Échantillonnage et numérisation

Cours · traitement du signal (école d'ingénieur), chapitre 4 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Pour traiter un signal sur ordinateur, deux opérations sont nécessaires : l'échantillonner (le connaître à des instants discrets) et le quantifier (coder chaque échantillon sur un nombre fini de bits). La première soulève la question de la réversibilité — peut-on reconstruire le signal continu ? —, à laquelle répond le théorème de Shannon ; la seconde introduit une erreur irréductible, le bruit de quantification, que l'on caractérise par un rapport signal/bruit. Ce chapitre traite ces deux étapes et le pont qu'elles forment entre le monde analogique et le monde numérique.

TP	Méthode	Notion clé validée
TP 4.1	`fft`, interpolation par sinus cardinal	Repliement, condition $F_{e} > 2 f_{m a x}$ , reconstruction
TP 4.2	Quantification, mesure du bruit	Loi $SNR \approx 6, 02 N + 1, 76$ dB

4.1 Le peigne de Dirac

L'échantillonnage idéal se modélise par la multiplication du signal avec un peigne de Dirac.

Définition 4.1Peigne de Dirac

$Ш_{T_{e}} (t) = n = - \infty \sum + \infty δ (t - n T_{e})$ , signal $T_{e}$ -périodique.

Ses coefficients de Fourier valent $c_{n} = \frac{1}{T _{e}} \int_{- T_{e} /2}^{T_{e} /2} δ (t) e^{- 2 iπ n t / T_{e}} d t = \frac{1}{T _{e}}$ , donc $Ш_{T_{e}} (t) = \frac{1}{T _{e}} \sum_{n} e^{2 iπ n t / T_{e}}$ . En transformant terme à terme (chapitre 3, $e^{2 iπ λ_{0} t} = δ (λ - λ_{0})$ ), on obtient la propriété fondamentale, avec $F_{e} = 1/ T_{e}$ :

$T_{e} Ш_{T_{e}} = Ш_{F_{e}}$

La transformée d'un peigne de pas $T_{e}$ est un peigne de pas $F_{e}$ .

4.2 Échantillonnage et périodisation du spectre

Définition 4.2Signal échantillonné

$x_{e} (t) = x (t) \cdot T_{e} Ш_{T_{e}} (t) = T_{e} n \sum x (n T_{e}) δ (t - n T_{e})$ .

Comme $x_{e}$ est un produit, sa transformée est une convolution. En utilisant $T_{e} Ш_{T_{e}} = Ш_{F_{e}}$ et $x^⋆ δ (\cdot - n F_{e}) = x^(\cdot - n F_{e})$ :

$x_{e} = x^⋆ Ш_{F_{e}} = n = - \infty \sum + \infty x^(λ - n F_{e}) .$

◆Théorème 4.3Périodisation du spectre

Échantillonner un signal à la fréquence $F_{e}$ périodise son spectre avec la période $F_{e}$ : $x_{e}$ est la somme des copies de $x^$ décalées des multiples de $F_{e}$ .

4.3 Théorème de Shannon

Si $x^$ est à support dans $[- f_{m a x}, f_{m a x}]$ , les copies translatées ne se recouvrent pas tant que la copie centrée en $F_{e}$ ne mord pas sur celle centrée en $0$ , soit $F_{e} - f_{m a x} > f_{m a x}$ .

Figure : Les copies du spectre ne se recouvrent pas si

F_{e} > 2 f_{m a x}

◆Théorème 4.4Shannon--Nyquist

Si $x$ est à bande limitée ( $x^(λ) = 0$ pour $∣ λ ∣ > f_{m a x}$ ) et si

$F_{e} > 2 f_{m a x},$

alors $x$ se reconstruit exactement à partir de ses échantillons par interpolation au sinus cardinal :

$x (t) = n = - \infty \sum + \infty x (n T_{e}) sinc (\frac{t - n T _{e}}{T _{e}}) .$

La fréquence $2 f_{m a x}$ est la fréquence de Nyquist.

Démonstration

Si $F_{e} > 2 f_{m a x}$ , les copies de $x^$ ne se chevauchent pas, et sur $[- F_{e} /2, F_{e} /2]$ on a $x_{e} = x^$ . On récupère donc $x^$ en multipliant $x_{e}$ par la porte $Π_{F_{e}}$ (filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure $F_{e} /2$ ) : $x^= Π_{F_{e}} \cdot x_{e}$ . En revenant au temps, le produit devient une convolution avec $F^{- 1} [Π_{F_{e}}] (t) = F_{e} sinc (F_{e} t)$ . Comme $x_{e} = \sum_{n} T_{e} x (n T_{e}) δ (\cdot - n T_{e})$ ,

$x = x_{e} ⋆ F_{e} sinc (F_{e} \cdot) = n \sum x (n T_{e}) sinc (\frac{t - n T _{e}}{T _{e}}),$

en utilisant $T_{e} F_{e} = 1$ .

Attention — Repliement spectral

Si $F_{e} \leq 2 f_{m a x}$ , les copies se recouvrent : les hautes fréquences se replient dans la bande de base et apparaissent comme de fausses basses fréquences (aliasing). La reconstruction est alors impossible. En pratique, on place un filtre passe-bas anti-repliement avant l'échantillonnage.

4.4 Exemple : repliement d'une sinusoïde

Soit $x (t) = cos (2 π f_{0} t)$ , $f_{0} = 5$ Hz, de spectre $\frac{1}{2} [δ (λ - 5) + δ (λ + 5)]$ . À $F_{e} = 6$ Hz (Nyquist $3 < 5$ ), la copie centrée en $- F_{e}$ ramène la raie $+ 5$ en $5 - 6 = - 1$ Hz : après filtrage, on reconstruit $cos (2 π t)$ , un $1$ Hz faux. À $F_{e} = 12$ Hz (Nyquist $6 > 5$ ), aucun recouvrement : le $5$ Hz est restitué (figure fig:alias).

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