Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 1 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La flèche d'une poutre s'écrit comme une série de modes propres ; l'énergie d'un signal comme l'intégrale du carré de son spectre ; la température d'un mur comme une intégrale qui dépend du temps. Pour exploiter ces formules, l'ingénieur doit sans cesse échanger des opérations : la limite et l'intégrale, la série et l'intégrale, la dérivée et l'intégrale, deux intégrales entre elles. Ces échanges sont souvent légitimes, mais pas toujours, et une erreur ici ne se voit pas : le calcul aboutit, le résultat est faux.

L'intégrale de Riemann, apprise en classe préparatoire, répond mal à ces questions : ses théorèmes d'interversion demandent la convergence uniforme sur un segment, hypothèse trop forte en pratique, et elle ne s'applique même pas à des fonctions aussi simples que la limite d'une suite croissante de fonctions en escalier. L'intégrale de Lebesgue, construite à partir d'une notion de mesure des ensembles, donne trois théorèmes simples à énoncer et faciles à vérifier : la convergence monotone, la convergence dominée et le théorème de Fubini. Ce chapitre les établit ; tout le reste du livre s'en sert.

Repère historique

Riemann définit en 1854 l'intégrale qui porte son nom en découpant l'axe des abscisses. Henri Lebesgue, dans sa thèse Intégrale, longueur, aire (1902), renverse le point de vue : il découpe l'axe des valeurs et mesure l'ensemble des points où la fonction prend des valeurs voisines. Il comparait la méthode de Riemann à celle d'un commerçant qui additionne les pièces dans l'ordre où elles arrivent, et la sienne à celle qui trie d'abord les pièces par valeur, compte chaque tas, puis additionne. Émile Borel avait introduit en 1898 les ensembles qui portent son nom ; Beppo Levi (1906) et Pierre Fatou (1906) établissent les théorèmes de passage à la limite, Guido Fubini (1907) et Leonida Tonelli (1909) ceux des intégrales multiples.

1.1 Pourquoi une nouvelle intégrale

1.1.1 Trois questions d'interversion

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions qui converge en tout point vers $f$ . A-t-on

$n \to + \infty lim \int f_{n} = \int n \to + \infty lim f_{n} ?$

La réponse est non en général, même pour des fonctions très régulières.

Exemple 1.1Une masse qui se concentre

Sur $] 0, 1]$ , posons $f_{n} = n 1_{] 0, 1/ n]}$ : $f_{n}$ vaut $n$ sur $] 0, 1/ n]$ et $0$ ailleurs. Pour tout $x \in] 0, 1]$ , $f_{n} (x) = 0$ dès que $n > 1/ x$ : la suite converge en tout point vers $0$ . Pourtant $\int_{0}^{1} f_{n} = n \times \frac{1}{n} = 1$ pour tout $n$ . La limite des intégrales vaut $1$ , l'intégrale de la limite vaut $0$ .

La masse de $f_{n}$ ne disparaît pas : elle se concentre près de $0$ , dans une région de plus en plus étroite, que la convergence point par point ne voit pas. On rencontre les mêmes difficultés avec une série de fonctions ( $\int \sum$ contre $\sum \int$ ), avec une intégrale qui dépend d'un paramètre (dériver sous le signe $\int$ ), avec une intégrale double (intégrer d'abord en $x$ ou d'abord en $y$ ). Il nous faut des critères simples qui garantissent l'échange.

1.1.2 Les limites de l'intégrale de Riemann

Exemple 1.2L'indicatrice des rationnels

Numérotons les rationnels de $[0, 1]$ : $r_{1}, r_{2}, \dots$ (ils forment un ensemble dénombrable). La fonction $f_{n} = 1_{{r_{1}, \dots, r_{n}}}$ est nulle sauf en $n$ points : elle est intégrable au sens de Riemann, d'intégrale nulle. La suite $(f_{n})$ est croissante et converge en tout point vers $f = 1_{Q \cap [0, 1]}$ . Or $f$ n'est pas intégrable au sens de Riemann : sur tout intervalle, elle prend la valeur $0$ et la valeur $1$ , si bien que toute somme de Darboux inférieure vaut $0$ et toute somme supérieure vaut $1$ .

Une limite croissante de fonctions d'intégrale nulle, bornées par $1$ , qui n'a pas d'intégrale : c'est un défaut de l'intégrale elle-même, pas de la fonction. Avec l'intégrale de Lebesgue, $f$ aura une intégrale, égale à $0$ , et le théorème de convergence monotone le dira sans calcul.

1.1.3 L'idée de Lebesgue

Riemann découpe l'intervalle de départ en petits intervalles et approche l'aire sous la courbe par des rectangles verticaux. Lebesgue découpe l'axe des valeurs en tranches $[y_{k}, y_{k + 1} [$ et, pour chaque tranche, mesure l'ensemble ${x : f (x) \geq y_{k}}$ des points où la fonction dépasse le niveau $y_{k}$ . La figure ci-dessous montre les deux découpages pour une même fonction : à gauche les rectangles de Riemann, à droite les bandes horizontales de Lebesgue, dont la largeur est la longueur de l'ensemble ${f \geq y_{k}}$ .

Pour que cette méthode ait un sens, il faut savoir « mesurer » des ensembles bien plus compliqués que des intervalles : l'ensemble ${x : f (x) \geq y}$ peut être une réunion infinie d'intervalles, ou un ensemble comme $Q \cap [0, 1]$ . C'est l'objet de la théorie de la mesure.

1.2 Tribus et mesures

1.2.1 Tribus

On ne peut pas, en général, attribuer une « longueur » raisonnable à toutes les parties de $R$ (il existe des parties pathologiques, construites avec l'axiome du choix). On se restreint donc à une famille de parties assez riche pour contenir tout ce dont on a besoin, et stable par les opérations dénombrables.

Définition — Tribu, espace mesurable

Soit $Ω$ un ensemble. Une tribu (ou $σ$ -algèbre) sur $Ω$ est une famille $A$ de parties de $Ω$ telle que :

$Ω \in A$ ;
si $A \in A$ , son complémentaire $A^{c} = Ω ∖ A$ est dans $A$ ;
si $(A_{n})_{n \in N}$ est une suite d'éléments de $A$ , leur réunion $⋃_{n} A_{n}$ est dans $A$ .

Le couple $(Ω, A)$ est un espace mesurable ; les éléments de $A$ sont les parties mesurables.

Proposition 1.3Stabilité

Une tribu contient $\emptyset$ et est stable par intersection dénombrable, par réunion et intersection finies, et par différence $A ∖ B$ .

Démonstration

$\emptyset = Ω^{c} \in A$ . Si $A_{n} \in A$ , alors $⋂_{n} A_{n} = (⋃_{n} A_{n}^{c})^{c} \in A$ . Une réunion finie $A_{1} \cup \dots \cup A_{k}$ s'obtient en complétant la suite par $A_{n} = \emptyset$ pour $n > k$ . Enfin $A ∖ B = A \cap B^{c}$ .

Exemple 1.4Quelques tribus

$P (Ω)$ , l'ensemble de toutes les parties de $Ω$ , est une tribu (la plus grande) ; ${\emptyset, Ω}$ en est une (la plus petite).
Si $A \subset Ω$ , la famille ${\emptyset, A, A^{c}, Ω}$ est une tribu : c'est la plus petite tribu qui contient $A$ .
Une intersection quelconque de tribus est une tribu. Si $C$ est une famille de parties, l'intersection de toutes les tribus qui contiennent $C$ est donc la plus petite tribu contenant $C$ : on l'appelle la tribu engendrée par $C$ et on la note $σ (C)$ .

Définition — Tribu borélienne

La tribu borélienne de $R$ , notée $B (R)$ , est la tribu engendrée par les ouverts de $R$ . Ses éléments sont les boréliens. On définit de même $B (R^{d})$ et $B (R_{+})$ .

La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles $] a, b [$ , ou par les intervalles $] a, + \infty [$ , $a \in R$ : tout ouvert de $R$ est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Elle contient donc tous les intervalles, les points (fermés), les ensembles dénombrables (réunions dénombrables de points), et tout ce qu'on peut construire à partir d'eux par complémentaires, réunions et intersections dénombrables. En pratique, tous les ensembles que l'ingénieur rencontre sont boréliens.

1.2.2 Mesures

Définition — Mesure, espace mesuré

Une mesure sur l'espace mesurable $(Ω, A)$ est une application $μ : A \to [0, + \infty]$ telle que :

$μ (\emptyset) = 0$ ;
( $σ$ -additivité) pour toute suite $(A_{n})$ d'éléments de $A$ deux à deux disjoints,

$μ (n \in N ⋃ A_{n}) = n = 0 \sum + \infty μ (A_{n}) .$

Le triplet $(Ω, A, μ)$ est un espace mesuré. La mesure est finie si $μ (Ω) < + \infty$ ; elle est $σ$ -finie si $Ω$ est une réunion dénombrable de parties $Ω_{k} \in A$ de mesure finie.

La somme de la série est prise dans $[0, + \infty]$ : elle vaut $+ \infty$ si l'un des termes est infini ou si la série diverge.

Exemple 1.5Mesure de comptage, mesure de Dirac

Sur $(N, P (N))$ , la mesure de comptage associe à $A$ son nombre d'éléments : $μ (A) = card A$ si $A$ est fini, $+ \infty$ sinon. Elle est $σ$ -finie ( $N = ⋃_{k} {k}$ ) mais pas finie. Elle transformera les séries en intégrales.
Soit $a \in Ω$ . La mesure de Dirac en $a$ est définie par $δ_{a} (A) = 1$ si $a \in A$ , $0$ sinon. Elle modélise une masse ponctuelle unité placée en $a$ (charge concentrée sur une poutre, impulsion d'un signal).

La mesure dont nous avons besoin pour calculer des intégrales usuelles est celle qui généralise la longueur. Son existence est un théorème profond que nous admettons.

◆Théorème 1.6Mesure de Lebesgue — admis

Il existe une unique mesure $λ$ sur $(R, B (R))$ telle que

$λ ([a, b]) = b - a pour tous a \leq b .$

On l'appelle la mesure de Lebesgue. Elle est invariante par translation : $λ (A + c) = λ (A)$ . De même, il existe une unique mesure $λ_{d}$ sur $B (R^{d})$ qui donne à tout pavé $[a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{d}, b_{d}]$ le volume $\prod_{i} (b_{i} - a_{i})$ .

Idée de la preuve. On définit d'abord, pour toute partie $A$ de $R$ , la mesure extérieure $λ^{*} (A) = in f \sum_{k} (b_{k} - a_{k})$ , la borne inférieure portant sur tous les recouvrements de $A$ par une suite d'intervalles $] a_{k}, b_{k} [$ . Cette fonction d'ensemble est définie partout mais n'est pas additive sur toutes les parties. Le théorème de Carathéodory dégage une tribu, qui contient les boréliens, sur laquelle $λ^{*}$ est $σ$ -additive. L'unicité vient de ce qu'une mesure $σ$ -finie est déterminée par ses valeurs sur une famille stable par intersection finie qui engendre la tribu (ici, les intervalles).

Proposition 1.7Propriétés d'une mesure

Soit $(Ω, A, μ)$ un espace mesuré et $A, B, A_{n} \in A$ .

(Monotonie) Si $A \subset B$ , alors $μ (A) \leq μ (B)$ ; si de plus $μ (A) < + \infty$ , $μ (B ∖ A) = μ (B) - μ (A)$ .
(Sous-additivité) $μ (⋃_{n} A_{n}) \leq \sum_{n} μ (A_{n})$ .
(Continuité croissante) Si $A_{0} \subset A_{1} \subset \dots$ , alors $μ (⋃_{n} A_{n}) = lim_{n \to + \infty} μ (A_{n})$ .
(Continuité décroissante) Si $A_{0} \supset A_{1} \supset \dots$ et $μ (A_{0}) < + \infty$ , alors $μ (⋂_{n} A_{n}) = lim_{n \to + \infty} μ (A_{n})$ .

Démonstration

$B$ est la réunion disjointe de $A$ et $B ∖ A$ , donc $μ (B) = μ (A) + μ (B ∖ A) \geq μ (A)$ .

Posons $B_{0} = A_{0}$ et $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ . Les $B_{n}$ sont deux à deux disjoints, $A_{n} = B_{0} \cup \dots \cup B_{n}$ et $⋃_{n} A_{n} = ⋃_{n} B_{n}$ . Par $σ$ -additivité, $μ (⋃_{n} A_{n}) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} μ (B_{k}) = lim_{n} \sum_{k = 0}^{n} μ (B_{k}) = lim_{n} μ (A_{n})$ .

Posons $C_{n} = A_{0} \cup \dots \cup A_{n}$ , suite croissante. On a $μ (C_{n}) \leq \sum_{k \leq n} μ (A_{k})$ (en écrivant $C_{n}$ comme réunion disjointe des $A_{k} ∖ C_{k - 1} \subset A_{k}$ ), puis on passe à la limite grâce au point 3.

Les ensembles $A_{0} ∖ A_{n}$ croissent vers $A_{0} ∖ ⋂_{k} A_{k}$ . Le point 3 et le point 1 (licite car tout est de mesure finie) donnent $μ (A_{0}) - μ (A_{n}) \to μ (A_{0}) - μ (⋂_{k} A_{k})$ .

La continuité décroissante exige une mesure finie

Pour la mesure de Lebesgue, les intervalles $A_{n} = [n, + \infty [$ décroissent et leur intersection est vide. Pourtant $λ (A_{n}) = + \infty$ pour tout $n$ : la limite des mesures vaut $+ \infty$ , la mesure de l'intersection vaut $0$ . L'hypothèse $μ (A_{0}) < + \infty$ ne peut pas être retirée.

1.3 Ensembles négligeables et « presque partout »

Définition — Ensemble négligeable, presque partout

Soit $(Ω, A, μ)$ un espace mesuré.

Une partie $N \subset Ω$ est négligeable si elle est contenue dans un ensemble mesurable de mesure nulle.
Une propriété $P (x)$ est vraie presque partout (en abrégé p.p., ou $μ$ -p.p.) si l'ensemble des $x$ où elle est fausse est négligeable.

Proposition 1.8Ensembles dénombrables

Pour la mesure de Lebesgue, tout point est négligeable, et toute partie dénombrable de $R$ est négligeable. En particulier $N$ , $Z$ et $Q$ sont négligeables. Une réunion dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

Démonstration

$λ ({a}) \leq λ ([a - ε, a + ε]) = 2 ε$ pour tout $ε > 0$ , donc $λ ({a}) = 0$ . Si $D = {a_{0}, a_{1}, \dots}$ , la sous-additivité donne $λ (D) \leq \sum_{n} λ ({a_{n}}) = 0$ . Le même argument vaut pour une réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle.

La réciproque est fausse : l'ensemble triadique de Cantor, obtenu en retirant de $[0, 1]$ son tiers central ouvert $] \frac{1}{3}, \frac{2}{3} [$ , puis le tiers central de chacun des deux segments restants, et ainsi de suite, n'est pas dénombrable, et pourtant il est de mesure nulle : les intervalles retirés ont une longueur totale $\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{27} + \dots = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} = 1$ (exercice 1.2).

Exemple 1.9Presque partout

On munit $R$ de la mesure de Lebesgue.

La fonction partie entière $E$ est continue en tout point de $R ∖ Z$ ; $Z$ étant négligeable, $E$ est continue presque partout.
La suite $f_{n} (x) = sin^{n} x$ converge vers $0$ en tout $x$ tel que $∣ sin x ∣ < 1$ , c'est-à-dire hors de l'ensemble dénombrable $\frac{π}{2} + π Z$ : $f_{n} \to 0$ p.p.
$1_{Q} = 0$ p.p. : deux fonctions qui ne diffèrent que sur $Q$ sont égales presque partout.

« Presque partout » dépend de la mesure

Pour la mesure de comptage sur $N$ , seul l'ensemble vide est de mesure nulle : « presque partout » y signifie « partout ». Pour la mesure de Dirac $δ_{a}$ , au contraire, tout ensemble qui ne contient pas $a$ est négligeable : une propriété est vraie $δ_{a}$ -p.p. dès qu'elle est vraie en $a$ .

L'intégrale de Lebesgue ne verra pas ce qui se passe sur un ensemble négligeable : deux fonctions égales presque partout auront la même intégrale. C'est ce qui permettra, au chapitre 2, de considérer qu'une fonction de $L^{p}$ n'est définie qu'à un ensemble négligeable près.

1.4 Fonctions mesurables

1.4.1 Définition et stabilité

Pour intégrer $f$ à la manière de Lebesgue, il faut pouvoir mesurer les ensembles ${x : f (x) > a}$ . C'est exactement ce qu'exige la définition.

Définition — Fonction mesurable

Soit $(Ω, A)$ un espace mesurable. Une fonction $f : Ω \to R$ (ou $R_{+}$ , ou $C$ ) est mesurable si l'image réciproque $f^{- 1} (B) = {x \in Ω : f (x) \in B}$ de tout borélien $B$ appartient à $A$ . Lorsque $Ω = R^{d}$ muni de sa tribu borélienne, on dit aussi que $f$ est borélienne.

Comme les intervalles $] a, + \infty]$ engendrent la tribu borélienne de $R_{+}$ (ou de $R$ ), il suffit de vérifier que ${f > a} \in A$ pour tout réel $a$ . Une fonction complexe est mesurable si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont.

Proposition 1.10Stabilité des fonctions mesurables — admis en partie

Toute fonction continue $f : R^{d} \to R$ est borélienne ; toute fonction continue par morceaux ou monotone sur un intervalle aussi.
Si $f$ et $g$ sont mesurables et $α \in R$ , alors $f + g$ , $α f$ , $f g$ , $∣ f ∣$ , $max (f, g)$ , $min (f, g)$ sont mesurables ; $φ \circ f$ aussi, pour $φ$ continue.
Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans $R$ , alors $sup_{n} f_{n}$ , $in f_{n} f_{n}$ , $lim sup_{n} f_{n}$ et $lim inf_{n} f_{n}$ sont mesurables. En particulier, une limite simple de fonctions mesurables est mesurable.

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