Électronique numérique : échantillonnage et filtrage

La physique expérimentale contemporaine n'observe presque plus un signal analogique dans sa continuité : elle l'acquiert, le stocke et le traite sous forme d'une suite finie de nombres. Entre le capteur, qui délivre une tension continûment variable, et l'ordinateur, qui ne manipule que des entiers, s'interpose une chaîne d'acquisition numérique. Ce chapitre, à vocation uniquement expérimentale, en décrit les deux frontières — le convertisseur analogique-numérique (CAN) à l'entrée, le convertisseur numérique-analogique (CNA) à la sortie — et les deux opérations irréversibles qu'elles imposent : la quantification des amplitudes et l'échantillonnage du temps.

L'échantillonnage, opération apparemment anodine, obéit à une contrainte incontournable : la condition de Nyquist-Shannon. La violer fait surgir le redoutable repliement de spectre, où des fréquences trop élevées se déguisent en fréquences plus basses inexistantes. On montrera enfin qu'une fois le signal numérisé, un simple calcul récursif — une équation aux différences — reproduit l'action d'un filtre passe-bas analogique : c'est le filtrage numérique, dont la souplesse a fait la fortune du traitement du signal moderne.

Conformément au programme, ce thème prolonge l'étude des circuits linéaires de première année et se veut illustratif : le repliement est présenté qualitativement au moyen d'illustrations démonstratives, l'objectif étant de mettre en place la condition de Nyquist-Shannon afin de réaliser convenablement une acquisition numérique, c'est-à-dire de savoir choisir une fréquence d'échantillonnage et d'interpréter un spectre affiché par un oscilloscope numérique ou un logiciel d'acquisition.

2.1 La chaîne d'acquisition numérique

2.1.1 Vue d'ensemble

Numériser puis restituer un signal analogique met en jeu une succession d'étages, que l'on peut représenter comme une chaîne orientée du monde continu vers le monde discret, puis retour.

• le filtre anti-repliement (analogique) limite la bande du signal avant toute numérisation ;
• l'échantillonneur-bloqueur prélève et fige la valeur du signal aux instants $t_n=n{T}_e$ ;
• le CAN associe à chaque valeur bloquée un entier codé sur $N$ bits (quantification) ;
• le traitement numérique transforme la suite $x[n]$ en une suite $y[n]$ (ici, un filtrage) ;
• le CNA reconstruit un signal analogique par paliers, lissé par un filtre de reconstruction.

Deux discrétisations coexistent donc : celle du temps (échantillonnage) et celle de l'amplitude (quantification). Ce sont deux opérations distinctes, aux conséquences distinctes.

2.2 Conversion analogique-numérique et quantification

2.2.1 Le pas de quantification

Un CAN dispose d'une plage d'entrée (calibre) de largeur $\Delta V$ (par exemple $0$ à $5V$, ou $\pm 10V$) et code la tension sur $N$ bits, soit $2^N$ niveaux discrets, numérotés de $0$ à $2^N-1$. Il ne peut donc distinguer que des marches de tension régulièrement espacées.

2.2.2 Le bruit de quantification

L'arrondi commet une erreur $\epsilon =v_{\text{codeˊ}}-v$ bornée par $\pm q/2$. Si le signal balaie de nombreux niveaux, cette erreur se comporte comme un bruit aléatoire uniforme sur $[-q/2,q/2]$ (complément non exigible).

2.3 Échantillonnage d'un signal

2.3.1 Échantillonner : discrétiser le temps

L'échantillonnage est l'opération duale de la quantification : elle discrétise non l'amplitude mais le temps.

2.3.2 Modélisation par le peigne de Dirac (complément hors programme)

(Complément hors programme : le programme demande une présentation qualitative du repliement.) Pour comprendre l'effet spectral de l'échantillonnage, on modélise le prélèvement idéal comme la multiplication du signal par un peigne de Dirac de période $T_e$,

$$w_{T_e}(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (t-n{T}_e),s_e(t)=s(t)w_{T_e}(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}s(n{T}_e)\delta (t-n{T}_e).$$

La propriété décisive est que la transformée de Fourier d'un peigne de période $T_e$ est elle-même un peigne, de période $f_e=1/T_e$ dans le domaine des fréquences. Comme la multiplication temporelle se traduit par une convolution fréquentielle, le spectre du signal se trouve reproduit à l'identique autour de chaque multiple de $f_e$.

Tant que les motifs ne se chevauchent pas, la bande de base reste intacte et le signal analogique peut être reconstruit exactement par un filtre passe-bas idéal. Le chevauchement, lui, est catastrophique : c'est le repliement.

2.4 Le théorème de Nyquist-Shannon

2.4.1 La condition d'échantillonnage

Supposons le signal $s(t)$ à spectre borné : il ne contient aucune fréquence au-delà d'une fréquence maximale $f_{\max }$. Sans recourir au complément précédent, l'essentiel se voit sur une sinusoïde : comme $f_e{T}_e=1$, pour tout entier $n$,

$$\cos (2\pi (f_e-f)n{T}_e-\phi )=\cos (2\pi n-(2\pi fn{T}_e+\phi ))=\cos (2\pi fn{T}_e+\phi ):$$

les fréquences $f$ et $f_e-f$ donnent les mêmes échantillons. Pour que deux fréquences de la bande $[0,f_{\max }]$ ne se confondent jamais, il faut que $f_e-f_{\max }>f_{\max }$. Dans le langage du complément : le motif de base occupe $[-f_{\max },f_{\max }]$, le premier motif translaté $[f_e-f_{\max },f_e+f_{\max }]$, et ils ne se chevauchent pas si $f_e-f_{\max }>f_{\max }$.

2.4.2 Repliement de spectre (aliasing)

Lorsque la condition de Nyquist n'est pas respectée, $f_e<2f_{\max }$, les motifs spectraux se chevauchent : les hautes fréquences de la bande de base sont polluées par les basses fréquences du motif translaté. C'est le repliement de spectre (ou aliasing).

Concrètement, une composante de fréquence $f_0>f_e/2$ apparaît, après échantillonnage, sous une fréquence apparente $f_a$ repliée dans la bande $[0,f_e/2]$.

2.4.3 Le filtre anti-repliement

2.5 Reconstruction et conversion numérique-analogique

2.5.1 Le CNA et le blocage d'ordre zéro

Restituer un signal analogique à partir de la suite $y[n]$ est le rôle du CNA. Le convertisseur le plus simple maintient chaque valeur constante pendant une période $T_e$ : c'est le blocage d'ordre zéro, qui produit un signal en escalier.

L'escalier contient, outre la bande de base utile, les images spectrales autour de $f_e,2f_e,\dots$. Un filtre de reconstruction passe-bas, qui laisse passer la bande utile et atténue la première image (en $f_e-f_{\max }$), lisse l'escalier et supprime ces images, restituant le signal analogique.

2.6 Filtrage numérique

2.6.1 L'équation aux différences

Une fois le signal sous forme de suite $x[n]$, un traitement numérique le transforme en une suite $y[n]$. Le plus utile en CPGE est le filtre récursif du premier ordre, où chaque sortie combine l'entrée courante et la sortie précédente.

2.6.2 Analogie avec le passe-bas RC

Le choix $b=1-a$ (avec $0<a<1$) donne un filtre passe-bas dont le comportement reproduit celui du circuit $RC$. Établissons le lien.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fe = 2000.0                # frequence d'echantillonnage (Hz)
duree = 0.1                # duree du signal (s)
t = np.arange(0, duree, 1.0 / fe)

# Signal utile a 20 Hz + parasite haute frequence a 400 Hz + bruit
x = np.sin(2*np.pi*20*t) + 0.6*np.sin(2*np.pi*400*t)
x += 0.2*np.random.randn(len(t))

# --- Filtre recursif du premier ordre (passe-bas) ---
fc = 40.0                          # frequence de coupure visee (Hz)
a = 1.0 / (1.0 + 2*np.pi*fc/fe)    # coefficient de memoire
y = np.zeros_like(x)
for n in range(1, len(x)):
    y[n] = a*y[n-1] + (1-a)*x[n]   # equation aux differences

print("coefficient a = %.4f" % a)

# --- Spectres avant / apres (rfft, signal reel) ---
f  = np.fft.rfftfreq(len(t), d=1.0/fe)
Sx = np.abs(np.fft.rfft(x)) / len(t)
Sy = np.abs(np.fft.rfft(y)) / len(t)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6))
ax1.plot(t, x, color="0.6", label="entree bruitee")
ax1.plot(t, y, color="green", lw=2, label="sortie filtree")
ax1.set_xlabel("temps (s)"); ax1.legend()
ax2.plot(f, Sx, color="0.6", label="spectre entree")
ax2.plot(f, Sy, color="green", lw=2, label="spectre sortie")
ax2.set_xlim(0, 500); ax2.set_xlabel("frequence (Hz)"); ax2.legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

2.7 Synthèse du chapitre