Machines thermiques

Cours complet · thermodynamique (PTSI), chapitre 7 · CPGE PTSI (1re année)

Moteurs de voiture, centrales électriques, réfrigérateurs, pompes à chaleur : toutes sont des machines thermiques, qui convertissent de l'énergie en fonctionnant par cycles entre deux sources de chaleur. Ce dernier chapitre applique les deux principes aux machines cycliques dithermes : il en déduit le rendement, l'efficacité, et la borne fondamentale du théorème de Carnot. Il clôt le livre de thermodynamique.

7.1 Machines cycliques dithermes

Définition 7.1Machine ditherme

Une machine ditherme fonctionne par cycles en échangeant de la chaleur avec deux thermostats — une source chaude ( $T_{c}$ ) et une source froide ( $T_{f} < T_{c}$ ) — et du travail $W$ avec l'extérieur. Sur un cycle, les fonctions d'état reviennent à leur valeur initiale : $Δ U = 0$ et $Δ S = 0$ .

◆Théorème 7.2Les deux principes sur un cycle

$1er principe : W + Q_{c} + Q_{f} = 0, 2e principe : \frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0 (in e ˊ galit e ˊ de Clausius),$

l'égalité correspondant à un fonctionnement réversible.

7.2 Moteur ou récepteur : le sens des échanges

Important

Moteur : il produit du travail ( $W < 0$ ). Il reçoit de la chaleur de la source chaude ( $Q_{c} > 0$ ) et en rejette à la source froide ( $Q_{f} < 0$ ).
Récepteur (réfrigérateur, pompe à chaleur) : il reçoit du travail ( $W > 0$ ). Il extrait de la chaleur de la source froide ( $Q_{f} > 0$ ) et en rejette à la chaude ( $Q_{c} < 0$ ).

7.3 Rendement, efficacité et théorème de Carnot

Définition 7.3Rendement d'un moteur

$η = \frac{travail produit}{chaleur re c ¸ ue de la source chaude} = \frac{- W}{Q _{c}} = 1 + \frac{Q _{f}}{Q _{c}} .$

◆Théorème 7.4Théorème de Carnot

Le rendement d'un moteur ditherme est borné :

$η \leq η_{C} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}}$

l'égalité étant atteinte pour un moteur réversible (cycle de Carnot). Le rendement de Carnot ne dépend que des températures des sources.

Démonstration

Cycle : $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ , donc $- W = Q_{c} + Q_{f}$ et $η = \frac{Q _{c} + Q _{f}}{Q _{c}} = 1 + \frac{Q _{f}}{Q _{c}}$ . Clausius : $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0$ , d'où (avec $Q_{c} > 0$ ) $\frac{Q _{f}}{Q _{c}} \leq - \frac{T _{f}}{T _{c}}$ . Donc $η \leq 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} = η_{C}$ .

Le cycle de Carnot, qui atteint cette borne, est constitué de deux isothermes (échanges avec les sources $T_{c}$ et $T_{f}$ ) et de deux adiabatiques (passages d'une température à l'autre, sans échange thermique), parcourus en sens moteur :

Définition 7.5Efficacités des récepteurs

$r e ˊ frig e ˊ rateur : e = \frac{Q _{f}}{W} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}}, pompe a ˋ chaleur : e = \frac{- Q _{c}}{W} \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} .$

L'efficacité d'une pompe à chaleur est toujours $> 1$ : c'est ce qui la rend intéressante (elle « déplace » plus d'énergie thermique qu'elle ne consomme de travail).

Capacité numérique : Performances de Carnot


Tc, Tf = 800.0, 300.0       # K (source chaude, source froide)

eta_C = 1 - Tf / Tc                  # rendement de Carnot (moteur)
e_frigo = Tf / (Tc - Tf)             # efficacite max d'un refrigerateur
e_pac = Tc / (Tc - Tf)               # efficacite max d'une pompe a chaleur

print("rendement de Carnot (moteur) :", round(eta_C, 3))
print("efficacite frigo (max)       :", round(e_frigo, 2))
print("efficacite PAC (max)         :", round(e_pac, 2))

Ici $η_{C} = 0, 625$ : même idéal, un moteur ne convertit pas toute la chaleur en travail. La PAC a $e \approx 1, 6 > 1$ .

iRemarqueMachines réelles et cogénération

Les rendements réels sont inférieurs au rendement de Carnot à cause des irréversibilités (frottements, transferts sous écarts finis) : $\sim 30$ à $40 %$ pour un moteur thermique, davantage pour une centrale à cycle combiné. La cogénération consiste à valoriser aussi la chaleur $Q_{f}$ rejetée (par exemple pour le chauffage urbain) : le rendement énergétique global de l'installation s'en trouve fortement amélioré.

7.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Bilan sur un cycle (

⋆

)

Un moteur reçoit $Q_{c} = 1000 J$ de la source chaude et en rejette $Q_{f} = - 700 J$ à la source froide. Quel travail produit-il ?

Démonstration

$W + Q_{c} + Q_{f} = 0 \Rightarrow W = - (Q_{c} + Q_{f}) = - (1000 - 700) = - 300 J$ . Le moteur produit $300 J$ de travail ( $W < 0$ ).

Exercice 2 : Rendement (

⋆

)

Pour le moteur précédent, calculer le rendement.

Démonstration

$η = \frac{- W}{Q _{c}} = \frac{300}{1000} = 0, 30$ , soit $30 %$ .

Exercice 3 : Rendement de Carnot (

⋆ ⋆

)

Un moteur fonctionne entre $T_{c} = 600 K$ et $T_{f} = 300 K$ . Quel est son rendement maximal ?

Démonstration

$η_{C} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} = 1 - \frac{300}{600} = 0, 50$ , soit $50 %$ . Aucun moteur réel entre ces deux sources ne peut dépasser ce rendement.

Exercice 4 : Comparaison à Carnot (

⋆ ⋆

)

Le moteur de l'exercice 2 ( $η = 0, 30$ ) fonctionne entre $600$ et $300 K$ . Est-il réversible ?

Démonstration

$η_{C} = 0, 50$ pour ces sources. Comme $η = 0, 30 < η_{C}$ , le moteur est irréversible (il crée de l'entropie). Un moteur réversible atteindrait $0, 50$ .

Exercice 5 : Réfrigérateur (

⋆ ⋆

)

Un réfrigérateur extrait $Q_{f} = 500 J$ de l'intérieur en consommant $W = 200 J$ . Quelle est son efficacité ? Quelle chaleur rejette-t-il ?

Démonstration

$e = \frac{Q _{f}}{W} = \frac{500}{200} = 2, 5$ . Sur un cycle, $Q_{c} = - (W + Q_{f}) = - (200 + 500) = - 700 J$ : il rejette $700 J$ dans la pièce (plus qu'il n'extrait, la différence étant le travail consommé).

Exercice 6 : Pompe à chaleur (

⋆ ⋆

)

Une PAC fonctionne entre $T_{f} = 280 K$ (extérieur) et $T_{c} = 300 K$ (maison). Quelle est son efficacité maximale ? Commenter.

Démonstration

$e \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} = \frac{300}{300 - 280} = \frac{300}{20} = 15$ . Idéalement, la PAC fournit 15 fois plus de chaleur à la maison qu'elle ne consomme de travail électrique : d'où l'intérêt énergétique (à comparer au chauffage électrique direct, $e = 1$ ).

Exercice 7 : Borne de Carnot (

⋆ ⋆

)

Un ingénieur annonce un moteur de rendement $0, 7$ entre $500$ et $300 K$ . Est-ce crédible ?

Démonstration

$η_{C} = 1 - \frac{300}{500} = 0, 40$ . Le rendement annoncé ( $0, 7$ ) dépasse la borne de Carnot : c'est impossible (violerait le deuxième principe).

Exercice 8 : Pourquoi pas

100 %

? (

⋆ ⋆ ⋆

)

Pourquoi un moteur thermique ne peut-il pas convertir intégralement la chaleur reçue en travail, même idéalement ?

Démonstration

Le deuxième principe l'interdit : sur un cycle, $Δ S = 0$ impose $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0$ ; pour évacuer l'entropie reçue de la source chaude, le moteur doit rejeter de la chaleur $Q_{f} < 0$ à la source froide. Cette chaleur rejetée n'est pas convertie en travail, d'où $η = 1 - \frac{∣ Q _{f} ∣}{Q _{c}} < 1$ (et $\leq η_{C} < 1$ ). Un moteur monotherme ( $T_{f} = T_{c}$ ) aurait $η_{C} = 0$ : il faut deux sources.

7.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Machine ditherme, sur un cycle : $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ et $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0$ (Clausius).
Moteur : $W < 0$ , $Q_{c} > 0$ , $Q_{f} < 0$ ; récepteur : $W > 0$ , $Q_{f} > 0$ , $Q_{c} < 0$ .
Rendement moteur $η = \frac{- W}{Q _{c}}$ ; théorème de Carnot $η \leq η_{C} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}}$ (égalité si réversible).
Efficacités : frigo $e = \frac{Q _{f}}{W} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}}$ ; PAC $e = \frac{- Q _{c}}{W} \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} > 1$ .
Rendements réels $< η_{C}$ (irréversibilités) ; la cogénération valorise la chaleur rejetée $Q_{f}$ .

7.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un moteur reçoit $2000 J$ et produit $600 J$ de travail. Rendement ? Chaleur rejetée ?

( $⋆$ ) Rendement de Carnot entre $400$ et $300 K$ .

( $⋆ ⋆$ ) Une centrale fonctionne entre $810 K$ et $300 K$ ; son rendement réel est $0, 40$ . Le comparer à Carnot.

( $⋆ ⋆$ ) Un réfrigérateur a une efficacité $e = 4$ et consomme $150 J$ par cycle. Chaleur extraite ? rejetée ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que l'efficacité d'une PAC vaut $e_{PAC} = e_{frigo} + 1$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi une pompe à chaleur est-elle plus avantageuse qu'un radiateur électrique pour chauffer une maison ?

( $⋆ ⋆$ ) Un moteur ditherme aurait $η = 0, 55$ entre $500$ et $300 K$ : possible ?

( $⋆ ⋆$ ) Justifier qu'une machine monotherme cyclique ne peut pas fournir de travail (énoncé de Kelvin).

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, étudier comment $η_{C}$ varie quand on augmente $T_{c}$ à $T_{f}$ fixé.

( $⋆ ⋆$ ) Expliquer pourquoi le rendement réel est toujours inférieur à celui de Carnot.

( $⋆ ⋆$ ) Décrire les quatre étapes d'un cycle de Carnot (deux isothermes, deux adiabatiques) dans un diagramme $(P, V)$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Une PAC chauffe une maison à $20° C$ en puisant dehors à $5° C$ . Estimer l'efficacité de Carnot, puis l'efficacité réelle si elle vaut la moitié de celle de Carnot ; conclure sur l'économie par rapport au chauffage électrique direct.

7.7 Problèmes contextualisés

Les machines thermiques sont partout : centrales, moteurs, réfrigérateurs, pompes à chaleur, climatiseurs. Les problèmes suivants confrontent leur fonctionnement à la borne de Carnot.

Exemple 7.14La centrale thermique (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une centrale produit de l'électricité à partir de vapeur, entre une source chaude $T_{c} = 823 K$ ( $55 0^{\circ} C$ ) et une source froide $T_{f} = 303 K$ (rivière). Son rendement réel est $η = 0, 40$ .

Calculer le rendement de Carnot. Comparer au rendement réel.
Pour produire $1000 MW$ électriques, quelle puissance thermique faut-il fournir, et quelle puissance est rejetée à la source froide ?
À quoi servent les tours de refroidissement (ou la rivière) ?

Démonstration

1. $η_{C} = 1 - \frac{303}{823} \approx 0, 63$ . Le réel ( $0, 40$ ) lui est inférieur (irréversibilités : transferts sous écarts finis, frottements).

2. $P_{c} = \frac{P _{e ˊ lec}}{η} = \frac{1000}{0 , 40} = 2500 MW$ ; rejet $P_{f} = P_{c} - P_{e ˊ lec} = 1500 MW$ .

3. Le deuxième principe impose de rejeter $Q_{f}$ à une source froide : les tours (ou la rivière) évacuent les $1500 MW$ de chaleur « fatale ». Sans source froide, pas de cycle moteur.

Exemple 7.15Le moteur de voiture (

⋆ ⋆

)

Un moteur à essence a un rendement réel d'environ $η = 0, 35$ .

Sur $100$ unités d'énergie chimique du carburant, combien servent à mouvoir la voiture ? Combien partent en chaleur ?
Où part cette chaleur (deux voies) ?
Pourquoi une voiture a-t-elle besoin d'un radiateur de refroidissement ?

Démonstration

1. $35$ unités deviennent du travail utile ; $65$ unités sont dissipées en chaleur.

2. Par les gaz d'échappement (chauds) et par le circuit de refroidissement (radiateur), qui évacue la chaleur du bloc moteur.

3. Le moteur, source chaude interne, doit rejeter $Q_{f}$ (deuxième principe) : le radiateur joue le rôle de source froide ; sans lui, le moteur surchaufferait.

Exemple 7.16Le réfrigérateur domestique (

⋆ ⋆

)

Un réfrigérateur a une efficacité $e = 3, 0$ et consomme $W = 100 J$ électriques par cycle.

Quelle chaleur extrait-il de l'intérieur par cycle ?
Quelle chaleur rejette-t-il dans la cuisine ?
Pourquoi laisser la porte ouverte réchauffe-t-il la cuisine (rappel du ch. 6) ?

Démonstration

1. $e = \frac{Q _{f}}{W} \Rightarrow Q_{f} = e W = 3, 0 \times 100 = 300 J$ extraits de l'intérieur.

2. $Q_{c} = - (W + Q_{f})$ : la cuisine reçoit $W + Q_{f} = 100 + 300 = 400 J$ (la chaleur extraite plus le travail).

3. Porte ouverte, le froid produit et la chaleur rejetée se mélangent dans la même pièce ; reste le travail $W$ dissipé : bilan net = réchauffement de $W$ par cycle.

Exemple 7.17La pompe à chaleur pour chauffer (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une PAC chauffe une maison ( $T_{c} = 293 K$ ) en puisant dehors ( $T_{f} = 278 K$ ). En pratique, son efficacité vaut le tiers de l'efficacité de Carnot.

Calculer l'efficacité de Carnot d'une PAC.
En déduire l'efficacité réelle.
Pour $1 kWh$ d'électricité, quelle énergie de chauffage obtient-on ? Comparer au chauffage électrique direct.

Démonstration

1. $e_{C} = \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} = \frac{293}{15} \approx 19, 5$ .

2. $e_{r e ˊ el} \approx \frac{19 , 5}{3} \approx 6, 5$ .

3. $1 kWh$ électrique fournit $\approx 6, 5 kWh$ de chaleur, contre $1 kWh$ pour un radiateur électrique ( $e = 1$ ) : la PAC divise la facture de chauffage par $\approx 6$ .

Exemple 7.18La climatisation réversible (

⋆ ⋆

)

Un climatiseur « réversible » est une PAC dont on peut inverser le sens.

En été, quelle source est l'intérieur de la maison : chaude ou froide ? La machine fonctionne-t-elle en frigo ou en PAC ?
En hiver, qu'inverse-t-on ?
Pourquoi un même appareil peut-il rafraîchir et chauffer ?

Démonstration

1. En été, on veut refroidir l'intérieur : il joue le rôle de source froide dont on extrait la chaleur (mode réfrigérateur), rejetée dehors.

2. En hiver, on inverse le cycle (vanne d'inversion) : on puise la chaleur dehors pour la rejeter dedans (mode pompe à chaleur).

3. Une machine ditherme ne fait que déplacer de la chaleur du froid vers le chaud grâce à un travail ; selon le sens choisi, « l'intérieur » est refroidi (été) ou réchauffé (hiver).

Exemple 7.19Le cycle de Carnot idéal (

⋆ ⋆ ⋆

)

Le cycle de Carnot, réversible, atteint le rendement maximal $η_{C}$ .

Citer ses quatre étapes (nature et source en contact).
Pourquoi les échanges thermiques se font-ils sur les isothermes, et pas sur les adiabatiques ?
Pourquoi un moteur de Carnot est-il irréalisable en pratique (deux raisons) ?

Démonstration

1. Détente isotherme au contact de la source chaude ( $T_{c}$ ) ; détente adiabatique (de $T_{c}$ à $T_{f}$ ) ; compression isotherme au contact de la source froide ( $T_{f}$ ) ; compression adiabatique (de $T_{f}$ à $T_{c}$ ).

2. Sur les adiabatiques, $Q = 0$ par définition ; les échanges thermiques avec les sources ne peuvent donc se faire que sur les isothermes (à la température de la source, pour être réversibles, sans écart fini).

3. (i) La réversibilité exige des transformations infiniment lentes (puissance nulle) ; (ii) il faut supprimer tout frottement et tout écart de température fini : irréalisable. Le cycle de Carnot est une borne idéale.

Exemple 7.20Cogénération et pollution thermique (

⋆ ⋆

)

Une centrale de rendement électrique $η = 0, 40$ rejette $60 %$ de l'énergie en chaleur à basse température.

Sans valorisation, où part cette chaleur, et quel problème environnemental cela pose-t-il ?
La cogénération récupère cette chaleur pour le chauffage urbain. Estimer le rendement énergétique global (électricité + chaleur utile) si l'on valorise les trois quarts de la chaleur rejetée.
Pourquoi ne valorise-t-on pas tout ?

Démonstration

1. Sans valorisation, les $60 %$ sont rejetés dans une rivière ou l'atmosphère : c'est la pollution thermique (réchauffement local de l'eau, impact écologique).

2. Chaleur valorisée $= 0, 75 \times 0, 60 = 0, 45$ ; rendement global $\approx η + 0, 45 = 0, 40 + 0, 45 = 0, 85$ (85 %) : bien supérieur au rendement électrique seul.

3. La chaleur résiduelle est à trop basse température pour être utile, et le chauffage urbain n'a pas toujours de besoin à proximité immédiate (pertes de transport) : on ne récupère qu'une partie.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices

Machines thermiques

7.1 Machines cycliques dithermes

7.2 Moteur ou récepteur : le sens des échanges

7.3 Rendement, efficacité et théorème de Carnot

Capacité numérique : Performances de Carnot

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>7.4 Exercices résolus

7.5 Synthèse du chapitre

7.6 Exercices d'entraînement

7.7 Problèmes contextualisés