Applications linéaires et matrices

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Faire tourner un objet, l'agrandir, le refléter dans un miroir : chacune de ces transformations envoie chaque vecteur sur un autre vecteur, et toutes ont la même propriété remarquable — elles respectent les combinaisons linéaires. Ce sont des applications linéaires. Pour un programme, leur intérêt est immense : une telle transformation est entièrement décrite par un petit tableau de nombres, sa matrice, et l'appliquer à un vecteur se réduit à quelques produits scalaires.

Ce chapitre construit ce dictionnaire. Trois gestes : écrire la matrice d'une transformation en calculant les images des vecteurs de la base canonique ; appliquer une matrice à un vecteur ; enchaîner deux transformations en multipliant leurs matrices — dans le bon ordre.

Repère historique

Le mot « matrice » est de Sylvester (1850) ; c'est Cayley qui, en 1858, en fait des objets qu'on additionne et qu'on multiplie, et remarque que ce produit n'est pas commutatif. La règle « ligne par colonne » vient de la composition des changements de variables linéaires, étudiés par Gauss et Eisenstein dans la première moitié du siècle. Les cartes graphiques d'aujourd'hui sont, pour l'essentiel, des machines à multiplier des matrices $4 \times 4$ par des vecteurs, des milliards de fois par seconde.

2.1 Applications linéaires

Définition — Application linéaire

Une application $f : R^{n} \to R^{m}$ est linéaire si, pour tous $u, v \in R^{n}$ et tout réel $λ$ ,

$f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λ u) = λ f (u) .$

Propriété

Si $f$ est linéaire :

$f (0) = 0$ ;
$f (λ_{1} u^{(1)} + \dots + λ_{p} u^{(p)}) = λ_{1} f (u^{(1)}) + \dots + λ_{p} f (u^{(p)})$ pour toute combinaison linéaire.

Démonstration

$f (0) = f (0 \cdot 0) = 0 \cdot f (0) = 0$ . 2. Par récurrence sur $p$ , en appliquant les deux règles de la définition.

Exemple 2.1Linéaire ou non

$f (x, y) = (2 x - y, x + 3 y)$ est linéaire : chaque coordonnée de l'image est une combinaison linéaire de $x$ et $y$ , sans constante.
La translation $t (x, y) = (x + 1, y)$ n'est pas linéaire : $t (0, 0) = (1, 0) \neq = 0$ . C'est la raison d'être du chapitre 3.
$g (x, y) = (x y, x)$ n'est pas linéaire : $g (2, 2) = (4, 2)$ alors que $2 g (1, 1) = (2, 2)$ .

Le point 1 de la propriété 2.1 donne un test rapide : une application qui ne fixe pas l'origine n'est pas linéaire. La réciproque est fausse, comme le montre $g$ .

2.2 La matrice d'une application linéaire

D'après l'égalité (1.1) du chapitre 1, tout $u \in R^{n}$ s'écrit $u = u_{1} e_{1} + \dots + u_{n} e_{n}$ . Si $f$ est linéaire, la propriété 2.1 donne

$f (u) = u_{1} f (e_{1}) + u_{2} f (e_{2}) + \dots + u_{n} f (e_{n}) .$

À retenir

Une application linéaire est entièrement déterminée par les images $f (e_{1}), \dots, f (e_{n})$ des vecteurs de la base canonique : connaître ces $n$ vecteurs, c'est connaître $f$ .

Définition — Matrice, matrice d'une application linéaire

Une matrice de taille $m \times n$ est un tableau de réels à $m$ lignes et $n$ colonnes ; on note $a_{ij}$ son coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ :

$A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} .$

La matrice de l'application linéaire $f : R^{n} \to R^{m}$ est la matrice $m \times n$ dont la colonne $j$ est le vecteur $f (e_{j})$ :

$M_{f} = (f (e_{1}) f (e_{2}) \dots f (e_{n})) .$

Attention — Le sens des dimensions

Une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes représente une application de $R^{n}$ vers $R^{m}$ : elle « mange » des vecteurs à $n$ coordonnées (autant que de colonnes) et rend des vecteurs à $m$ coordonnées (autant que de lignes). Le nombre de colonnes est la dimension de départ.

Définition — Produit d'une matrice par un vecteur

Soient $A$ une matrice $m \times n$ et $u \in R^{n}$ . Le produit $A u$ est le vecteur de $R^{m}$ dont la coordonnée $i$ est

$(A u)_{i} = a_{i 1} u_{1} + a_{i 2} u_{2} + \dots + a_{in} u_{n} = j = 1 \sum n a_{ij} u_{j} .$

Deux lectures de cette formule, toutes deux utiles en programmation :

par lignes : la coordonnée $i$ de $A u$ est le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ (vue comme un vecteur de $R^{n}$ ) avec $u$ ;
par colonnes : $A u = u_{1} C_{1} + u_{2} C_{2} + \dots + u_{n} C_{n}$ , où $C_{j}$ est la colonne $j$ de $A$ .

◆Théorème 2.2

Si $f : R^{n} \to R^{m}$ est linéaire, alors pour tout $u \in R^{n}$ ,

$f (u) = M_{f} u .$

Réciproquement, pour toute matrice $A$ de taille $m \times n$ , l'application $u \mapsto A u$ est linéaire, et sa matrice est $A$ .

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