La série harmonique : une conjecture trompeuse

Listes et suites numériques · Seuils, limites et suites célèbres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La série harmonique : une conjecture trompeuse. On pose $H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Générer par ajouts successifs la liste $[H_{0}, H_{1}, \dots, H_{100}]$ (avec $H_{0} = 0$ ). Donner $H_{10}$ , $H_{100}$ et l'écart $H_{100} - H_{99}$ . Que pourrait-on être tenté de conjecturer ?
Écrire une fonction seuil_harmonique(A) renvoyant le premier $n$ tel que $H_{n} > A$ . Que valent seuil_harmonique(5) et seuil_harmonique(10) ?
On admet que $\frac{1}{k} \geq \frac{1}{2 m}$ pour $m < k \leq 2 m$ . En déduire que $H_{2 m} - H_{m} \geq \frac{1}{2}$ , puis que $(H_{n})$ dépasse n'importe quel nombre.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.