Logique séquentielle et stabilité

Les circuits étudiés au chapitre précédent — portes ET, OU, NON, NAND, NOR — sont combinatoires : leur sortie ne dépend, à chaque instant, que de la combinaison présente des entrées. Un tel circuit n'a pas de passé ; il recalcule tout à chaque instant et oublie aussitôt. Or l'informatique repose sur une capacité qui échappe à cette logique : se souvenir. Un registre, une mémoire, un compteur doivent conserver une information après que la cause qui l'a produite a disparu. C'est l'objet de la logique séquentielle, où la sortie dépend non seulement des entrées présentes, mais aussi de l'état du circuit, c'est-à-dire de son histoire.

Le mécanisme qui rend cette mémoire possible est la rétroaction : on reboucle une sortie sur une entrée. Cette boucle fait naître la notion de stabilité — un état peut se maintenir de lui-même (état stable) ou basculer spontanément (état instable) — et, selon la façon dont on la dose, elle engendre les trois briques fondamentales de l'électronique numérique : le bistable (deux états stables : la mémoire d'un bit), le monostable (une impulsion calibrée) et l'astable (aucun état stable : un oscillateur, une horloge). Ce chapitre les construit à partir des seules portes logiques, en s'appuyant systématiquement sur la lecture et le tracé de chronogrammes.

4.1 Du combinatoire au séquentiel

4.1.1 Notion d'état et de mémoire

Le contraste se lit sur un exemple. Une porte ET à deux entrées est combinatoire : si l'on connaît $a$ et $b$ à l'instant $t$, on connaît $s=a\cdot b$ sans rien savoir du passé. Un interrupteur d'escalier commandé par un bouton-poussoir est, lui, séquentiel : appuyer sur le bouton inverse l'état de la lampe ; la sortie (allumé / éteint) ne dépend pas seulement de l'appui présent, mais du nombre d'appuis antérieurs. La lampe se souvient.

4.1.2 Rétroaction et stabilité

Considérons l'exemple minimal : la sortie d'une porte NON (inverseur) rebouclée sur son entrée. Notons $x$ l'état commun entrée-sortie. La porte impose $x=\overline{x}$ : cette équation n'admet aucune solution logique stable. Le circuit ne peut se figer ni à $0$ ni à $1$ : il oscille. C'est le premier exemple d'instabilité par rétroaction.

Rebouclons au contraire la sortie d'un tampon (deux inverseurs en série, fonction identité) sur son entrée. L'équation devient $x=x$, satisfaite aussi bien par $x=0$ que par $x=1$ : le circuit possède deux états stables. Il mémorise.

4.2 La bascule RS

4.2.1 Construction à partir de deux portes NOR

La bascule RS (Reset-Set) est le bistable élémentaire. On la réalise en croisant deux portes NOR : la sortie de chacune alimente une entrée de l'autre. Les deux entrées libres sont $S$ (Set, mise à $1$) et $R$ (Reset, mise à $0$) ; les deux sorties, $Q$ et $\overline{Q}$, sont normalement complémentaires.

Rappelons la table de la porte NOR : $\text{NOR}(a,b)=\overline{a+b}$ vaut $1$ si et seulement si $a=b=0$. Analysons les quatre combinaisons de $(S,R)$.

• $S=0,R=0$ (maintien) : chaque NOR reçoit l'une des sorties. Si $Q=1$, la NOR du bas reçoit $R=0$ et $Q=1$, donc $\overline{Q}=0$ ; la NOR du haut reçoit $S=0$ et $\overline{Q}=0$, donc $Q=1$. L'état se reproduit : la bascule mémorise. L'état $Q=0$ se maintient de même.
• $S=1,R=0$ (écriture d'un 1) : la NOR du haut reçoit $S=1$, donc $Q=\text{NOR}(1,\overline{Q})=1$ quel que soit l'état antérieur. On force $Q=1$.
• $S=0,R=1$ (écriture d'un 0) : symétriquement, $R=1$ force $\overline{Q}=1$, donc $Q=0$.
• $S=1,R=1$ (interdit) : les deux NOR reçoivent un $1$, donc $Q=\overline{Q}=0$. Les deux sorties valent $0$ : elles ne sont plus complémentaires, ce qui viole la convention. Pire, si l'on ramène ensuite $S$ et $R$ à $0$ simultanément, l'état final est imprévisible (course critique). Cette combinaison est proscrite.

4.2.2 Variante à portes NAND

On réalise le même bistable avec deux portes NAND croisées ; les entrées actives sont alors actives à l'état bas. On parle de bascule $\overline{S}\overline{R}$ : l'écriture se commande par un $0$, le maintien correspond à $\overline{S}=\overline{R}=1$, et la combinaison interdite est $\overline{S}=\overline{R}=0$. Le tableau se déduit du précédent en complémentant les entrées.

4.2.3 Chronogramme de la bascule RS

Un chronogramme représente l'évolution temporelle des signaux logiques : chaque signal est un créneau qui ne prend que les niveaux $0$ (bas) et $1$ (haut), le temps s'écoulant vers la droite. C'est l'outil de lecture privilégié de la logique séquentielle. Voici la réponse d'une bascule RS (version NOR) à une séquence d'impulsions $S$ et $R$.

On lit : une impulsion sur $S$ fait passer $Q$ à $1$, qui reste à $1$ après la fin de l'impulsion (mémoire) ; une impulsion sur $R$ ramène $Q$ à $0$, qui y reste ; entre deux ordres, $Q$ conserve sa valeur. La bascule a bien mémorisé le dernier ordre reçu.

4.3 Bascule bistable et mémoire

4.3.1 Le bistable comme cellule de mémoire

La bascule RS est le bistable le plus simple. Ses deux états stables sont $(Q,\overline{Q})=(1,0)$ et $(0,1)$ ; la position mémoire $S=R=0$ les préserve tous deux, tandis que $S$ et $R$ permettent d'écrire l'un ou l'autre. Une mémoire de $n$ bits est simplement un banc de $n$ bistables adressés indépendamment : c'est le principe de la mémoire statique (SRAM), où chaque cellule est un bistable à quelques transistors qui conserve sa valeur tant que l'alimentation est maintenue.

4.4 Le circuit astable : générer une horloge

4.4.1 Principe : aucun état stable

Le prototype logique de l'astable est l'anneau d'un nombre impair d'inverseurs bouclés (ring oscillator). Avec un seul inverseur, on retrouve l'équation sans solution $x=\overline{x}$, qui ne peut être satisfaite à aucun instant : le circuit ne se fige jamais et oscille. Sa période est fixée par les temps de propagation.

En pratique, on n'utilise pas les seuls temps de propagation (trop brefs, quelques $ns$, donnant des centaines de $MHz$ peu réglables) : on ralentit délibérément l'oscillation par une constante de temps $RC$. C'est le rôle du montage astable à portes ou du célèbre circuit intégré temporisateur, dont la période est fixée par une résistance et un condensateur, $T\simeq kRC$.

4.5 Le circuit monostable : une impulsion calibrée

4.5.1 Principe : un seul état stable

Le monostable transforme un déclenchement quelconque — un bref pic, un front — en une impulsion propre de largeur maîtrisée. On l'emploie pour temporiser (activer une sortie pendant exactement $\tau$), pour mettre en forme un signal, ou pour produire un retard.

On observe la propriété caractéristique : la première et la seconde impulsion de déclenchement ont des durées différentes, mais les deux impulsions de sortie ont la même largeur $\tau$. Le monostable a calibré la durée.

4.6 Applications

4.6.1 Convertisseur fréquence-tension

Le monostable fournit une conversion élégante d'une fréquence en une tension. On l'attaque par le signal dont on veut mesurer la fréquence $f$ : à chaque front, il émet une impulsion calibrée de largeur $\tau$ et d'amplitude $V_0$ fixes. La sortie est donc un train d'impulsions identiques, dont seule la densité varie avec $f$.

4.6.2 Oscillateur et base de temps

L'astable est la source de tout séquencement. En divisant par $2$ sa fréquence à l'aide de bascules montées en compteur, on obtient une cascade d'horloges de périodes $T,2T,4T,\dots$ Un astable de $32768Hz$ (quartz d'horlogerie) divisé $15$ fois donne exactement une impulsion par seconde : c'est le cœur d'une montre à quartz. De même, l'horloge d'un microprocesseur est un astable stabilisé par quartz, distribuée à tous les registres pour synchroniser leurs basculements.

4.6.3 Mémoire

Enfin, la première application reste la plus fondamentale : le bistable est la mémoire. Chaque cellule d'une SRAM, chaque bit d'un registre, chaque étage d'un compteur repose sur un bistable qui conserve son état entre deux fronts d'horloge. Toute l'informatique — le stockage d'un programme, la persistance d'une donnée, l'état d'une machine — se ramène, in fine, à la capacité d'un bistable à se souvenir d'un bit tant qu'on ne lui ordonne pas d'en changer.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def nor(a, b):
    return 1 - (a | b)

# sequence temporelle des entrees S et R
S = [0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0]
R = [0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0]
Q, Qb = 0, 1          # etat initial
histQ = []
for s, r in zip(S, R):
    # deux iterations pour stabiliser la boucle croisee
    for _ in range(2):
        Q  = nor(r, Qb)
        Qb = nor(s, Q)
    histQ.append(Q)

t = np.arange(len(S))
plt.step(t, S,               where='post', label='S')
plt.step(t, np.array(R)+2,   where='post', label='R (+2)')
plt.step(t, np.array(histQ)+4, where='post', label='Q (+4)')
plt.xlabel('temps (pas)'); plt.yticks([]); plt.legend()
plt.title("Chronogramme d'une bascule RS"); plt.show()

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.7 Exercices résolus

4.8 Exercices d'entraînement

• Classer en combinatoire / séquentiel : multiplexeur, registre à décalage, comparateur, machine à états d'un ascenseur, additionneur complet.
• Écrire la table de vérité complète de la porte NOR à deux entrées, puis vérifier que $\text{NOR}(a,a)=\overline{a}$ (un NOR peut jouer le rôle d'un inverseur).
• Réaliser une bascule RS avec deux portes NAND croisées. Établir sa table de vérité en précisant l'état de maintien, les mises à $1$/$0$ et la combinaison interdite.
• Une bascule RS (NOR) part de $Q=0$. On applique la séquence $(S,R)$ : $(1,0),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$. Donner $Q$ après chaque étape et repérer l'étape problématique.
• Expliquer pourquoi un unique inverseur bouclé sur lui-même ne possède aucun état stable. Que devient le raisonnement avec deux inverseurs en série bouclés ?
• Un anneau de $7$ inverseurs de $t_p=2ns$ chacun oscille. Calculer $T$ et $f$.
• On veut une horloge à $500kHz$ par anneau d'inverseurs de $t_p=2ns$. Combien d'inverseurs (impair) faut-il, en principe ? Commenter la faisabilité.
• Décrire le chronogramme de sortie $Q$ d'une bascule RS (NOR) initialement à $1$, pour $R$ actif sur $[2,3]$ et $S$ actif sur $[5,6]$.
• Un monostable de largeur $\tau =10ms$ est déclenché par des impulsions espacées de $4ms$. Que se passe-t-il ? Le monostable est-il redéclenchable ou non ? Discuter les deux cas.
• Convertisseur f-V : $\tau =1ms$, $V_0=10V$. Décrire $⟨V⟩(f)$ pour $f$ de $0Hz$ à $2kHz$ et indiquer la zone linéaire.
• Un tachymètre utilise $2$ impulsions par tour. Le monostable a $\tau =0.5ms$, $V_0=5V$. Exprimer $⟨V⟩$ en fonction de la vitesse de rotation $n$ (en tours/s), puis calculer $⟨V⟩$ à $n=600tr/min$.
• Montre à quartz : le quartz oscille à $32768Hz$. Justifier ce choix « en puissance de $2$ » et donner le nombre de divisions par $2$ pour la trotteuse ($1Hz$).
• Un astable a un rapport cyclique différent de $1/2$ (temps haut $t_H$, temps bas $t_B$). Exprimer la période, la fréquence et le rapport cyclique $\alpha =t_H/T$. Application : $t_H=0.3ms$, $t_B=0.7ms$.
• Discuter le rôle des temps de propagation dans un bistable : pourquoi ne changent-ils pas ses états stables mais fixent-ils la vitesse de basculement ?