Coordonnées homogènes et transformations affines

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Déplacer un objet sans le tourner ni le déformer — une translation — est le plus simple des mouvements. C'est pourtant le seul que les matrices du chapitre précédent ne savent pas faire : une translation déplace l'origine, et une application linéaire ne le peut pas. Or un programme de dessin enchaîne sans cesse rotations, agrandissements et déplacements, et voudrait les traiter tous de la même façon, par des produits de matrices.

L'astuce consiste à ajouter une coordonnée. Un point de l'espace, au lieu d'être noté $(x, y, z)$ , est noté $(x, y, z, 1)$ ; dans cet espace à quatre dimensions, la translation devient linéaire. Ce sont les coordonnées homogènes, l'outil de base de toute la synthèse d'images. Trois gestes : passer en coordonnées homogènes et en revenir ; écrire la matrice $4 \times 4$ d'une translation, d'une rotation, d'une homothétie ; enchaîner ces transformations dans le bon ordre.

Repère historique

Les coordonnées homogènes sont introduites par Möbius en 1827, dans son Calcul barycentrique, et par Plücker la même année, pour traiter les points à l'infini de la géométrie projective — ceux où se rejoignent les parallèles d'un dessin en perspective. Elles entrent en informatique avec Lawrence Roberts, qui les utilise en 1963 au MIT pour reconstruire des objets en trois dimensions à partir de photographies ; depuis, toutes les cartes graphiques travaillent en coordonnées homogènes.

3.1 Les transformations affines

Définition — Translation, transformation affine

La translation de vecteur $a \in R^{n}$ est l'application $t_{a} : u \mapsto u + a$ . Une transformation affine de $R^{n}$ est une application de la forme

$u ⟼ M u + a,$

où $M$ est une matrice $n \times n$ (sa partie linéaire) et $a$ un vecteur de $R^{n}$ .

Une application linéaire est affine ( $a = 0$ ), une translation aussi ( $M = I_{n}$ ). Pour $a \neq = 0$ , la translation n'est pas linéaire, puisque $t_{a} (0) = a \neq = 0$ : aucune matrice $n \times n$ ne la représente.

Propriété

La composée de deux transformations affines est affine : si $f (u) = M_{1} u + a_{1}$ et $g (u) = M_{2} u + a_{2}$ , alors

$g \circ f (u) = M_{2} M_{1} u + (M_{2} a_{1} + a_{2}) .$

Démonstration

$g (f (u)) = M_{2} (M_{1} u + a_{1}) + a_{2} = M_{2} M_{1} u + M_{2} a_{1} + a_{2}$ , par linéarité de $u \mapsto M_{2} u$ .

Le vecteur de translation de la composée, $M_{2} a_{1} + a_{2}$ , n'est pas la somme $a_{1} + a_{2}$ : la seconde transformation agit aussi sur le déplacement opéré par la première. C'est la source de bien des surprises (section 3.4).

3.2 Coordonnées homogènes

Définition — Coordonnées homogènes d'un point

Au point $u = (x, y, z)$ de $R^{3}$ , on associe le vecteur de $R^{4}$

$u^= (x, y, z, 1) .$

Plus généralement, tout vecteur $(X, Y, Z, W)$ de $R^{4}$ avec $W \neq = 0$ est un système de coordonnées homogènes du point

$(\frac{X}{W}, \frac{Y}{W}, \frac{Z}{W}) .$

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