Ce que la convergence simple ne garantit pas — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Ce que la convergence simple ne garantit pas

Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue · niveau 2

Énoncé

Sur $[0, + \infty [$ , on pose $f_{n} (x) = n^{2} x e^{- n x}$ et $g_{n} (x) = \frac{1}{n} e^{- x / n}$ .

Déterminer les limites simples de $(f_{n})$ et de $(g_{n})$ , et calculer $\int_{0}^{+ \infty} f_{n}$ et $\int_{0}^{+ \infty} g_{n}$ .
Vérifier sur ces deux suites l'inégalité de Fatou. Est-elle stricte ?
Montrer que $sup_{n} f_{n} (x) \geq \frac{e ^{- 2}}{x}$ pour $x \in] 0, 1]$ . Que dire de la domination ?
Montrer que $(g_{n})$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, + \infty [$ . Pourquoi cela ne suffit-il pas ?

$f_{n} (0) = 0$ , et pour $x > 0$ , $n^{2} x e^{- n x} \to 0$ (croissances comparées) : $f_{n} \to 0$ en tout point. De même $g_{n} \to 0$ en tout point. Par intégration par parties (ou avec $u = n x$ ), $\int_{0}^{+ \infty} n^{2} x e^{- n x} d x = \int_{0}^{+ \infty} u e^{- u} d u = 1$ , et $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{n} e^{- x / n} d x = 1$ .
Pour les deux suites, $\int lim inf_{n} = \int 0 = 0 \leq lim inf_{n} \int = 1$ : l'inégalité de Fatou est stricte.
Soit $x \in] 0, 1]$ . L'intervalle $[\frac{1}{x}, \frac{2}{x}]$ est de longueur $\frac{1}{x} \geq 1$ : il contient un entier $n$ . Pour lui, $t = n x \in [1, 2]$ et $f_{n} (x) = n \cdot t e^{- t} \geq \frac{1}{x} \cdot 2 e^{- 2} \geq \frac{e ^{- 2}}{x}$ (la fonction $t e^{- t}$ vaut au moins $2 e^{- 2}$ sur $[1, 2]$ ). Toute fonction $g$ qui majore tous les $f_{n}$ vérifie donc $g (x) \geq \frac{e ^{- 2}}{x}$ sur $] 0, 1]$ et n'est pas intégrable : la suite n'est pas dominée (la masse se concentre en $0$ ).
$sup_{x} ∣ g_{n} (x) ∣ = \frac{1}{n} \to 0$ : la convergence est uniforme. Mais l'intervalle est de mesure infinie : la masse $1$ s'étale sur une longueur de l'ordre de $n$ . Une dominante devrait vérifier, pour $x \geq 1$ et $n = ⌈ x ⌉$ , $g (x) \geq g_{n} (x) \geq \frac{e ^{- 1}}{x + 1}$ , qui n'est pas intégrable sur $[1, + \infty [$ .