} = 51^{\circ} C$ . Débit : $D_{m} = 1, 0 \times 1 0^{6} \times 0, 7175/3600 = 199 kg s^{- 1}$ , et

$P = D_{m} w_{u} = 199 \times 71, 8 \times 1 0^{3} = 14, 3 MW,$

dont $D_{m} (h_{2} - h_{2 s}) = 2, 6 MW$ dus à l'irréversibilité ; la station brûle une partie du gaz pour entraîner ses turbines. Calorifugé : $s_{c} = s_{2} - s_{1} = 4, 5526 - 4, 5124 = 40 J K^{- 1} k g^{- 1}$ . L'état réel est à droite de l'isentrope : plus d'enthalpie, plus d'entropie à la même pression.

4) Le gaz parfait se trompe. Avec $γ = 1, 31$ , $T_{2 s} = 288, 15 \times (67, 7/45)^{0, 2366} = 317, 4 K$ ( $44^{\circ} C$ ) et $w_{u, s} = c_{p} (T_{2 s} - T_{1}) = 2204 \times 29, 2 = 64, 4 kJ k g^{- 1}$ : $9 %$ de trop, soit environ $1, 3 MW$ sur la puissance réelle. L'erreur ne vient pas de la loi de Laplace mais du modèle : la température de sortie est presque juste ( $44$ contre $46^{\circ} C$ ), l'enthalpie non, parce que le gaz réel comprimé stocke moins d'enthalpie que le gaz parfait (isothermes inclinées). À $45 bar$ , on dimensionne avec le diagramme, pas avec $P V = n R T$ .

5) L'aéroréfrigérant. Échangeur : $w_{u} = 0$ , $q = h_{3} - h_{2} = 882, 9 - 912, 2 = - 29, 3 kJ k g^{- 1}$ , soit $5, 8 MW$ cédés à l'air ambiant. Le point 3 est à gauche du point 2 sur la même isobare : le refroidissement se lit, lui aussi, comme un segment horizontal.

Ce que l'exercice installe. Lire une machine réelle sur le diagramme $(P, h)$ : placer un état (isobare, isotherme), suivre une isentrope, en déduire l'état réel par un rendement défini dans l'énoncé, lire $w_{u}$ et $q$ en segments horizontaux. Des isothermes non verticales signalent que le gaz parfait ne vaut plus : on en chiffre l'erreur (ici $9 %$ du travail) avant de l'employer.

Exercice 5 — Le poste de détente du gaz naturel : pourquoi on chauffe le gaz avant de le détendre

À l'entrée d'une ville, un poste de détente fait passer le gaz du réseau de transport, à $P_{1} = 67, 7 bar$ et $10^{\circ} C$ , au réseau de distribution, à $P_{2} = 4, 0 bar$ . Le débit est de $50000 m^{3} (n) h^{- 1}$ de gaz assimilé au méthane pur ( $0, 7175 kg m^{- 3} (n)$ ). Le gaz traverse un réchauffeur, puis une vanne de détente (un laminage), puis un compteur. La vanne est calorifugée ; $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ sont négligeables.

Diagramme $(P, h)$ du méthane : cloche de saturation (L, liquide ; L + V, mélange), isothermes en gris (en $^{\circ}$ C), isentropes en tirets (en $kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ ) ; C, point critique ( $- 82, 6^{\circ} C$ , $46, 0 bar$ ). Valeurs des tables :

état du méthane	$P$ (bar)	$T$ ( $^{\circ}$ C)	$h$ ( $kJ k g^{- 1}$ )	$s$ ( $kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ )
gaz de transport	$67, 7$	$10, 0$	$801, 0$	$4, 1857$
gaz	$67, 7$	$32, 4$	$862, 4$	$4, 3945$
même $h$ que la première ligne	$4, 0$	$- 23, 0$	$801, 0$	$5, 5682$
même $s$ que la première ligne	$4, 0$	$- 139, 4$	$545, 1$	$4, 1857$
gaz distribué	$4, 0$	$5, 0$	$862, 4$	$5, 8009$
vapeur saturante	$4, 0$	$- 141, 7$	$539, 4$	—

1) Écrire le premier principe pour la vanne. Que prévoit le modèle du gaz parfait pour la température de sortie ?

2) Tracer la détente sur le diagramme, sans réchauffage, et lire la température de sortie. Calculer le refroidissement moyen par bar de détente.

3) Un gaz livré au-dessous de $0^{\circ} C$ givre la vanne, peut former des hydrates (solides avec l'humidité résiduelle) et fragilise les aciers ; le poste livre à $5^{\circ} C$ . À quelle température faut-il réchauffer le gaz avant la vanne ? Quelle puissance la chaudière du poste fournit-elle ?

4) Calculer l'entropie massique créée dans la vanne, sans réchauffage. Commenter.

5) Cas limite : on remplace la vanne par une turbine de détente calorifugée et réversible. Quels travail massique et puissance récupérerait-on ? Où arriverait le gaz ? Conclure.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Une vanne n'a pas de pièce mobile et le gaz la traverse sans échanger de chaleur : le premier principe impose $Δ h = 0$ . Le diagramme $(P, h)$ dit alors tout, car la détente y est une verticale.

1) Isenthalpique. $w_{u} = 0$ , $q = 0$ , $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligeables : $h_{2} = h_{1}$ . Pour un gaz parfait, $h$ ne dépend que de $T$ : la vanne laisserait la température inchangée. Ce n'est pas une transformation isotherme (le gaz ne passe pas par des états d'équilibre à $10^{\circ} C$ ) : seules l'entrée et la sortie ont la même température.

2) La verticale du laminage. De $(801, 0; 67, 7)$ , on descend à $h$ constant jusqu'à $4 bar$ : le point d'arrivée est entre les isothermes $- 40$ et $- 20^{\circ} C$ , près de la seconde ; la table donne $- 23, 0^{\circ} C$ . Refroidissement : $33 K$ pour $63, 7 bar$ , soit $0, 52 K ba r^{- 1}$ en moyenne. C'est l'effet Joule-Thomson : en se détendant, le gaz écarte ses molécules contre leurs attractions ; à enthalpie constante, l'énergie potentielle d'interaction remonte aux dépens de l'agitation thermique. Sur le diagramme, il traduit l'inclinaison des isothermes déjà vue pour la station de compression : la verticale traverse les isothermes vers le froid.

3) Le réchauffage. Pour livrer à $5^{\circ} C$ sous $4 bar$ , il faut $h = 862, 4 kJ k g^{- 1}$ après la vanne, donc avant elle (verticale $1^{'} \to 2^{'}$ ) ; sur l'isobare $67, 7 bar$ , cette enthalpie correspond à $32^{\circ} C$ . Le réchauffeur ( $w_{u} = 0$ ) apporte

$q = h_{1^{'}} - h_{1} = 862, 4 - 801, 0 = 61, 4 kJ k g^{- 1},$

et, avec $D_{m} = \frac{50 000 \times 0 , 7175}{3600} = 9, 97 kg s^{- 1}$ , une puissance $P = D_{m} q = 612 kW$ . Ordre de grandeur : la chaudière brûle environ $0, 1 %$ du gaz qui transite (pouvoir calorifique voisin de $50 MJ k g^{- 1}$ , soit $500 MW$ transités).

4) L'entropie créée. Vanne calorifugée : $s_{e} = 0$ , $s_{c} = s_{2} - s_{1} = 5, 5682 - 4, 1857 = 1, 38 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . C'est énorme : par kilogramme, trente-quatre fois l'entropie créée dans le compresseur de la station. La détente libre d'une vanne est le prototype de l'irréversibilité : toute la « capacité de travail » de la chute de pression est perdue.

5) Cas limite : la turbine de détente. Isentropique : on suit l'isentrope $4, 19$ jusqu'à $4 bar$ , $h_{2 s} = 545, 1 kJ k g^{- 1}$ :

$w_{u} = h_{2 s} - h_{1} = - 256 kJ k g^{- 1}, ∣ P ∣ = 9, 97 \times 256 = 2, 55 MW$

récupérables, mais le gaz sortirait à $- 139^{\circ} C$ , à $2 K$ de sa liquéfaction sous $4 bar$ ( $- 141, 7^{\circ} C$ , $h = 539, 4$ sur la courbe de rosée) : inutilisable. Un turbodétendeur réel préchauffe donc bien davantage (plus de $200^{\circ} C$ pour sortir à $5^{\circ} C$ en détente isentropique) ; il ne se justifie que sur les gros postes, où l'électricité produite paie la chaleur. Le laminage, lui, ne coûte que $61 kJ k g^{- 1}$ de chaleur mais perd tout le travail possible. Enfin, l'effet n'est pas universel : un gaz réel se refroidit par laminage au-dessous de sa température d'inversion et s'échauffe au-dessus ; le méthane à l'ambiante se refroidit, l'hydrogène s'échaufferait légèrement ( $+ 1, 9 K$ dans les mêmes conditions).

Ce que l'exercice installe. Le laminage est isenthalpique : une verticale sur le diagramme $(P, h)$ . Pour un gaz parfait, il conserve $T$ ; pour un gaz réel, il la fait varier (effet Joule-Thomson), d'où le réchauffage, dimensionné par $q = Δ h$ sur l'isobare amont. L'entropie créée par une vanne est grande ; la comparaison avec la détente isentropique chiffre le travail perdu et la limite pratique du gain.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles

5.1 Volume de contrôle et bilans en régime stationnaire

5.2 Premier principe industriel

Méthode : Système fermé équivalent

5.3 Deuxième principe pour un système ouvert

5.4 Dispositifs d'une installation industrielle

5.4.1 Tuyère : conversion d'enthalpie en énergie cinétique

5.4.2 Turbine et compresseur calorifugés

5.4.3 Détendeur : laminage isenthalpique

5.4.4 Échangeur thermique calorifugé

5.4.5 Mélangeur et séparateur isobares calorifugés

5.4.6 Pompe

5.5 Cycles thermodynamiques industriels

5.5.1 Cycle moteur à vapeur (Rankine et Hirn)

5.5.2 Cycle moteur à gaz (Brayton)

5.5.3 Machine frigorifique et pompe à chaleur

5.6 Synthèse du chapitre

5.7 Travaux dirigés

5.7.1 Systèmes ouverts en régime stationnaire et machines réelles

Exercice 1 — Le sèche-cheveux : débit, dilatation et termes qu'on a le droit de négliger

Exercice 2 — Le compresseur à piston de l'atelier : le travail indiqué est un Δh

Exercice 3 — La tuyère d'un turboréacteur, et celle d'un moteur-fusée

Exercice 4 — La station de compression du réseau de gaz : une compression lue sur le diagramme (P,h) du méthane

Exercice 5 — Le poste de détente du gaz naturel : pourquoi on chauffe le gaz avant de le détendre

Exercices du chapitre

Exercice 2 — Le compresseur à piston de l'atelier : le travail indiqué est un $Δ h$

Exercice 4 — La station de compression du réseau de gaz : une compression lue sur le diagramme $(P, h)$ du méthane