Écoulement stationnaire et énergétique (Bernoulli)

Cours · thermodynamique et machines thermiques (PT), chapitre 4 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un écoulement dans un tube qui se rétrécit : la vitesse augmente là où la section diminue.

Après la statique des fluides, on s'intéresse aux fluides en mouvement dans une conduite : eau d'un réseau, air d'une soufflerie, vapeur d'une turbine. L'objectif du programme de PT est modeste dans ses outils mais riche dans ses applications : on ne cherche pas à écrire une équation locale du mouvement (l'équation d'Euler ou de Navier--Stokes est hors programme), mais à mener des bilans macroscopiques — de masse, puis d'énergie — sur un domaine de fluide bien choisi. Ce point de vue suffit à établir la conservation du débit, la relation de Bernoulli, et à décrire les pertes de charge dans les circuits hydrauliques ou pneumatiques.

ImportantCadre du chapitre : bilans macroscopiques uniquement

Toute la mécanique des fluides de PT repose sur la notion de bilan macroscopique appliqué à un tube de courant ou à un volume de contrôle. On n'utilise jamais d'opérateurs vectoriels (divergence, rotationnel, gradient d'un champ de vitesse) ni d'équation locale du mouvement : ils sont hors programme en PT.

Dans tout le chapitre, on note $ρ$ la masse volumique du fluide, $v$ sa vitesse, $P$ la pression, $g$ l'intensité de la pesanteur et $z$ l'altitude mesurée sur un axe vertical ascendant.

4.1 Description eulérienne d'un écoulement

4.1.1 Grandeurs eulériennes, régime stationnaire

Un fluide contient un nombre immense de molécules : le suivre molécule par molécule est impossible. On adopte le point de vue eulérien, qui décrit l'écoulement par des champs définis en chaque point $M$ de l'espace et à chaque instant $t$ .

Définition 4.1Grandeurs eulériennes

On décrit localement le fluide par les champs eulériens de ses grandeurs intensives pertinentes : la vitesse $v (M, t)$ , la masse volumique $ρ (M, t)$ , la pression $P (M, t)$ , la température $T (M, t)$ . La valeur en $M$ à l'instant $t$ est celle de la particule de fluide — volume mésoscopique, assez grand pour contenir un très grand nombre de molécules, assez petit pour être assimilé à un point — qui passe en $M$ à cet instant.

AttentionCe que

v (M, t)

n'est pas

$v (M, t)$ n'est pas la vitesse d'une particule identifiée que l'on suivrait, mais la vitesse, sans cesse renouvelée, de la particule présente en $M$ à l'instant $t$ . Le point $M$ est fixe ; le fluide, lui, défile.

Définition 4.2Régime stationnaire

Un écoulement est stationnaire (ou permanent) dans un référentiel donné si tous les champs eulériens y sont indépendants du temps :

$\frac{\partial v}{\partial t} = 0, \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0, \frac{\partial P}{\partial t} = 0.$

Les grandeurs peuvent varier d'un point à un autre, mais restent constantes au cours du temps en chaque point fixe.

iRemarque

Le caractère stationnaire dépend du référentiel. L'écoulement de l'air autour d'une aile d'avion en vol rectiligne uniforme est instationnaire dans le référentiel du sol, mais stationnaire dans le référentiel lié à l'avion : c'est dans ce dernier qu'on l'étudie. Tout ce chapitre se place en régime stationnaire.

4.1.2 Lignes de courant, tubes de courant

Définition 4.3Ligne de courant

Une ligne de courant à l'instant $t$ est une courbe tangente en chacun de ses points au champ des vitesses $v (M, t)$ à cet instant. Elle matérialise la direction locale de l'écoulement.

Définition 4.4Tube de courant

Un tube de courant est la surface engendrée par toutes les lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé. Le fluide ne traverse jamais la paroi latérale d'un tube de courant — la vitesse y est tangente : il s'y écoule comme dans une conduite virtuelle.

iRemarque

En régime stationnaire, les lignes de courant sont fixes et coïncident avec les trajectoires des particules de fluide : une particule suit exactement le tracé de la ligne de courant sur laquelle elle se trouve.

4.2 Débits et conservation du débit

4.2.1 Débit massique et débit volumique

Définition 4.5Débits à travers une section

On considère une section droite $S$ d'un tube de courant, traversée perpendiculairement par un fluide de vitesse (moyenne) $v$ . Pendant $d t$ , le fluide qui traverse $S$ occupe un cylindre de longueur $v d t$ :

$d e ˊ bit volumique D_{V} = v S (m^{3} / s), d e ˊ bit massique D_{m} = ρ v S (kg / s) .$

Le débit massique est la masse de fluide traversant $S$ par unité de temps, le débit volumique le volume correspondant. Ils sont reliés par $D_{m} = ρ D_{V}$ .

iRemarqueCas d'un profil non uniforme

Dans une conduite réelle, la vitesse n'est pas uniforme sur la section (nulle aux parois, maximale au centre). Les formules $D_{V} = v S$ et $D_{m} = ρ v S$ restent valables à condition d'interpréter $v$ comme la vitesse débitante (vitesse moyenne sur la section) : $v = D_{V} / S$ .

4.2.2 Conservation du débit massique

◆Théorème 4.6Conservation du débit massique

En régime stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d'un tube de courant :

$D_{m} = ρ_{1} v_{1} S_{1} = ρ_{2} v_{2} S_{2} = cte .$

Démonstration (Bilan de masse sur une portion de tube)

On isole la portion de fluide comprise, à l'instant $t$ , entre les sections $S_{1}$ (entrée) et $S_{2}$ (sortie) d'un tube de courant. En régime stationnaire, la masse contenue dans cette portion fixe de l'espace ne varie pas au cours du temps. Or le fluide n'entre et ne sort que par $S_{1}$ et $S_{2}$ (la paroi latérale du tube est imperméable). Pendant $d t$ :

$masse entrante par S_{1} = ρ_{1} v_{1} S_{1} d t, masse sortante par S_{2} = ρ_{2} v_{2} S_{2} d t .$

La conservation de la masse ( $entr e ˊ e = sortie$ ) impose $ρ_{1} v_{1} S_{1} = ρ_{2} v_{2} S_{2}$ .

Proposition 4.7Cas incompressible : conservation du débit volumique

Pour un fluide de masse volumique uniforme ( $ρ$ constant : liquide, ou gaz en écoulement lent), la conservation du débit massique se réduit à celle du débit volumique :

$D_{V} = v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2} = cte .$

Le fluide accélère là où la section se rétrécit : $v_{2} = v_{1} S_{1} / S_{2}$ . C'est l'intérêt du débit volumique — indépendant de $ρ$ — pour un fluide de volume massique uniforme.

Exemple 4.8Rétrécissement de conduite

De l'eau passe d'un tuyau de diamètre $D_{1} = 10 cm$ où $v_{1} = 2 m / s$ à un tuyau de diamètre $D_{2} = 5 cm$ . Comme $S = π D^{2} /4$ :

$v_{2} = v_{1} (\frac{D _{1}}{D _{2}})^{2} = 2 \times 2^{2} = 8 m / s, D_{V} = v_{1} S_{1} = 2 \times \frac{π ( 0 , 10 ) ^{2}}{4} \approx 1, 57 \times 1 0^{- 2} m^{3} / s \approx 15, 7 L / s .$

Diviser le diamètre par 2 multiplie la vitesse par 4.

4.3 Viscosité et nombre de Reynolds

4.3.1 Fluide parfait, fluide visqueux

Dans un fluide réel en mouvement apparaissent, entre couches voisines animées de vitesses différentes, des forces de frottement tangentielles : c'est la viscosité. Elle traduit un transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes et dissipe de l'énergie mécanique en chaleur.

Définition 4.9Viscosité dynamique, fluide newtonien

Considérons un écoulement parallèle cisaillé $v = v (y) e_{x}$ (couches glissant les unes sur les autres). La force tangentielle exercée à travers une surface $d S$ parallèle à l'écoulement, par le fluide rapide sur le fluide lent, a pour norme, pour un fluide newtonien,

$d F = η \frac{d v}{d y} d S .$

Le coefficient $η$ est la viscosité dynamique ( $Pa s$ , ou $kg / m / s$ ). La force surfacique de cisaillement est ainsi proportionnelle au gradient transversal de vitesse.

Définition 4.10Fluide parfait

Un fluide parfait est un modèle idéal de viscosité négligeable ( $η = 0$ ) : aucune force tangentielle, aucune dissipation. C'est une bonne approximation loin des parois, dans le cœur d'un écoulement rapide. La viscosité y reste toutefois essentielle dans une fine couche limite au contact des parois, où le fluide adhère (vitesse nulle à la paroi).

iRemarqueOrdres de grandeur de viscosité dynamique à

20° C

$air : η \approx 1, 8 \times 1 0^{- 5} Pa s, eau : η \approx 1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa s, huile / lubrifiant : η \approx 0, 1 Pa s a ˋ 1 Pa s .$

Un lubrifiant est typiquement cent à mille fois plus visqueux que l'eau.

4.3.2 Condition d'adhérence aux parois

ImportantConditions aux limites du champ de vitesse

Un fluide visqueux adhère à toute paroi solide : sa vitesse à la paroi est égale à celle de la paroi (nulle si la paroi est immobile). Il en résulte, dans une conduite, un profil de vitesse non uniforme : nul aux parois, maximal au centre (profil parabolique en régime laminaire, dit de Poiseuille). Pour un fluide parfait, au contraire, la vitesse peut être uniforme jusqu'à la paroi (pas d'adhérence).

4.3.3 Nombre de Reynolds, régimes d'écoulement

Définition 4.11Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds d'un écoulement de vitesse caractéristique $v$ et de dimension caractéristique $L$ (diamètre de la conduite, taille de l'obstacle) est le nombre sans dimension

$R e = \frac{ρ v L}{η} .$

Il compare l'importance des effets d'inertie (le fluide « emporté » par son élan) à celle des effets visqueux (freinage par frottement interne).

ImportantRégimes laminaire et turbulent

Le nombre de Reynolds distingue deux régimes :

$R e$ faible (jusqu'à $\sim 2000$ en conduite) : régime laminaire. La viscosité domine, les lignes de courant sont régulières, les filets fluides glissent sans se mélanger.
$R e$ grand ( $≳ 4000$ en conduite) : régime turbulent. L'inertie domine, l'écoulement devient tourbillonnaire et chaotique, avec un fort mélange.

La transition (autour de $R e \sim 2000$ – $4000$ en conduite) n'est pas universelle : elle dépend de la géométrie et des perturbations.

Exemple 4.12Deux calculs de Reynolds

Eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ , $η = 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ) dans un tuyau de diamètre $L = 2 cm$ à $v = 1 m / s$ :

$R e = \frac{1000 \times 1 \times 0 , 02}{1 0 ^{- 3}} = 2 \cdot 1 0^{4} ≫ 2000 \Rightarrow turbulent .$

Air d'un local ( $ρ = 1, 2 kg / m^{3}$ ) s'écoulant très lentement ( $v = 1 mm / s$ , $L = 1 cm$ ) : $R e = 1, 2 \times 1 0^{- 3} \times 0, 01/1, 8 \cdot 1 0^{- 5} \approx 0, 7$ , écoulement laminaire visqueux.

4.4 Relation de Bernoulli

On établit maintenant, par un bilan d'énergie, la relation qui relie pression, vitesse et altitude le long d'un écoulement de fluide parfait.

4.4.1 Volume et surface de contrôle

Définition 4.13Volume et surface de contrôle

Un volume de contrôle est une région de l'espace fixe, choisie par l'observateur, à travers la frontière de laquelle (la surface de contrôle) le fluide peut entrer et sortir. On raisonne sur le fluide qui occupe ce volume, et non sur une masse de fluide identifiée : c'est l'outil naturel du point de vue eulérien pour mener un bilan sur un système ouvert.

4.4.2 Établissement de la relation de Bernoulli

◆Théorème 4.14Relation de Bernoulli

Pour un écoulement stationnaire, d'un fluide parfait ( $η = 0$ ) et incompressible ( $ρ$ uniforme), soumis à la seule pesanteur, la quantité

$P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z = cte$

se conserve le long d'une ligne de courant. $P$ est la pression, $v$ la vitesse, $z$ l'altitude ( $z$ orienté vers le haut).

Démonstration (Bilan d'énergie sur un tube de courant)

On isole le fluide contenu, à l'instant $t$ , dans un tube de courant entre les sections $S_{1}$ (altitude $z_{1}$ , vitesse $v_{1}$ , pression $P_{1}$ ) et $S_{2}$ (altitude $z_{2}$ , vitesse $v_{2}$ , pression $P_{2}$ ). Pendant $d t$ , ce système de fluide se déplace : l'entrée avance de $d ℓ_{1} = v_{1} d t$ , la sortie de $d ℓ_{2} = v_{2} d t$ .

Conservation de la masse. La masse qui entre en $S_{1}$ égale celle qui sort en $S_{2}$ :

$d m = ρ S_{1} v_{1} d t = ρ S_{2} v_{2} d t .$

Variation d'énergie mécanique. En régime stationnaire, l'état du fluide dans la portion commune (recouvrement) est inchangé. Le bilan revient à retrancher la « tranche d'entrée » (masse $d m$ , vitesse $v_{1}$ , altitude $z_{1}$ ) et à ajouter la « tranche de sortie » (masse $d m$ , vitesse $v_{2}$ , altitude $z_{2}$ ). La variation d'énergie mécanique (cinétique + pesanteur) est donc

$d E_{m} = d m (\frac{1}{2} v_{2}^{2} + g z_{2}) - d m (\frac{1}{2} v_{1}^{2} + g z_{1}) .$

Travail des forces de pression. Le fluide amont pousse le système en $S_{1}$ : travail moteur $+ P_{1} S_{1} d ℓ_{1} = P_{1} S_{1} v_{1} d t$ . Le fluide aval résiste en $S_{2}$ : travail résistant $- P_{2} S_{2} d ℓ_{2} = - P_{2} S_{2} v_{2} d t$ . En utilisant $S_{1} v_{1} d t = S_{2} v_{2} d t = d m / ρ$ :

$δ W_{pression} = (P_{1} - P_{2}) \frac{d m}{ρ} .$

Théorème de l'énergie cinétique / mécanique. Le fluide étant parfait, les forces de viscosité ne travaillent pas ; la pesanteur est déjà comptée dans $E_{m}$ . Le théorème de l'énergie mécanique donne $d E_{m} = δ W_{pression}$ :

$d m (\frac{1}{2} v_{2}^{2} + g z_{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} - g z_{1}) = (P_{1} - P_{2}) \frac{d m}{ρ} .$

On simplifie par $d m$ et on multiplie par $ρ$ :

$\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g z_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g z_{1} = P_{1} - P_{2},$

soit, en regroupant les indices,

$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g z_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g z_{2} .$

La quantité $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ est donc conservée.

iRemarqueInterprétation : trois pressions

Chaque terme de Bernoulli est homogène à une pression :

$P$ : pression statique (celle mesurée en suivant le fluide) ;
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$ : pression dynamique, liée au mouvement ;
$ρ g z$ : pression de pesanteur, liée à l'altitude.

La somme $P_{tot} = P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ est la pression totale ; elle est constante le long d'une ligne de courant en fluide parfait.

AttentionConditions de validité

La relation de Bernoulli $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z = cte$ suppose simultanément : écoulement stationnaire, fluide parfait (pas de viscosité, donc pas de perte de charge), fluide incompressible ( $ρ$ uniforme), forces de volume réduites à la pesanteur. Si l'une de ces hypothèses tombe (frottements, pompe, gaz compressible), il faut modifier la relation (voir §sec:pertes).

Proposition 4.15Effet Venturi

Là où un tube se rétrécit, la conservation du débit ( $v S = cte$ ) impose une augmentation de la vitesse. À altitude constante, Bernoulli impose alors une diminution de la pression :

$P + \frac{1}{2} ρ v^{2} = cte \Rightarrow v ↗ \Leftrightarrow P ↘ .$

C'est l'effet Venturi : le fluide rapide est à basse pression. Il explique la portance d'une aile, l'aspiration d'un pulvérisateur, ou le rapprochement de deux feuilles entre lesquelles on souffle.

4.5 Applications de la relation de Bernoulli

4.5.1 Vidange d'un réservoir : formule de Torricelli

Méthode : Vidange par un orifice (Torricelli)

Un grand réservoir ouvert, rempli d'eau jusqu'à une hauteur $H$ au-dessus d'un petit orifice, se vide dans l'atmosphère. On applique Bernoulli sur une ligne de courant joignant la surface libre (point $A$ ) à l'orifice (point $B$ ).

En $A$ : $P_{A} = P_{atm}$ , $v_{A} \approx 0$ (surface large, elle descend lentement), $z_{A} = H$ .
En $B$ : $P_{B} = P_{atm}$ (jet dans l'air), $v_{B} = v$ , $z_{B} = 0$ .

Bernoulli donne $P_{atm} + ρ g H = P_{atm} + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , d'où la formule de Torricelli :

$v = 2 g H .$

La vitesse d'éjection est celle d'un corps tombé en chute libre de la hauteur $H$ .

Exemple 4.16

Pour $H = 2 m$ : $v = 2 \times 9, 81 \times 2 \approx 6, 3 m / s$ . Indépendante de la masse volumique : eau ou mercure sortiraient à la même vitesse.

4.5.2 Tube de Venturi : mesure de débit

Méthode : Débitmètre de Venturi

Un Venturi est une conduite horizontale présentant un rétrécissement ( $S_{1} \to S_{2} < S_{1}$ ). On mesure la différence de pression $P_{1} - P_{2}$ entre la section large et l'étranglement (par exemple à l'aide de deux tubes manométriques : dénivellation $h$ ). À altitude constante :

$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}, v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2} .$

En éliminant $v_{2} = v_{1} S_{1} / S_{2}$ :

$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{S _{1}}{S _{2}})^{2} - 1], v_{1} = \frac{2 ( P _{1} - P _{2} )}{ρ [ ( S _{1} / S _{2} ) ^{2} - 1 ]} .$

On en déduit le débit $D_{V} = v_{1} S_{1}$ . La mesure d'une différence de pression donne accès au débit : c'est le principe du débitmètre.

4.5.3 Tube de Pitot : mesure de vitesse

Méthode : Sonde de Pitot

Un tube de Pitot mesure la vitesse d'un écoulement (vitesse d'un avion, d'un fluide en conduite). Il comporte deux prises de pression :

une prise d'arrêt en $A$ , face à l'écoulement, où le fluide est stoppé ( $v_{A} = 0$ ) : elle mesure la pression totale $P_{A} = P_{0} + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ ;
une prise statique en $B$ , sur le flanc, où la vitesse vaut celle de l'écoulement $v_{B} = v$ : elle mesure la pression statique $P_{B} = P_{0}$ .

Bernoulli entre $A$ et $B$ (même altitude) donne $P_{A} = P_{B} + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , soit

$v = \frac{2 ( P _{A} - P _{B} )}{ρ} .$

Le manomètre différentiel mesure $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ v^{2}$ (la pression dynamique), d'où la vitesse.

Exemple 4.17Pitot d'avion

Un avion vole dans l'air ( $ρ = 1, 2 kg / m^{3}$ ). La sonde mesure $P_{A} - P_{B} = 3, 4 \times 1 0^{3} Pa$ :

$v = \frac{2 \times 3 , 4 \cdot 1 0 ^{3}}{1 , 2} \approx 75 m / s \approx 270 km / h .$

4.6 Pertes de charge et bilan d'énergie

4.6.1 Notion de perte de charge

Un fluide réel est visqueux : le frottement interne et le frottement à la paroi dissipent de l'énergie mécanique en chaleur. La quantité $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ n'est alors plus conservée : elle diminue dans le sens de l'écoulement. Cette diminution est la perte de charge.

Définition 4.18Perte de charge

Entre l'amont (1) et l'aval (2) d'un tronçon de conduite, la perte de charge $Δ P_{c} \geq 0$ est la diminution de la pression totale due à la dissipation visqueuse :

$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g z_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g z_{2} + Δ P_{c} .$

$Δ P_{c}$ est toujours positive (l'énergie mécanique décroît dans le sens de l'écoulement) ; en fluide parfait, $Δ P_{c} = 0$ et l'on retrouve Bernoulli.

Exercices du chapitre

Le jet d'eau de Genève corrigé
Le débitmètre à Venturi d'une station d'eau potable corrigé
Le Pitot d'un avion léger : vitesse indiquée et vitesse vraie corrigé
L'écluse qui se vide, puis la clepsydre corrigé
Le siphon d'aquarium et la limite des dix mètres corrigé
Le refoulement d'une station de pompage : où part la puissance de la pompe corrigé

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