Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles

Cours complet · thermodynamique et machines thermiques (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année)

Les chapitres précédents ont adapté les principes de la thermodynamique aux fluides réels et introduit les diagrammes d'état $(T, s)$ et $(P, h)$ . La quasi-totalité des machines de conversion d'énergie — turbines de centrales, compresseurs, réacteurs, réfrigérateurs, pompes à chaleur — fonctionnent en écoulement continu : un fluide entre en permanence par une section, traverse un organe et ressort par une autre. Le système pertinent n'est plus une masse fixée de fluide, mais une région fixe de l'espace, le volume de contrôle.

Ce chapitre établit d'abord les deux principes pour un système ouvert en régime stationnaire à une entrée et une sortie,

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q et Δ s = s_{e} + s_{c},$

formulés en grandeurs massiques. Il les applique ensuite aux dispositifs industriels du programme (compresseur, turbine, tuyère, détendeur, échangeur, mélangeur, pompe), puis les assemble en cycles : cycle moteur (Rankine à vapeur, Brayton à gaz), cycle frigorifique et pompe à chaleur, dont on lit rendement, efficacité et COP directement sur les diagrammes.

5.1 Volume de contrôle et bilans en régime stationnaire

Définition 5.1Système ouvert et volume de contrôle

Un système ouvert est délimité par une surface géométrique fixe, la surface de contrôle $Σ$ , enfermant un volume de contrôle $V$ à travers lequel de la matière transite. On raisonne sur une conduite munie d'une section d'entrée $S_{e}$ et d'une section de sortie $S_{s}$ , l'écoulement y étant unidimensionnel (grandeurs uniformes sur chaque section). Le régime stationnaire est celui où toutes les grandeurs à l'intérieur de $V$ sont indépendantes du temps.

Figure : Volume de contrôle

V

à une entrée et une sortie. Le fluide reçoit le transfert thermique massique

q

et le travail utile massique

w_{u}

(parties mobiles).

Définition 5.2Débit massique

Le débit massique à travers une section $S$ est la masse de fluide la traversant par unité de temps :

$D_{m} = ρ c S = \frac{c S}{v} (kg / s),$

où $ρ$ est la masse volumique, $c$ la vitesse (normale à $S$ ) et $v = 1/ ρ$ le volume massique.

◆Théorème 5.3Conservation du débit

En régime stationnaire, la masse contenue dans $V$ est constante : le débit entrant égale le débit sortant. Pour une entrée et une sortie,

$D_{m, e} = D_{m, s} \equiv D_{m} soit \frac{c _{e} S _{e}}{v _{e}} = \frac{c _{s} S _{s}}{v _{s}} .$

Démonstration (Démonstration)

Soit $m (t)$ la masse instantanée dans $V$ . Entre $t$ et $t + d t$ , il entre $δ m_{e} = D_{m, e} d t$ et il sort $δ m_{s} = D_{m, s} d t$ : $d m = (D_{m, e} - D_{m, s}) d t$ . En régime stationnaire $d m / d t = 0$ , d'où l'égalité des débits.

5.2 Premier principe industriel

Par rapport au système fermé, la nouveauté est que le fluide entrant pousse le fluide déjà présent et est poussé par l'amont : ce travail des forces de pression aux frontières fait apparaître l'enthalpie.

Méthode : Système fermé équivalent

Pour appliquer le premier principe des systèmes fermés (connu de PTSI), on suit une masse $δ m$ de son entrée à sa sortie, comme un système fermé qui se déplace. À l'entrée, la pression amont $P_{e}$ pousse cette masse sur $δ V_{e} = v_{e} δ m$ : travail $+ P_{e} v_{e} δ m$ . À la sortie, l'aval s'oppose sur $δ V_{s} = v_{s} δ m$ : travail $- P_{s} v_{s} δ m$ . Ce travail de transvasement $P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}$ se combine à l'énergie interne pour reconstituer l'enthalpie massique $h = u + P v$ .

◆Théorème 5.4Premier principe industriel (par unité de masse)

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation entre entrée et sortie de l'enthalpie massique $h$ , de l'énergie cinétique massique $e_{c} = \frac{1}{2} c^{2}$ et de l'énergie potentielle de pesanteur $e_{p} = g z$ vérifie

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q Δ h = h_{s} - h_{e}, Δ e_{c} = \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}), Δ e_{p} = g Δ z,$

où $w_{u}$ est le travail utile massique (dit indiqué ou technique) reçu des parties mobiles, et $q$ le transfert thermique massique reçu. Toutes ces grandeurs sont en $J / kg$ .

Démonstration (Démonstration)

On isole le système fermé $Σ^{⋆}$ constitué, à $t$ , du fluide dans $V$ plus la masse $δ m$ prête à entrer ; à $t + d t$ , du fluide dans $V$ plus la masse $δ m$ qui vient de sortir. Le régime étant stationnaire, le contenu de $V$ est inchangé : la variation d'énergie de $Σ^{⋆}$ se réduit à celle de $δ m$ transférée de l'entrée à la sortie,

$d E = [(u_{s} + \frac{1}{2} c_{s}^{2} + g z_{s}) - (u_{e} + \frac{1}{2} c_{e}^{2} + g z_{e})] δ m .$

Le premier principe pour $Σ^{⋆}$ s'écrit $d E = δ W + δ Q$ avec $δ W = w_{u} δ m + (P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}) δ m$ et $δ Q = q δ m$ . En divisant par $δ m$ et en faisant passer le transvasement à gauche : $Δ u + (P_{s} v_{s} - P_{e} v_{e}) = Δ (u + P v) = Δ h$ , d'où le résultat.

ImportantConventions et simplifications usuelles

Signes : $w_{u} > 0$ et $q > 0$ sont reçus par le fluide.
Négligences : sauf pour les tuyères, on néglige souvent $Δ e_{c}$ ; presque toujours $Δ e_{p}$ (gaz). La relation se réduit alors à $Δ h = w_{u} + q$ .
Travail utile : $w_{u} \neq = 0$ seulement s'il y a une pièce mobile traversée par le fluide (aubes, piston). Conduite, vanne, échangeur passif : $w_{u} = 0$ .
Puissances : en multipliant par le débit, $P_{u} = D_{m} w_{u}$ (mécanique) et $P_{t h} = D_{m} q$ (thermique), en watts.

5.3 Deuxième principe pour un système ouvert

◆Théorème 5.5Bilan d'entropie massique

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie,

$Δ s = s_{e} + s_{c}, Δ s = s_{s} - s_{e},$

où $s_{e} = \int \frac{δ q}{T _{front}}$ est l'entropie massique échangée avec les sources et $s_{c} \geq 0$ l'entropie massique créée par les irréversibilités internes. Pour un transfert $q$ reçu d'une source à $T_{f}$ , $s_{e} = q / T_{f}$ .

Démonstration (Démonstration)

On reprend le système fermé mobile $δ m$ . Le second principe fermé donne $d S = δ S_{e ˊ ch} + δ S_{c}$ avec $δ S_{e ˊ ch} = δ Q / T_{front}$ et $δ S_{c} \geq 0$ . En régime stationnaire, l'entropie dans $V$ est constante, donc $d S = (s_{s} - s_{e}) δ m$ . En divisant par $δ m$ : $Δ s = s_{e} + s_{c}$ .

ImportantÉcoulements idéaux

Réversible : $s_{c} = 0$ , alors $Δ s = s_{e}$ .
Adiabatique ( $q = 0$ , $s_{e} = 0$ ) : $Δ s = s_{c} \geq 0$ , au mieux isentropique.
Adiabatique réversible = isentropique ( $Δ s = 0$ ) : modèle de référence de la turbine et du compresseur idéaux.
Laminage : adiabatique mais fortement irréversible, $s_{c} > 0$ .

iRemarqueLecture graphique

Sur le diagramme $(T, s)$ , l'aire sous une transformation réversible vaut $q = \int T d s$ . Sur le diagramme $(P, h)$ des frigoristes, les organes usuels (isobares, isenthalpes) se lisent en segments : le laminage y est une verticale ( $Δ h = 0$ ), la condensation et l'évaporation des horizontales. Le chapitre précédent en a détaillé la construction ; on s'en sert ici comme d'un abaque.

5.4 Dispositifs d'une installation industrielle

Chaque organe est un système ouvert. On applique le premier principe en identifiant lesquels de $w_{u}$ , $q$ , $Δ e_{c}$ , $Δ e_{p}$ sont nuls ou négligeables.

5.4.1 Tuyère : conversion d'enthalpie en énergie cinétique

Proposition 5.6Tuyère

Une tuyère est une conduite fixe ( $w_{u} = 0$ ), calorifugée ( $q \approx 0$ ), horizontale ( $Δ e_{p} \approx 0$ ). Le premier principe donne

$Δ h + \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}) = 0 ⟹ c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s}) .$

La détente ( $h_{e} > h_{s}$ ) accélère le fluide : l'enthalpie est convertie en énergie cinétique (propulsion, éjecteurs).

5.4.2 Turbine et compresseur calorifugés

Figure : Turbine (détente motrice,

w_{u} < 0

) et compresseur (compression,

w_{u} > 0

). Calorifugés, à

Δ e_{c}, Δ e_{p}

négligés : tous deux vérifient

w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e}

Proposition 5.7Turbine et compresseur calorifugés

Turbine et compresseur sont des machines à parties mobiles, calorifugées ( $q \approx 0$ ), avec $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligeables :

$w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e} .$

La turbine détend ( $h_{s} < h_{e}$ , $w_{u} < 0$ : travail fourni à l'arbre). Le compresseur comprime ( $h_{s} > h_{e}$ , $w_{u} > 0$ : travail reçu). Le modèle idéal est isentropique ( $Δ s = 0$ ).

Définition 5.8Rendements isentropiques

En notant l'état réel de sortie $s$ et l'état isentropique $s_{i s}$ (même pression $P_{s}$ , $Δ s = 0$ ) :

$η_{turbine} = \frac{h _{e} - h _{s}}{h _{e} - h _{s, i s}} \leq 1, η_{compresseur} = \frac{h _{s, i s} - h _{e}}{h _{s} - h _{e}} \leq 1.$

Le travail réel est toujours moins favorable que l'idéal ( $s_{c} > 0$ ) : la turbine fournit moins, le compresseur consomme plus.

Proposition 5.9Travail réversible d'un gaz parfait

Pour un écoulement réversible d'un gaz parfait ( $d h = c_{p} d T$ ), $Δ h = c_{p} Δ T$ , et en utilisant la loi de Laplace $T P^{(1 - γ) / γ} = cste$ , le travail utile s'exprime en fonction du rapport de pression :

$w_{u} = c_{p} T_{e} [(\frac{P _{s}}{P _{e}})^{\frac{γ - 1}{γ}} - 1] .$

5.4.3 Détendeur : laminage isenthalpique

Figure : Détendeur (laminage) : conduite fixe, calorifugée. La détente à travers l'obstacle est isenthalpique mais irréversible (

s_{c} > 0

Proposition 5.10Laminage / détente de Joule--Thomson

Le passage à travers une vanne ou un milieu poreux est calorifugé ( $q \approx 0$ ), sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ), $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables :

$Δ h = 0 (isenthalpique), Δ s = s_{c} > 0.$

Pour un gaz parfait ( $h (T)$ seul), $Δ h = 0 \Rightarrow Δ T = 0$ ; pour un fluide réel ou diphasé, la température chute (effet exploité dans les machines frigorifiques et les liquéfacteurs).

5.4.4 Échangeur thermique calorifugé

Proposition 5.11Échangeur

Dans un échangeur, chaque fluide circule sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ), avec $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables : $q = Δ h = h_{s} - h_{e}$ . Si l'ensemble est calorifugé de l'extérieur, la puissance thermique cédée par un fluide est reçue par l'autre :

$D_{m, 1} Δ h_{1} + D_{m, 2} Δ h_{2} = 0 .$

5.4.5 Mélangeur et séparateur isobares calorifugés

Figure : Mélangeur isobare calorifugé à deux entrées, une sortie : conservation du débit

D_{1} + D_{2} = D_{3}

et bilan enthalpique

D_{1} h_{1} + D_{2} h_{2} = D_{3} h_{3}

. Le séparateur est le dispositif inverse.

Proposition 5.12Mélangeur / séparateur

Un mélangeur isobare calorifugé réunit deux flux ( $D_{1}, D_{2}$ ) en un ( $D_{3}$ ). Sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ) ni échange externe ( $q = 0$ ), le bilan de masse et le bilan d'énergie s'écrivent

$D_{1} + D_{2} = D_{3}, D_{1} h_{1} + D_{2} h_{2} = D_{3} h_{3} .$

Le séparateur est le dispositif inverse (un flux entrant, plusieurs sortants) et vérifie les relations symétriques.

5.4.6 Pompe

Proposition 5.13Pompe

Une pompe élève la pression d'un liquide (quasi incompressible, $v \approx cste$ ). Calorifugée et réversible, elle vérifie $w_{u} = Δ h$ . Comme pour un liquide $d h = v d P$ ( $T$ presque constante), le travail massique est faible :

$w_{u} \approx v (P_{s} - P_{e}) .$

C'est ce qui rend l'alimentation d'une chaudière peu coûteuse devant le travail fourni par la turbine dans un cycle à vapeur.

5.5 Cycles thermodynamiques industriels

Une machine dithermique assemble ces organes en un cycle : le fluide revient à son état initial, de sorte que $\sum Δ h = 0$ et $\sum Δ s = 0$ sur un tour. Comme $Δ h = w_{u} + q$ pour chaque organe,

$\sum w_{u} + \sum q = 0 ⟹ w_{net} = - (q_{c} + q_{f}),$

où $q_{c}$ (source chaude) et $q_{f}$ (source froide) sont les transferts thermiques massiques du cycle. Le sens de parcours sur le diagramme distingue moteur et récepteur.

ImportantRepérage d'une machine

Pour une machine dont les organes sont donnés : (i) repérer les sources (là où le fluide reçoit ou cède $q$ ) ; (ii) identifier le sens des échanges (signe de $q_{c}$ , $q_{f}$ , $w_{net}$ ) ; (iii) relier le fonctionnement au sens de parcours du cycle. Sur $(T, s)$ , un cycle parcouru dans le sens horaire est moteur (aire $=$ travail fourni) ; anti-horaire, il est récepteur (frigo / PAC).

5.5.1 Cycle moteur à vapeur (Rankine)

Figure : Cycle de Rankine idéalisé sur

(T, s)

, parcouru en sens horaire (moteur). Pompe

1 \to 2

(quasi verticale), chauffage isobare

2 \to 3

dans la chaudière (

q_{c} > 0

), détente en turbine

3 \to 4

, condensation isobare

4 \to 1

(

q_{f} < 0

Proposition 5.14Cycle de Rankine

Le fluide (eau) parcourt : pompe $1 \to 2$ ( $w_{p} = h_{2} - h_{1} \approx v (P_{2} - P_{1})$ ), chaudière $2 \to 3$ ( $q_{c} = h_{3} - h_{2} > 0$ ), turbine $3 \to 4$ ( $w_{t} = h_{4} - h_{3} < 0$ ), condenseur $4 \to 1$ ( $q_{f} = h_{1} - h_{4} < 0$ ). Le rendement du moteur est

$η = \frac{∣ w _{net} ∣}{q _{c}} = \frac{∣ w _{t} ∣ - w _{p}}{h _{3} - h _{2}} \leq 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} (Carnot) .$

iRemarqueAmélioration du cycle

Trois leviers usuels augmentent $η$ : la surchauffe (porter la vapeur au-delà de la courbe de rosée avant la turbine, ce qui élève $T_{c}$ moyenne et évite les gouttelettes érosives) ; le préchauffage de l'eau d'alimentation par soutirage ; le choix du fluide (adapter la plage $[T_{f}, T_{c}]$ aux sources disponibles). On les discute sur diagramme ou avec un logiciel de tables.

5.5.2 Cycle moteur à gaz (Brayton)

Proposition 5.15Cycle de Brayton

Turbine à gaz : compresseur $1 \to 2$ , chambre de combustion isobare $2 \to 3$ ( $q_{c}$ ), turbine $3 \to 4$ , refroidissement isobare $4 \to 1$ ( $q_{f}$ ). Pour un gaz parfait avec compression et détente isentropiques de rapport de pression $π = P_{2} / P_{1}$ , le rendement ne dépend que de $π$ :

$η_{Brayton} = 1 - π^{- \frac{γ - 1}{γ}} .$

5.5.3 Machine frigorifique et pompe à chaleur

Figure : Machine frigorifique / pompe à chaleur. À gauche, schéma synoptique dithermique (récepteur :

w > 0

, prélève

q_{f}

à la source froide, rejette

q_{c}

à la chaude). À droite, le cycle sur

(ln P, h)

, parcouru en sens anti-horaire : le laminage est vertical.

Définition 5.16Efficacités frigorifique et calorifique

Une machine réceptrice ( $w > 0$ ) transfère de la chaleur du froid vers le chaud. On définit :

$R e ˊ frig e ˊ rateur : e_{f} = \frac{q _{f}}{w} = \frac{∣ h _{1} - h _{4} ∣}{h _{2} - h _{1}}, Pompe a ˋ chaleur : e_{c} = COP = \frac{∣ q _{c} ∣}{w} .$

On a toujours $e_{c} = e_{f} + 1$ , et les bornes de Carnot $e_{f} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}}$ , $e_{c} \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}}$ . Une PAC de COP $\approx 3$ – $4$ restitue 3 à 4 fois l'énergie électrique consommée.

Proposition 5.17Cycle frigorifique à compression de vapeur

Le cycle comporte : compresseur $1 \to 2$ ( $w = h_{2} - h_{1} > 0$ ), condenseur $2 \to 3$ ( $q_{c} = h_{3} - h_{2} < 0$ ), détendeur $3 \to 4$ (laminage, $h_{4} = h_{3}$ ), évaporateur $4 \to 1$ ( $q_{f} = h_{1} - h_{4} > 0$ ). Toutes les grandeurs se lisent en abscisses sur le diagramme $(ln P, h)$ .

Capacité numérique : Exploitation d'un diagramme $(ln P, h)$

En pratique, les enthalpies $h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}$ se lisent (ou se calculent par les tables) sur le diagramme du fluide frigorigène. Un court script Python peut interpoler une table $(P, T, h, s)$ et évaluer $e_{f}$ , $∣ q_{c} ∣$ , $w$ pour différents rapports de pression, afin de discuter l'effet du choix du fluide ou du niveau de surchauffe — exactement l'exploitation attendue par le programme.

Cadre. Système ouvert = volume de contrôle fixe, écoulement stationnaire, une entrée / une sortie. Grandeurs massiques ( $h$ , $s$ , $w_{u}$ , $q$ en $J / kg$ ) ; puissances $= D_{m} \times$ grandeur.

Bilan de masse. $D_{m, e} = D_{m, s} = D_{m} = c S / v$ .

Premier principe industriel. $Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q$ ; souvent $Δ h = w_{u} + q$ .

Deuxième principe. $Δ s = s_{e} + s_{c}$ , $s_{e} = \int δ q / T_{front}$ , $s_{c} \geq 0$ (nul si réversible).

Dispositifs (calorifugés, $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligés sauf tuyère).

Tuyère ( $w_{u} = 0$ ) : $c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s})$ .
Turbine / compresseur : $w_{u} = Δ h$ ; idéal isentropique, rendements $η$ .
Laminage : $Δ h = 0$ ( $s_{c} > 0$ ).
Échangeur ( $w_{u} = 0$ ) : $q = Δ h$ ; $D_{1} Δ h_{1} + D_{2} Δ h_{2} = 0$ .
Mélangeur / séparateur : $\sum D h$ conservé.
Pompe (liquide) : $w_{u} \approx v Δ P$ .

Cycles. $\sum (w_{u} + q) = 0$ ; horaire sur $(T, s)$ $=$ moteur, anti-horaire $=$ récepteur.

$η_{moteur} = \frac{∣ w _{net} ∣}{q _{c}}, e_{f} = \frac{q _{f}}{w}, COP = \frac{∣ q _{c} ∣}{w} = e_{f} + 1.$

Amélioration : surchauffe, préchauffage, choix du fluide.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

Exercice 1 : conservation du débit (

⋆

)

De l'eau liquide ( $v = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3} / kg$ ) entre dans un tuyau de section $S_{e} = 20 c m^{2}$ à $c_{e} = 2.0 m / s$ . La section se réduit à $S_{s} = 5.0 c m^{2}$ . Calculer le débit massique et la vitesse de sortie.

Démonstration

$D_{m} = c_{e} S_{e} / v = \frac{2 , 0 \times 20 \cdot 1 0 ^{- 4}}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 4.0 kg / s$ . Le liquide étant incompressible ( $v$ constant), $c_{s} = c_{e} S_{e} / S_{s} = 2, 0 \times 20/5, 0 = 8.0 m / s$ .

Exercice 2 : tuyère calorifugée (

⋆

)

De l'air entre dans une tuyère calorifugée avec $h_{e} = 300 kJ / kg$ , $c_{e} = 30 m / s$ , et ressort avec $h_{s} = 250 kJ / kg$ . Déterminer la vitesse de sortie.

Démonstration

Tuyère : $w_{u} = 0$ , $q = 0$ , $Δ e_{p} \approx 0$ . Donc $\frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}) = h_{e} - h_{s}$ :

$c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s}) = 3 0^{2} + 2 \times 50 \cdot 1 0^{3} \approx 318 m / s .$

L'énergie cinétique d'entrée est négligeable devant $Δ h$ .

Exercice 3 : turbine à vapeur (

⋆ ⋆

)

De la vapeur se détend dans une turbine calorifugée de $h_{e} = 3200 kJ / kg$ à $h_{s} = 2400 kJ / kg$ , avec $D_{m} = 15 kg / s$ . Calculer $w_{u}$ et la puissance mécanique fournie.

Démonstration

$w_{u} = Δ h = 2400 - 3200 = - 800 kJ / kg$ (le fluide cède du travail). Puissance fournie :

$∣ P_{u} ∣ = D_{m} ∣ w_{u} ∣ = 15 \times 800 \cdot 1 0^{3} = 12 MW .$

Exercice 4 : compresseur et rendement isentropique (

⋆ ⋆

)

Un compresseur calorifugé aspire un gaz à $h_{e} = 290 kJ / kg$ . La compression isentropique idéale conduirait à $h_{s, i s} = 450 kJ / kg$ . Le rendement isentropique vaut $η = 0, 80$ . Déterminer le travail utile réel.

Démonstration

Travail idéal : $w_{u, i s} = h_{s, i s} - h_{e} = 160 kJ / kg$ . Comme $η = w_{u, i s} / w_{u}$ , le travail réel est plus grand :

$w_{u} = \frac{w _{u, i s}}{η} = \frac{160}{0 , 80} = 200 kJ / kg .$

L'irréversibilité coûte $40 kJ / kg$ supplémentaires.

Exercice 5 : laminage d'un gaz parfait (

⋆

)

Du diazote, gaz parfait, traverse une vanne de $P_{e} = 10 bar$ à $P_{s} = 2 bar$ , calorifugée. Que vaut $Δ T$ ? Estimer $s_{c}$ sachant $r = 297 J / kg / K$ .

Démonstration

Laminage : $Δ h = 0$ . Pour un gaz parfait $d h = c_{p} d T$ donc $Δ T = 0$ (isotherme). L'entropie créée :

$s_{c} = Δ s = c_{p} ln \frac{T _{s}}{T _{e}} - r ln \frac{P _{s}}{P _{e}} = - r ln \frac{2}{10} = 297 ln 5 \approx 478 J / kg / K > 0.$

Le laminage est bien irréversible.

Exercice 6 : échangeur calorifugé (

⋆ ⋆

)

Un débit $D_{1} = 2.0 kg / s$ d'eau chaude passe de $h_{1}^{e} = 420 kJ / kg$ à $h_{1}^{s} = 250 kJ / kg$ et réchauffe $D_{2} = 3.0 kg / s$ d'eau froide entrant à $h_{2}^{e} = 80 kJ / kg$ . L'ensemble est calorifugé. Déterminer $h_{2}^{s}$ .

Démonstration

$D_{1} (h_{1}^{e} - h_{1}^{s}) = D_{2} (h_{2}^{s} - h_{2}^{e})$ :

$2, 0 \times 170 = 340 kW = 3, 0 \times (h_{2}^{s} - 80) \Rightarrow h_{2}^{s} = 80 + \frac{340}{3} \approx 193 kJ / kg .$

Exercice 7 : mélangeur isobare (

⋆ ⋆

)

Un mélangeur calorifugé reçoit $D_{1} = 1.0 kg / s$ à $h_{1} = 400 kJ / kg$ et $D_{2} = 3.0 kg / s$ à $h_{2} = 120 kJ / kg$ . Déterminer le débit et l'enthalpie de sortie.

Démonstration

Masse : $D_{3} = D_{1} + D_{2} = 4.0 kg / s$ . Énergie ( $w_{u} = q = 0$ ) : $D_{1} h_{1} + D_{2} h_{2} = D_{3} h_{3}$ :

$h_{3} = \frac{1 , 0 \times 400 + 3 , 0 \times 120}{4 , 0} = \frac{760}{4 , 0} = 190 kJ / kg .$

C'est une moyenne pondérée par les débits.

Exercice 8 : cycle frigorifique et efficacité (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un cycle à compression de vapeur : compresseur ( $w = + 40 kJ / kg$ ), condenseur ( $q_{c} = - 160 kJ / kg$ ), détendeur (laminage), évaporateur. Déterminer $q_{f}$ prélevé à la source froide, l'efficacité frigorifique $e_{f}$ et le COP en mode pompe à chaleur.

Démonstration

Sur le cycle, $\sum (w_{u} + q) = 0$ : $w + q_{c} + q_{f} = 0$ (le laminage a $w_{u} = q = 0$ ) :

$q_{f} = - (w + q_{c}) = - (40 - 160) = 120 kJ / kg > 0.$

Efficacité frigorifique : $e_{f} = q_{f} / w = 120/40 = 3, 0$ . En pompe à chaleur : $COP = ∣ q_{c} ∣ / w = 160/40 = 4, 0 = e_{f} + 1$ . Cohérent.

Exercice 9 : rendement d'un cycle moteur (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un fluide parcourt : (1 $\to$ 2) pompe $w_{p} = + 5 kJ / kg$ , (2 $\to$ 3) chaudière $q_{c} = + 300 kJ / kg$ , (3 $\to$ 4) turbine $w_{t} = - 200 kJ / kg$ , (4 $\to$ 1) condenseur. Déterminer $q_{f}$ et le rendement.

Démonstration

$\sum (w_{u} + q) = 0$ : $5 + 300 - 200 + q_{f} = 0 \Rightarrow q_{f} = - 105 kJ / kg$ . Travail net : $w_{net} = w_{p} + w_{t} = - 195 kJ / kg$ (fourni). Rendement :

$η = \frac{∣ w _{net} ∣}{q _{c}} = \frac{195}{300} = 0, 65.$

On vérifie $∣ w_{net} ∣ = q_{c} + q_{f} = 300 - 105 = 195 kJ / kg$ .

5.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) De l'air ( $v = 0.80 m^{3} / kg$ ) circule à $D_{m} = 0.50 kg / s$ dans une conduite de section $S = 10 c m^{2}$ . Calculer la vitesse d'écoulement.
( $⋆$ ) Une tuyère calorifugée horizontale reçoit de la vapeur à $h_{e} = 2800 kJ / kg$ , $c_{e} \approx 0$ , et la détend jusqu'à $h_{s} = 2600 kJ / kg$ . Calculer $c_{s}$ .
( $⋆$ ) Justifier qu'une vanne de laminage ne produit pas de travail utile et rappeler la relation vérifiée par l'enthalpie. Que devient $T$ pour un gaz parfait ?
( $⋆ ⋆$ ) Un compresseur calorifugé élève l'enthalpie de l'air de $300$ à $480 kJ / kg$ pour $D_{m} = 0.20 kg / s$ . Calculer $w_{u}$ et la puissance mécanique.
( $⋆ ⋆$ ) Une turbine réelle a un rendement isentropique de $0, 85$ . La détente idéale ferait chuter $h$ de $3100$ à $2300 kJ / kg$ . Déterminer $h_{s}$ réel et le travail utile réel.
( $⋆ ⋆$ ) Un gaz parfait ( $c_{p} = 1000 J / kg / K$ , $r = 287 J / kg / K$ ) est laminé de $8 bar$ à $1 bar$ . Calculer $Δ T$ et $s_{c}$ .
( $⋆ ⋆$ ) Dans un échangeur calorifugé, $1.5 kg / s$ de fluide chaud cèdent $200 kJ / kg$ . Le fluide froid ( $D_{m} = 2.5 kg / s$ ) entre à $h = 100 kJ / kg$ . Trouver son enthalpie de sortie.
( $⋆ ⋆$ ) Un mélangeur isobare réunit $2.0 kg / s$ à $500$ et $2.0 kg / s$ à $100 kJ / kg$ . Déterminer $h_{3}$ . Quel écart si les débits deviennent $3$ et $1$ ?
( $⋆ ⋆$ ) Une pompe élève de l'eau ( $v = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3} / kg$ ) de $1 bar$ à $50 bar$ . Estimer le travail massique et comparer aux $800 kJ / kg$ fournis par la turbine du même cycle.
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Une turbine calorifugée traite de la vapeur avec $c_{e} = 60 m / s$ , $c_{s} = 160 m / s$ , $h_{e} = 3300$ , $h_{s} = 2500 kJ / kg$ . En ne négligeant pas $Δ e_{c}$ , calculer $w_{u}$ et l'erreur relative commise en le négligeant.
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Un cycle frigorifique : compresseur ( $w = + 50 kJ / kg$ ), condenseur ( $q_{c} = - 200 kJ / kg$ ), détendeur, évaporateur. Déterminer $q_{f}$ , l'efficacité frigorifique et le COP en mode PAC. Comparer aux bornes de Carnot pour $T_{f} = 273 K$ , $T_{c} = 313 K$ .
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Cycle de Brayton, gaz parfait $γ = 1, 4$ , compression et détente isentropiques de rapport $π = 10$ . Calculer le rendement. Représenter qualitativement le cycle sur $(T, s)$ et repérer les sources et le sens de parcours.

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Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles

5.1 Volume de contrôle et bilans en régime stationnaire

5.2 Premier principe industriel

Méthode : Système fermé équivalent

5.3 Deuxième principe pour un système ouvert

5.4 Dispositifs d'une installation industrielle

5.4.1 Tuyère : conversion d'enthalpie en énergie cinétique

5.4.2 Turbine et compresseur calorifugés

5.4.3 Détendeur : laminage isenthalpique

5.4.4 Échangeur thermique calorifugé

5.4.5 Mélangeur et séparateur isobares calorifugés

5.4.6 Pompe

5.5 Cycles thermodynamiques industriels

5.5.1 Cycle moteur à vapeur (Rankine)

5.5.2 Cycle moteur à gaz (Brayton)

5.5.3 Machine frigorifique et pompe à chaleur

Capacité numérique : Exploitation d'un diagramme (lnP,h)

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

5.7 Exercices d'entraînement

Capacité numérique : Exploitation d'un diagramme $(ln P, h)$