Signaux périodiques et filtrage linéaire

Cours · traitement du signal (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un signal créneau et la somme partielle de sa série de Fourier, qui l'approche.

L'électronique linéaire repose sur une idée d'une puissance redoutable : un signal, aussi complexe soit-il, pourvu qu'il soit périodique, se décompose en une somme de sinusoïdes. Cette décomposition — la série de Fourier — transforme l'étude d'un signal quelconque en l'étude d'un catalogue de sinusoïdes, son spectre. Or les circuits linéaires (résistances, bobines, condensateurs) traitent chaque sinusoïde de manière indépendante et prévisible, caractérisée par une unique fonction de transfert. Filtrer un signal, c'est donc modifier son spectre : atténuer certaines fréquences, en conserver d'autres. Ce chapitre articule ces deux volets — analyse spectrale et filtrage — puis les réunit dans une même question centrale du programme de MP : comment un filtre linéaire agit-il sur un signal périodique ?

On suppose acquises la notion d'impédance complexe et l'étude des circuits du premier et du second ordre menée en première année. L'objectif est ici de raisonner dans le domaine fréquentiel : penser un signal comme un spectre, un filtre comme un gabarit.

1.1 Signaux périodiques et décomposition spectrale

1.1.1 Valeur moyenne et valeur efficace

Définition 1.1Signal périodique

Un signal $s$ est périodique de période $T$ s'il existe $T > 0$ tel que $s (t + T) = s (t)$ pour tout $t$ . La plus petite valeur de $T$ est la période, $f = 1/ T$ la fréquence (en $H z$ ) et $ω = 2 π f = 2 π / T$ la pulsation (en $r a d / s$ ).

Définition 1.2Valeur moyenne et valeur efficace

La valeur moyenne (ou composante continue) d'un signal $T$ -périodique est

$⟨ s ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) d t .$

La valeur efficace (ou RMS, root mean square) est la racine de la moyenne du carré :

$S_{eff} = ⟨ s^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t)^{2} d t .$

La valeur efficace mesure l'énergie transportée par le signal : une tension de valeur efficace $S_{eff}$ dissipe dans une résistance $R$ la même puissance moyenne $S_{eff}^{2} / R$ qu'une tension continue de même valeur. Pour une sinusoïde $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ , on retrouve les résultats fondamentaux :

$⟨ s ⟩ = 0, S_{eff} = \frac{S _{m}}{2} .$

iRemarque

La valeur efficace « vraie » (True RMS) intègre le carré du signal réel. Un multimètre bon marché, lui, mesure souvent la valeur redressée moyenne calibrée pour une sinusoïde : il se trompe sur un signal non sinusoïdal (créneau, triangle). D'où l'intérêt des multimètres True RMS en électronique.

1.1.2 Série de Fourier d'un signal périodique

◆Théorème 1.3Décomposition en série de Fourier

Tout signal $s$ $T$ -périodique « physiquement raisonnable » (continu et de classe $C^{1}$ par morceaux) se décompose en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de $f = 1/ T$ :

$s (t) = a_{0} + n = 1 \sum + \infty [a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t)], ω = \frac{2 π}{T},$

avec les coefficients de Fourier

$a_{0} = ⟨ s ⟩, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) cos (nω t) d t, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t .$

De façon équivalente, en regroupant chaque couple $(a_{n}, b_{n})$ en une seule sinusoïde d'amplitude $c_{n}$ et de phase $φ_{n}$ :

$s (t) = c_{0} + n = 1 \sum + \infty c_{n} cos (nω t + φ_{n}),$

avec

$c_{0} = a_{0}, c_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}, c_{n} cos φ_{n} = a_{n}, c_{n} sin φ_{n} = - b_{n} .$

iRemarque

La relation $tan φ_{n} = - b_{n} / a_{n}$ ne fixe $φ_{n}$ qu'à $π$ près : c'est le signe de $a_{n} = c_{n} cos φ_{n}$ qui tranche. Aux instants où $s$ présente un saut, la série converge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite ; au voisinage du saut, les sommes partielles dépassent de $9 %$ de la hauteur du saut, quel que soit le nombre de termes gardés (phénomène de Gibbs).

Définition 1.4Fondamental, harmoniques

Le terme de rang $n = 1$ , de fréquence $f$ , est le fondamental. Le terme de rang $n \geq 2$ , de fréquence $n f$ , est l'harmonique de rang $n$ . Le terme $c_{0} = ⟨ s ⟩$ est la composante continue.

Important

Un signal périodique de fréquence $f$ ne contient que des fréquences multiples de $f$ . Réciproquement, tout ce qui apparaît dans le spectre d'un signal $T$ -périodique se situe aux fréquences $0, f, 2 f, 3 f, \dots$ Le spectre est donc discret (raies), à la différence du spectre continu d'un signal non périodique.

Proposition 1.5Parité et symétries

Les symétries du signal annulent la moitié des coefficients :

si $s$ est paire ( $s (- t) = s (t)$ ), alors tous les $b_{n} = 0$ (développement en cosinus) ;
si $s$ est impaire ( $s (- t) = - s (t)$ ), alors $a_{0} = 0$ et tous les $a_{n} = 0$ (développement en sinus) ;
si $s$ possède la symétrie de glissement $s (t + T /2) = - s (t)$ (dite alternance), alors seuls les harmoniques de rang impair sont présents ( $a_{2 p} = b_{2 p} = 0$ ).

Ces règles permettent souvent de prévoir la structure d'un spectre sans aucun calcul. Un créneau symétrique, par exemple, ne contient que des harmoniques impairs.

Proposition 1.6Formule de Parseval

La valeur efficace d'un signal se calcule à partir de son spectre : les énergies des harmoniques s'ajoutent (les termes croisés sont de moyenne nulle),

$S_{eff}^{2} = ⟨ s^{2} ⟩ = c_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{c _{n}^{2}}{2} = a_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{a _{n}^{2} + b _{n}^{2}}{2} .$

1.1.3 Spectre d'amplitude et de phase

Définition 1.7Spectre

Le spectre d'amplitude est le graphe des amplitudes $c_{n}$ en fonction de la fréquence $n f$ : c'est une suite de raies. Le spectre de phase donne les phases $φ_{n}$ . Amplitude et phase caractérisent entièrement le signal ; deux signaux de même spectre d'amplitude mais de phases différentes ont des allures temporelles distinctes.

La figure ci-dessous représente le spectre d'amplitude d'un signal en créneau symétrique d'amplitude $E$ , dont on montre plus loin que $c_{n} = \frac{4 E}{nπ}$ pour $n$ impair et $c_{n} = 0$ pour $n$ pair.

iRemarque

La décroissance des amplitudes renseigne sur la « douceur » du signal. Un créneau (discontinu) décroît en $1/ n$ ; un signal triangulaire (continu, à dérivée discontinue) décroît en $1/ n^{2}$ , plus vite. Plus un signal est régulier, plus son spectre est concentré sur les basses fréquences.

Exemple 1.8Spectre d'un signal en créneau

Calculer les coefficients de Fourier du créneau impair d'amplitude $E$ , valant $+ E$ sur $] 0, T /2 [$ et $- E$ sur $] T /2, T [$ .

Démonstration

Le signal est impair : $a_{0} = 0$ et $a_{n} = 0$ . Il possède de plus la symétrie d'alternance, donc seuls les rangs impairs subsistent. On calcule

$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t = \frac{2}{T} [\int_{0}^{T /2} E sin (nω t) d t - \int_{T /2}^{T} E sin (nω t) d t] .$

Avec $ω = 2 π / T$ , une primitive de $sin (nω t)$ est $- cos (nω t) / (nω)$ . Le calcul donne

$b_{n} = \frac{2 E}{nπ} [1 - cos (nπ)] = \frac{2 E}{nπ} [1 - (- 1)^{n}] = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4 E}{nπ} 0 n impair, n pair .$

Le signal s'écrit donc

$s (t) = \frac{4 E}{π} [sin (ω t) + \frac{1}{3} sin (3 ω t) + \frac{1}{5} sin (5 ω t) + \dots],$

en accord avec le spectre en $1/ n$ tracé ci-dessus. On vérifie Parseval : $\sum_{n impair} \frac{1}{2} (\frac{4 E}{nπ})^{2} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \sum_{p \geq 0} \frac{1}{( 2 p + 1 ) ^{2}} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{8} = E^{2} = S_{eff}^{2}$ , valeur exacte pour un créneau.

1.2 Filtrage linéaire : fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique

On considère un système linéaire (association de $R$ , $L$ , $C$ , éventuellement d'un ALI en régime linéaire) recevant en entrée une tension sinusoïdale $e (t) = E_{m} cos (ω t)$ et délivrant en sortie une tension $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ de même pulsation. On note $e$ et $s$ les grandeurs complexes associées.

Définition 1.9Fonction de transfert

La fonction de transfert (ou transmittance) du système est le rapport des amplitudes complexes de sortie et d'entrée :

$H (j ω) = \frac{s}{e} = H (ω) e^{j φ (ω)} .$

Son module $H (ω) = ∣ H ∣$ est le gain (rapport des amplitudes $S_{m} / E_{m}$ ), son argument $φ (ω)$ est le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée.

Important

La fonction de transfert n'a de sens que pour un système linéaire et en régime sinusoïdal forcé établi. Sa connaissance suffit à prévoir l'action du filtre sur n'importe quelle sinusoïde d'entrée : il suffit d'y remplacer $ω$ par la pulsation considérée.

1.2.2 Diagramme de Bode

Comme le gain et la fréquence couvrent plusieurs ordres de grandeur, on les représente en échelles logarithmiques.

Définition 1.10Gain en décibels, diagramme de Bode

Le gain en décibels est

$G_{dB} (ω) = 20 lo g_{10} H (ω) .$

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées en fonction de $lo g_{10} ω$ (ou de $lo g_{10} f$ ) :

le diagramme de gain : $G_{dB}$ en fonction de $lo g_{10} ω$ ;
le diagramme de phase : $φ$ en fonction de $lo g_{10} ω$ .

Méthode : Repères sur le diagramme de gain

Quelques valeurs à connaître :

$G_{dB} = 0 \Leftrightarrow H = 1$ (le signal passe sans modification d'amplitude) ;
$G_{dB} = - 3 dB \Leftrightarrow H = 1/ 2 \approx 0, 71$ : définit la pulsation de coupure $ω_{c}$ ;
une décade = facteur $10$ en fréquence ; une pente de $\pm 20 dB/d e ˊ cade$ correspond à $H \propto ω^{\pm 1}$ ;
$G_{dB} = - 20 dB \Leftrightarrow H = 0, 1$ ; $G_{dB} = - 40 dB \Leftrightarrow H = 0, 01$ .

Le tracé asymptotique consiste à remplacer $H$ par ses comportements aux basses et hautes fréquences (droites de pente multiple de $20 dB/d e ˊ cade$ ), puis à corriger de $- 3 dB$ à la coupure.

1.2.3 Filtre passe-bas du premier ordre

Le circuit $R C$ (sortie aux bornes du condensateur) réalise le passe-bas de référence. Avec $H = \frac{1/ j C ω}{R + 1/ j C ω}$ :

Définition 1.11Passe-bas du premier ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j \frac{ω}{ω _{c}}}, H (ω) = \frac{H _{0}}{1 + ( ω / ω _{c} ) ^{2}}, φ (ω) = - arctan (\frac{ω}{ω _{c}}),$

avec ici $H_{0} = 1$ et $ω_{c} = 1/ R C$ la pulsation de coupure à $- 3 dB$ .

Comportements asymptotiques :

$ω ≪ ω_{c} : H \to H_{0}, G_{dB} \to 0, φ \to 0; ω ≫ ω_{c} : H \approx \frac{H _{0} ω _{c}}{j ω}, G_{dB} \to - 20 lo g \frac{ω}{ω _{c}}, φ \to - \frac{π}{2} .$

Les basses fréquences passent, les hautes sont atténuées de $20 dB/d e ˊ cade$ .

Proposition 1.12Comportement intégrateur et moyenneur

Pour une composante sinusoïdale de haute fréquence ( $ω ≫ ω_{c}$ ), le passe-bas se comporte en intégrateur :

$s \approx \frac{H _{0} ω _{c}}{j ω} e .$

Soit alors $e$ un signal périodique de fréquence $f$ et de valeur moyenne $⟨ e ⟩$ . Si $f ≫ f_{c}$ — condition qui porte sur le fondamental, puisque toutes les autres raies $n f$ sont plus loin encore au-dessus de la coupure —, toutes les raies de rang $n \geq 1$ sont intégrées, tandis que la composante continue, qui n'est jamais « au-dessus » de la coupure, passe avec le gain $H (0) = H_{0}$ :

$s (t) \approx H_{0} ⟨ e ⟩ + H_{0} ω_{c} \int (e (t) - ⟨ e ⟩) d t,$

la primitive étant choisie de moyenne nulle (pour le circuit $R C$ , $H_{0} = 1$ et $ω_{c} = 1/ R C$ ). La division par $j ω$ correspond à une intégration temporelle : un passe-bas attaqué bien au-dessus de sa coupure intègre la partie variable du signal — un créneau y devient un triangle — et transmet exactement sa valeur moyenne.

iRemarqueLe moyenneur

On n'intègre jamais la composante continue : son intégrale serait une rampe sans fin, ce qu'aucun circuit passif ne produit. Comme les raies variables sont atténuées d'un facteur $\approx f_{c} / (n f)$ , la sortie d'un passe-bas de coupure $f_{c} ≪ f$ est la valeur moyenne $H_{0} ⟨ e ⟩$ , accompagnée d'une petite ondulation : le filtre est un moyenneur. C'est ainsi qu'une carte à microcontrôleur tire une tension continue réglable d'un signal à modulation de largeur d'impulsion.

1.2.4 Filtre passe-haut du premier ordre

Le circuit $C R$ (sortie aux bornes de la résistance) réalise le passe-haut :

Définition 1.13Passe-haut du premier ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0} j \frac{ω}{ω _{c}}}{1 + j \frac{ω}{ω _{c}}}, H (ω) = \frac{H _{0} ( ω / ω _{c} )}{1 + ( ω / ω _{c} ) ^{2}}, φ (ω) = \frac{π}{2} - arctan (\frac{ω}{ω _{c}}) .$

Les hautes fréquences passent ( $H \to H_{0}$ , $φ \to 0$ ), les basses sont atténuées de $20 dB/d e ˊ cade$ avec un déphasage $φ \to + π /2$ .

Proposition 1.14Comportement dérivateur

À basse fréquence ( $ω ≪ ω_{c}$ ), le passe-haut se comporte en dérivateur :

$s \approx \frac{j ω}{ω _{c}} e ⟺ s (t) \approx \frac{1}{ω _{c}} \frac{d e}{d t} = R C \frac{d e}{d t} .$

La multiplication par $j ω$ correspond à une dérivation temporelle. Un passe-haut attaqué bien au-dessous de sa coupure dérive le signal : un triangle y devient un créneau. La composante continue est ici cohérente avec la dérivation ( $H (0) = 0$ , et la dérivée d'une constante est nulle) ; mais, pour un signal périodique, la condition $n f ≪ f_{c}$ doit être remplie par toutes les raies utiles de la dérivée, jusqu'à la dernière.

Attention

Intégrateur et dérivateur ne sont que des comportements asymptotiques et approchés, et leurs conditions ne sont pas symétriques. Le passe-bas intègre la partie variable d'un signal périodique dès que son fondamental est bien au-dessus de la coupure ( $f ≫ f_{c}$ ) : les harmoniques sont plus haut encore. Le passe-haut ne dérive correctement que si la dernière raie utile est bien au-dessous de la coupure ( $n_{m a x} f ≪ f_{c}$ ). Or, pour un signal dont la dérivée présente des sauts (un triangle, dont la dérivée est un créneau), les raies de la dérivée ne décroissent qu'en $1/ n$ , et ce sont les rangs élevés qui font les fronts : il faut $f_{c}$ de l'ordre de $50 f$ pour des fronts nets à $1 %$ de la période près, au prix d'un signal de sortie très faible et d'un bruit à haute fréquence transmis sans atténuation. Hors de ces limites, le filtre déforme sans intégrer ni dériver.

1.2.5 Filtre passe-bas du second ordre

Le circuit $R L C$ série, tension prise aux bornes du condensateur, réalise un passe-bas d'ordre 2 : $H = \frac{1/ j C ω}{R + j L ω + 1/ j C ω} = \frac{1}{1 - L C ω ^{2} + j R C ω}$ . On l'écrit sous forme canonique.

Définition 1.15Passe-bas du second ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 - \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}} + \frac{j}{Q} \frac{ω}{ω _{0}}}, ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C},$

où $ω_{0}$ est la pulsation propre, $Q$ le facteur de qualité et $H_{0}$ le gain statique (ici $H_{0} = 1$ ).

Comportements : pour $ω ≪ ω_{0}$ , $H \to H_{0}$ et $φ \to 0$ ; pour $ω ≫ ω_{0}$ , $H \approx - H_{0} ω_{0}^{2} / ω^{2}$ : le gain décroît de $40 dB/d e ˊ cade$ et $φ \to - π$ ; en $ω = ω_{0}$ , $H = Q H_{0}$ et $φ = - π /2$ . Pour $Q > 1/ 2$ , le gain passe par un maximum supérieur à $H_{0}$ (résonance) ; pour $Q = 1/ 2$ , la courbe de gain est la plus plate possible sans dépasser $H_{0}$ . Deux fois plus raide que le premier ordre au-delà de la coupure, ce filtre sépare bien mieux un fondamental de ses harmoniques : les raies d'un créneau, en $1/ n$ à l'entrée, sortent en $1/ n^{3}$ quand toutes sont au-dessus de $ω_{0}$ .

1.2.6 Filtre passe-bande du second ordre

Le circuit $R L C$ série, tension prise aux bornes de la résistance, réalise un passe-bande. On l'écrit sous forme canonique.

Définition 1.16Passe-bande du second ordre

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )}, ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{ω _{0} L}{R} .$

$ω_{0}$ est la pulsation de résonance (ou pulsation centrale), $Q$ le facteur de qualité et $H_{0}$ le gain maximal (ici $H_{0} = 1$ ).

Proposition 1.17Bande passante et facteur de qualité

Le gain est maximal en $ω = ω_{0}$ où $H = H_{0}$ (déphasage nul). Il chute de $- 3 dB$ aux deux pulsations de coupure $ω_{-}$ et $ω_{+}$ encadrant $ω_{0}$ . La bande passante $Δ ω = ω_{+} - ω_{-}$ vérifie

$Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}, soit Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{f _{0}}{Δ f} .$

Un facteur de qualité $Q$ élevé signifie une bande passante étroite : le filtre est sélectif.

1.3 Action d'un filtre sur un signal périodique

C'est le cœur du programme de MP : prévoir la forme du signal de sortie lorsqu'un filtre linéaire est attaqué par un signal périodique quelconque.

1.3.1 Principe : traiter chaque harmonique séparément

ImportantRéponse harmonique par harmonique

Un système linéaire obéit au principe de superposition. On décompose donc l'entrée en série de Fourier, on applique la fonction de transfert à chaque harmonique (chacun à sa propre pulsation $nω$ ), puis on recompose la sortie :

$e (t) = n \sum c_{n} cos (nω t + φ_{n}) ⟶ s (t) = n \sum H (nω) c_{n} cos (nω t + φ_{n} + ψ (nω)),$

où $H (nω)$ et $ψ (nω)$ sont le gain et le déphasage du filtre à la pulsation $nω$ .

Méthode : Prévoir l'effet d'un filtre sur un signal périodique

Déterminer le spectre de l'entrée (raies aux fréquences $n f$ , amplitudes $c_{n}$ ).
Tracer (ou évaluer) le gain $H (n f)$ du filtre à chacune de ces fréquences.
Multiplier chaque amplitude : $c_{n}^{sortie} = H (n f) c_{n}$ ; ajouter le déphasage.
Recomposer et interpréter : quelles raies subsistent ? Le signal de sortie est-il quasi sinusoïdal, intégré, dérivé, débarrassé de sa composante continue ?

Exemple 1.18Passe-bas sélecteur de fondamental

Un créneau symétrique de fréquence $f$ attaque un passe-bas de fréquence de coupure $f_{c}$ telle que $f < f_{c} < 3 f$ . Quelle est la forme du signal de sortie ?

Démonstration

Le créneau ne contient que les harmoniques impairs $f, 3 f, 5 f, \dots$ d'amplitudes $\frac{4 E}{π}, \frac{4 E}{3 π}, \dots$ Le fondamental à $f < f_{c}$ passe bien ; l'harmonique $3$ à $3 f > f_{c}$ est atténué, les suivants davantage (figure ci-dessous, tracée pour $f_{c} = 1, 5 f$ ). Attention toutefois à ne pas surestimer l'efficacité d'un premier ordre : pour $f_{c} = 1, 5 f$ par exemple, $H (f) \approx 0, 83$ et $H (3 f) \approx 0, 45$ , si bien que le rapport harmonique $3$ /fondamental en sortie vaut $\frac{0 , 45}{3 \times 0 , 83} \approx 0, 18$ (contre $1/3$ en entrée). La sortie est donc approximativement sinusoïdale de fréquence $f$ , d'amplitude proche de $\frac{4 E}{π} H (f)$ — le filtre favorise nettement le fondamental, sans livrer une sinusoïde pure. Une sélection rigoureuse exigerait un filtre d'ordre plus élevé, ou un passe-bande très sélectif centré sur $f$ . Abaisser $f_{c}$ sous $f$ n'y mène pas : quand $f_{c} ≪ f$ , toutes les raies sont dans le régime intégrateur, atténuées d'un facteur $\approx f_{c} / (n f)$ , et la sortie tend vers un triangle (taux de distorsion plancher $π^{4} /96 - 1 \approx 12 %$ ) dont l'amplitude tend vers zéro. Un premier ordre ne sait pas isoler un fondamental.

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