Projections

Cours · Vision 3D (école d'ingénieur), chapitre 4 · école d'ingénieur, informatique · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un écran est plat. Pour montrer un objet à trois dimensions, il faut en fabriquer une image à deux dimensions : c'est le rôle d'une projection. Le dessinateur industriel en utilise deux sortes. Les projections orthogonales donnent les vues de face, de dessus et de côté d'une pièce, où les longueurs se mesurent à la règle ; la projection perspective donne ce que voit un œil ou un appareil photo, où les objets lointains paraissent plus petits et où les parallèles se rejoignent à l'horizon.

La première est linéaire, et s'écrit avec les matrices du chapitre 2. La seconde ne l'est pas — elle divise par la profondeur — mais elle le devient en coordonnées homogènes : c'est la véritable raison d'être du chapitre 3. Trois gestes : écrire la matrice d'une projection ; placer l'objet devant l'observateur avant de projeter ; normaliser après la projection perspective, pour revenir à des coordonnées lisibles.

Repère historique

Brunelleschi démontre vers 1415, à Florence, les lois de la perspective avec un miroir et un panneau peint du baptistère ; Alberti les met en équations géométriques en 1435 dans son De pictura, et Dürer les enseigne aux peintres avec ses machines à dessiner (1525). La géométrie descriptive de Gaspard Monge (1795), qui représente une pièce par deux projections orthogonales, a été la langue du dessin industriel pendant deux siècles ; les logiciels de CAO affichent encore aujourd'hui ses vues de face, de dessus et de côté, à côté d'une vue en perspective.

4.1 Projections

Définition — Projection

Une application linéaire $p : R^{n} \to R^{n}$ est une projection si $p \circ p = p$ , c'est-à-dire, pour sa matrice $P$ , si $P^{2} = P$ .

Projeter deux fois revient à projeter une fois : un point déjà sur l'écran n'en bouge plus. L'ensemble des images $p (u)$ est l'image de la projection, l'espace « sur » lequel on projette ; on perd une ou plusieurs dimensions.

Définition — Projection orthogonale sur un plan de coordonnées

La projection orthogonale sur le plan $O x y$ de $R^{3}$ annule la coordonnée $z$ :

$P_{x y} = 100010000, P_{x y} x y z = x y 0 .$

On définit de même $P_{x z}$ (qui annule $y$ ) et $P_{y z}$ (qui annule $x$ ).

Elle mérite son nom : $P_{x y}^{2} = P_{x y}$ (annuler deux fois $z$ , c'est l'annuler une fois), et le segment qui joint un point $u$ à son projeté, $u - P_{x y} u = (0, 0, z)$ , est orthogonal à tout vecteur $(a, b, 0)$ du plan : on projette selon la direction perpendiculaire au plan.

iRemarque

En coordonnées homogènes, la projection sur $O x y$ s'écrit $diag (1, 1, 0, 1)$ : elle annule $z$ et garde la coordonnée homogène égale à $1$ . Le vecteur obtenu a toujours quatre coordonnées, mais tous les points images sont dans un plan : la projection fait baisser la dimension de l'ensemble des points, non celle des vecteurs qui les représentent.

Propriété

Pour tout réel $c$ , $P_{x y} T_{(0, 0, c)} = P_{x y}$ en coordonnées homogènes : en projection orthogonale sur $O x y$ , éloigner ou rapprocher un objet le long de l'axe $O z$ ne change pas son image.

Démonstration

$T_{(0, 0, c)}$ envoie $(x, y, z, 1)$ sur $(x, y, z + c, 1)$ , que $P_{x y}$ envoie sur $(x, y, 0, 1)$ : le résultat ne dépend pas de $c$ .

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