On considère la suite définie par et (suite logistique)

Listes et suites numériques · Suites imprévisibles · niveau 3 (difficile)

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On considère la suite définie par $u_{0} = 0, 2$ et $u_{n + 1} = 4 u_{n} (1 - u_{n})$ (suite logistique).

Générer ses $20$ premiers termes. La suite semble-t-elle converger ?
Reprendre avec $u_{0} = 0, 2000001$ . Comparer les deux listes au rang $19$ : que constate-t-on ?

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def logistique(u0, n):
    L = [u0]
    for i in range(n - 1):
        L.append(4 * L[-1] * (1 - L[-1]))
    return L

A = logistique(0.2, 20)
B = logistique(0.2000001, 20)
print(A[19], B[19])    # 0.7121... et 0.7695... : l'écart vaut déjà 0.057 !

1. Les termes sautent dans $[0; 1]$ sans jamais se stabiliser : pas de limite apparente.
2. Une perturbation de $1 0^{- 7}$ sur $u_{0}$ est multipliée par plus de $500000$ en $19$ étapes ( $0, 057$ d'écart), et les trajectoires deviennent vite sans rapport ( $0, 967$ contre $0, 579$ au rang $22$ ) : c'est la sensibilité aux conditions initiales, signature du chaos — et la raison pour laquelle la météo à long terme est imprévisible.

On considère la suite définie par et (suite logistique)

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