Vecteurs de ℝⁿ

Descartes publie en 1637 La Géométrie, où un point du plan est repéré par deux nombres : la géométrie devient calcul. Il faut attendre Grassmann (1844) pour qu'on calcule avec des listes de longueur quelconque, et Cayley (1858) pour les matrices. Le produit scalaire et le produit vectoriel sous leur forme actuelle viennent de Gibbs et de Heaviside, vers 1880. Le dessin par ordinateur reprend tout cela un siècle plus tard : le premier logiciel de dessin interactif, Sketchpad d'Ivan Sutherland (1963), stocke déjà ses figures sous forme de coordonnées.

Soit $n\ge 1$ un entier. ${\mathbb{R}}^n$ est l'ensemble des listes $u=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$ de $n$ nombres réels, appelées vecteurs ; les réels $u_1,\dots ,u_n$ sont les coordonnées de $u$ et $n$ est la dimension. Pour $u,v\in {\mathbb{R}}^n$ et un réel $\lambda$ (un scalaire), on pose

$$u+v=(u_1+v_1,\dots ,u_n+v_n),\lambda u=(\lambda u_1,\dots ,\lambda u_n).$$

Le vecteur nul est $0=(0,\dots ,0)$ ; l'opposé de $u$ est $-u=(-1)u$, et $u-v=u+(-v)$.

La somme $u+v$ n'a de sens que si $u$ et $v$ ont la même dimension : $(1,2)+(1,2,3)$ n'est pas défini. Il en ira de même du produit scalaire et de toutes les opérations qui combinent deux vecteurs. Un programme doit vérifier cette condition avant de calculer.

Pour tous $u,v,w\in {\mathbb{R}}^n$ et tous réels $\lambda ,\mu$ :

• $u+v=v+u$ et $(u+v)+w=u+(v+w)$ ;
• $u+0=u$ et $u+(-u)=0$ ;
• $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$,   $(\lambda +\mu )u=\lambda u+\mu u$, $\lambda (\mu u)=(\lambda \mu )u$,   $1u=u$.

Chaque égalité se vérifie coordonnée par coordonnée, où elle se réduit à une règle du calcul sur les réels. Par exemple, la $i$^e coordonnée de $\lambda (u+v)$ est $\lambda (u_i+v_i)=\lambda u_i+\lambda v_i$, qui est celle de $\lambda u+\lambda v$.

La norme (euclidienne) de $u\in {\mathbb{R}}^n$ est le réel positif

$$\Vert u\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots +u_n^2}.$$

Un vecteur de norme $1$ est dit unitaire. La distance entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées $a$ et $b$ est $AB=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\Vert b-a\Vert$.

Pour tous $u,v\in {\mathbb{R}}^n$ et tout réel $\lambda$ :

• $\Vert u\Vert =0$ si et seulement si $u=0$ ;
• $\Vert \lambda u\Vert =\left|\lambda \right|\Vert u\Vert$ ;
• $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$   (inégalité triangulaire).

1. Une somme de carrés de réels est nulle si et seulement si chaque carré l'est. 2. ${\Vert \lambda u\Vert }^2=\sum (\lambda u_i{)}^2={\lambda }^2{\Vert u\Vert }^2$, et $\sqrt{{\lambda }^2}=\left|\lambda \right|$. 3. Sera démontré à la section 1.3, comme conséquence de l'inégalité de Cauchy--Schwarz.

Si $u\ne 0$, le vecteur $\frac{u}{\Vert u\Vert }=\frac{1}{\Vert u\Vert }u$ est unitaire et de même sens que $u$ : c'est le normalisé de $u$.