Signaux périodiques et filtrage linéaire

Cours complet · traitement du signal (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année)

L'électronique linéaire repose sur une idée d'une puissance redoutable : un signal, aussi complexe soit-il, pourvu qu'il soit périodique, se décompose en une somme de sinusoïdes. Cette décomposition — la série de Fourier — transforme l'étude d'un signal quelconque en l'étude d'un catalogue de sinusoïdes, son spectre. Or les circuits linéaires (résistances, bobines, condensateurs) traitent chaque sinusoïde de manière indépendante et prévisible, caractérisée par une unique fonction de transfert. Filtrer un signal, c'est donc modifier son spectre : atténuer certaines fréquences, en conserver d'autres. Ce chapitre articule ces deux volets — analyse spectrale et filtrage — puis les réunit dans une même question centrale du programme de MP : comment un filtre linéaire agit-il sur un signal périodique ?

On suppose acquises la notion d'impédance complexe et l'étude des circuits du premier et du second ordre menée en MPSI. L'objectif est ici de raisonner dans le domaine fréquentiel : penser un signal comme un spectre, un filtre comme un gabarit.

1.1 Signaux périodiques et décomposition spectrale

1.1.1 Valeur moyenne et valeur efficace

Définition 1.1Signal périodique

Un signal $s$ est périodique de période $T$ s'il existe $T > 0$ tel que $s (t + T) = s (t)$ pour tout $t$ . La plus petite valeur de $T$ est la période, $f = 1/ T$ la fréquence (en $H z$ ) et $ω = 2 π f = 2 π / T$ la pulsation (en $r a d / s$ ).

Définition 1.2Valeur moyenne et valeur efficace

La valeur moyenne (ou composante continue) d'un signal $T$ -périodique est

$⟨ s ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) d t .$

La valeur efficace (ou RMS, root mean square) est la racine de la moyenne du carré :

$S_{eff} = ⟨ s^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t)^{2} d t .$

La valeur efficace mesure l'énergie transportée par le signal : une tension de valeur efficace $S_{eff}$ dissipe dans une résistance $R$ la même puissance moyenne $S_{eff}^{2} / R$ qu'une tension continue de même valeur. Pour une sinusoïde $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ , on retrouve les résultats fondamentaux :

$⟨ s ⟩ = 0, S_{eff} = \frac{S _{m}}{2} .$

iRemarque

La valeur efficace « vraie » (True RMS) intègre le carré du signal réel. Un multimètre bon marché, lui, mesure souvent la valeur redressée moyenne calibrée pour une sinusoïde : il se trompe sur un signal non sinusoïdal (créneau, triangle). D'où l'intérêt des multimètres True RMS en électronique.

1.1.2 Série de Fourier d'un signal périodique

◆Théorème 1.3Décomposition en série de Fourier

Tout signal $s$ $T$ -périodique « physiquement raisonnable » (continu par morceaux) se décompose en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de $f = 1/ T$ :

$s (t) = a_{0} + n = 1 \sum + \infty [a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t)], ω = \frac{2 π}{T},$

avec les coefficients de Fourier

$a_{0} = ⟨ s ⟩, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) cos (nω t) d t, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t .$

De façon équivalente, en regroupant chaque couple $(a_{n}, b_{n})$ en une seule sinusoïde d'amplitude $c_{n}$ et de phase $φ_{n}$ :

$s (t) = c_{0} + n = 1 \sum + \infty c_{n} cos (nω t + φ_{n}), c_{0} = a_{0}, c_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}, tan φ_{n} = - \frac{b _{n}}{a _{n}} .$

Définition 1.4Fondamental, harmoniques

Le terme de rang $n = 1$ , de fréquence $f$ , est le fondamental. Le terme de rang $n \geq 2$ , de fréquence $n f$ , est l'harmonique de rang $n$ . Le terme $c_{0} = ⟨ s ⟩$ est la composante continue.

Important

Un signal périodique de fréquence $f$ ne contient que des fréquences multiples de $f$ . Réciproquement, tout ce qui apparaît dans le spectre d'un signal $T$ -périodique se situe aux fréquences $0, f, 2 f, 3 f, \dots$ Le spectre est donc discret (raies), à la différence du spectre continu d'un signal non périodique.

Proposition 1.5Parité et symétries

Les symétries du signal annulent la moitié des coefficients :

si $s$ est paire ( $s (- t) = s (t)$ ), alors tous les $b_{n} = 0$ (développement en cosinus) ;
si $s$ est impaire ( $s (- t) = - s (t)$ ), alors $a_{0} = 0$ et tous les $a_{n} = 0$ (développement en sinus) ;
si $s$ possède la symétrie de glissement $s (t + T /2) = - s (t)$ (dite alternance), alors seuls les harmoniques de rang impair sont présents ( $a_{2 p} = b_{2 p} = 0$ ).

Ces règles permettent souvent de prévoir la structure d'un spectre sans aucun calcul. Un créneau symétrique, par exemple, ne contient que des harmoniques impairs.

Proposition 1.6Formule de Parseval

La valeur efficace d'un signal se calcule à partir de son spectre : les énergies des harmoniques s'ajoutent (les termes croisés sont de moyenne nulle),

$S_{eff}^{2} = ⟨ s^{2} ⟩ = c_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{c _{n}^{2}}{2} = a_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{a _{n}^{2} + b _{n}^{2}}{2} .$

1.1.3 Spectre d'amplitude et de phase

Définition 1.7Spectre

Le spectre d'amplitude est le graphe des amplitudes $c_{n}$ en fonction de la fréquence $n f$ : c'est une suite de raies. Le spectre de phase donne les phases $φ_{n}$ . Amplitude et phase caractérisent entièrement le signal ; deux signaux de même spectre d'amplitude mais de phases différentes ont des allures temporelles distinctes.

La figure ci-dessous représente le spectre d'amplitude d'un signal en créneau symétrique d'amplitude $E$ , dont on montre plus loin que $c_{n} = \frac{4 E}{nπ}$ pour $n$ impair et $c_{n} = 0$ pour $n$ pair.

iRemarque

La décroissance des amplitudes renseigne sur la « douceur » du signal. Un créneau (discontinu) décroît en $1/ n$ ; un signal triangulaire (continu, à dérivée discontinue) décroît en $1/ n^{2}$ , plus vite. Plus un signal est régulier, plus son spectre est concentré sur les basses fréquences.

Exemple 1.8Spectre d'un signal en créneau

Calculer les coefficients de Fourier du créneau impair d'amplitude $E$ , valant $+ E$ sur $] 0, T /2 [$ et $- E$ sur $] T /2, T [$ .

Démonstration

Le signal est impair : $a_{0} = 0$ et $a_{n} = 0$ . Il possède de plus la symétrie d'alternance, donc seuls les rangs impairs subsistent. On calcule

$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t = \frac{2}{T} [\int_{0}^{T /2} E sin (nω t) d t - \int_{T /2}^{T} E sin (nω t) d t] .$

Avec $ω = 2 π / T$ , une primitive de $sin (nω t)$ est $- cos (nω t) / (nω)$ . Le calcul donne

$b_{n} = \frac{2 E}{nπ} [1 - cos (nπ)] = \frac{2 E}{nπ} [1 - (- 1)^{n}] = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4 E}{nπ} 0 n impair, n pair .$

Le signal s'écrit donc

$s (t) = \frac{4 E}{π} [sin (ω t) + \frac{1}{3} sin (3 ω t) + \frac{1}{5} sin (5 ω t) + \dots],$

en accord avec le spectre en $1/ n$ tracé ci-dessus. On vérifie Parseval : $\sum_{n impair} \frac{1}{2} (\frac{4 E}{nπ})^{2} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \sum_{p \geq 0} \frac{1}{( 2 p + 1 ) ^{2}} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{8} = E^{2} = S_{eff}^{2}$ , valeur exacte pour un créneau.

1.2 Filtrage linéaire : fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique

On considère un système linéaire (association de $R$ , $L$ , $C$ , éventuellement d'un ALI en régime linéaire) recevant en entrée une tension sinusoïdale $e (t) = E_{m} cos (ω t)$ et délivrant en sortie une tension $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ de même pulsation. On note $e$ et $s$ les grandeurs complexes associées.

Définition 1.9Fonction de transfert

La fonction de transfert (ou transmittance) du système est le rapport des amplitudes complexes de sortie et d'entrée :

$H (j ω) = \frac{s}{e} = H (ω) e^{j φ (ω)} .$

Son module $H (ω) = ∣ H ∣$ est le gain (rapport des amplitudes $S_{m} / E_{m}$ ), son argument $φ (ω)$ est le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée.

Important

La fonction de transfert n'a de sens que pour un système linéaire et en régime sinusoïdal forcé établi. Sa connaissance suffit à prévoir l'action du filtre sur n'importe quelle sinusoïde d'entrée : il suffit d'y remplacer $ω$ par la pulsation considérée.

1.2.2 Diagramme de Bode

Comme le gain et la fréquence couvrent plusieurs ordres de grandeur, on les représente en échelles logarithmiques.

Définition 1.10Gain en décibels, diagramme de Bode

Le gain en décibels est

$G_{dB} (ω) = 20 lo g_{10} H (ω) .$

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées en fonction de $lo g_{10} ω$ (ou de $lo g_{10} f$ ) :

le diagramme de gain : $G_{dB}$ en fonction de $lo g_{10} ω$ ;
le diagramme de phase : $φ$ en fonction de $lo g_{10} ω$ .

Méthode : Repères sur le diagramme de gain

Quelques valeurs à connaître :

$G_{dB} = 0 \Leftrightarrow H = 1$ (le signal passe sans modification d'amplitude) ;
$G_{dB} = - 3 dB \Leftrightarrow H = 1/ 2 \approx 0, 71$ : définit la pulsation de coupure $ω_{c}$ ;
une décade = facteur $10$ en fréquence ; une pente de $\pm 20 dB/d e ˊ cade$ correspond à $H \propto ω^{\pm 1}$ ;
$G_{dB} = - 20 dB \Leftrightarrow H = 0, 1$ ; $G_{dB} = - 40 dB \Leftrightarrow H = 0, 01$ .

Le tracé asymptotique consiste à remplacer $H$ par ses comportements aux basses et hautes fréquences (droites de pente multiple de $20 dB/d e ˊ cade$ ), puis à corriger de $- 3 dB$ à la coupure.

1.2.3 Filtre passe-bas du premier ordre

Le circuit $R C$ (sortie aux bornes du condensateur) réalise le passe-bas de référence. Avec $H = \frac{1/ j C ω}{R + 1/ j C ω}$ :

Définition 1.11Passe-bas du premier ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j \frac{ω}{ω _{c}}}, H (ω) = \frac{H _{0}}{1 + ( ω / ω _{c} ) ^{2}}, φ (ω) = - arctan (\frac{ω}{ω _{c}}),$

avec ici $H_{0} = 1$ et $ω_{c} = 1/ R C$ la pulsation de coupure à $- 3 dB$ .

Comportements asymptotiques :

$ω ≪ ω_{c} : H \to H_{0}, G_{dB} \to 0, φ \to 0; ω ≫ ω_{c} : H \approx \frac{H _{0} ω _{c}}{j ω}, G_{dB} \to - 20 lo g \frac{ω}{ω _{c}}, φ \to - \frac{π}{2} .$

Les basses fréquences passent, les hautes sont atténuées de $20 dB/d e ˊ cade$ .

Proposition 1.12Comportement intégrateur

À haute fréquence ( $ω ≫ ω_{c}$ ), le passe-bas se comporte en intégrateur :

$s \approx \frac{ω _{c}}{j ω} e ⟺ s (t) \approx ω_{c} \int e (t) d t = \frac{1}{R C} \int e (t) d t .$

La division par $j ω$ dans le domaine complexe correspond en effet à une intégration temporelle. Un passe-bas attaqué bien au-dessus de sa coupure intègre le signal : un créneau y devient un signal triangulaire.

1.2.4 Filtre passe-haut du premier ordre

Le circuit $C R$ (sortie aux bornes de la résistance) réalise le passe-haut :

Définition 1.13Passe-haut du premier ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0} j \frac{ω}{ω _{c}}}{1 + j \frac{ω}{ω _{c}}}, H (ω) = \frac{H _{0} ( ω / ω _{c} )}{1 + ( ω / ω _{c} ) ^{2}}, φ (ω) = \frac{π}{2} - arctan (\frac{ω}{ω _{c}}) .$

Les hautes fréquences passent ( $H \to H_{0}$ , $φ \to 0$ ), les basses sont atténuées de $20 dB/d e ˊ cade$ avec un déphasage $φ \to + π /2$ .

Proposition 1.14Comportement dérivateur

À basse fréquence ( $ω ≪ ω_{c}$ ), le passe-haut se comporte en dérivateur :

$s \approx \frac{j ω}{ω _{c}} e ⟺ s (t) \approx \frac{1}{ω _{c}} \frac{d e}{d t} = R C \frac{d e}{d t} .$

La multiplication par $j ω$ correspond à une dérivation temporelle. Un passe-haut attaqué bien au-dessous de sa coupure dérive le signal : un triangle y devient un créneau.

Attention

Intégrateur et dérivateur ne sont que des comportements asymptotiques et approchés. Le passe-bas n'intègre correctement que les composantes de fréquence $≫ f_{c}$ ; le passe-haut ne dérive que celles de fréquence $≪ f_{c}$ . Hors de ces limites, le filtre déforme sans intégrer ni dériver. En pratique on choisit $f_{c}$ en conséquence : intégrateur $\Rightarrow$ $f_{c}$ très basse ; dérivateur $\Rightarrow$ $f_{c}$ très haute.

1.2.5 Filtre passe-bande du second ordre

Le circuit $R L C$ série, tension prise aux bornes de la résistance, réalise un passe-bande. On l'écrit sous forme canonique.

Définition 1.15Passe-bande du second ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )}, ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{ω _{0} L}{R} .$

$ω_{0}$ est la pulsation de résonance (ou pulsation centrale), $Q$ le facteur de qualité et $H_{0}$ le gain maximal (ici $H_{0} = 1$ ).

Proposition 1.16Bande passante et facteur de qualité

Le gain est maximal en $ω = ω_{0}$ où $H = H_{0}$ (déphasage nul). Il chute de $- 3 dB$ aux deux pulsations de coupure $ω_{-}$ et $ω_{+}$ encadrant $ω_{0}$ . La bande passante $Δ ω = ω_{+} - ω_{-}$ vérifie

$Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}, soit Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{f _{0}}{Δ f} .$

Un facteur de qualité $Q$ élevé signifie une bande passante étroite : le filtre est sélectif.

1.3 Action d'un filtre sur un signal périodique

C'est le cœur du programme de MP : prévoir la forme du signal de sortie lorsqu'un filtre linéaire est attaqué par un signal périodique quelconque.

1.3.1 Principe : traiter chaque harmonique séparément

ImportantRéponse harmonique par harmonique

Un système linéaire obéit au principe de superposition. On décompose donc l'entrée en série de Fourier, on applique la fonction de transfert à chaque harmonique (chacun à sa propre pulsation $nω$ ), puis on recompose la sortie :

$e (t) = n \sum c_{n} cos (nω t + φ_{n}) ⟶ s (t) = n \sum H (nω) c_{n} cos (nω t + φ_{n} + ψ (nω)),$

où $H (nω)$ et $ψ (nω)$ sont le gain et le déphasage du filtre à la pulsation $nω$ .

Méthode : Prévoir l'effet d'un filtre sur un signal périodique

Déterminer le spectre de l'entrée (raies aux fréquences $n f$ , amplitudes $c_{n}$ ).
Tracer (ou évaluer) le gain $H (n f)$ du filtre à chacune de ces fréquences.
Multiplier chaque amplitude : $c_{n}^{sortie} = H (n f) c_{n}$ ; ajouter le déphasage.
Recomposer et interpréter : quelles raies subsistent ? Le signal de sortie est-il quasi sinusoïdal, intégré, dérivé, débarrassé de sa composante continue ?

Exemple 1.17Passe-bas sélecteur de fondamental

Un créneau symétrique de fréquence $f$ attaque un passe-bas de fréquence de coupure $f_{c}$ telle que $f < f_{c} < 3 f$ . Quelle est la forme du signal de sortie ?

Démonstration

Le créneau ne contient que les harmoniques impairs $f, 3 f, 5 f, \dots$ d'amplitudes $\frac{4 E}{π}, \frac{4 E}{3 π}, \dots$ Le fondamental à $f < f_{c}$ passe bien ; l'harmonique $3$ à $3 f > f_{c}$ est atténué, les suivants davantage. Attention toutefois à ne pas surestimer l'efficacité d'un premier ordre : pour $f_{c} = 1, 5 f$ par exemple, $H (f) \approx 0, 83$ et $H (3 f) \approx 0, 45$ , si bien que le rapport harmonique $3$ /fondamental en sortie vaut $\frac{0 , 45}{3 \times 0 , 83} \approx 0, 18$ (contre $1/3$ en entrée). La sortie est donc approximativement sinusoïdale de fréquence $f$ , d'amplitude proche de $\frac{4 E}{π} H (f)$ — le filtre favorise nettement le fondamental, sans livrer une sinusoïde pure. Une sélection rigoureuse exigerait un filtre d'ordre plus élevé, ou un passe-bande très sélectif centré sur $f$ .

1.3.2 Gabarit d'un filtre

Définition 1.18Gabarit

Un gabarit est le cahier des charges fréquentiel d'un filtre : il fixe, pour chaque bande de fréquences, le gain minimal exigé (bande passante) ou le gain maximal toléré (bande atténuée), ainsi que la largeur de la bande de transition. Concevoir un filtre, c'est choisir sa structure et ses composants pour que son diagramme de gain « tienne dans » le gabarit (vocabulaire complémentaire, absent du programme mais omniprésent en TP et en sujets).

Sur un signal périodique, le gabarit se lit directement sur le spectre : on superpose le spectre de raies de l'entrée et la courbe de gain du filtre. Les raies situées dans la bande passante sont conservées, celles de la bande atténuée sont supprimées. C'est cette lecture superposée — spectre du signal $\times$ gain du filtre — qui permet de prévoir le signal de sortie sans résoudre d'équation différentielle.

Exemple 1.19Suppression d'une composante continue

On souhaite éliminer la composante continue $c_{0}$ d'un signal périodique (par exemple pour « centrer » un signal avant amplification) sans déformer sa partie variable. Quel filtre choisir ?

Démonstration

La composante continue est la raie à $f = 0$ . Il faut donc un filtre de gain nul en $f = 0$ et de gain $\approx 1$ sur toutes les fréquences $n f$ ( $n \geq 1$ ) du signal : c'est un passe-haut de fréquence de coupure $f_{c} ≪ f$ . Alors $H (0) = 0$ supprime la raie continue, tandis que $H (n f) \approx 1$ (pour $n f ≫ f_{c}$ ) laisse passer le fondamental et les harmoniques quasiment intacts. Le signal de sortie est le signal d'entrée débarrassé de sa moyenne. C'est le rôle du condensateur de liaison en électronique.

1.4 Mise en œuvre numérique

Capacité numérique : Spectre par FFT et action d'un filtre

On calcule le spectre d'amplitude d'un signal en créneau par transformée de Fourier rapide (FFT), on lui applique numériquement un filtre passe-bas du premier ordre, puis on reconstruit le signal filtré. On visualise ainsi le lien entre atténuation des harmoniques et déformation temporelle.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Signal en creneau ---
f0 = 100.0                 # frequence fondamentale (Hz)
fe = 20000.0               # frequence d'echantillonnage (Hz)
N  = 2000                  # nombre d'echantillons
t  = np.arange(N) / fe
e  = np.sign(np.sin(2 * np.pi * f0 * t))   # creneau +/-1

# --- Spectre par FFT ---
E   = np.fft.rfft(e) / N * 2               # amplitudes complexes
frq = np.fft.rfftfreq(N, 1 / fe)           # axe des frequences

# --- Filtre passe-bas du 1er ordre applique dans le domaine spectral ---
fc = 250.0                                 # frequence de coupure (Hz)
H  = 1 / (1 + 1j * frq / fc)               # fonction de transfert
S  = E * H                                 # chaque harmonique multiplie par H
s  = np.fft.irfft(S / 2 * N, n=N)          # reconstruction du signal filtre

# --- Trace du spectre d'entree ---
plt.figure()
plt.stem(frq, np.abs(E), basefmt=" ")
plt.xlim(0, 1200); plt.xlabel("f (Hz)"); plt.ylabel("|c_n|")
plt.title("Spectre du creneau : raies impaires en 1/n")

# --- Trace temporel entree / sortie ---
plt.figure()
plt.plot(t * 1e3, e, label="entree (creneau)")
plt.plot(t * 1e3, s, label="sortie (passe-bas)")
plt.xlim(0, 30); plt.xlabel("t (ms)"); plt.legend()
plt.title("Filtrage passe-bas : le creneau s'arrondit")
plt.show()

Le spectre affiché confirme les raies impaires en $1/ n$ prévues par le calcul. Sur le tracé temporel, le créneau ressort arrondi : les fronts raides, riches en harmoniques élevés, ont été « lissés » car ces harmoniques ont été atténués. Plus on abaisse $f_{c}$ , plus la sortie se rapproche du seul fondamental sinusoïdal — illustration numérique directe de l'action d'un filtre sur le spectre.

Un signal $T$ -périodique se décompose en série de Fourier : composante continue $⟨ s ⟩$ , fondamental (fréquence $f$ ) et harmoniques (fréquences $n f$ ). Son spectre est discret (raies).
Valeur efficace : $S_{eff} = ⟨ s^{2} ⟩$ ; pour une sinusoïde $S_{eff} = S_{m} / 2$ . Parseval : $S_{eff}^{2} = c_{0}^{2} + \sum \frac{1}{2} c_{n}^{2}$ .
Symétries : un signal impair n'a que des sinus ; la symétrie d'alternance $s (t + T /2) = - s (t)$ ne laisse que les harmoniques impairs (cas du créneau).
Fonction de transfert $H (j ω) = s / e = H e^{j φ}$ : gain $H$ et déphasage $φ$ à chaque pulsation.
Bode : $G_{dB} = 20 lo g_{10} H$ ; coupure à $- 3 dB$ ( $H = 1/ 2$ ) ; pentes multiples de $\pm 20 dB/d e ˊ cade$ .
Premier ordre : passe-bas ( $ω_{c} = 1/ R C$ ) $\to$ intégrateur à HF ; passe-haut $\to$ dérivateur à BF.
Passe-bande d'ordre 2 : $ω_{0} = 1/ L C$ , facteur de qualité $Q$ , bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q$ ; sélectif si $Q$ grand.
Action sur un signal périodique (superposition) : chaque harmonique de rang $n$ est multiplié par $H (n f)$ et déphasé de $ψ (n f)$ . Filtrer = modifier le spectre selon un gabarit.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.5 Exercices résolus

Exemple 1.20Valeur efficace d'un signal composite

Un signal vaut $s (t) = 3 + 4 cos (ω t) + 2 cos (2 ω t + π /3)$ (en volts). Déterminer sa valeur moyenne et sa valeur efficace.

Démonstration

La valeur moyenne est la composante continue : $⟨ s ⟩ = 3 V$ . Par Parseval, les carrés des valeurs efficaces s'ajoutent :

$S_{eff}^{2} = 3^{2} + \frac{4 ^{2}}{2} + \frac{2 ^{2}}{2} = 9 + 8 + 2 = 19 V^{2}, S_{eff} = 19 \approx 4, 36 V .$

Les déphasages n'interviennent pas : seules comptent les amplitudes.

Exemple 1.21Coupure d'un passe-bas

R C

Un circuit $R C$ passe-bas a $R = 1, 0 k Ω$ et $C = 100 n F$ . Calculer la fréquence de coupure. Que vaut le gain en dB à $f = 16 k H z$  ?

Démonstration

$ω_{c} = 1/ R C = 1/ (1 0^{3} \times 1 0^{- 7}) = 1 0^{4} r a d / s$ , soit $f_{c} = ω_{c} /2 π \approx 1, 6 k H z$ . À $f = 16 k H z = 10 f_{c}$ , on est une décade au-dessus de la coupure : le gain suit l'asymptote HF, $G_{dB} \approx - 20 lo g_{10} (f / f_{c}) = - 20 lo g_{10} (10) = - 20 d B$ (soit $H \approx 0, 1$ ). Le déphasage y vaut $φ = - arctan (10) \approx - 84°$ , proche de $- 9 0^{\circ}$ .

Exemple 1.22Reconnaître un filtre à sa fonction de transfert

Identifier la nature du filtre $H (j ω) = \frac{j R C ω}{1 + j R C ω}$ et donner sa fréquence de coupure.

Démonstration

En basse fréquence ( $R C ω ≪ 1$ ), $H \approx j R C ω \to 0$ : les basses fréquences sont bloquées. En haute fréquence, $H \to 1$ : les hautes passent. C'est un passe-haut du premier ordre, de pulsation de coupure $ω_{c} = 1/ R C$ (là où le module vaut $1/ 2$ ). À basse fréquence il se comporte en dérivateur, $s \approx j R C ω e$ , soit $s \approx R C d e / d t$ .

Exemple 1.23Facteur de qualité d'un

R L C

Un passe-bande $R L C$ série a $L = 10 m H$ , $C = 10 n F$ et $R = 50 Ω$ . Calculer $f_{0}$ , $Q$ et la bande passante $Δ f$ .

Démonstration

$ω_{0} = 1/ L C = 1/ 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 8} = 1 0^{5} r a d / s$ , donc $f_{0} = ω_{0} /2 π \approx 15, 9 k H z$ . Le facteur de qualité vaut $Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{50} \frac{1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 8}} = \frac{1}{50} \times 1 0^{3} = 20$ . La bande passante est $Δ f = f_{0} / Q \approx 15, 9 \times 1 0^{3} /20 \approx 800 H z$ . Le filtre est sélectif : seules les fréquences dans un intervalle de $800 H z$ autour de $15, 9 k H z$ passent sans forte atténuation.

Exemple 1.24Intégrateur et forme de sortie

Un signal en créneau symétrique de fréquence $f = 1 k H z$ attaque un passe-bas $R C$ de fréquence de coupure $f_{c} = 50 H z$ . Décrire le signal de sortie.

Démonstration

Toutes les composantes utiles du créneau ( $f, 3 f, 5 f, \dots \geq 1 k H z$ ) sont très au-dessus de $f_{c} = 50 H z$ : le filtre travaille en régime intégrateur. Or l'intégrale d'un créneau est un signal triangulaire. La sortie est donc un signal triangulaire de fréquence $1 k H z$ , d'amplitude fortement réduite (chaque harmonique de rang $n$ est atténué d'un facteur $\approx f_{c} / (n f)$ , ce qui accentue la décroissance du spectre en $1/ n^{2}$ caractéristique du triangle). On retrouve le montage intégrateur classique.

Exemple 1.25Lecture d'un gabarit sur un spectre

Un signal contient les raies $f_{0} = 50 H z$ (secteur, parasite), $f_{1} = 1 k H z$ (utile) et $f_{2} = 20 k H z$ (bruit HF). Quel filtre isole la raie utile ?

Démonstration

Il faut atténuer $f_{0}$ (basse) et $f_{2}$ (haute) tout en conservant $f_{1}$ : c'est un passe-bande centré sur $f_{1} = 1 k H z$ . Pour rejeter efficacement $50 H z$ et $20 k H z$ tout en laissant passer $1 k H z$ , on choisit une bande passante englobant $1 k H z$ mais excluant les deux parasites, par exemple $Δ f \sim$ quelques centaines de Hz, soit $Q = f_{1} /Δ f$ de l'ordre de quelques unités à quelques dizaines. Sur le gabarit : gain $\approx 1$ à $1 k H z$ , gain faible (idéalement $< - 20 d B$ ) à $50 H z$ et $20 k H z$ .

Exemple 1.26Composition spectrale et allure temporelle

Deux signaux ont le même spectre d'amplitude (fondamental + harmonique 3, amplitudes $1$ et $1/3$ ) mais des phases relatives différentes. Ont-ils la même allure ?

Démonstration

Non. Le signal $sin (ω t) + \frac{1}{3} sin (3 ω t)$ (phases « en accord ») tend vers un créneau, tandis que $sin (ω t) - \frac{1}{3} sin (3 ω t)$ a une allure nettement différente (plus « pointue »). Le spectre d'amplitude ne suffit donc pas à caractériser un signal : la phase est essentielle. C'est pourquoi un filtre, en modifiant les phases relatives des harmoniques (déphasage $ψ (n f)$ ), déforme le signal même s'il conserve toutes les amplitudes.

1.6 Exercices d'entraînement

Valeur efficace d'un créneau. Un créneau symétrique varie entre $+ E$ et $- E$ . Montrer directement (sans série de Fourier) que sa valeur efficace vaut $E$ . Comparer à la valeur efficace de son seul fondamental.

Redressement. Un signal redressé double alternance vaut $∣ E sin (ω t) ∣$ . Sa période est-elle $T$ ou $T /2$  ? En déduire les fréquences présentes dans son spectre.

Coefficients d'un triangle. Pour un signal triangulaire impair, on admet $c_{n} = \frac{8 E}{π ^{2} n ^{2}}$ ( $n$ impair). Vérifier la décroissance en $1/ n^{2}$ et comparer la « pureté » spectrale à celle du créneau.

Gain en dB. Un filtre a un gain $H = 0, 25$ . Calculer $G_{dB}$ . Inversement, à quel gain $H$ correspond $- 6 d B$  ? Justifier la règle « $- 6 dB$ = division par $2$ ».

Passe-bas. Pour un passe-bas $R C$ de coupure $f_{c}$ , exprimer le gain $H (f)$ et le déphasage $φ (f)$ . Calculer $H$ et $φ$ pour $f = f_{c}$ , $f = f_{c} /10$ et $f = 10 f_{c}$ .

Tracé de Bode asymptotique. Tracer les diagrammes de gain et de phase asymptotiques d'un passe-haut du premier ordre de coupure $f_{c} = 1 k H z$ . Repérer la pente et la position du point à $- 3 dB$ .

Choix intégrateur/dérivateur. On dispose d'un $R C$ avec $R = 10 k Ω$ , $C = 10 n F$ . Pour un signal à $10 k H z$ , ce montage se comporte-t-il en intégrateur ou en dérivateur (selon la sortie choisie) ? Justifier par comparaison à $f_{c}$ .

Résonance $R L C$ . Un passe-bande a $f_{0} = 2 k H z$ et $Q = 10$ . Calculer la bande passante et les deux fréquences de coupure à $- 3 dB$ (on pourra utiliser $f_{\pm} \approx f_{0} \pm Δ f /2$ pour $Q$ grand).

Sélection d'harmonique. Un créneau de fréquence $500 H z$ attaque un passe-bande de facteur de qualité élevé centré sur $1500 H z$ . Quel harmonique récupère-t-on en sortie ? Quelle est son amplitude relative ?

Composante continue. Un capteur délivre $u (t) = 2 + 0, 1 cos (2 π 50 t)$ (V). On veut ne garder que la partie variable pour l'amplifier. Proposer un filtre et sa fréquence de coupure ; estimer l'atténuation subie par la composante utile.

Effet sur un spectre. Un signal a pour spectre les raies à $f$ , $2 f$ , $3 f$ d'amplitudes $10$ , $5$ , $2$ (mV), avec $f = 1 k H z$ . On le filtre par un passe-bas de coupure $f_{c} = 1, 5 k H z$ (premier ordre). Calculer l'amplitude de chaque raie en sortie et commenter la déformation.

Parseval et taux de distorsion. Le taux de distorsion harmonique d'un signal est $τ = \sum_{n \geq 2} c_{n}^{2} / c_{1}$ . Le calculer pour un créneau (harmoniques en $\frac{4 E}{nπ}$ , impairs) et interpréter : un créneau est-il « proche » d'une sinusoïde ?

Bande passante et rapidité. Expliquer qualitativement pourquoi un filtre passe-bas de fréquence de coupure trop basse « ralentit » la réponse d'un système : relier largeur du spectre transmis et temps de montée $τ \sim 1/ f_{c}$ .

Analyse numérique. À partir du script de la capacité numérique, proposer les modifications permettant de visualiser l'action d'un passe-haut sur un signal triangulaire, et prévoir la forme attendue de la sortie.

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