Filtrage

Les chapitres précédents nous ont appris à décrire un signal (chapitres 1 à 3), à le numériser sans le trahir (chapitre 4) puis à analyser son contenu fréquentiel (chapitre 5). Il reste l'opération la plus active du traitement du signal : le transformer. Filtrer, c'est modifier sélectivement le contenu fréquentiel d'un signal : atténuer un parasite, isoler une bande utile, dériver, lisser. Ce chapitre construit l'outil qui rend cette opération calculable sur ordinateur — la transformée en $z$ —, distingue les deux grandes familles de filtres numériques (RIF et RII), et donne le critère géométrique qui garantit qu'un filtre récursif ne diverge pas : la position de ses pôles par rapport au cercle unité.

Les trois travaux pratiques suivent un même problème industriel — supprimer la composante $50$ Hz du réseau électrique d'un signal CPL — en trois temps : filtre analogique du second ordre, sa discrétisation par différences finies, puis un filtre numérique récursif étudié pour lui-même.

6.1 Systèmes linéaires invariants et filtrage

Un filtre est un système linéaire et invariant dans le temps (LIT) : la réponse à une combinaison de signaux est la même combinaison des réponses, et retarder l'entrée ne fait que retarder la sortie. Un tel système est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle $h$ — sa sortie quand l'entrée est une impulsion — et son action s'écrit comme une convolution :

$$y(t)=(h\ast x)(t)={\int }_{\mathbb{R}}h(\tau )x(t-\tau )\mathrm{d}\tau \text{(continu)},y_n=\sum _k{h}_k{x}_{n-k}\text{(discret).}$$

La fonction de transfert prend tout son sens grâce à une propriété fondamentale : les exponentielles complexes traversent un filtre LIT sans changer de forme, à un facteur près.

On écrit $H(f)=|H(f)|e^{j\phi (f)}$, où $|H(f)|$ est le gain et $\phi (f)=\arg H(f)$ le déphasage. Pour une entrée réelle $x(t)=A\cos (2\pi ft+\psi )$, la linéarité et la conjugaison donnent la formule qui sera notre fil rouge dans les TP :

$$\begin{array}{c}x(t)=A\cos (2\pi ft+\psi )⟹y(t)=A|H(f)|\cos (2\pi ft+\psi +\arg H(f)).\end{array}$$

Un filtre agit donc fréquence par fréquence : il pèse chaque composante par $|H(f)|$ et la décale de $\arg H(f)$.

6.2 Réponse en fréquence et gabarits

Selon la forme de $|H(f)|$, on distingue quatre familles : passe-bas (laisse passer les basses fréquences, $f<f_c$), passe-haut (les hautes), passe-bande (une bande $[f_1,f_2]$) et coupe-bande (rejette une bande). La fréquence de coupure $f_c$ est conventionnellement définie à $-3$ dB, c'est-à-dire là où le gain vaut $|H_{\max }|/\sqrt{2}$ (la puissance est divisée par deux).

Le diagramme de Bode trace $20{\log }_{10}|H(f)|$ (en décibels) en fonction de $\log f$. Sur la figure fig:bode, le filtre RC du premier ordre $H_{\text{pb}}(f)=\frac{1}{1+j\omega RC}$ a un gain $1/\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}$ qui décroît de $20$ dB/décade au-delà de ${\omega }_c=1/RC$ ; son complémentaire passe-haut $H_{\text{ph}}=j\omega RC/(1+j\omega RC)$ fait l'inverse. Plus l'ordre du filtre est élevé, plus la pente de transition est raide ($20n$ dB/décade pour un ordre $n$).