Applications

Ce dernier chapitre met le traitement du signal à l'œuvre sur deux problèmes concrets où tout ce qui précède se rejoint. La modulation d'amplitude montre comment transporter un signal en décalant son spectre — et comment le récupérer ensuite, par démodulation synchrone ou asynchrone. La synthèse et l'analyse sonores font fabriquer une mélodie note par note, puis la lire dans le domaine spectral ; enfin, le filtrage linéaire sépare deux sources superposées. On y retrouve la transformée de Fourier (chapitre 3), le théorème de l'échantillonnage (chapitre 4), la FFT (chapitre 5) et les filtres (chapitre 6), désormais au service d'un but.

7.1 La modulation d'amplitude

Pour faire transiter plusieurs signaux dans un même canal, on décale le spectre de chacun vers une bande de fréquences propre — sa porteuse. L'outil est le théorème de modulation, conséquence directe de la transformée de Fourier (chapitre 3) :

$$\begin{array}{c}{e}^{2j\pi f_{0}t}x(t)\rightleftharpoons X(f-f_0),\text{donc}x(t)\cos (2\pi f_{0}t)\rightleftharpoons \frac{1}{2}(X(f-f_0)+X(f+f_0)).\end{array}$$

Multiplier par une porteuse $\cos (2\pi f_{0}t)$ recopie donc le spectre de $x$ autour de $\pm f_0$.

Modulation avec porteuse.

En modulation d'amplitude classique, on transmet $e(t)=(x(t)+k)\cos (2\pi f_{0}t)$, où la constante $k$ est choisie pour que $x(t)+k>0$ (l'indice de modulation reste inférieur à 1). En posant $X_1=X+k\delta$ (le message plus une composante continue), le théorème (eq:modtheo) donne

$$E(f)=\frac{1}{2}(X_1(f-f_0)+X_1(f+f_0)).$$

Pour un message sinusoïdal $x(t)=\cos (2\pi f_{1}t)$, le spectre émis comporte ainsi cinq raies : la porteuse en $\pm f_0$ (poids $k/2$) et les deux bandes latérales en $\pm (f_0\pm f_1)$ (poids $1/4$). Dans le domaine temporel, $e(t)$ est une porteuse rapide dont l'enveloppe dessine $x(t)+k$ (figure fig:amtemps) — c'est cette enveloppe que la démodulation cherche à retrouver.

7.2 Démodulation synchrone et asynchrone

Démodulation synchrone (cohérente).

On multiplie le signal reçu par une porteuse de même fréquence et phase : $y_1(t)=e(t)\cos (2\pi f_{0}t)$. Comme ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$,

$$y_1(t)=\frac{1}{2}(x(t)+k)+\frac{1}{2}(x(t)+k)\cos (4\pi f_{0}t),$$

soit, dans le spectre, une copie en bande de base (autour de $0$) et une copie autour de $\pm 2f_0$. Un filtre passe-bas élimine la seconde et restitue $x(t)$ (à la composante continue $k/2$ près). C'est efficace mais exige une porteuse locale synchronisée.

Démodulation asynchrone (détection d'enveloppe).

Plus simple, elle redresse le signal puis le lisse : $y_3(t)=|e(t)|$. Comme $x+k>0$, $y_3(t)=(x(t)+k)|\cos (2\pi f_{0}t)|$. La fonction $|\cos (2\pi f_{0}t)|$ est périodique de période $1/(2f_0)$ ; ses coefficients de Fourier valent

$$\begin{array}{c}{c}_n=\frac{1}{T_0/2}\int |\cos |e^{-2j\pi (2n{f}_0)t}\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi }\frac{(-1{)}^n}{1-4n^2},c_0=\frac{2}{\pi },c_1=\frac{2}{3\pi },c_2=-\frac{2}{15\pi }.\end{array}$$

Le terme constant $c_0$ produit une copie de $x(t)+k$ en bande de base ; les autres $c_n$ engendrent des copies autour de $\pm 2f_0,\pm 4f_0,\dots$ qu'un passe-bas élimine. La détection d'enveloppe restitue donc le même message que la démodulation synchrone, à un facteur d'échelle $c_0$ près.