TFD, FFT et analyse spectrale

Cours · traitement du signal (école d'ingénieur), chapitre 5 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une fois le signal échantillonné et numérisé, son analyse fréquentielle passe par la transformée de Fourier discrète (TFD), calculée efficacement par l'algorithme FFT. Mais analyser un signal réel — fini, échantillonné, fenêtré — introduit des effets qui n'existent pas dans la théorie continue : fuite spectrale, résolution limitée, compromis du fenêtrage. Ce chapitre présente la TFD et ses propriétés, puis ces phénomènes pratiques qui font la différence entre une FFT brute et une analyse spectrale maîtrisée.

TP	Méthode	Notion clé validée
TP 5.1	`numpy.fft` : TFD, `ifft`, retard	TFD, symétrie hermitienne, $∣ Y_{p} ∣ = ∣ X_{p} ∣$
TP 5.2	Fenêtrage, résolution, zero-padding	Fuite spectrale, $Δ f = F_{e} / N$ , fenêtre de Hann

5.1 Transformée de Fourier discrète

Définition 5.1TFD

La transformée de Fourier discrète d'un signal de $N$ échantillons $(x_{n})_{0 \leq n < N}$ et son inverse sont

$X_{k} = n = 0 \sum N - 1 x_{n} e^{- 2 iπ k n / N}, x_{n} = \frac{1}{N} k = 0 \sum N - 1 X_{k} e^{+ 2 iπ k n / N}, 0 \leq k < N .$

La TFD voit le signal comme $N$ -périodique : elle calcule les coefficients de Fourier d'une période. Le coefficient $X_{k}$ correspond à la fréquence $f_{k} = k F_{e} / N$ pour $k \leq N /2$ , et aux fréquences négatives $f_{k} = (k - N) F_{e} / N$ pour $k > N /2$ (repliement de l'indexation).

iRemarqueConventions numpy

numpy.fft.fft calcule $X_{k}$ sans normalisation, ifft inclut le $1/ N$ . Les coefficients de Fourier normalisés sont donc $\frac{1}{N} ‘ f f t ‘ (x)$ . On adopte cette convention de signe (analyse en $e^{- 2 iπ k n / N}$ ) dans tout l'ouvrage.

Propriété : Propriétés de la TFD

La TFD est linéaire ; pour un signal réel elle est à symétrie hermitienne $X_{N - k} = X_{k}$ ; un retard circulaire $y_{n} = x_{n - k_{0}}$ donne $Y_{k} = e^{- 2 iπ k k_{0} / N} X_{k}$ , donc $∣ Y_{k} ∣ = ∣ X_{k} ∣$ ; la convolution circulaire devient un produit, $F (x ⋆ y) = F (x) F (y)$ ; et l'on a l'identité de Parseval discrète $\sum_{n} ∣ x_{n} ∣^{2} = \frac{1}{N} \sum_{k} ∣ X_{k} ∣^{2}$ .

iRemarqueFFT

Le calcul direct de la TFD coûte $O (N^{2})$ opérations. L'algorithme de la transformée de Fourier rapide (FFT, Cooley--Tukey, 1965) exploite la factorisation de $N$ pour le ramener à $O (N lo g N)$ — un gain décisif qui rend l'analyse spectrale praticable en temps réel.

5.2 Résolution fréquentielle

La TFD ne fournit que $N$ fréquences, espacées de

$Δ f = \frac{F _{e}}{N} = \frac{1}{N T _{e}} = \frac{1}{T _{obs}},$

où $T_{obs} = N T_{e}$ est la durée d'observation. La résolution fréquentielle ne dépend donc que de la durée d'observation : pour distinguer deux raies séparées de $δ f$ , il faut observer au moins $1/ δ f$ secondes.

Figure : Deux sinusoïdes à

100

105

Hz : confondues à

N = 128

(

Δ f = 7, 8

Hz), séparées à

N = 512

(

Δ f = 2

Hz).

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