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Listes et suites numériques

Cours · algorithmique et programmation (première), chapitre 3 · première, algorithmique et programmation · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un tri : des valeurs en désordre rangées en barres croissantes, élément par élément.

Une suite numérique est une liste infinie ; une liste Python en capture les premiers termes. Ce chapitre met les listes au service du chapitre « Suites » du manuel de mathématiques : générer les termes, les représenter, les sommer, conjecturer la nature ou la limite d'une suite.

3.1 La liste des termes d'une suite

Les deux modes de définition d'une suite correspondent exactement à deux modes de génération de listes :

ImportantSuite explicite compréhension ; suite récurrente ajouts successifs

# Suite EXPLICITE u_n = f(n) : une compréhension suffit
U = [n**2 / (n + 1) for n in range(20)]

# Suite RÉCURRENTE u_{n+1} = f(u_n) : ajouts successifs obligatoires
# (chaque terme dépend du précédent)
V = [5]                       # premier terme
for i in range(19):
    V.append(0.8 * V[-1] + 4) # V[-1] : le dernier terme calculé
iRemarque

Pour une suite récurrente, V[-1] (le dernier élément) joue le rôle de dans la relation : la liste mémorise tout l'historique, là où le chapitre 1 ne gardait que le terme courant dans une variable. Disposer de la liste complète permet ensuite d'observer, tracer, sommer.

Méthode : Fonction renvoyant la liste des termes

Encapsuler la génération dans une fonction paramétrée par le nombre de termes :


def termes(n):
    # Les n premiers termes de u_{k+1} = 0.8 u_k + 4, u_0 = 5
    L = [5]
    for i in range(n - 1):
        L.append(0.8 * L[-1] + 4)
    return L

print(termes(6))   # [5, 8.0, 10.4, 12.32, 13.856, 15.0848]

3.2 Représenter graphiquement une suite

Exemple 3.1Nuage de points avec matplotlib

Une suite se représente par les points isolés — jamais reliés :


import matplotlib.pyplot as plt

U = termes(25)
plt.plot(range(len(U)), U, "o")   # "o" : points non reliés
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("u_n")
plt.grid()
plt.show()

Le graphique suggère que les termes montent vers : une conjecture de limite, à vérifier par le calcul du point fixe , soit .

Exercices du chapitre

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