Séries de Fourier

Cours · traitement du signal (école d'ingénieur), chapitre 2 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un signal périodique, aussi compliqué soit-il, se décompose en une somme de sinusoïdes : ses harmoniques. Cette idée — la série de Fourier — fonde toute l'analyse fréquentielle. Ce chapitre construit la décomposition comme une projection orthogonale, énonce ses conditions de convergence, introduit la notion de spectre, et examine deux phénomènes essentiels : le dépassement de Gibbs aux discontinuités et le lien entre régularité du signal et décroissance de ses coefficients.

TP	Méthode	Notion clé validée
TP 2.1	Sommes partielles, `numpy`	Convergence, dépassement de Gibbs ( $8, 95 %$ )
TP 2.2	Coefficients par intégration numérique	Spectre, Parseval, $\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6$

2.1 L'espace des signaux périodiques

On travaille dans l'espace des signaux $T$ -périodiques d'énergie finie sur une période,

$L^{2} (0, T) = {f : R \to C, T -p e ˊ riodique, \int_{0}^{T} ∣ f (t) ∣^{2} d t < \infty},$

muni du produit scalaire et de la norme associée

$⟨ f, g ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) g (t) d t, ∥ f ∥_{2}^{2} = ⟨ f, f ⟩ .$

Propriété : Base orthonormale

La famille des exponentielles $e_{n} (t) = e^{2 iπ n t / T}$ , $n \in Z$ , est orthonormale : $⟨ e_{m}, e_{n} ⟩ = δ_{mn}$ .

Démonstration

$⟨ e_{m}, e_{n} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{2 iπ (m - n) t / T} d t$ , qui vaut $1$ si $m = n$ et $0$ sinon (intégrale d'une exponentielle sur une période complète).

2.2 Coefficients et série de Fourier

Définition 2.1Coefficients de Fourier

Les coefficients de Fourier de $f \in L^{2} (0, T)$ sont les projections sur la base $(e_{n})$ :

$c_{n} (f) = ⟨ f, e_{n} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- 2 iπ n t / T} d t .$

La série de Fourier est $n = - \infty \sum + \infty c_{n} (f) e^{2 iπ n t / T}$ .

La somme partielle $f_{N} = \sum_{n = - N}^{N} c_{n} e_{n}$ est la meilleure approximation de $f$ dans le sous-espace engendré par $e_{- N}, \dots, e_{N}$ : c'est la projection orthogonale, celle qui minimise $∥ f - P ∥_{2}$ .

Propriété : Symétries

$c_{n}$ est linéaire en $f$ ; $c_{- n} = c_{n}$ si $f$ est réelle ; $c_{n}$ est réel si $f$ est paire, imaginaire pur si $f$ est impaire.

Forme réelle.

Pour un signal réel, en regroupant les termes conjugués $\pm n$ , on obtient la série en sinus et cosinus

$f (t) = a_{0} + n = 1 \sum + \infty [a_{n} cos (\frac{2 π n t}{T}) + b_{n} sin (\frac{2 π n t}{T})], a_{0} = c_{0}, a_{n} = 2ℜ c_{n}, b_{n} = - 2ℑ c_{n} .$

2.3 Convergence

Définition 2.2Conditions de Dirichlet

$f$ vérifie les conditions de Dirichlet sur une période si elle est bornée, possède un nombre fini de maxima/minima et un nombre fini de discontinuités, toutes de première espèce (sauts finis).

◆Théorème 2.3Convergences

Pour $f \in L^{2} (0, T)$ , la série converge en moyenne quadratique : $∥ f - f_{N} ∥_{2} \to 0$ . Si de plus $f$ vérifie les conditions de Dirichlet, elle converge ponctuellement vers la demi-somme des limites latérales,

$N \to \infty lim f_{N} (t_{0}) = \frac{f ( t _{0}^{+} ) + f ( t _{0}^{-} )}{2},$

égale à $f (t_{0})$ en tout point de continuité.

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