Espaces Lᵖ

Un signal électrique, le déplacement d'une corde, la température le long d'une barre : l'ingénieur les traite comme des fonctions, mais aussi comme des vecteurs. Il les additionne (superposition), il mesure leur « taille » (énergie, valeur efficace, écart maximal), il les approche par des fonctions plus simples (quelques harmoniques, un polynôme), et il veut savoir si l'approximation s'améliore quand on ajoute des termes. Il lui faut donc des espaces vectoriels de fonctions, munis d'une norme adaptée à la question posée, et dans lesquels les suites qui « devraient » converger convergent effectivement.

Les espaces $L^p$ répondent à ce besoin. Ils sont construits sur l'intégrale de Lebesgue du chapitre 1, et c'est elle qui les rend complets : une suite de Cauchy de fonctions a toujours une limite dans l'espace, ce que l'intégrale de Riemann ne garantit pas. L'exposant $p$ dit ce que l'on mesure : ${\Vert f\Vert }_1=\int \left|f\right|$ est une quantité totale (une charge, une masse, une erreur cumulée), ${\Vert f\Vert }_2$ est la racine d'une énergie (à un facteur près, une valeur efficace), ${\Vert f\Vert }_{\infty }$ est un écart maximal. Choisir la norme, c'est choisir le sens dans lequel deux fonctions sont « proches », et ces sens ne sont pas équivalents.

Ce chapitre définit les espaces $L^p$ et leur norme, établit les deux inégalités qui font de ${\Vert \cdot \Vert }_p$ une norme (Hölder et Minkowski), démontre la complétude (théorème de Riesz--Fischer) et compare les espaces $L^p$ entre eux ainsi que les différents modes de convergence d'une suite de fonctions. Il s'appuie sur le chapitre 1 : ensembles négligeables et propriétés vraies presque partout (proposition 1.19), convergence monotone (théorème 1.13) et convergence dominée (théorème 1.23), intégrabilité des fonctions puissances (exemple 1.16). La section 2.1 définit les espaces $L^p$ et $L^{\infty }$ ; la section 2.2 établit les inégalités de Hölder et de Minkowski ; la section 2.3 démontre la complétude, compare les espaces $L^p$ et énonce les résultats de densité. La géométrie propre à l'espace $L^2$ — produit scalaire, projection orthogonale, bases hilbertiennes — et les séries de Fourier font l'objet du chapitre 3.

Dans tout le chapitre, $(\Omega ,\mathcal{A},\mu )$ est un espace mesuré ; le plus souvent $\Omega$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ muni de la mesure de Lebesgue, et l'on écrit ${\int }_{\Omega }f(x)\mathrm{d}x$. Les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes ; $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

2.1 Les espaces $L^p$

2.1.1 Définition

Pourquoi passer aux classes ? Parce que ${\Vert f\Vert }_p=0$ signifie $\int {\left|f\right|}^p=0$, c'est-à-dire $f=0$ p.p. (proposition 1.19), et non $f=0$ partout : la fonction $1_{\mathbb{Q}}$ vérifie ${\Vert 1_{\mathbb{Q}}\Vert }_p=0$ sans être nulle. Sur ${\mathcal{L}}^p$, ${\Vert \cdot \Vert }_p$ n'est qu'une semi-norme ; sur $L^p$, c'est une norme. En pratique, on continue d'écrire « la fonction $f\in L^p$ » en sous-entendant « la classe de $f$ », et l'on n'attribue jamais de sens à la valeur d'un élément de $L^p$ en un point isolé : seules comptent les propriétés vraies presque partout.

2.1.2 L'espace $L^{\infty }$

La norme « de l'écart maximal » doit elle aussi ignorer les ensembles négligeables : modifier $f$ en un point ne doit pas changer sa taille.

La borne inférieure est atteinte : $\left|f\right|\le {\Vert f\Vert }_{\infty }$ p.p., car $\{\left|f\right|>{\Vert f\Vert }_{\infty }\}={\bigcup }_k\{\left|f\right|>{\Vert f\Vert }_{\infty }+\frac{1}{k}\}$ est une réunion dénombrable d'ensembles négligeables. Pour une fonction continue sur un intervalle, ${\Vert f\Vert }_{\infty }=\sup \left|f\right|$ (un ouvert non vide n'est jamais négligeable) ; mais ${\Vert 1_{\mathbb{Q}}\Vert }_{\infty }=0$ alors que $\sup 1_{\mathbb{Q}}=1$.