Transformée de Fourier

Cours · traitement du signal (école d'ingénieur), chapitre 3 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les séries de Fourier décrivent les signaux périodiques par un spectre discret. Pour un signal quelconque — non périodique, à support fini ou infini — la transformée de Fourier généralise cette idée à un spectre continu : on passe d'une somme d'harmoniques à une intégrale. Ce chapitre définit la transformée dans $L^{1}$ puis $L^{2}$ , en établit le formulaire opérationnel, introduit le cadre des distributions indispensable pour traiter le Dirac et les signaux périodiques, et dégage deux résultats structurants : l'identité de Plancherel et la relation temps–fréquence.

TP	Méthode	Notion clé validée
TP 3.1	TF numérique par quadrature	Paires usuelles, gaussienne invariante
TP 3.2	Vérification de Plancherel et du décalage	$∥ f ∥_{2} = f^_{2}$ , module invariant par retard

3.1 De la série à l'intégrale de Fourier

Un signal $T$ -périodique a un spectre porté par les fréquences $n / T$ , espacées de $1/ T$ . Quand $T \to \infty$ , le signal cesse d'être périodique et l'espacement $1/ T$ tend vers zéro : les raies se densifient jusqu'à former un continuum. La somme $\sum_{n} c_{n} e^{2 iπ n t / T}$ devient une intégrale, et les coefficients $c_{n}$ une fonction continue de la fréquence — la transformée de Fourier.

Définition 3.1Transformée de Fourier dans

L^{1}

Pour $f \in L^{1} (R)$ , sa transformée de Fourier est

$f^(λ) = F [f] (λ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- 2 iπ λ t} d t .$

◆Théorème 3.2Riemann--Lebesgue

Si $f \in L^{1} (R)$ , alors $f^$ est continue, bornée par $∥ f ∥_{1}$ , et tend vers $0$ à l'infini.

◆Théorème 3.3Inversion

Si $f$ et $f^$ sont intégrables, $f$ se reconstruit par

$f (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f^(λ) e^{+ 2 iπ λ t} d λ .$

3.2 Propriétés opérationnelles

Méthode — Formulaire

$Lin e ˊ arit e ˊ D e ˊ calage temporel Modulation Changement d’ e ˊ chelle Conjugaison D e ˊ rivation Convolution Produit F [α f + β g] = α f^+ β g^g (t) = f (t - τ) g (t) = e^{2 iπ λ_{0} t} f (t) g (t) = f (α t) g = f g = f^{(k)} g = f_{1} ⋆ f_{2} g = f_{1} f_{2} g^(λ) = e^{- 2 iπ λ τ} f^(λ) g^(λ) = f^(λ - λ_{0}) g^(λ) = \frac{1}{∣ α ∣} f^(λ / α) g^(λ) = f^(- λ) g^(λ) = (2 iπ λ)^{k} f^(λ) g^= f^_{1} \cdot f^_{2} g^= f^_{1} ⋆ f^_{2}$

Les deux dernières lignes constituent le théorème de convolution, pilier du filtrage (chapitre 6) : convoluer dans le temps revient à multiplier dans le domaine fréquentiel. La propriété de décalage montre qu'un retard n'affecte que la phase du spectre, jamais son module.

Exemple 3.4Symétries

Si $f$ est réelle, $f^(- λ) = f^(λ)$ (symétrie hermitienne) ; si $f$ est réelle paire, $f^$ est réelle paire ; si $f$ est réelle impaire, $f^$ est imaginaire impaire.

3.3 Exemples fondamentaux

Exemple 3.5Porte et sinus cardinal

Pour la porte $Π_{1}$ de largeur $1$ ,

$Π^_{1} (λ) = \int_{- 1/2}^{1/2} e^{- 2 iπ λ t} d t = \frac{sin ( π λ )}{π λ} = sinc (λ) .$

Un signal à support borné a donc un spectre à support infini : on ne peut être à la fois limité en temps et en bande.

Exemple 3.6Exponentielle bilatérale

Pour $f (t) = e^{- a ∣ t ∣}$ ( $a > 0$ ), $f^(λ) = \frac{2 a}{a ^{2} + 4 π ^{2} λ ^{2}}$ (courbe lorentzienne).

Exemple 3.7Gaussienne, point fixe

La gaussienne $g (t) = e^{- π t^{2}}$ est invariante par transformation de Fourier : $g^(λ) = e^{- π λ^{2}}$ . C'est l'unique forme (à dilatation près) qui réalise l'égalité dans la relation d'incertitude ci-dessous.

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